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第12讲 反比例函数的图象与性质
知识精讲练
知识点1 反比例函数的图象与性质
概念 一般地，形如为常数，的函数叫做反比例函数，其中是自变量，是函数.自变量的取值范围是不等于0的一切实数
的取值范围 ① 0 ② 0
图象
所在象限 第一、三象限（，同号） 第二、四象限（，异号）
增减性 在每一象限内，随的增大而③减小 在每一象限内，随的增大而④增大
对称性 关于直线，成轴对称;关于⑤原点成中心对称
渐近趋势 反比例函数图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交
【易错提醒】反比例函数图象的增减性的判断误区： 反比例函数的图象有两支，在判断反比例函数图象的增减性时，必须强调在每一个分支上，不能认为在整个自变量取值范围内增大或减小
知识点2 反比例函数k的几何意义及解析式的确定
1.反比例函数 的几何意义
的几何意义 在反比例函数为常数，的图象上任取一点，过这一点分别作轴、轴的垂线,,与坐标轴围成的矩形的面积⑥
常见图形 一点一垂线（及变形）⑦
常见图形 一点两垂线（及变形）⑧ 两点一垂线：⑨ 两点两垂线：
2.反比例函数解析式的确定
待定系数法 （1）设反比例函数的解析式为; （2）找出满足反比例函数解析式的点; （3）将代入解析式得⑩ ; （4）确定反比例函数解析式为
利用 的几何意义 题中已知面积考虑用的几何意义，由面积求得，再根据函数图象所在象限确定值的正负，从而确定的值，进而求得过该点的反比例函数解析式
考点小练
1．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图象经过点 B. 图象在第二、四象限
C. 图象是中心对称图形 D. 当时,随的增大而增大
【答案】C
2．已知反比例函数.
（1） [2024武汉]若反比例函数具有下列性质：当时，随的增大而减小.写出一个满足条件的的值是________________；
（2） 若点是反比例函数图象上一点，则点__（填“在”或“不在”）该反比例函数的图象上；
（3） 若反比例函数的图象经过点，，.
① ________，________；
② 当时，的取值范围是______________，当时，的取值范围是________________________.
【答案】（1） 3（答案不唯一）
（2） 在
（3） ① ；
② ；或
3．如图，矩形的面积为6,反比例函数的图象过点,则__________.
第3题图
【答案】
4．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于原点，顶点，在反比例函数的图象上，若垂直轴于点，平行四边形的面积为8，则__________.
第4题图
【答案】
5．已知反比例函数的图象经过，，中的两点，则反比例函数的解析式为____________.
【答案】
6．已知反比例函数，点在此函数图象上，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点，，若四边形的面积为5，则的值为______________.
【答案】或6
重难点突破
重难点1 反比例函数k的几何意义
例1 [2024龙东地区]如图，双曲线经过，两点，连接，，过点作轴，垂足为，交于点，且为的中点，则的面积是（ ）
例1题图
A. 4.5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5
【答案】A
变式1．[2024喀什地区一模]如图，点是反比例函数图象上的一点，过作轴于点，点为轴正半轴上一点且，连接交轴于点，连接.若的面积为8，则的值为____________.
变式1题图
【答案】
重难点2 反比例函数解析式的确定
例2 [2024深圳]如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则________.
例2题图
【答案】
变式2．[2024宿迁]如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是6，则的值为（ ）
变式2题图
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 反比例函数的图象与性质（2021.13）
1．[2021新疆13题]若点，在反比例函数的图象上，则________.（填“ ”“ ”或“”）
【答案】
变式．变条件——三点比较大小 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
拓展训练
2．[2024遂宁]反比例函数的图象在第一、三象限，则在第__象限.
【答案】四
3．[2024包头]若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则________.
【答案】
命题点2 反比例函数解析式的确定（6年2考）
4．[2022新疆11题]若点在反比例函数的图象上，则________.
【答案】
5．[2023新疆14题]如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形， ， ，.若反比例函数的图象经过的中点，交于点，则________.
第5题图
【答案】
拓展训练
6．[2024乌鲁木齐天山区一模]如图，已知矩形的对角线的中点与点都经过反比例函数的图象，且，则________.
第6题图
【答案】
命题点3 反比例函数k的几何意义
拓展训练
7．[2024乌鲁木齐天山区校级一模]如图，点，分别在反比例函数和的图象上，分别过，两点向轴，轴作垂线，形成的阴影部分的面积为7，则的值为________.
第7题图
【答案】
8．[2024牡丹江]矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，与交于点，，若四边形的面积为2，则的值是________.
第8题图
【答案】第12讲 反比例函数的图象与性质
知识精讲练
知识点1 反比例函数的图象与性质
概念 一般地，形如为常数，的函数叫做反比例函数，其中是自变量，是函数.自变量的取值范围是不等于0的一切实数
的取值范围 ① 0 ② 0
图象
所在象限 第一、三象限（，同号） 第二、四象限（，异号）
增减性 在每一象限内，随的增大而③ 在每一象限内，随的增大而④
对称性 关于直线，成轴对称;关于⑤ 成中心对称
渐近趋势 反比例函数图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交
【易错提醒】反比例函数图象的增减性的判断误区： 反比例函数的图象有两支，在判断反比例函数图象的增减性时，必须强调在每一个分支上，不能认为在整个自变量取值范围内增大或减小
知识点2 反比例函数k的几何意义及解析式的确定
1.反比例函数 的几何意义
的几何意义 在反比例函数为常数，的图象上任取一点，过这一点分别作轴、轴的垂线,,与坐标轴围成的矩形的面积⑥
常见图形 一点一垂线（及变形）⑦
常见图形 一点两垂线（及变形）⑧ 两点一垂线：⑨ 两点两垂线：
2.反比例函数解析式的确定
待定系数法 （1）设反比例函数的解析式为; （2）找出满足反比例函数解析式的点; （3）将代入解析式得⑩ ; （4）确定反比例函数解析式为
利用 的几何意义 题中已知面积考虑用的几何意义，由面积求得，再根据函数图象所在象限确定值的正负，从而确定的值，进而求得过该点的反比例函数解析式
考点小练
1．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图象经过点 B. 图象在第二、四象限
C. 图象是中心对称图形 D. 当时,随的增大而增大
2．已知反比例函数.
（1） [2024武汉]若反比例函数具有下列性质：当时，随的增大而减小.写出一个满足条件的的值是________________；
（2） 若点是反比例函数图象上一点，则点__（填“在”或“不在”）该反比例函数的图象上；
（3） 若反比例函数的图象经过点，，.
① ________，________；
② 当时，的取值范围是______________，当时，的取值范围是________________________.
3．如图，矩形的面积为6,反比例函数的图象过点,则__________.
第3题图
4．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于原点，顶点，在反比例函数的图象上，若垂直轴于点，平行四边形的面积为8，则__________.
第4题图
5．已知反比例函数的图象经过，，中的两点，则反比例函数的解析式为____________.
6．已知反比例函数，点在此函数图象上，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点，，若四边形的面积为5，则的值为______________.
重难点突破
重难点1 反比例函数k的几何意义
例1 [2024龙东地区]如图，双曲线经过，两点，连接，，过点作轴，垂足为，交于点，且为的中点，则的面积是（ ）
例1题图
A. 4.5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5
变式1．[2024喀什地区一模]如图，点是反比例函数图象上的一点，过作轴于点，点为轴正半轴上一点且，连接交轴于点，连接.若的面积为8，则的值为____________.
变式1题图
重难点2 反比例函数解析式的确定
例2 [2024深圳]如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则________.
例2题图
变式2．[2024宿迁]如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是6，则的值为（ ）
变式2题图
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 反比例函数的图象与性质（2021.13）
1．[2021新疆13题]若点，在反比例函数的图象上，则________.（填“ ”“ ”或“”）
变式．变条件——三点比较大小 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
拓展训练
2．[2024遂宁]反比例函数的图象在第一、三象限，则在第__象限.
3．[2024包头]若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则________.
命题点2 反比例函数解析式的确定（6年2考）
4．[2022新疆11题]若点在反比例函数的图象上，则________.
5．[2023新疆14题]如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形， ， ，.若反比例函数的图象经过的中点，交于点，则________.
第5题图
拓展训练
6．[2024乌鲁木齐天山区一模]如图，已知矩形的对角线的中点与点都经过反比例函数的图象，且，则________.
第6题图
命题点3 反比例函数k的几何意义
拓展训练
7．[2024乌鲁木齐天山区校级一模]如图，点，分别在反比例函数和的图象上，分别过，两点向轴，轴作垂线，形成的阴影部分的面积为7，则的值为________.
第7题图
8．[2024牡丹江]矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，与交于点，，若四边形的面积为2，则的值是________.
第8题图

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