资源简介

第22讲 锐角三角函数及其应用
知识精讲练
知识点1 锐角三角函数
正弦 ① 如图，在中， ，，，
余弦 ②
正切 ③
【温馨提示】一个角的三角函数值只与角度本身有关，与所在三角形边长无关
知识点2 特殊角的三角函数值
锐角 锐角三角函数 基本图形
④ ⑤
⑥ ⑦
⑧1
知识点3 解直角三角形
三边关系 （勾股定理） 如图，在中， ，，，，是斜边上的高
三角关系
边角关系 ， ⑨ ， ,
面积关系
知识点4 解直角三角形的实际应用
仰角、俯角 方向角 坡度（坡比）、坡角
视线在水平线上方的角叫仰角 视线在水平线下方的角叫俯角 点在点的北偏东⑩ 方向 点在点的 南偏东 方向 点在点的 北偏西 （或西北）方向 坡角为 坡度（坡比）
考点小练
1．如图，在中， ,则________,__________,________.
第1题图
【答案】； ；
2．在锐角三角形中，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3．计算： .
解：原式
.
4．在中， ，，则________.
【答案】
5．如图，在中，,,,则的长为______.
第5题图
【答案】
6．如图，滑雪场有一坡角为 的滑雪道，滑雪道长为220米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为____________米.（结果精确到0.1米，，，）
第6题图
【答案】
重难点突破
重难点 解直角三角形的实际应用
例 [2024新疆20题10分]数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动：
例题图
（1）准备测量工具
①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪（图1），利用它可以测量仰角或俯角；
②皮尺.
（2）实地测量数据
①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点（图2）；
②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为，眼睛到地面的距离为.
（3）计算旗杆高度
① 根据图3中测角仪的读数，得出仰角 的度数为____________；
② 根据测量数据，画出示意图4，，，求旗杆的高度（精确到）；
（参考数据：，，，，，）
③ 若测量者仍站在原处（点），能否用三角板替代测角仪测出仰角 ？若能，请写出测量方法；若不能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角 ，请写出测量方法.
【答案】① .
② 解：，，,，在中，，
,.
旗杆的高度约为.
③ 只有含 ， 角的三角板和含 角的三角板，而点的仰角为 ，
三角板测不出仰角 的度数；
如解图，作，连接,则为等腰直角三角形， ，
.
，
，
向旗杆方向走，用 直角三角板测量即可.（答案不唯一）
例题解图
变式1．[2024包头]如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼的高度”的实践活动.教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）.
变式1题图
（1） 请你设计测量教学楼的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用，等表示，测出的角用 ， 等表示），并对设计进行说明；
（2） 根据你测量的数据，计算教学楼的高度.（用字母表示）
【答案】
（1） 解：如解图，在地面上取，测量，测量 ，
根据，
即可得出的长度.
变式1题解图
（2） ，
，
.
变式2．[2024湖南省卷]某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动.
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点，使得点，，在同一条直线上； ②过点 作，并沿 方向前进到点，用皮尺测得 的长为4米； ③在点 处用测角仪测得 ， ， ； ④用计算器计算得：，，，，，
请根据表格中提供的信息，解决下列问题：（结果保留整数）
（1） 求线段和的长度；
（2） 求底座的底面的面积.
【答案】
（1） 解：，， ，
，
，， 线段为7米，线段为3米.
（2） 如解图，过点作于点 ，
，，，
底座的底面的面积为（平方米）.
变式2题解图
新疆6年中考真题及拓展
命题点 锐角三角函数的实际应用（必考）
1.背靠背型（6年2考）
模型展示
解题思路 过点作于点，构造和 过点作于点，构造，和矩形 过点作于点，过点作于点，构造， 和矩形
1．[2022新疆21题]周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为 ，看这栋楼底部的俯角为 ，已知两楼之间的水平距离为，求这栋楼的高度．（参考数据：，，）
第1题图
解：如解图，过点作于点，
则，
在中， ，，
，
在中， ，，
，
.
答：这栋楼的高度大约为．
第1题解图
2．[2019新疆20题]如图，一艘海轮位于灯塔的东北方向，距离灯塔80海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东 方向上的处.
（1） 求海轮从处到处的途中与灯塔之间的最短距离；（结果保留根号）
（2） 若海轮以每小时30海里的速度从处到处，试判断海轮能否在5小时内到达处，并说明理由.
（参考数据：，，）
【答案】
（1） 解：如图，过点作于点，由题意，得， ，在中，.答：海轮从处到处的途中与灯塔之间的最短距离为 海里.
（2） 不能，理由如下：
， ，
在中，,在中，，.，
海轮不能在5小时内到达处.
2.母子型（6年3考）
模型展示
解题思路 过点作，交延长线于点，构造和
模型拓展
3．[2020新疆20题]如图，为测量建筑物的高度，在点测得建筑物顶部点的仰角为 ，再向建筑物前进30米到达点，测得建筑物顶部点的仰角为（，，三点在一条直线上），求建筑物的高度.（结果保留整数.参考数据：，，，，，）
第3题图
解：在中，
，
.在中，，
，
,解得.
答：建筑物的高度约为16米.
4．[2023新疆20题]烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”. 克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）. 某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的处，测得烽燧的顶部处的俯角为 ，测得烽燧的底部处的俯角为 ，试根据提供的数据计算烽燧的高度.
第4题图
（参考数据：，，，，，）
解:如图2，过点作的垂线，交的延长线于
点,由题意易知，四边形是矩形，
.在中， ，
,
.
在中， ，
, ，（米）.
答:烽燧的高度约为13.5米.
3.拥抱型
模型展示
解题思路 直接利用三角函数求边的长度解决问题
模型展示
解题思路 过点作于点，作于点，构造，和矩形 过点作于点，构造和矩形
拓展训练
5．[2024新疆二模]综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上.某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为 ，在观景台处测得塔顶部的仰角为 .
第5题图
（1） 求的长；
（2） 求塔的高度.（结果取整数）（参考数据：，）
【答案】（1） 解：，，.
（2） 解：如解图，过点作于点，过点作于点，则，，
在中，，，
.
， ，.
设，则，
，
在中， ，
，，
解得.
答：塔的高度约为.
第5题解图第22讲 锐角三角函数及其应用
知识精讲练
知识点1 锐角三角函数
正弦 ① 如图，在中， ，，，
余弦 ②
正切 ③
【温馨提示】一个角的三角函数值只与角度本身有关，与所在三角形边长无关
知识点2 特殊角的三角函数值
锐角 锐角三角函数 基本图形
④ ⑤
⑥ ⑦
⑧
知识点3 解直角三角形
三边关系 （勾股定理） 如图，在中， ，，，，是斜边上的高
三角关系
边角关系 ， ⑨ ， ,
面积关系
知识点4 解直角三角形的实际应用
仰角、俯角 方向角 坡度（坡比）、坡角
视线在水平线上方的角叫仰角 视线在水平线下方的角叫俯角 点在点的北偏东⑩ 方向 点在点的 方向 点在点的 方向 坡角为 坡度（坡比）
考点小练
1．如图，在中， ,则________,__________,________.
第1题图
2．在锐角三角形中，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
3．计算： .
4．在中， ，，则________.
5．如图，在中，,,,则的长为______.
第5题图
6．如图，滑雪场有一坡角为 的滑雪道，滑雪道长为220米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为____________米.（结果精确到0.1米，，，）
第6题图
重难点突破
重难点 解直角三角形的实际应用
例 [2024新疆20题10分]数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动：
例题图
（1）准备测量工具
①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪（图1），利用它可以测量仰角或俯角；
②皮尺.
（2）实地测量数据
①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点（图2）；
②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为，眼睛到地面的距离为.
（3）计算旗杆高度
① 根据图3中测角仪的读数，得出仰角 的度数为____________；
② 根据测量数据，画出示意图4，，，求旗杆的高度（精确到）；
（参考数据：，，，，，）
③ 若测量者仍站在原处（点），能否用三角板替代测角仪测出仰角 ？若能，请写出测量方法；若不能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角 ，请写出测量方法.
变式1．[2024包头]如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼的高度”的实践活动.教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）.
变式1题图
（1） 请你设计测量教学楼的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用，等表示，测出的角用 ， 等表示），并对设计进行说明；
（2） 根据你测量的数据，计算教学楼的高度.（用字母表示）
变式2．[2024湖南省卷]某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动.
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点，使得点，，在同一条直线上； ②过点 作，并沿 方向前进到点，用皮尺测得 的长为4米； ③在点 处用测角仪测得 ， ， ； ④用计算器计算得：，，，，，
请根据表格中提供的信息，解决下列问题：（结果保留整数）
（1） 求线段和的长度；
（2） 求底座的底面的面积.
新疆6年中考真题及拓展
命题点 锐角三角函数的实际应用（必考）
1.背靠背型（6年2考）
模型展示
解题思路 过点作于点，构造和 过点作于点，构造，和矩形 过点作于点，过点作于点，构造， 和矩形
1．[2022新疆21题]周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为 ，看这栋楼底部的俯角为 ，已知两楼之间的水平距离为，求这栋楼的高度．（参考数据：，，）
第1题图
2．[2019新疆20题]如图，一艘海轮位于灯塔的东北方向，距离灯塔80海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东 方向上的处.
（1） 求海轮从处到处的途中与灯塔之间的最短距离；（结果保留根号）
（2） 若海轮以每小时30海里的速度从处到处，试判断海轮能否在5小时内到达处，并说明理由.
（参考数据：，，）
2.母子型（6年3考）
模型展示
解题思路 过点作，交延长线于点，构造和
模型拓展
3．[2020新疆20题]如图，为测量建筑物的高度，在点测得建筑物顶部点的仰角为 ，再向建筑物前进30米到达点，测得建筑物顶部点的仰角为（，，三点在一条直线上），求建筑物的高度.（结果保留整数.参考数据：，，，，，）
第3题图
4．[2023新疆20题]烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”. 克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）. 某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的处，测得烽燧的顶部处的俯角为 ，测得烽燧的底部处的俯角为 ，试根据提供的数据计算烽燧的高度.
第4题图
（参考数据：，，，，，）
3.拥抱型
模型展示
解题思路 直接利用三角函数求边的长度解决问题
模型展示
解题思路 过点作于点，作于点，构造，和矩形 过点作于点，构造和矩形
拓展训练
5．[2024新疆二模]综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上.某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为 ，在观景台处测得塔顶部的仰角为 .
第5题图
（1） 求的长；
（2） 求塔的高度.（结果取整数）（参考数据：，）

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