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第13讲 反比例函数与一次函数综合
知识精讲练
知识点 反比例函数与一次函数综合
判断同一坐标系中两个函数的图象 一次函数图象与反比例函数图象的两支曲线都有交点的符号一致
先假设反比例函数的解析式与图象吻合，确定的取值范围，再根据的取值范围确定一次函数图象
求交点坐标 反比例函数与一次函数
反比例函数与正比例函数
求函数解析式 利用待定系数法，将交点坐标代入可求的值，由两交点的坐标利用待定系数法可求的解析式
利用的几何意义求反比例函数的解析式
求图形面积 方法：要充分利用数形结合的思想，即利用坐标求线段，利用线段求坐标
图形及面积
求自变量取值范围 （1）找交点； （2）分区：过两函数图象的交点分别作轴的平行线，连同轴，将平面分为四部分，如右图，即Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ； （3）观察函数图象找答案：根据函数图象上方的值总比函数图象下方的值大，在各区域内找相应的的取值范围 Ⅰ，Ⅲ区域内：，自变量的取值范围为或; Ⅱ，Ⅳ区域内：，自变量的取值范围为或
重难点突破
重难点 反比例函数与一次函数综合
例 [2021新疆21题改编]如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，.
例题图
（1） 求的值；
（2） 求一次函数的解析式；
（3） 判断点是否在一次函数的图象上，并说明理由；
（4） 写出不等式的解集；
（5） 在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的 .
变式．函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D 答案】A
新疆6年中考真题及拓展
命题点 反比例函数与一次函数结合（6年3考）
1．[2024新疆9题4分]如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：①点与点关于原点对称；②点是的中点；③在的图象上任取点和点，如果，那么；.其中正确结论的个数是（ ）
第1题图
A. 1 B. 2 C. 3 D 答案】C
2．[2019新疆15题]如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过原点的另一条直线与双曲线交于，两点（点在第二象限），若以点，，，为顶点的四边形面积为24，则点的坐标是________________________________.
第
拓展训练
3．[2024喀什地区三模改编]如图，已知直线分别与轴，轴相交于，两点，与的图象相交于，两点，连接，，给出下列结论：；；；时，或.其中正确结论的序号是（ ）
第3题图
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ① 答案】D
4．[2024乌鲁木齐新市区模拟]如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点.点在轴负半轴上，，的面积为12，则____________.
第
5．[2024临夏州]如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为.
第5题图
（1） 求，的值；
（2） 将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求 【 图 点 第 .
6．[2024巴中]如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为1.
第6题图
（1） 求的值及点的坐标；
（2） 点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最 式第13讲 反比例函数与一次函数综合
知识精讲练
知识点 反比例函数与一次函数综合
判断同一坐标系中两个函数的图象 一次函数图象与反比例函数图象的两支曲线都有交点的符号一致
先假设反比例函数的解析式与图象吻合，确定的取值范围，再根据的取值范围确定一次函数图象
求交点坐标 反比例函数与一次函数
反比例函数与正比例函数
求函数解析式 利用待定系数法，将交点坐标代入可求的值，由两交点的坐标利用待定系数法可求的解析式
利用的几何意义求反比例函数的解析式
求图形面积 方法：要充分利用数形结合的思想，即利用坐标求线段，利用线段求坐标
图形及面积
求自变量取值范围 （1）找交点； （2）分区：过两函数图象的交点分别作轴的平行线，连同轴，将平面分为四部分，如右图，即Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ； （3）观察函数图象找答案：根据函数图象上方的值总比函数图象下方的值大，在各区域内找相应的的取值范围 Ⅰ，Ⅲ区域内：，自变量的取值范围为或; Ⅱ，Ⅳ区域内：，自变量的取值范围为或
重难点突破
重难点 反比例函数与一次函数综合
例 [2021新疆21题改编]如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，.
例题图
（1） 求的值；
（2） 求一次函数的解析式；
（3） 判断点是否在一次函数的图象上，并说明理由；
（4） 写出不等式的解集；
（5） 在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标.
【答案】（1） 解：将代入，得，解得， 反比例函数的解析式为.把代入，得，解得.
（2） 由（1）知，.把，代入，得，解得， 一次函数的解析式为.
（3） 在.理由如下：把代入，得， 点在一次函数的图象上.
（4） 如图，得或时，，
不等式的解集为或.
例题图
（5） 在一次函数中，当时，；当时，，，，
，，
设，，
解得，.
变式．函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
新疆6年中考真题及拓展
命题点 反比例函数与一次函数结合（6年3考）
1．[2024新疆9题4分]如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：①点与点关于原点对称；②点是的中点；③在的图象上任取点和点，如果，那么；.其中正确结论的个数是（ ）
第1题图
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
2．[2019新疆15题]如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过原点的另一条直线与双曲线交于，两点（点在第二象限），若以点，，，为顶点的四边形面积为24，则点的坐标是________________________________.
第2题图
【答案】或
拓展训练
3．[2024喀什地区三模改编]如图，已知直线分别与轴，轴相交于，两点，与的图象相交于，两点，连接，，给出下列结论：；；；时，或.其中正确结论的序号是（ ）
第3题图
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
【答案】D
4．[2024乌鲁木齐新市区模拟]如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点.点在轴负半轴上，，的面积为12，则____________.
第4题图
【答案】
5．[2024临夏州]如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为.
第5题图
（1） 求，的值；
（2） 将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值.
【答案】
（1） 解： 点在反比例函数图象上，
所以，解得.
将代入，
解得.
（2） 如图，过点作轴于点，
第5题图
，，，，，.直线向上平移个单位长度得到，令，得;令，得，，，，， 双曲线过点，，解得或（舍去），.
6．[2024巴中]如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为1.
第6题图
（1） 求的值及点的坐标；
（2） 点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值.
【答案】（1） 解：把代入，得，，， 反比例函数的解析式为.联立解析式，得，解得或，.
（2） ，是的中点，，设直线的解析式为,将代入，得， 直线的解析式为当取得最小值时，， 设直线的解析式为，代入得，解得， 直线的解析式为，联立解析式得，解得，
，的最小值为.

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