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第11讲 一次函数的实际应用
重难点突破
重难点 一次函数的实际应用
例1 [2024长春]区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度.小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时.汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示.
例1题图
（1） 的值为________；
（2） 当时，求与之间的函数关系式；
（3） 通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速.（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
【度0千米/时，行驶小时路程为20千米即可求解；（2）设解析式，利用待定系数法求解；（3）求出汽车减速前匀速行驶的速度即可判断.
例2 [2024广元]近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：
价格/类别 短款 长款
进货价（元/件） 80 90
销售价（元/件） 100 120
（1） 该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
（2） 第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元.服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
【知数量短款服装数量长款服装数量，结合所给数据求解.（2）①将其中一种服装数量设为未知数，即可用代数式表示出另一种服装数量，利用总价单价×数量、利润售价-进价，结合所给数据求出未知数的取值范围及函数关系；②利用函数的增减性,结合数量特性（非负性、整数、不大于总数）、两种服装数量关系求解.
新疆6年中考真题及拓展
类型1 行程问题（2022.20）
1．[2022新疆20题]，两地相距，甲、乙两人分别开车从地出发前往地，其中甲先出发.如图是甲、乙行驶路程，随行驶时间变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：
第1题图
（1） 填空：甲的速度为____；
（2） 分别求出，与之间的函数解析式；
（3） 求出点的坐标，并写出点的实际意义．
型．]某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价4元销售，全部售完. 销售金额（元）与销售量（千克）之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息完成下列问题：
第2题图
（1） 降价前苹果的销售单价是____元/千克；
（2） 求降价后销售金额（元）与销售量（千克）之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3） 该水果店这次销售苹果盈利了多少元？
[，款保温杯的销售单价比款保温杯多10元，用480元购买款保温杯的数量与用360元购买款保温杯的数量相同.
（1） ，两款保温杯的销售单价各是多少元？
（2） 由于需求量大，，两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的两倍. 若款保温杯的销售单价不变，款保温杯的销售单价降低，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
类型3 方案问题（2023.21）
4．[2023新疆21题]随着端午节的临近，，两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：
超市 B超市
优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满100元返30元
（1） 当购物金额为80元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱；
当购物金额为130元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱；
（2） 若购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？
（3） 对于超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为（注：优惠率）.若在超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明.第11讲 一次函数的实际应用
重难点突破
重难点 一次函数的实际应用
例1 [2024长春]区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度.小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时.汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示.
例1题图
（1） 的值为________；
（2） 当时，求与之间的函数关系式；
（3） 通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速.（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
【答案】（1）
（2） 解:设当时，与之间的函数关系式为，将，分别代入，
得，解得，
与之间的函数关系为.
（3） 当时，，
减速前的速度为（千米/时）.
，
该辆汽车减速前没有超速.
【解析】
例1 （1）利用路程速度×时间，结合平均速度为100千米/时，行驶小时路程为20千米即可求解；（2）设解析式，利用待定系数法求解；（3）求出汽车减速前匀速行驶的速度即可判断.
例2 [2024广元]近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：
价格/类别 短款 长款
进货价（元/件） 80 90
销售价（元/件） 100 120
（1） 该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
（2） 第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元.服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
【答案】
（1） 解：设购进短款服装件，购进长款服装件，
，.
答：购进长款服装30件，购进短款服装20件.
（2） 设第二次购进件短款服装，则购进件长款服装，，.
设利润为元，则，随的增大而减小，
当时，利润最大，最大利润为（元），
答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元.
【解析】
例2 （1）设未知数，利用总价单价×数量、总数量短款服装数量长款服装数量，结合所给数据求解.（2）①将其中一种服装数量设为未知数，即可用代数式表示出另一种服装数量，利用总价单价×数量、利润售价-进价，结合所给数据求出未知数的取值范围及函数关系；②利用函数的增减性,结合数量特性（非负性、整数、不大于总数）、两种服装数量关系求解.
新疆6年中考真题及拓展
类型1 行程问题（2022.20）
1．[2022新疆20题]，两地相距，甲、乙两人分别开车从地出发前往地，其中甲先出发.如图是甲、乙行驶路程，随行驶时间变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：
第1题图
（1） 填空：甲的速度为____；
（2） 分别求出，与之间的函数解析式；
（3） 求出点的坐标，并写出点的实际意义．
【答案】（1） 60．
（2） 解：由（1）可知，与之间的函数解析式为；
设与之间的函数解析式为，
将,代入，
得，解得，
．
（3） 根据题意，得，解得，
，
点的坐标为，
点的实际意义是甲车出发2.5小时后被乙车追上，此时两车均行驶了．
类型2 利润问题（6年2考）
2．[2019新疆21题]某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价4元销售，全部售完. 销售金额（元）与销售量（千克）之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息完成下列问题：
第2题图
（1） 降价前苹果的销售单价是____元/千克；
（2） 求降价后销售金额（元）与销售量（千克）之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3） 该水果店这次销售苹果盈利了多少元？
【答案】（1） 16.
（2） 解：降价后销售的苹果为（千克）.
设降价后销售金额（元）与销售量（千克）之间的函数解析式是，该函数图象过点，，
则有，解得，
降价后销售金额（元）与销售量（千克）之间的函数解析式是.
（3） （元）.
答：该水果店这次销售苹果盈利了360元.
3．[2020新疆21题]某超市销售，两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多10元，用480元购买款保温杯的数量与用360元购买款保温杯的数量相同.
（1） ，两款保温杯的销售单价各是多少元？
（2） 由于需求量大，，两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的两倍. 若款保温杯的销售单价不变，款保温杯的销售单价降低，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
【答案】
（1） 解：设款保温杯的销售单价是元，则款保温杯的销售单价是元.
由题意，得，
解得.
经检验，是原分式方程的解，且符合题意.
则.
答：，两款保温杯的销售单价分别是30元，40元.
（2） 设购进款保温杯个，则购进款保温杯个.
款保温杯的数量不少于款保温杯数量的两倍，
，
解得.
设利润为元，
.
,随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值为1440，
此时.
答：当购进款保温杯80个，款保温杯40个时，能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1440元.
类型3 方案问题（2023.21）
4．[2023新疆21题]随着端午节的临近，，两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：
超市 B超市
优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满100元返30元
（1） 当购物金额为80元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱；
当购物金额为130元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱；
（2） 若购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？
（3） 对于超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为（注：优惠率）.若在超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明.
【答案】（1） ；
（2） 解：.
.
当时，,解得,
当时，选择超市更省钱;
当时，选择超市更省钱;
当时，选择,超市费用一样;
当时，选择超市更省钱.
（3） 不一定.例如：当时，优惠率为
,
当时，优惠率为,
可见，在超市购物，不是购物金额越大，享受的优惠率一定越大.

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