资源简介

第16讲 二次函数的实际应用
知识精讲练
会求二次函数的最大值或最小值,并能确定相应自变量的值（新增）,能解决相应的实际问题.（改动）
知识点 建立二次函数模型解决实际问题
常见类型 关键步骤 【温馨提示】 （1）求函数的最值时，要注意实际问题中自变量的取值范围对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内，则最值一般在自变量取值的端点处取得； （2）建立平面直角坐标系的标准是易于求二次函数的解析式
抛物线形问题 （1）建立方便求解析式的平面直角坐标系； （2）找到图象上三个点的坐标； （3）用待定系数法求二次函数的解析式
销售利润问题 （1）理清各个量之间的关系，找出等量关系求得解析式； （2）根据要求确定函数的最值或建立方程求解
图形面积问题 （1）利用几何知识用变量表示出图形的面积； （2）根据要求确定函数的最值或建立方程求解
重难点突破
重难点1 利润问题
例1 [2024济宁]某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量（单位：件）与销售单价（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.
例1题图
（1） 求这段时间内与之间的函数解析式；
（2） 在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】
（1） 解：设一次函数的解析式为
，
将，代入
，
得，
解得，
所求函数解析式为.
（2） 解：由题意，得，
.
商场获得的利润为，
又，，
当时，利润最大，最大值为7920.
答：当销售单价为116元时，商场获得利润最大，最大利润是7920元.
【解析】
例1 （1）设一次函数解析式，利用待定系数法求解即可.（2）根据题意，确定取值范围；②利用总利润单件利润×件数，求得利润与件数之间的函数解析式；③结合的取值范围与函数性质求解.
变式．[2024贵州]某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值.
销售单价 元 … 12 14 16 18 20 …
销售量 盒 … 56 52 48 44 40 …
（1） 求与的函数解析式；
（2） 糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3） 若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求的值.
【答案】
（1） 解：设，
将,代入，得，解得，
与的函数解析式为.
（2） 设日销售利润为元.
.
答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元.
（3） 的值为2.（详解见P181）
【解析】
（3） 解：. 最大利润为392元，,整理,得,即，解得，.当时，， 每盒糖果的利润（元），舍去.的值为2.
重难点2 抛物线型问题
例2 [2024陕西]一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以为原点，以直线为轴，以桥塔所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点到的距离.（桥塔的粗细忽略不计）
例2题图
（1） 求缆索所在抛物线的函数解析式；
（2） 点在缆索上，，且，，求的长.
【答案】
（1） 解：，.
，缆索的最低点到的距离，
缆索所在抛物线的顶点的坐标为，
故可设抛物线为.
将代入，
得，解得，
缆索所在抛物线的解析式为.
（2） 的长为.（详解见P181）
【解析】
（2） 解： 缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，又 缆索所在抛物线为， 缆索所在抛物线为.令，，或.又，，的长为.（1）确定点，的坐标，设二次函数解析式，利用待定系数法求解；（2）利用与之间的关系，确定的解析式，将处纵坐标代入求解.
重难点3 面积问题
例3 [2024乌鲁木齐新市区三模]某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）.若设花园的边长为米，花园的面积为平方米.
例3题图
（1） 求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2） 满足条件的花园面积能否达到150平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由；
（3） 当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？
【答案】
（1） 解：由题意可知为，
则.
矩形的面积，
，
自变量的取值范围为.
（2） 能达到.由题意知，当时，，解得，（不合题意，舍去），
故时，花园面积能达到150平方米.
（3） 当是15时，矩形场地面积最大，最大面积是187.5平方米.（详解见P181）
【解析】
（3） 解：，,当时，随的增大而增大， 当时，取最大值，最大值是.答：当是15时，矩形场地面积最大，最大面积是187.5平方米.
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 利润问题（2024.21）
1．[2024新疆21题12分]某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量（吨）的函数解析式为：；成本（万元）与销售量（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中，是其顶点.
第1题图
（1） 求出成本关于销售量的函数解析式；
（2） 当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
（3） 当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润 销售额-成本）
【答案】（1） 解： 顶点为，， 可设抛物线为.又 抛物线过点，，， 成本关于销售量的函数解析式为.
（2） 由题意知，当销售量时，成本最低为，
又 销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额与销售量的函数解析式为，
当时，销售额为，
此时利润为（万元）.
答：当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元.
（3） 由题意知，利润.
，，
当时，利润取最大值，最大值为7.
答：当销售量是3吨时，可获得最大利润，最大利润是7万元.
命题点2 面积问题（2022.14）
2．[2022新疆14题]如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为__________．
第2题图
【答案】
命题点3 抛物线型问题
拓展训练
3．[2024青海]在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处.小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分.
第3题图
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 求抛物线最高点的坐标；
（3） 斜坡上点处有一棵树，点是上靠近点的一个三等分点，小球恰好越过树的顶端，求这棵树的高度.
【答案】
（1） 解： 点是抛物线
上的一点，
，
，，
抛物线的解析式为.
（2） 抛物线为，
抛物线最高点的坐标为，.
（3） 这棵树的高度是2.（详解见P181）
【解析】
（3） 解：如解图，过点，分别作轴的垂线，垂足分别是，，， ，，. 点是的三等分点，.，，.，， 点的横坐标为1.将代入中，得， 点的坐标为，，.答：这棵树的高度是2.
第3题解图第16讲 二次函数的实际应用
知识精讲练
会求二次函数的最大值或最小值,并能确定相应自变量的值（新增）,能解决相应的实际问题.（改动）
知识点 建立二次函数模型解决实际问题
常见类型 关键步骤 【温馨提示】 （1）求函数的最值时，要注意实际问题中自变量的取值范围对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内，则最值一般在自变量取值的端点处取得； （2）建立平面直角坐标系的标准是易于求二次函数的解析式
抛物线形问题 （1）建立方便求解析式的平面直角坐标系； （2）找到图象上三个点的坐标； （3）用待定系数法求二次函数的解析式
销售利润问题 （1）理清各个量之间的关系，找出等量关系求得解析式； （2）根据要求确定函数的最值或建立方程求解
图形面积问题 （1）利用几何知识用变量表示出图形的面积； （2）根据要求确定函数的最值或建立方程求解
重难点突破
重难点1 利润问题
例1 [2024济宁]某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量（单位：件）与销售单价（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.
例1题图
（1） 求这段时间内与之间的函数解析式；
（2） 在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
【解析】
例1 （1）设一次函数解析式，利用待定系数法求解即可.（2）根据题意，确定取值范围；②利用总利润单件利润×件数，求得利润与件数之间的函数解析式；③结合的取值范围与函数性质求解.
变式．[2024贵州]某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值.
销售单价 元 … 12 14 16 18 20 …
销售量 盒 … 56 52 48 44 40 …
（1） 求与的函数解析式；
（2） 糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3） 若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求的值.
【解析】
（3） 解：. 最大利润为392元，,整理,得,即，解得，.当时，， 每盒糖果的利润（元），舍去.的值为2.
重难点2 抛物线型问题
例2 [2024陕西]一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以为原点，以直线为轴，以桥塔所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点到的距离.（桥塔的粗细忽略不计）
例2题图
（1） 求缆索所在抛物线的函数解析式；
（2） 点在缆索上，，且，，求的长.
【解析】
（2） 解： 缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，又 缆索所在抛物线为， 缆索所在抛物线为.令，，或.又，，的长为.（1）确定点，的坐标，设二次函数解析式，利用待定系数法求解；（2）利用与之间的关系，确定的解析式，将处纵坐标代入求解.
重难点3 面积问题
例3 [2024乌鲁木齐新市区三模]某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）.若设花园的边长为米，花园的面积为平方米.
例3题图
（1） 求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2） 满足条件的花园面积能否达到150平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由；
（3） 当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？
【解析】
（3） 解：，,当时，随的增大而增大， 当时，取最大值，最大值是.答：当是15时，矩形场地面积最大，最大面积是187.5平方米.
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 利润问题（2024.21）
1．[2024新疆21题12分]某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量（吨）的函数解析式为：；成本（万元）与销售量（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中，是其顶点.
第1题图
（1） 求出成本关于销售量的函数解析式；
（2） 当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
（3） 当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润 销售额-成本）
命题点2 面积问题（2022.14）
2．[2022新疆14题]如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为__________．
第2题图
命题点3 抛物线型问题
拓展训练
3．[2024青海]在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处.小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分.
第3题图
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 求抛物线最高点的坐标；
（3） 斜坡上点处有一棵树，点是上靠近点的一个三等分点，小球恰好越过树的顶端，求这棵树的高度.
【解析】
（3） 解：如解图，过点，分别作轴的垂线，垂足分别是，，， ，，. 点是的三等分点，.，，.，， 点的横坐标为1.将代入中，得， 点的坐标为，，.答：这棵树的高度是2.
第3题解图

展开更多......

收起↑