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第14讲 二次函数的图象与性质
知识精讲练
①会（改动）用描点法（删除）画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系（新增）.
②会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴（删除）,会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值（新增），能解决相应的（改动）实际问题.
③知道二次函数和一元二次方程之间的关系.（新增）
④*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.（删除）
知识点1 二次函数的图象与性质
1.二次函数的图象与性质
概念 一般地，形如，，是常数，的函数叫做二次函数
的符号
大致图象
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 （1）直接运用公式求解; （2）配方转化为顶点式,则对称轴为直线. 注：还可利用（其中，是关于对称轴对称的两点的横坐标）求解
顶点坐标 （1）直接运用顶点坐标公式，求解； （2）用配方法将一般式化为,则顶点坐标为； （3）将对称轴的横坐标代入函数解析式求得对应的
增减性 在对称轴左侧，随的增大而① ； 在对称轴右侧，随的增大而② 在对称轴左侧，随的增大而③ ； 在对称轴右侧，随的增大而④
最值 当时，的最小值为⑤ 当时，的最大值为⑥
2．二次函数图象与系数的关系
决定抛物线开口方向 抛物线开口向上 抛物线开口向下
， 决定抛物线对称轴的位置 对称轴为轴
决定抛物线与轴的交点位置 抛物线过⑧ 抛物线与轴交于正半轴 抛物线与轴交于⑨
决定抛物线与轴的交点个数 抛物线与轴有唯一交点（顶点） 抛物线与轴有⑩ 个交点 抛物线与轴没有交点
3.与二次函数系数有关的常见代数式
与1比较
与比较
令,看纵坐标
令,看纵坐标
令,看纵坐标
令,看纵坐标
令,看纵坐标
令,看纵坐标
知识点2 二次函数解析式的确定
二次函数解析式的三种表达形式 一般式 ,,为常数，
顶点式 为常数，，为顶点坐标］
交点式 （为常数，,,为抛物线与轴的交点的横坐标）
确定二次函数解析式的方法及步骤 方法 待定系数法
步骤 一设：设二次函数解析式为； 二列：找出函数图象上的三个点，代入中，得到方程组； 三解：解方程组，得到，，的值； 四还原：将所求待定系数，，的值代入中即可
解析式的常见设法 顶点在原点
对称轴是轴（或顶点在轴上）
顶点在轴上
抛物线过原点
已知任意三个点
顶点其他一点坐标
与轴的两个交点其他一点坐标
与轴的一个交点对称轴其他一点坐标
知识点3 二次函数图象的平移
1.二次函数解析式为顶点式
平移前的解析式 移动方向 平移后的解析式 规律
向左平移个单位 左加
向右平移个单位 右减
向上平移个单位 上加
向下平移个单位 下减
2.二次函数解析式为一般式
平移前的解析式 移动方向 平移后的解析式 规律
向左平移个单位 左加
向右平移个单位 右减
向上平移个单位 上加
向下平移个单位 下减
知识点4 二次函数与方程、不等式的关系
二次函数 的图象
图象与轴有两个交点， 图象与轴有且只有一个交点 图象与轴无交点
一元二次方程 的根 方程有两个不相等的实数根或 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根
不等式 的解集 或（对应图象中轴上方部分的取值范围） 的实数 取任意实数
【温馨提示】（1） （2）方程的根或不等式 的解集常常转化为抛物线与直线的关系处理，通常借助数形结合思想来判断，如图
考点小练
1．已知函数.
（1） 将该函数化为顶点式为________________________；
（2） 抛物线的开口向__；
（3） 抛物线的对称轴为________________，
顶点坐标为________________；
（4） 当__________时，抛物线有最__值，为________；
（5） 当____________时，随的增大而增大；当____________时，随的增大而减小.
2．已知二次函数
（1） 若点在该二次函数的图象上,则的大小关系是______________________________________；
（2） 若，是该函数图象上的两点，则____.
3．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，观察图象，回答下列问题：
第3题图
（1） ________0,________0,________0,________0;
（2） ________0;
（3） ________;
（4） ________0;
（5） ________0;
（6） ________;
（7） ________0.
4．已知抛物线.
（1） 若该抛物线经过，，三点，则该抛物线的解析式为______________________；化为顶点式为________________________；
（2） 若该抛物线的顶点坐标为，且经过点，则该抛物线的解析式为________________________；
（3） 已知二次函数的最小值为3，对称轴为直线，且经过点，则二次函数的解析式为____________________；
（4） 若该抛物线与轴交于，两点，且过点，则该抛物线的解析式为__________________________.
5．已知抛物线.
（1） 将抛物线向右平移2个单位，得到的抛物线的解析式为________________________；
（2） 将抛物线向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为________________________；
（3） 将抛物线向左平移1个单位，向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为________________________.
6．抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后经过点，则________.
7．已知抛物线.
（1） 将抛物线向左平移3个单位，得到的抛物线的解析式为______________________；
（2） 将抛物线向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为______________________；
（3） 将抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位得到的抛物线的解析式为________________________.
8．已知函数.
（1） 方程的解是____________________________；
（2） 该函数图象与轴的交点个数为________；
（3） 当满足________________________时，该函数值大于0；
（4） 方程的根为______________，不等式的解集为________________________.
重难点突破
重难点1 二次函数的图象与性质
例1 [2024贵州]如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ）
例1题图
A. 二次函数图象的对称轴是直线
B. 二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是2
C. 当时，随的增大而减小
D. 二次函数图象与轴的交点的纵坐标是3
变式1-1．[2024凉山州]抛物线经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
变式1-2．[2024达州]抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
变式1-3．[2024连云港]已知抛物线，，是常数，的顶点为.小烨同学得出以下结论：；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的.其中一定正确的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
重难点2 二次函数图象与系数的关系
例2 [2024阿克苏一模改编]如图,二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象得出下列结论：且；；③关于的方程的两根分别为和1；.其中正确的结论有（ ）
例2题图
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
变式2-1．[2024泸州]已知二次函数（是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
变式2-2．[2024牡丹江]在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，，，与轴交点的纵坐标在之间，根据图象判断以下结论：；；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点为，则.其中正确的结论是（ ）
变式2-2题图
A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 二次函数的图象与性质（6年3考）
1．[2022新疆7题]已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A. 抛物线开口向上
B. 抛物线的对称轴为直线
C. 抛物线的顶点坐标为
D. 当时，随的增大而增大
2．[2020新疆8题]二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
第2题图
A. B.
C. D.
3．[2023新疆9题]如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，.结合图象，判断下列结论：①当时，；是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，当时，的取值范围是.其中正确结论的个数是（ ）
第3题图
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
拓展训练
4．[2024广元改编]如图，已知抛物线过点，与轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①方程有两个不相等的实数根；；；.其中正确的结论有（ ）
第4题图
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5．[2024镇江]对于二次函数（是常数），下列结论：①将这个函数的图象向下平移3个单位长度后得到的图象经过原点；②当时，这个函数的图象在函数图象的上方；③若，则当时，函数值随自变量增大而增大；④这个函数的最小值不大于3.其中正确的是____.（填写序号）
命题点2 二次函数解析式的确定
拓展训练
6．[2023上海]一个二次函数的顶点在轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是____________________________________.
命题点3 二次函数图象的平移
拓展训练
7．[2024牡丹江]将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则________.
8．[2024济宁]将抛物线向下平移个单位长度.若平移后得到的抛物线与轴有公共点，则的取值范围是 ____________.第14讲 二次函数的图象与性质
知识精讲练
①会（改动）用描点法（删除）画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系（新增）.
②会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴（删除）,会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值（新增），能解决相应的（改动）实际问题.
③知道二次函数和一元二次方程之间的关系.（新增）
④*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.（删除）
知识点1 二次函数的图象与性质
1.二次函数的图象与性质
概念 一般地，形如，，是常数，的函数叫做二次函数
的符号
大致图象
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 （1）直接运用公式求解; （2）配方转化为顶点式,则对称轴为直线. 注：还可利用（其中，是关于对称轴对称的两点的横坐标）求解
顶点坐标 （1）直接运用顶点坐标公式，求解； （2）用配方法将一般式化为,则顶点坐标为； （3）将对称轴的横坐标代入函数解析式求得对应的
增减性 在对称轴左侧，随的增大而①减小； 在对称轴右侧，随的增大而②增大 在对称轴左侧，随的增大而③增大； 在对称轴右侧，随的增大而④减小
最值 当时，的最小值为⑤ 当时，的最大值为⑥
2．二次函数图象与系数的关系
决定抛物线开口方向 抛物线开口向上 抛物线开口向下
， 决定抛物线对称轴的位置 对称轴为轴
决定抛物线与轴的交点位置 抛物线过⑧ 抛物线与轴交于正半轴 抛物线与轴交于⑨
决定抛物线与轴的交点个数 抛物线与轴有唯一交点（顶点） 抛物线与轴有⑩ 个交点 抛物线与轴没有交点
【答案】左侧； （或原点）； 负半轴； 两
3.与二次函数系数有关的常见代数式
与1比较
与比较
令,看纵坐标
令,看纵坐标
令,看纵坐标
令,看纵坐标
令,看纵坐标
令,看纵坐标
知识点2 二次函数解析式的确定
二次函数解析式的三种表达形式 一般式 ,,为常数，
顶点式 为常数，，为顶点坐标］
交点式 （为常数，,,为抛物线与轴的交点的横坐标）
确定二次函数解析式的方法及步骤 方法 待定系数法
步骤 一设：设二次函数解析式为； 二列：找出函数图象上的三个点，代入中，得到方程组； 三解：解方程组，得到，，的值； 四还原：将所求待定系数，，的值代入中即可
解析式的常见设法 顶点在原点
对称轴是轴（或顶点在轴上）
顶点在轴上
抛物线过原点
已知任意三个点
顶点其他一点坐标
与轴的两个交点其他一点坐标
与轴的一个交点对称轴其他一点坐标
知识点3 二次函数图象的平移
1.二次函数解析式为顶点式
平移前的解析式 移动方向 平移后的解析式 规律
向左平移个单位 左加
向右平移个单位 右减
向上平移个单位 上加
向下平移个单位 下减
2.二次函数解析式为一般式
平移前的解析式 移动方向 平移后的解析式 规律
向左平移个单位 左加
向右平移个单位 右减
向上平移个单位 上加
向下平移个单位 下减
知识点4 二次函数与方程、不等式的关系
二次函数 的图象
图象与轴有两个交点， 图象与轴有且只有一个交点 图象与轴无交点
一元二次方程 的根 方程有两个不相等的实数根或 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根
不等式 的解集 或（对应图象中轴上方部分的取值范围） 的实数 取任意实数
【温馨提示】（1） （2）方程的根或不等式 的解集常常转化为抛物线与直线的关系处理，通常借助数形结合思想来判断，如图
考点小练
1．已知函数.
（1） 将该函数化为顶点式为________________________；
（2） 抛物线的开口向__；
（3） 抛物线的对称轴为________________，
顶点坐标为________________；
（4） 当__________时，抛物线有最__值，为________；
（5） 当____________时，随的增大而增大；当____________时，随的增大而减小.
【答案】（1）
（2） 上
（3） 直线；
（4） ；小；
（5） ；
2．已知二次函数
（1） 若点在该二次函数的图象上,则的大小关系是______________________________________；
（2） 若，是该函数图象上的两点，则____.
【答案】（1）
（2） 2
3．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，观察图象，回答下列问题：
第3题图
（1） ________0,________0,________0,________0;
（2） ________0;
（3） ________;
（4） ________0;
（5） ________0;
（6） ________;
（7） ________0.
【答案】（1） ；；；
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
4．已知抛物线.
（1） 若该抛物线经过，，三点，则该抛物线的解析式为______________________；化为顶点式为________________________；
（2） 若该抛物线的顶点坐标为，且经过点，则该抛物线的解析式为________________________；
（3） 已知二次函数的最小值为3，对称轴为直线，且经过点，则二次函数的解析式为____________________；
（4） 若该抛物线与轴交于，两点，且过点，则该抛物线的解析式为__________________________.
【答案】（1） ；
（2）
（3）
（4）
5．已知抛物线.
（1） 将抛物线向右平移2个单位，得到的抛物线的解析式为________________________；
（2） 将抛物线向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为________________________；
（3） 将抛物线向左平移1个单位，向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为________________________.
【答案】（1）
（2）
（3）
6．抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后经过点，则________.
【答案】
7．已知抛物线.
（1） 将抛物线向左平移3个单位，得到的抛物线的解析式为______________________；
（2） 将抛物线向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为______________________；
（3） 将抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位得到的抛物线的解析式为________________________.
【答案】（1）
（2）
（3）
8．已知函数.
（1） 方程的解是____________________________；
（2） 该函数图象与轴的交点个数为________；
（3） 当满足________________________时，该函数值大于0；
（4） 方程的根为______________，不等式的解集为________________________.
【答案】（1） ，
（2）
（3） 或
（4） 或4；或
重难点突破
重难点1 二次函数的图象与性质
例1 [2024贵州]如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ）
例1题图
A. 二次函数图象的对称轴是直线
B. 二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是2
C. 当时，随的增大而减小
D. 二次函数图象与轴的交点的纵坐标是3
【答案】D
变式1-1．[2024凉山州]抛物线经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
变式1-2．[2024达州]抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
变式1-3．[2024连云港]已知抛物线，，是常数，的顶点为.小烨同学得出以下结论：；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的.其中一定正确的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
【答案】B
重难点2 二次函数图象与系数的关系
例2 [2024阿克苏一模改编]如图,二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象得出下列结论：且；；③关于的方程的两根分别为和1；.其中正确的结论有（ ）
例2题图
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
变式2-1．[2024泸州]已知二次函数（是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
变式2-2．[2024牡丹江]在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，，，与轴交点的纵坐标在之间，根据图象判断以下结论：；；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点为，则.其中正确的结论是（ ）
变式2-2题图
A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④
【答案】A
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 二次函数的图象与性质（6年3考）
1．[2022新疆7题]已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A. 抛物线开口向上
B. 抛物线的对称轴为直线
C. 抛物线的顶点坐标为
D. 当时，随的增大而增大
【答案】D
2．[2020新疆8题]二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
第2题图
A. B.
C. D.
【答案】D
3．[2023新疆9题]如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，.结合图象，判断下列结论：①当时，；是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，当时，的取值范围是.其中正确结论的个数是（ ）
第3题图
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
拓展训练
4．[2024广元改编]如图，已知抛物线过点，与轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①方程有两个不相等的实数根；；；.其中正确的结论有（ ）
第4题图
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
5．[2024镇江]对于二次函数（是常数），下列结论：①将这个函数的图象向下平移3个单位长度后得到的图象经过原点；②当时，这个函数的图象在函数图象的上方；③若，则当时，函数值随自变量增大而增大；④这个函数的最小值不大于3.其中正确的是____.（填写序号）
【答案】①②④
命题点2 二次函数解析式的确定
拓展训练
6．[2023上海]一个二次函数的顶点在轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是____________________________________.
【答案】（答案不唯一）
命题点3 二次函数图象的平移
拓展训练
7．[2024牡丹江]将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则________.
【答案】
8．[2024济宁]将抛物线向下平移个单位长度.若平移后得到的抛物线与轴有公共点，则的取值范围是 ____________.
【答案】

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