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第21讲 图形的相似（含位似）
知识精讲练
知识点1 比例线段
比例线段 对于四条线段，，，，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段成比例，简称比例线段
比例中项 如果或或，那么叫做和的比例中项
比例的性质 基本性质：
合比性质：如果,那么①
等比性质：如果，那么
黄金分割 点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即，线段有两个黄金分割点和,且它们关于线段中点对称
知识点2 平行线分线段成比例
基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图,当时，,，
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例. 如图1，,则,, ； 如图2，,则 图1 图2
考点小练
1．已知，，，是成比例线段.
（1） 若，，，则线段的长为________；
（2） 若，，是和的比例中项，则的值为__________；
（3） 若，则________.
【答案】（1）
（2）
（3）
2．如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点，之间的距离为____________________.（结果保留根号）
第2题图
【答案】
3．如图,,与相交于点,，，,则________,________.
第3题图
【答案】；
4．如图，在中，点,分别在边,上，.已知,,则的长是________.
第4题图
【答案】
知识点3 相似三角形的判定与性质
性质 相似三角形的对应角②相等，对应边③成比例
相似三角形对应线段（边、高、中线、角平分线）的比都等于相似比
相似三角形周长的比等于④相似比，面积的比等于⑤相似比的平方
判定方法 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
两角⑥分别相等的两个三角形相似
两边⑦成比例且⑧夹角相等的两个三角形相似
三边⑨成比例的两个三角形相似
判定思路 有平行截线——用平行线的性质，找等角 有一对等角，找; 有两边成比例，找; 直角三角形，找; 等腰三角形，找
知识点4 相似三角形的实际应用
常见类型 利用光的反射定律求物体的高度
利用影长计算建筑物的高度（同一时刻，物高与影长成比例，即）
构造相似三角形计算不能直接测量的物体高度
方法步骤 （1）将实际问题转化为相似三角形问题； （2）找出一对相似三角形； （3）根据相似三角形的性质，表示出相应的量并求解
知识点5 相似多边形
概念 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比
性质 （1）相似多边形的对应角⑩相等，对应边成比例； （2）相似多边形的周长比等于 相似比，面积比等于 相似比的平方
5．如图，中，点，分别在边，上，，，则____________；____________.
第5题图
【答案】；
6．如图，在中，点，分别在边，上，若，则与四边形的面积的比为____________.
第6题图
【答案】
7．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为，旗杆底部与平面镜的水平距离为.若小明的眼睛与地面的距离为，则旗杆的高度为____________.
第7题图
【答案】
知识点6 图形的位似
基本图形
概念 如果一个图形上的点，，,和另一个图形上的点，，,分别对应，并且它们的连线,,,都经过同一点，,那么这两个图形叫做位似图形，点是位似中心
性质 位似图形是相似图形，具有相似图形的所有性质
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离的比等于相似比
位似图形对应点的连线或连线的延长线经过同一点
位似图形的对应边平行（或在同一条直线上）
【满分技法】在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或
8．如图，四边形和四边形相似，则____________，____________，的长度__________.
第8题图
【答案】； ；
9．与是位似图形，且与的相似比是，已知的面积是3，则的面积是__________.
【答案】
10．在平面直角坐标系中，有两点，.以原点为位似中心，相似比为，把线段缩短，则点的对应点的坐标为________________________________.
【答案】或
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 相似三角形的判定与性质
1. 字模型
模型展示 正字型 ,
斜字型
模型分析 两个三角形中有一个公共角
解题思路 图中已经有一组角相等，（1）从已知条件、图中隐含条件或通过证明得到另一组角相等;（2）证明相等的这组角的两条边对应成比例
拓展训练
1．[2024河南]如图，在中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点.若，则的长为（ ）
第1题图
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
2．[2024重庆A卷]如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点.若，，则________.
第2题图
【答案】
3．[2023湘潭]如图，在中， ，是斜边上的高.
第3题图
（1） 证明：；
（2） 若，，求的长.
【答案】
（1） 证明：是斜边上的高，
．
，
．
又为公共角，
．
（2） 解：由（1）知，
，
，
．
2.8字模型
模型展示 正8字型 ， 斜8字型
模型分析 两个三角形中有一组对应角是对顶角
解题思路 图中已经有一组对顶角，（1）从已知条件、图中隐含条件或通过证明得到另一组角相等;（2）证明这组对顶角的两条边对应成比例
若题中未说明相似三角形对应的顶点，则需要分情况讨论
拓展训练
4．[2024辽宁]如图，，与相交于点，且与的面积比是1，若，则的长为__________.
第4题图
【答案】
5．如图所示，,分别为的边,上的点，,交于点,连接,若,，则________.
第5题图
【答案】
命题点2 相似三角形的实际应用
拓展训练
6．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）.同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是，.已知，，，在同一直线上，，，，则旗杆的高度为（ ）
第6题图
A. B. C. D.
【答案】A
温馨提示 请完成《课后提升练》P45～46习题
提分专题五 相似三角形中的常考模型［2023.23］
模型1 一线三等角模型（2023.23）
模型展示 点在线段上（同侧型） 锐角一线三等角 一线三垂直 钝角一线三等角
点在线段的延长线上（异侧型） 锐角一线三等角 一线三垂直 钝角一线三等角
结论 结论：
一线三垂直模型常出现背景
针对训练
1．如图，四边形中，， ，，，，点为边上一动点，若，则的长为____________.
第1题图
【答案】或2
2．【模型构造】如图，四边形是矩形，，，点在第四象限，则点的坐标为________________.
第2题图
【答案】
3．如图，是等边三角形，点，分别在边，上， ，若，，则的长为____.
第3题图
【答案】1或2
4．【模型构造】【问题探究】
（1） 数学课上，老师给出一道例题，如图1，点在的延长线上，且，连接，求证：，请用你所学的知识进行证明；
第4题图
【拓展训练】
（2） 如图2，点在的延长线上，且，连接，若， ，，求的值；
【知识迁移】
（3） 将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在平行四边形中，为边上的一点，为边上的一点.若.求证：.
【答案】
（1） 证明：，，，
， .
（2） 解：如图2，在上截取，连接.
，
是等边三角形， ，
，
，
，
由（1）知,，，
，
,.
（3） 证明：如解图，以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，
，.
四边形是平行四边形，
，，
.
由（1）知,，
，，
.
第4题解图
模型2 旋转“手拉手”模型
模型解读 将绕点旋转一定的角度，连接拉手线，，则，
模型展示
针对训练
5．如图，在和中， ，，连接，.若，，则的长为________.
第5题图
【答案】
6．如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角和等腰直角，与，分别交于点，，连接.对于下列结论：；；； .其中正确的结论有____.（写出所有正确结论的序号）
第6题图
【答案】①②③
7．如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且，.
第7题图
（1） 求证：；
（2） 若，，的周长为20，求的周长.
【答案】（1） 证明：，，.
（2） 解：，，，，.的周长为20，的周长.
8．在中， ，，在中， ，，请探索解答下列问题.
第8题图
【问题发现】
（1） 如图1，若点，分别在，上，求与的数量关系；
【类比探究】
（2） 将绕点旋转至如图2所示的位置，则与之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由；
【拓展延伸】
（3） 在（1）的条件下，若，将绕点旋转的过程中，当，，三点共线时，求的长.
【答案】
（1） 解： ， ， ，
，
，，
，，
.
（2） 满足.理由如下：
如图2，过点作于，延长，交于点，.
，，，
， ，
，，，
,，，
.
（3） 解：如解图1，当点 在线段 上时，
由勾股定理，得，
，；
如解图2，当点在线段上时，
，.
综上所述,当，，三点共线时，的长为或.
第8题解图
模型3 对角互补模型
模型解读
辅助线作法及结论
作法1：过点作，，垂足分别为，，则 作法2：过点作交于点，则
针对训练
9．将两个等腰直角三角板按如图所示放置，点在上，与交于点，与交于点.若，则的值为________.
第9题图
【答案】
10．如图，已知是等边三角形,是的中点,为边上一点,且,为射线上一点, ,则________.
第10题图
【答案】
11．如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交于点，另一边交的延长线于点.
第11题图1
（1） 求证：；
（2） 如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
第11题图2
（3） 如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，求的值.
第11题图3
【答案】
（1） 证明： ， ，
.
在和中，，
，
.
（2） 解：成立，证明如下：
如解图1，过点作于点，作于点.
四边形为正方形，
平分.
又，，
，
四边形是正方形，
.
，
，
，
，
.
第11题解图1
（3） 解：如解图2，过点作于点，作于点，垂足分别为，，
则 ，
，，
，
，
，，
，
即.
，
.
，
，.
第11题解图2第21讲 图形的相似（含位似）
知识精讲练
知识点1 比例线段
比例线段 对于四条线段，，，，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段成比例，简称比例线段
比例中项 如果或或，那么叫做和的比例中项
比例的性质 基本性质：
合比性质：如果,那么①
等比性质：如果，那么
黄金分割 点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即，线段有两个黄金分割点和,且它们关于线段中点对称
知识点2 平行线分线段成比例
基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图,当时，,，
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例. 如图1，,则,, ； 如图2，,则 图1 图2
考点小练
1．已知，，，是成比例线段.
（1） 若，，，则线段的长为________；
（2） 若，，是和的比例中项，则的值为__________；
（3） 若，则________.
2．如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点，之间的距离为____________________.（结果保留根号）
第2题图
3．如图,,与相交于点,，，,则________,________.
第3题图
4．如图，在中，点,分别在边,上，.已知,,则的长是________.
第4题图
知识点3 相似三角形的判定与性质
性质 相似三角形的对应角② ，对应边③
相似三角形对应线段（边、高、中线、角平分线）的比都等于相似比
相似三角形周长的比等于④ ，面积的比等于⑤
判定方法 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
两角⑥ 的两个三角形相似
两边⑦ 且⑧ 相等的两个三角形相似
三边⑨ 的两个三角形相似
判定思路 有平行截线——用平行线的性质，找等角 有一对等角，找; 有两边成比例，找; 直角三角形，找; 等腰三角形，找
知识点4 相似三角形的实际应用
常见类型 利用光的反射定律求物体的高度
利用影长计算建筑物的高度（同一时刻，物高与影长成比例，即）
构造相似三角形计算不能直接测量的物体高度
方法步骤 （1）将实际问题转化为相似三角形问题； （2）找出一对相似三角形； （3）根据相似三角形的性质，表示出相应的量并求解
知识点5 相似多边形
概念 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比
性质 （1）相似多边形的对应角⑩ ，对应边成比例； （2）相似多边形的周长比等于 ，面积比等于
5．如图，中，点，分别在边，上，，，则____________；____________.
第5题图
6．如图，在中，点，分别在边，上，若，则与四边形的面积的比为____________.
第6题图
7．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为，旗杆底部与平面镜的水平距离为.若小明的眼睛与地面的距离为，则旗杆的高度为____________.
第7题图
知识点6 图形的位似
基本图形
概念 如果一个图形上的点，，,和另一个图形上的点，，,分别对应，并且它们的连线,,,都经过同一点，,那么这两个图形叫做位似图形，点是位似中心
性质 位似图形是相似图形，具有相似图形的所有性质
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离的比等于相似比
位似图形对应点的连线或连线的延长线经过同一点
位似图形的对应边平行（或在同一条直线上）
【满分技法】在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或
8．如图，四边形和四边形相似，则____________，____________，的长度__________.
第8题图
9．与是位似图形，且与的相似比是，已知的面积是3，则的面积是__________.
10．在平面直角坐标系中，有两点，.以原点为位似中心，相似比为，把线段缩短，则点的对应点的坐标为________________________________.
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 相似三角形的判定与性质
1. 字模型
模型展示 正字型 ,
斜字型
模型分析 两个三角形中有一个公共角
解题思路 图中已经有一组角相等，（1）从已知条件、图中隐含条件或通过证明得到另一组角相等;（2）证明相等的这组角的两条边对应成比例
拓展训练
1．[2024河南]如图，在中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点.若，则的长为（ ）
第1题图
A. B. 1 C. D. 2
2．[2024重庆A卷]如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点.若，，则________.
第2题图
3．[2023湘潭]如图，在中， ，是斜边上的高.
第3题图
（1） 证明：；
（2） 若，，求的长.
2.8字模型
模型展示 正8字型 ， 斜8字型
模型分析 两个三角形中有一组对应角是对顶角
解题思路 图中已经有一组对顶角，（1）从已知条件、图中隐含条件或通过证明得到另一组角相等;（2）证明这组对顶角的两条边对应成比例
若题中未说明相似三角形对应的顶点，则需要分情况讨论
拓展训练
4．[2024辽宁]如图，，与相交于点，且与的面积比是1，若，则的长为__________.
第4题图
5．如图所示，,分别为的边,上的点，,交于点,连接,若,，则________.
第5题图
命题点2 相似三角形的实际应用
拓展训练
6．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）.同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是，.已知，，，在同一直线上，，，，则旗杆的高度为（ ）
第6题图
A. B. C. D.
温馨提示 请完成《课后提升练》P45～46习题
提分专题五 相似三角形中的常考模型［2023.23］
模型1 一线三等角模型（2023.23）
模型展示 点在线段上（同侧型） 锐角一线三等角 一线三垂直 钝角一线三等角
点在线段的延长线上（异侧型） 锐角一线三等角 一线三垂直 钝角一线三等角
结论 结论：
一线三垂直模型常出现背景
针对训练
1．如图，四边形中，， ，，，，点为边上一动点，若，则的长为____________.
第1题图
2．【模型构造】如图，四边形是矩形，，，点在第四象限，则点的坐标为________________.
第2题图
3．如图，是等边三角形，点，分别在边，上， ，若，，则的长为____.
第3题图
4．【模型构造】【问题探究】
（1） 数学课上，老师给出一道例题，如图1，点在的延长线上，且，连接，求证：，请用你所学的知识进行证明；
第4题图
【拓展训练】
（2） 如图2，点在的延长线上，且，连接，若， ，，求的值；
【知识迁移】
（3） 将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在平行四边形中，为边上的一点，为边上的一点.若.求证：.
模型2 旋转“手拉手”模型
模型解读 将绕点旋转一定的角度，连接拉手线，，则，
模型展示
针对训练
5．如图，在和中， ，，连接，.若，，则的长为________.
第5题图
6．如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角和等腰直角，与，分别交于点，，连接.对于下列结论：；；； .其中正确的结论有____.（写出所有正确结论的序号）
第6题图
7．如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且，.
第7题图
（1） 求证：；
（2） 若，，的周长为20，求的周长.
8．在中， ，，在中， ，，请探索解答下列问题.
第8题图
【问题发现】
（1） 如图1，若点，分别在，上，求与的数量关系；
【类比探究】
（2） 将绕点旋转至如图2所示的位置，则与之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由；
【拓展延伸】
（3） 在（1）的条件下，若，将绕点旋转的过程中，当，，三点共线时，求的长.
模型3 对角互补模型
模型解读
辅助线作法及结论
作法1：过点作，，垂足分别为，，则 作法2：过点作交于点，则
针对训练
9．将两个等腰直角三角板按如图所示放置，点在上，与交于点，与交于点.若，则的值为________.
第9题图
10．如图，已知是等边三角形,是的中点,为边上一点,且,为射线上一点, ,则________.
第10题图
11．如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交于点，另一边交的延长线于点.
第11题图1
（1） 求证：；
（2） 如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
第11题图2
（3） 如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，求的值.
第11题图3

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