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第7讲 一元二次方程及其应用
知识精讲练
了解一元二次方程的根与系数的关系.（删除“*”，改为必学）
知识点1 一元二次方程及其解法
概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2的方程
一般形式 ,,为常数，
解法 直接开平方法 （1）方程缺少一次项，即; （2）形如的方程
配方法 适用于：二次项系数化为1后，一次项系数为偶数的一元二次方程 步骤： （1）移项：将常数项移到方程的右边； （2）变形：将二次项系数化为1； （3）配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）求解：用直接开平方法求解
公式法 求根公式：① 使用求根公式时：（1）要先将方程化为一般式，再利用公式求解；，，代入公式时应注意其符号
因式分解法 通过因式分解，转化为一次方程求解： 或，求得的值
【易错提醒】方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式，避免丢根
知识点2 一元二次方程根的判别式
概念 一般地，式子叫做一元二次方程的根的判别式
根的情况与判别式的关系 ② 一元二次方程有两个不相等的实数根； （2） 一元二次方程有两个③ 的实数根； 一元二次方程④ 实数根
【温馨提示】根据根的情况求字母系数的值时应注意： （1）使用之前一定要把方程化为一般形式，以便正确找出，，的值； （2）若题目中未指明已知方程为一元二次方程，则应分情况讨论
知识点3 一元二次方程根与系数的关系
根与系数的关系 若,是一元二次方程的两根，则⑤ ，⑥
根与系数关系的代数式变形： ; ;
知识点4 一元二次方程的实际应用
增长（下降）率问题 （1）增长率 若起始量为，平均增长率为，终止量为，增长次数为2，则有 （2）降低率 若起始量为，平均降低率为，终止量为，降低次数为2，则有⑦
每每问题 （1）利润售价-成本，总利润每件利润×销售量; （2）若单价每涨价元，少卖出件，则涨价元，少卖出的件数为
面积问题 （1）基本图形面积公式.如矩形面积长×宽 （2）图形之间的面积关系.如图所示，阴影部分面积总面积-空白部分面积 ⑧ ⑨ ⑩
循环问题 （1）单循环比赛问题（握手）：每两队之间比赛一场，则队共比赛的场数为; （2）双循环问题（互送礼物）：全班有人，每人向其他人送一份礼物，则共送出礼物的份数为
考点小练
1．若是关于的一元二次方程，则满足____________.
2．按要求解下列方程：
（1） （配方法）；
（2） （公式法）；
（3） （因式分解法）.
3．已知关于的方程.
（1） 若是该一元二次方程的一个根，则为__________，
该方程的另一个根为____________；
（2） 若，则该一元二次方程根的情况是__________；
（3） 若该一元二次方程有实数根，则的取值范围为________________________;
（4） 若该方程有实数根，则的取值范围为____________.
4．[2024眉山]已知方程的两根分别为，，则的值为________.
5．已知，是方程的两个实数根，且，则的值为________.
6．某班学生在毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，若设全班有名学生，则可列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
7．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步.设宽为步，根据题意可列方程：______________________.
重难点突破
重难点1 一元二次方程根的判别式
例1 [2024黑龙江多地市改编]已知关于的方程.
（1） 若该方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
（2） 若该方程为一元二次方程.
① 该方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________________________；
② 该方程有两个相等的实数根，则的值为________；
③ 该方程没有实数根，则的取值范围为____________.
当二次项系数含未知数，且题干未说明方程为一元二次方程时，应分类讨论二次项系数，不要忽略二次项系数为0的情况.
重难点2 一元二次方程根与系数的关系
例2
（1） 已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是__________；
（2） 设 ， 是一元二次方程的两个根，则________，________.
直接利用根与系数的关系求解；
将根代入一元二次方程，利用根与系数的关系，结合拆项法求解.
重难点3 一元二次方程的实际应用
例3 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增长率不变.
（1） 求2，3两个月的销售量月平均增长率；
（2） 从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个.这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？
设增长率为，根据题意列方程求解；
设降价钱数为，根据利润单个利润×销售量，列出方程求解.
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 一元二次方程及其解法（6年2考）
1．[2023新疆6题]用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B.
C. D.
2．[2021新疆6题]一元二次方程的解为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
拓展训练
3．[2024凉山州]若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A. 2 B. C. 2或 D.
命题点2 一元二次方程根的判别式（6年4考）
4．[2022新疆6题]若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5．[2019新疆6题]若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
6．[2020新疆5题]下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
7．[2024新疆12题4分]关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为__________.
拓展训练
8．[2024潍坊]已知关于的一元二次方程，其中，满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定
命题点3 一元二次方程根与系数的关系
拓展训练
9．[2024绥化]小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和.则原来的方程是（ ）
A. B.
C. D.
10．[2024烟台]一元二次方程的两根为，，则的值为________.
命题点4 一元二次方程的实际应用（6年2考）
11．[2022新疆8题]临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为，则根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
12．[2019新疆7题]在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场. 设有个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
拓展训练
13．[2024云南]两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
14．[2023龙东地区改编]如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是__________.
第14题图第7讲 一元二次方程及其应用
知识精讲练
了解一元二次方程的根与系数的关系.（删除“*”，改为必学）
知识点1 一元二次方程及其解法
概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2的方程
一般形式 ,,为常数，
解法 直接开平方法 （1）方程缺少一次项，即; （2）形如的方程
配方法 适用于：二次项系数化为1后，一次项系数为偶数的一元二次方程 步骤： （1）移项：将常数项移到方程的右边； （2）变形：将二次项系数化为1； （3）配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）求解：用直接开平方法求解
公式法 求根公式：① 使用求根公式时：（1）要先将方程化为一般式，再利用公式求解；，，代入公式时应注意其符号
因式分解法 通过因式分解，转化为一次方程求解： 或，求得的值
【易错提醒】方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式，避免丢根
知识点2 一元二次方程根的判别式
概念 一般地，式子叫做一元二次方程的根的判别式
根的情况与判别式的关系 ② 一元二次方程有两个不相等的实数根； （2） 一元二次方程有两个③相等的实数根； 一元二次方程④无实数根
【温馨提示】根据根的情况求字母系数的值时应注意： （1）使用之前一定要把方程化为一般形式，以便正确找出，，的值； （2）若题目中未指明已知方程为一元二次方程，则应分情况讨论
知识点3 一元二次方程根与系数的关系
根与系数的关系 若,是一元二次方程的两根，则⑤ ，⑥
根与系数关系的代数式变形： ; ;
知识点4 一元二次方程的实际应用
增长（下降）率问题 （1）增长率 若起始量为，平均增长率为，终止量为，增长次数为2，则有 （2）降低率 若起始量为，平均降低率为，终止量为，降低次数为2，则有⑦
每每问题 （1）利润售价-成本，总利润每件利润×销售量; （2）若单价每涨价元，少卖出件，则涨价元，少卖出的件数为
面积问题 （1）基本图形面积公式.如矩形面积长×宽 （2）图形之间的面积关系.如图所示，阴影部分面积总面积-空白部分面积 ⑧ ⑨ ⑩
循环问题 （1）单循环比赛问题（握手）：每两队之间比赛一场，则队共比赛的场数为; （2）双循环问题（互送礼物）：全班有人，每人向其他人送一份礼物，则共送出礼物的份数为
考点小练
1．若是关于的一元二次方程，则满足____________.
【答案】
2．按要求解下列方程：
（1） （配方法）；
（2） （公式法）；
（3） （因式分解法）.
【答案】
（1） 解：，
，
，即，，
，.
（2） 解：，
，，，
，
，
，.
（3） 解：整理方程得，
分解因式得，解得，.
3．已知关于的方程.
（1） 若是该一元二次方程的一个根，则为__________，
该方程的另一个根为____________；
（2） 若，则该一元二次方程根的情况是__________；
（3） 若该一元二次方程有实数根，则的取值范围为________________________;
（4） 若该方程有实数根，则的取值范围为____________.
【答案】（1） ；
（2） 无实数根
（3） 且
（4）
4．[2024眉山]已知方程的两根分别为，，则的值为________.
【答案】
5．已知，是方程的两个实数根，且，则的值为________.
【答案】
6．某班学生在毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，若设全班有名学生，则可列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
7．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步.设宽为步，根据题意可列方程：______________________.
【答案】
重难点突破
重难点1 一元二次方程根的判别式
例1 [2024黑龙江多地市改编]已知关于的方程.
（1） 若该方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
（2） 若该方程为一元二次方程.
① 该方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________________________；
② 该方程有两个相等的实数根，则的值为________；
③ 该方程没有实数根，则的取值范围为____________.
【答案】（1） A
（2） ① 且
②
③
当二次项系数含未知数，且题干未说明方程为一元二次方程时，应分类讨论二次项系数，不要忽略二次项系数为0的情况.
重难点2 一元二次方程根与系数的关系
例2
（1） 已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是__________；
（2） 设 ， 是一元二次方程的两个根，则________，________.
直接利用根与系数的关系求解；
将根代入一元二次方程，利用根与系数的关系，结合拆项法求解.
【答案】（1）
（2） ；
重难点3 一元二次方程的实际应用
例3 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增长率不变.
（1） 求2，3两个月的销售量月平均增长率；
（2） 从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个.这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？
设增长率为，根据题意列方程求解；
设降价钱数为，根据利润单个利润×销售量，列出方程求解.
【答案】
（1） 解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为，
依题意，得，
解得，（不符合题意，舍去）.
答：2，3两个月的销售量月平均增长率为.
（2） 解：解法一：设这种台灯每个降价元时，商场4月销售这种台灯获利4800元，依题意，得，整理，得，解得，（不符合题意，舍去），当时，.
答：这种台灯售价定为38元时，商场4月销售这种台灯获利4800元.
解法二：设这种台灯售价定为元时，商场4月销售这种台灯获利4800元，
依题意，得，
整理，得，
解得，（不符合题意，舍去）.
答：这种台灯售价定为38元时，商场4月销售这种台灯获利4800元.
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 一元二次方程及其解法（6年2考）
1．[2023新疆6题]用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
2．[2021新疆6题]一元二次方程的解为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
拓展训练
3．[2024凉山州]若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A. 2 B. C. 2或 D.
【答案】A
命题点2 一元二次方程根的判别式（6年4考）
4．[2022新疆6题]若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5．[2019新疆6题]若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
【答案】D
6．[2020新疆5题]下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
7．[2024新疆12题4分]关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为__________.
【答案】
拓展训练
8．[2024潍坊]已知关于的一元二次方程，其中，满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定
【答案】C
命题点3 一元二次方程根与系数的关系
拓展训练
9．[2024绥化]小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和.则原来的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
10．[2024烟台]一元二次方程的两根为，，则的值为________.
【答案】
命题点4 一元二次方程的实际应用（6年2考）
11．[2022新疆8题]临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为，则根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
12．[2019新疆7题]在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场. 设有个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
拓展训练
13．[2024云南]两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
14．[2023龙东地区改编]如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是__________.
第14题图
【答案】

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