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第15讲 二次函数综合题
第1课时 二次函数性质综合题（2021.23）
重难点突破
重难点 二次函数最值问题
利用对称性、增减性判断函数值的大小 抛物线上任意一点到其对称轴的距离记为,则有:相等,值相等;时，越大,值越大,越小,值越小; 时,越大,值越小,越小，值越大
自变量区间范围内利用增减性求最值 定轴定区间 若（,均为定值），先判断对称轴在不在区间内. ①当区间在对称轴左侧（右侧），在区间的端点处取最值，当抛物线的开口向上时，离对称轴越近的点函数值越小;当抛物线的开口向下时，离对称轴越近的点函数值越大； ②当区间包含对称轴时，在对称轴处和区间的一个端点处（离对称轴远的端点）取最值
定轴动区间 当区间在对称轴的左侧时 当区间在对称轴的右侧时 当区间包含对称轴，且左距大于右距时 当区间包含对称轴，且左距小于右距时
动轴定区间 当对称轴在区间的右侧时 当对称轴在区间的左侧时 当区间包含对称轴，且左距大于右距时 当区间包含对称轴，且左距小于右距
例 [2024威海改编]已知抛物线与轴交点的坐标分别为，，且.
（1） 若抛物线与轴交点的坐标分别为，，且，试判断下列每组数据的大小.（填“ ”“”或“ ”）
________；
________；
________.
（2） 若，，点，均在抛物线上，试比较，的大小.
（3） 当时，最大值与最小值的差为，求的值.
【答案】（1） ；；
（2） 解： 抛物线的对称轴为直线，，，，， 抛物线开口向上，到对称轴的距离大于3到对称轴的距离，.
（3） 解：抛物线的顶点坐标为，，对称轴为直线，当时，；当时，.
①当在取得最大值，在顶点取得最小值时，,且,则,此时有，解得（舍去）或；
②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，,且,则,此时有，解得（舍去）或；
③当在取得最大值，取得最小值时，,则，，解得（舍去）.综上所述，的值为或.
【解析】
（1） 【思路点拨】将原抛物线向上平移1个单位，得到新的抛物线，标注新、旧抛物线与 轴的交点坐标，通过变换进行比较即可.
（2） 【思路点拨】利用抛物线与 轴的交点坐标，判断出对称轴的范围，利用点到对称轴的距离，结合函数的增减性，判断即可.
（3） 【思路点拨】自变量的取值范围固定，一次项系数不确定，利用轴动区间定讨论最值位置，进而求解.
新疆6年中考真题及拓展
1．[2021新疆23题]已知抛物线．
（1） 求抛物线的对称轴；
（2） 把抛物线沿轴向下平移个单位，若抛物线的顶点落在轴上，求的值；
（3） 设点，在抛物线上，若，求的取值范围．
【答案】（1） 解：抛物线的对称轴为直线.
（2） 抛物线沿轴向下平移个单位，可得
.
抛物线的顶点落在轴上，
，
解得或．
（3） 抛物线的对称轴为直线，
当和时，函数值相等；
当时，若,则;
当时，若，则,不符合题意,舍去，
的取值范围为．
拓展训练
2．[2024广西]课堂上，数学老师组织同学们围绕关于的二次函数的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
（1） 老师给出，求二次函数的最小值.
① 请你写出对应的函数解析式；
② 求当取何值时，函数有最小值，并写出此时的值.
【举一反三】老师给出更多的值，同学们即求出对应的函数在取何值时，的最小值.记录结果，并整理成如表：
… 0 2 4 …
… * 2 0 …
的最小值 … * …
注：*为②的计算结果.
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.”
甲同学：“我发现，老师给了值后，我们只要取，就能得到的最小值.”
乙同学：“我发现，的最小值随值的变化而变化，当由小变大时，的最小值先增大后减小，所以我猜想的最小值中存在最大值.”
（2） 请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理.
（3） 你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由.
【答案】① 解：，；
② ，
当时，取得最小值，为.
（2） 甲同学的说法合理，理由如下：
， 二次函数图象的开口向上，二次函数有最小值，当时，取得最小值，
故甲同学的说法合理.
（3） 乙同学的猜想正确
时，.
，故有最大值，
当时，取得最大值，的最大值为.
3．[2024浙江]已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线.
（1） 求二次函数的解析式；
（2） 若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值；
（3） 当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围.
【答案】
（1） 解： 二次函数，
抛物线的对称轴为直线，，
又 图象经过点，，，
二次函数的解析式为.
（2） 点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度， 平移后的点为.
又在的图象上，
，
解得或（舍去），.
（3） ,当 时，
最大值与最小值的差为，
解得（不符合题意，舍去）.当时，最大值与最小值的差为，符合题意.
当时，最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意.
综上所述，的取值范围为.
第2课时 二次函数与几何综合题（6年3考）
重难点突破
类型1 线段问题
例1 已知抛物线与轴交于,两点,与轴交于点.
（1） 求抛物线的解析式;
（2） 如图1,设抛物线的顶点为,若是抛物线对称轴上一点,且,求点的坐标;
例1题图1
（3） 如图2,设抛物线的顶点为,若是轴上一点,当的值最小时,求点的坐标;
例1题图2
（4） 如图3,连接,若是第一象限内抛物线上一动点,过点作轴交于点,求线段的最大值.
例1题图3
【答案】（1） 解:抛物线经过点,, 将,代入,得，解得， 抛物线的解析式为.
（2） 解:易得抛物线的对称轴为直线 点在抛物线的对称轴上, 设点的坐标为，令,则,解得或,，,.,,解得, 点的坐标为.
（3） 解:如解图,作点关于轴的对称点,连接,与轴的交点即为的值最小时点的位置.
由（1）可知抛物线的解析式为, 抛物线的顶点坐标为, 由对称的性质得, 设直线的解析式为,
例1题解图
将代入，解得, 直线的解析式为,令,解得. 点的坐标为.
（4） 解:由,得,直线的解析式为,
设点的坐标为,则点的
坐标为，
.， 当
时,取得最大值,最大值为.
【解析】
（2） 【思路点拨】设点 的坐标，利用两点之间的距离，表示出线段长，利用等量关系求解.
（3） 【思路点拨】将军饮马问题，作点 的对称点，当，，三点共线时，线段和取得最小值.
（4） 【思路点拨】设点 的坐标，利用两点之间的距离，表示出 的长，利用二次函数的性质即可求解.
类型2 面积问题
例2 如图1,二次函数的图象与轴交于,两点,与轴交于点,连接.
例2题图1
（1） 求的面积;
（2） 如图2,是直线下方抛物线上一点（点 不与点,重合）,连接,,若 ,求点的坐标;
例2题图2
（3） 如图3,是直线下方抛物线上一点（点 不与点,重合）,当点运动到什么位置时,四边形的面积最大 求出此时点的坐标和四边形面积的最大值;
例2题图3
（4） 如图4,是线段上的动点（点 不与点,重合）,过点作交于点,连接,求面积的最大值和此时点的坐标.
例2题图4
【答案】
（1） 解:令,则，
解得,，
,，
.
令,则，
，，.
（2） 解：，，
，.
又 点为直线下方抛物线上一点，
.将代入,得,，
点的坐标为.
（3） 解：由（1）知,,,，
又由,易得直线的解析式为.
如图3，过点作轴，交直线于点.
设,则,
,
,
.，, 当时,四边形
的面积取得最大值,最大值为，此时点的坐标为.
（4） 解：设，,，
,,，.
，，.
,
.，, 当时,的面积取得最大值,最大值为，此时点的坐标为.
【解析】
（1） 【思路点拨】利用三角形面积公式求解即可.【思路点拨】 与 有公共边，由三角形面积公式，结合同底等高的三角形面积相等求解.
（3） 【思路点拨】利用分割法，将四边形 分割为 与，则，为定值，要求 的最大值，即求 的最大值，过点 作 轴的平行线，利用面积公式，结合二次函数性质求解即可.
（4） 【思路点拨】设点 的横坐标为,由 和 等高,,利用面积比等于线段比,从而用含 的式子表示出 的面积,再结合二次函数的增减性求解.
类型3 特殊图形存在性问题
例3 已知抛物线与轴交于,两点（点 在点 的左侧）,与轴交于点,对称轴为直线,点为抛物线的顶点.
（1） 如图1,若是抛物线对称轴上一点,当是等腰三角形时,求出点的坐标;
例3题图1
（2） 如图2,连接,已知是线段的中点,点从原点出发,在轴的正半轴上以每秒1个单位长度的速度向上匀速运动,设运动时间为秒,当为何值时,是以为斜边的直角三角形 求出此时点的坐标;
例3题图2
（3） 如图3,若是抛物线上一点,点是轴上一点,当以点,,,为顶点的四边形是平行四边形时,求出点的坐标;
例3题图3
（4） 如图4,若是轴上一点,是平面内任意一点,当以点,,,为顶点的四边形是矩形时,求出点的坐标.
例3题图4
【答案】
（1） 解:,
抛物线对称轴为直线,点的坐标为.
点在抛物线对称轴上， 设点的坐标为，
令,则,解得,.
点在点左侧,,,
,,.
是等腰三角形， 分三种情况讨论：
①当时,即 ,解得,此时点的坐标为;②当时,即,解得或（舍去），此时点的坐标为;③当时,即,解得,,此时点的坐标为或.综上所述,点的坐标为或或或.
（2） 解：由（1）知，令,得,是
的中点,， 点在轴正半轴上， 设点
P的坐标为,,,
,是以
为斜边的直角三角形，,即，解得或， 点的坐标为或.
（3） 解：如解图,由（1）知,①当为平行四边形的边时,若点在轴上方,满足，,
例3题解图
当时,,解得,,即,此时,若点在轴下方，,,故不存在;②当为平行四边形的对角线时,满足,.同①得,即点,重合,此时.综上所述,点的坐标为或.
（4） 解:由（2）知,,,
设点的坐标为,
,,，
①当为矩形的边时,显然 ,
则,
即,
解得, 点的坐标为;
②当为矩形的对角线时,显然 ,
此时点与原点重合,点的坐标为.
综上所述,点的坐标为或.
【解析】
（1） 【思路点拨】当 是等腰三角形时,分,,三种情况讨论,设出点 的坐标,分别表示出 的三边长,根据等腰三角形的性质列出等量关系求解即可.
（2） 【思路点拨】先根据中点坐标公式求出点 的坐标,再根据题意设出点 的坐标，表示出,,后利用勾股定理列方程求解即可.
（3） 【思路点拨】分 为平行四边形的边和 为平行四边形的对角线两种情况进行讨论,分别计算求出点 的坐标.
（4） 【思路点拨】分 为矩形的边和 为矩形的对角线两种情况进行讨论,分别计算求出点 的坐标.
类型4 角度、相似三角形问题
例4 已知抛物线与轴交于,两点（点 在点 左侧）,与轴交于点,对称轴为直线.
（1） 如图1,若点是抛物线对称轴上一点,当 时,求点的坐标;
例4题图1
（2） 如图2,若点是第一象限内抛物线上一点,过点作轴于点,当以点,,为顶点的三角形与相似时,求出点的横坐标;
例4题图2
（3） 如图3,若点是第一象限内抛物线上一点,过点作轴于点,连接,,当时,求直线的解析式.
例4题图3
【答案】
（1） 解:根据题意可得抛物线的对称轴为直线,
点是抛物线对称轴上的点，
点的横坐标为.令,则，解得,，
点在点左侧,,.令,则,,, .如图1,连接, ， ,,.
（2） 解：如解图,轴于点， ,
要使与相似，只需有一个锐角相等.
①当时,，
由（1）知,，，，
设直线的解析式为，
把,代入，得，解得.
直线的解析式为， 直线的解析式为，
联立,解得或（舍去），
点的横坐标为;
例4题解图
②当时，,
,.设点的坐标为,则点的坐标为，,,,，解得或（舍去）， 点的横坐标为.综上所述,点的横坐标为或.
（3） 解:如解图,设与轴交于点，
例4题解图
轴，
.
，
.
，
，
.
设,则，，
在中,由勾股定理得，
,解得,
.
设所在直线的解析式为，
把,代入，
得,解得,
直线的解析式为.
【解析】
（1） 【思路点拨】根据 可得 ，从而求得 的度数,后求解即可.
（2） 【思路点拨】分两种情况讨论：和 分别求解即可.
（3） 【思路点拨】通过角度关系和勾股定理求得 与 轴的交点坐标,再利用待定系数法求解即可.
新疆6年中考真题及拓展
1．[2020新疆23题]如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线的顶点是，将绕点顺时针旋转 后得到，点恰好在抛物线上，与抛物线的对称轴交于点.
第1题图
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 是线段上一动点，且不与点，重合，过点作平行于轴的直线，与的边分别交于，两点，将以直线为对称轴翻折，得到，设点的纵坐标为.
① 当在内部时，求的取值范围；
② 是否存在点，使？若存在，求出满足条件的值；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1） 解： 抛物线的顶点是，
可设抛物线的解析式为
.
绕点顺时针旋转 后得到，
.
把代入，解得，
抛物线的解析式为，
即.
（2） ① ，
直线的解析式为.
，.
，，，
由题意,得，
.
② 存在点,使.
易得直线的解析式为，直线的解析式为，不妨设点在点的左边，
当点在轴上及轴上方时，点在上，点在上，,，，
，
.
（ⅰ）当点在点上方时，,,
.
,,
,
解得（舍去），.
（ⅱ）当点在点下方，且点在轴或轴上方时，,，
.
,,
此时方程无解;
当点在轴下方时，,点在上，点在上，,，,
，,.
同理可得，
整理，得,
解得（舍去）,.
综上所述，满足条件的的值为或.
2．[2019新疆23题]如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点.
第2题图
（1） 求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2） 将（1）中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到新抛物线.若新抛物线的顶点在内，求的取值范围；
（3） 点为线段上一动点（点 不与点，重合），过点作轴的垂线交（1）中的抛物线于点，当与相似时，求的面积.
【答案】
（1） 解：设抛物线的解析式为
，
将代入，得，解得，
故抛物线的解析式为.
,
顶点的坐标为，.
（2） 抛物线向下平移个单位长度，再向左平移
个单位长度，得到新抛物线的顶点，
易得直线的解析式为，
直线的解析式为,
将点的坐标代入直线的解析式，
得，解得，
将点的坐标代入直线的解析式，
得，解得,
的取值范围为.
（3） 如解图，设直线交轴于点,
第2题解图
由题意，得， .
轴， ,
.
易得，，
设，，
则，.
①当时，
，即，
解得或（舍去），
,
;
②当时，
,即,
解得或（舍去），
,
.
综上所述，的面积为或.
3．[2023新疆23题]【建立模型】
（1） 如图1，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，.求证：；
第3题图
【类比迁移】
（2） 如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转 得到，直线交轴于点.
① 求点的坐标；
② 求直线的解析式；
【拓展延伸】
（3） 如图3，抛物线与轴交于，两点（点 在点 的左侧），与轴交于点，已知点，连接.抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标.
【答案】
（1） 证明:，,,
，
， ,
.
在和中，,
.
（2） ① 解：如解图1，过点作轴于点，根据题意，得.
由（1）同理得，，
，.
易得一次函数的图象与轴交点为,与轴交点为,
，,
点的坐标为.
第3题解图1
② 设直线的解析式为，
将,代入中，
得,解得,
直线的解析式为.
（3） 解:存在.对于，
当时，，
，，
，
.
,.
①如解图2，当点在上方时，过点作交的延长线于点，则.
第3题解图2
过点作轴,过点,分别作于点，于点,
易得，
.
轴,
,
,
设，，则，,
点的坐标为.
把代入中，得
,
解得（舍去），,
点的横坐标是.
②如解图3，当点在下方时，过点作交的延长线于点，则.
第3题解图3
过点作轴，交轴于点，过点作于点，
易得，
.
由题可知
，
设,,则,，
点的坐标为，
把代入中,得
,
解得（舍去），,
点的横坐标是.
综上所述，点的横坐标是或.
拓展训练
4．[2024甘肃省卷]如图1，抛物线交轴于，两点，顶点为，点为的中点.
第4题图
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 过点作，垂足为，交抛物线于点.求线段的长；
（3） 点为线段上一动点（点除外），在右侧作平行四边形.
① 如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标；
② 如图3，连接，，求的最小值.
【答案】
（1） 解：由题意，得，
将点的坐标代入上式，得，
解得， 抛物线的解析式为.
（2） 由（1）知，，由中点坐标公式得点，当时，，则.
（3） ① 由（2）知，，
当时，，
则（不合题意的值已舍去），
即点，.
② 方法一：
设点，则点，
如解图1，过点作直线轴，作点关于直线的对称点，连接,，
第4题解图
则，当，，共线时，为最小，
由，的坐标得，直线的表达式为，
将点的坐标代入上式得，
解得，则点，点，
则的最小值为；
方法二：如解图2，作点关于轴的对称点，连接，，，
则，.
为的中点，，.
，，.
又，，
则，则，当，，共线时，
为最小，
则，
即的最小值为.第15讲 二次函数综合题
第1课时 二次函数性质综合题（2021.23）
重难点突破
重难点 二次函数最值问题
利用对称性、增减性判断函数值的大小 抛物线上任意一点到其对称轴的距离记为,则有:相等,值相等;时，越大,值越大,越小,值越小; 时,越大,值越小,越小，值越大
自变量区间范围内利用增减性求最值 定轴定区间 若（,均为定值），先判断对称轴在不在区间内. ①当区间在对称轴左侧（右侧），在区间的端点处取最值，当抛物线的开口向上时，离对称轴越近的点函数值越小;当抛物线的开口向下时，离对称轴越近的点函数值越大； ②当区间包含对称轴时，在对称轴处和区间的一个端点处（离对称轴远的端点）取最值
定轴动区间 当区间在对称轴的左侧时 当区间在对称轴的右侧时 当区间包含对称轴，且左距大于右距时 当区间包含对称轴，且左距小于右距时
动轴定区间 当对称轴在区间的右侧时 当对称轴在区间的左侧时 当区间包含对称轴，且左距大于右距时 当区间包含对称轴，且左距小于右距
例 [2024威海改编]已知抛物线与轴交点的坐标分别为，，且.
（1） 若抛物线与轴交点的坐标分别为，，且，试判断下列每组数据的大小.（填“ ”“”或“ ”）
________；
________；
________.
（2） 若，，点，均在抛物线上，试比较，的大小.
（3） 当时，最大值与最小值的差为，求的值.
【解析】
（1） 【思路点拨】将原抛物线向上平移1个单位，得到新的抛物线，标注新、旧抛物线与 轴的交点坐标，通过变换进行比较即可.
（2） 【思路点拨】利用抛物线与 轴的交点坐标，判断出对称轴的范围，利用点到对称轴的距离，结合函数的增减性，判断即可.
（3） 【思路点拨】自变量的取值范围固定，一次项系数不确定，利用轴动区间定讨论最值位置，进而求解.
新疆6年中考真题及拓展
1．[2021新疆23题]已知抛物线．
（1） 求抛物线的对称轴；
（2） 把抛物线沿轴向下平移个单位，若抛物线的顶点落在轴上，求的值；
（3） 设点，在抛物线上，若，求的取值范围．
拓展训练
2．[2024广西]课堂上，数学老师组织同学们围绕关于的二次函数的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
（1） 老师给出，求二次函数的最小值.
① 请你写出对应的函数解析式；
② 求当取何值时，函数有最小值，并写出此时的值.
【举一反三】老师给出更多的值，同学们即求出对应的函数在取何值时，的最小值.记录结果，并整理成如表：
… 0 2 4 …
… * 2 0 …
的最小值 … * …
注：*为②的计算结果.
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.”
甲同学：“我发现，老师给了值后，我们只要取，就能得到的最小值.”
乙同学：“我发现，的最小值随值的变化而变化，当由小变大时，的最小值先增大后减小，所以我猜想的最小值中存在最大值.”
（2） 请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理.
（3） 你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由.
3．[2024浙江]已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线.
（1） 求二次函数的解析式；
（2） 若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值；
（3） 当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围.
第2课时 二次函数与几何综合题（6年3考）
重难点突破
类型1 线段问题
例1 已知抛物线与轴交于,两点,与轴交于点.
（1） 求抛物线的解析式;
（2） 如图1,设抛物线的顶点为,若是抛物线对称轴上一点,且,求点的坐标;
例1题图1
（3） 如图2,设抛物线的顶点为,若是轴上一点,当的值最小时,求点的坐标;
例1题图2
（4） 如图3,连接,若是第一象限内抛物线上一动点,过点作轴交于点,求线段的最大值.
例1题图3
【解析】
（2） 【思路点拨】设点 的坐标，利用两点之间的距离，表示出线段长，利用等量关系求解.
（3） 【思路点拨】将军饮马问题，作点 的对称点，当，，三点共线时，线段和取得最小值.
（4） 【思路点拨】设点 的坐标，利用两点之间的距离，表示出 的长，利用二次函数的性质即可求解.
类型2 面积问题
例2 如图1,二次函数的图象与轴交于,两点,与轴交于点,连接.
例2题图1
（1） 求的面积;
（2） 如图2,是直线下方抛物线上一点（点 不与点,重合）,连接,,若 ,求点的坐标;
例2题图2
（3） 如图3,是直线下方抛物线上一点（点 不与点,重合）,当点运动到什么位置时,四边形的面积最大 求出此时点的坐标和四边形面积的最大值;
例2题图3
（4） 如图4,是线段上的动点（点 不与点,重合）,过点作交于点,连接,求面积的最大值和此时点的坐标.
例2题图4
【解析】
（1） 【思路点拨】利用三角形面积公式求解即可.【思路点拨】 与 有公共边，由三角形面积公式，结合同底等高的三角形面积相等求解.
（3） 【思路点拨】利用分割法，将四边形 分割为 与，则，为定值，要求 的最大值，即求 的最大值，过点 作 轴的平行线，利用面积公式，结合二次函数性质求解即可.
（4） 【思路点拨】设点 的横坐标为,由 和 等高,,利用面积比等于线段比,从而用含 的式子表示出 的面积,再结合二次函数的增减性求解.
类型3 特殊图形存在性问题
例3 已知抛物线与轴交于,两点（点 在点 的左侧）,与轴交于点,对称轴为直线,点为抛物线的顶点.
（1） 如图1,若是抛物线对称轴上一点,当是等腰三角形时,求出点的坐标;
例3题图1
（2） 如图2,连接,已知是线段的中点,点从原点出发,在轴的正半轴上以每秒1个单位长度的速度向上匀速运动,设运动时间为秒,当为何值时,是以为斜边的直角三角形 求出此时点的坐标;
例3题图2
（3） 如图3,若是抛物线上一点,点是轴上一点,当以点,,,为顶点的四边形是平行四边形时,求出点的坐标;
例3题图3
（4） 如图4,若是轴上一点,是平面内任意一点,当以点,,,为顶点的四边形是矩形时,求出点的坐标.
例3题图4
【解析】
（1） 【思路点拨】当 是等腰三角形时,分,,三种情况讨论,设出点 的坐标,分别表示出 的三边长,根据等腰三角形的性质列出等量关系求解即可.
（2） 【思路点拨】先根据中点坐标公式求出点 的坐标,再根据题意设出点 的坐标，表示出,,后利用勾股定理列方程求解即可.
（3） 【思路点拨】分 为平行四边形的边和 为平行四边形的对角线两种情况进行讨论,分别计算求出点 的坐标.
（4） 【思路点拨】分 为矩形的边和 为矩形的对角线两种情况进行讨论,分别计算求出点 的坐标.
类型4 角度、相似三角形问题
例4 已知抛物线与轴交于,两点（点 在点 左侧）,与轴交于点,对称轴为直线.
（1） 如图1,若点是抛物线对称轴上一点,当 时,求点的坐标;
例4题图1
（2） 如图2,若点是第一象限内抛物线上一点,过点作轴于点,当以点,,为顶点的三角形与相似时,求出点的横坐标;
例4题图2
（3） 如图3,若点是第一象限内抛物线上一点,过点作轴于点,连接,,当时,求直线的解析式.
例4题图3
可得 ，从而求得 的度数,后求解即可.
（2） 【思路点拨】分两种情况讨论：和 分别求解即可.
（3） 【思路点拨】通过角度关系和勾股定理求得 与 轴的交点坐标,再利用待定系数法求解即可.
新疆6年中考真题及拓展
1．[2020新疆23题]如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线的顶点是，将绕点顺时针旋转 后得到，点恰好在抛物线上，与抛物线的对称轴交于点.
第1题图
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 是线段上一动点，且不与点，重合，过点作平行于轴的直线，与的边分别交于，两点，将以直线为对称轴翻折，得到，设点的纵坐标为.
① 当在内部时，求的取值范围；
② 是否存在点，使？若存在，求出满足条件的值；若不存在，请说明理由.
2．[2019新疆23题]如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点.
第2题图
（1） 求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2） 将（1）中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到新抛物线.若新抛物线的顶点在内，求的取值范围；
（3） 点为线段上一动点（点 不与点，重合），过点作轴的垂线交（1）中的抛物线于点，当与相似时，求的面积.
3．[2023新疆23题]【建立模型】
（1） 如图1，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，.求证：；
第3题图
【类比迁移】
（2） 如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转 得到，直线交轴于点.
① 求点的坐标；
② 求直线的解析式；
【拓展延伸】
（3） 如图3，抛物线与轴交于，两点（点 在点 的左侧），与轴交于点，已知点，连接.抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标.
拓展训练
4．[2024甘肃省卷]如图1，抛物线交轴于，两点，顶点为，点为的中点.
第4题图
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 过点作，垂足为，交抛物线于点.求线段的长；
（3） 点为线段上一动点（点除外），在右侧作平行四边形.
① 如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标；
② 如图3，连接，，求的最小值.

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