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第19讲 等腰三角形与直角三角形
知识精讲练
①理解（改动）等腰三角形的概念. ②理解（改动）直角三角形的概念.
知识点1 等腰三角形
性质 （1）两腰相等,两底角①相等（等边对等角,等角对等边）; （2）等腰三角形的顶角②平分线、③底边上的中线④底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）; （3）等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴,其对称轴是⑤顶角平分线（或底边上的中线或底边上的高）所在的直线; （4）拓展:两腰上的高相等;两腰上的中线相等;两底角的平分线相等;顶角的外角平分线与底边平行
判定 （1）有两边相等的三角形是等腰三角形（概念）; （2）有⑥两个角相等的三角形是等腰三角形
面积 =⑦ （为底边长,为底边上的高）
知识点2 等边三角形
性质 （1）等边三角形的三条边、三个内角都相等,并且每一个角都等于⑧60; （2）等边三角形三条角平分线的交点、三条高的交点、三条中线的交点重合; （3）等边三角形是轴对称图形,有⑨三条对称轴
判定 （1）三边都相等的三角形是等边三角形; （2）三个角都相等的三角形是等边三角形; （3）有一个角等于⑩60°的等腰三角形是等边三角形
面积 （为三角形的边长,为任意边上的高,且）
知识点3 直角三角形
性质 （1）两锐角之和等于 ; （2）斜边上的中线等于斜边的 一半; 角所对的直角边等于斜边的 一半; （4）若有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于 ； （5）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么
判定 （1）有一个角为⑩90°的三角形是直角三角形; （2）有两个角四互余的三角形是直角三角形; （3）勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长满足 ,那么这个三角形是直角三角形 （4）一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形（使用时需先证明）
面积
知识点4 等腰直角三角形
性质 （1）具有等腰三角形、直角三角形的一切性质; （2）两直角边相等; （3）两个锐角相等,且都等于
判定 （1）顶角为的等腰三角形是等腰直角三角形; （2）两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形; （3）有一个角为的直角三角形是等腰直角三角形; （4）有两个角都为的三角形是等腰直角三角形
面积
考点小练
1．如图，在中，，为边上的中线.
第1题图
（1） 若的一个内角为 ，则另外两个内角的度数为________________________________________________.
（2） 若，则①的长为________；
②的面积为__________.
（3） 若 ，则
① 的形状为____________；
② __________ ；
③ 的长为________；
④ 的面积为__________.
【答案】（1） ， 或 ，
（2） ；
（3） ① 等边三角形
②
③
④
2．如图,在中, ,,点是边上的一个动点，连接.
第2题图
（1） 若 ,则的度数为____________；
（2） 若 ,则的长为__________；
（3） 若,则的面积为__________；
（4） 若,,则的长为____________；
（5） 若为的中点,,则的周长为__________.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
3．如图，在 中， ， ， 为 边上的中线， 为 边上的中线，若 ，则 的长为（ ）
第3题图
A. B. C. D. 3
【答案】C
重难点突破
重难点1 等腰三角形的相关计算
例1 [2024内江]如图，在中， ，，，则的度数为____________.
例1题图
【答案】
变式1-1．[2024自贡]如图，等边钢架的立柱于点，长.现将钢架立柱缩短成， .则新钢架减少用钢（ ）
变式1-1题图
A. B.
C. D.
【答案】D
变式1-2．[2024浙江]如图，，分别是边，的中点，连接，.若，，则的长为________.
变式1-2题图
【答案】
重难点2 直角三角形的相关计算
例2 [2024南充]如图，在中， ， ，，平分交于点，点为边上一点，则线段长度的最小值为（ ）
例2题图
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
解决线段最小值问题，一般通过①三点共线;②垂线段最短;③两点之间，线段最短;④隐形圆来解决.
变式2-1．[2024安徽]如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）
变式2-1题图
A. B. C. D.
【答案】B
变式2-2．[2024乌鲁木齐二模]如图，在中， ，，，点在边上，，，垂足为，与交于点，则的长是________.
变式2-2题图
【答案】
变式2-3．在中， ， ，，是直线上的动点，若是等腰三角形，则的长度是________________________.
【答案】或或9
变式2-4．如图，在中， ， ，，点是边上一动点，点在边上，且，则的最小值为____________.
变式2-4题图
【答案】
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 等腰三角形的相关计算（2023.13）
1．[2023新疆13题]如图，在中，若，， ，则__________ .
第1题图
【答案】
拓展训练
2．[2023锦州]如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接.若， ，则的度数为____________.
第2题图
【答案】
3．如图，是等边三角形，点是边的中点，点在边上，且，连接，则__________ .
第3题图
【答案】
命题点2 直角三角形的相关计算（6年3考）
4．[2021新疆7题]如图，在中， ， ，，于点，是的中点，则的长为（ ）
第4题图
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
5．[2024新疆14题4分]如图，在中， ， ，.若点在直线上（不与点，重合），且 ，则的长为______________.
第5题图
【答案】或12
6．[2020新疆15题]如图，在中， ， ，，若是边上的动点，则的最小值为________.
第6题图
【答案】
拓展训练
7．[2023扬州]我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图，直角三角形的直角边长为,，斜边长为，若，，则每个直角三角形的面积为__________.
第7题图
【答案】
8．[2024吐鲁番模拟]若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为____________________.
【答案】或第19讲 等腰三角形与直角三角形
知识精讲练
①理解（改动）等腰三角形的概念. ②理解（改动）直角三角形的概念.
知识点1 等腰三角形
性质 （1）两腰相等,两底角① （等边对等角,等角对等边）; （2）等腰三角形的顶角② 、③ ④ 相互重合（简写成“三线合一”）; （3）等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴,其对称轴是⑤ ; （4）拓展:两腰上的高相等;两腰上的中线相等;两底角的平分线相等;顶角的外角平分线与底边平行
判定 （1）有两边相等的三角形是等腰三角形（概念）; （2）有⑥ 相等的三角形是等腰三角形
面积 =⑦ （为底边长,为底边上的高）
知识点2 等边三角形
性质 （1）等边三角形的三条边、三个内角都相等,并且每一个角都等于⑧ ; （2）等边三角形三条角平分线的交点、三条高的交点、三条中线的交点重合; （3）等边三角形是轴对称图形,有⑨ 条对称轴
判定 （1）三边都相等的三角形是等边三角形; （2）三个角都相等的三角形是等边三角形; （3）有一个角等于⑩ 的等腰三角形是等边三角形
面积 （为三角形的边长,为任意边上的高,且）
知识点3 直角三角形
性质 （1）两锐角之和等于 ; （2）斜边上的中线等于斜边的 ; 角所对的直角边等于斜边的 ; （4）若有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于 ； （5）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么
判定 （1）有一个角为⑩ 的三角形是直角三角形; （2）有两个角四互余的三角形是直角三角形; （3）勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长满足 ,那么这个三角形是直角三角形 （4）一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形（使用时需先证明）
面积
知识点4 等腰直角三角形
性质 （1）具有等腰三角形、直角三角形的一切性质; （2）两直角边相等; （3）两个锐角相等,且都等于
判定 （1）顶角为的等腰三角形是等腰直角三角形; （2）两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形; （3）有一个角为的直角三角形是等腰直角三角形; （4）有两个角都为的三角形是等腰直角三角形
面积
考点小练
1．如图，在中，，为边上的中线.
第1题图
（1） 若的一个内角为 ，则另外两个内角的度数为________________________________________________.
（2） 若，则①的长为________；
②的面积为__________.
（3） 若 ，则
① 的形状为____________；
② __________ ；
③ 的长为________；
④ 的面积为__________.
2．如图,在中, ,,点是边上的一个动点，连接.
第2题图
（1） 若 ,则的度数为____________；
（2） 若 ,则的长为__________；
（3） 若,则的面积为__________；
（4） 若,,则的长为____________；
（5） 若为的中点,,则的周长为__________.
3．如图，在 中， ， ， 为 边上的中线， 为 边上的中线，若 ，则 的长为（ ）
第3题图
A. B. C. D. 3
重难点突破
重难点1 等腰三角形的相关计算
例1 [2024内江]如图，在中， ，，，则的度数为____________.
例1题图
变式1-1．[2024自贡]如图，等边钢架的立柱于点，长.现将钢架立柱缩短成， .则新钢架减少用钢（ ）
变式1-1题图
A. B.
C. D.
变式1-2．[2024浙江]如图，，分别是边，的中点，连接，.若，，则的长为________.
变式1-2题图
重难点2 直角三角形的相关计算
例2 [2024南充]如图，在中， ， ，，平分交于点，点为边上一点，则线段长度的最小值为（ ）
例2题图
A. B. C. 2 D. 3
解决线段最小值问题，一般通过①三点共线;②垂线段最短;③两点之间，线段最短;④隐形圆来解决.
变式2-1．[2024安徽]如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）
变式2-1题图
A. B. C. D.
变式2-2．[2024乌鲁木齐二模]如图，在中， ，，，点在边上，，，垂足为，与交于点，则的长是________.
变式2-2题图
变式2-3．在中， ， ，，是直线上的动点，若是等腰三角形，则的长度是________________________.
变式2-4．如图，在中， ， ，，点是边上一动点，点在边上，且，则的最小值为____________.
变式2-4题图
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 等腰三角形的相关计算（2023.13）
1．[2023新疆13题]如图，在中，若，， ，则__________ .
第1题图
拓展训练
2．[2023锦州]如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接.若， ，则的度数为____________.
第2题图
3．如图，是等边三角形，点是边的中点，点在边上，且，连接，则__________ .
第3题图
命题点2 直角三角形的相关计算（6年3考）
4．[2021新疆7题]如图，在中， ， ，，于点，是的中点，则的长为（ ）
第4题图
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5．[2024新疆14题4分]如图，在中， ， ，.若点在直线上（不与点，重合），且 ，则的长为______________.
第5题图
6．[2020新疆15题]如图，在中， ， ，，若是边上的动点，则的最小值为________.
第6题图
拓展训练
7．[2023扬州]我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图，直角三角形的直角边长为,，斜边长为，若，，则每个直角三角形的面积为__________.
第7题图
8．[2024吐鲁番模拟]若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为____________________.

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