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第23讲 平行四边形与多边形
知识精讲练
了解多边形（本标准中多边形指凸多边形）（新增）的概念（改动）及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线等概念（删除）.
知识点1 多边形及其性质
边形 内角和定理 边形的内角和等于①
外角和定理 边形的外角和等于②
对角线 过边形的一个顶点可以引条对角线，把这个边形分成个三角形，边形共有③ 条对角线
正 边形 边 正边形的各条边④相等
内角 各内角相等，正边形的每个内角为⑤
外角 各外角相等，正边形的每个外角为
对称性 当为奇数时，正边形是轴对称图形，不是中心对称图形; 当为偶数时，正边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
【满分技法】正边形边数的求法：①已知外角的度数，则； ②已知内角和，则； ③已知一个顶点引出的对角线条数,则一个顶点引出的对角线条数
知识点2 平行四边形的性质与判定
图形
性质 （1）边：平行四边形的对边⑥平行且相等; （2）角：平行四边形的对角⑦相等，邻角⑧互补; （3）对角线：平行四边形的对角线⑨互相平分; （4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是⑩对角线的交点; （5）四边形具有不稳定性
判定 边 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形; （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形; （3）一组对边 平行且相等的四边形是平行四边形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形（需证明）
对角线 对角线互相 平分的四边形是平行四边形
面积 （表示一条边长，表示此边上的高） 【温馨提示】平行四边形被两条对角线分成四个面积相等的三角形.若一条直线过平行四边形的对角线的交点，则这条直线平分平行四边形的面积和周长
考点小练
1．
（1） 一个边形的内角和为 ，则__________；
（2） 一个边形的内角和是它的外角和的2倍，则________；
（3） 正五边形的一个内角度数为____________，有________条对称轴；
（4） 从正八边形的一个顶点出发，可以画出________条对角线，它们将正八边形分成________个三角形.
【答案】（1）
（2）
（3） ；
（4） ；
2．如图，在中，对角线与交于点.
第2题图
（1） 若 ，则____________ ，__________ ；
（2） 若，，.
① ________，____________；
② 的周长为______________，面积为__________；
③ 的面积为________.
【答案】（1） ；
（2） ① ；
② ；
③
3．如图,在四边形中,,要使四边形是平行四边形，还需要补充的一个条件是____________________________________.
第3题图
【答案】（答案不唯一）
重难点突破
重难点 平行四边形的性质与判定
例 【人教八下P46例3变式】如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，.
例题图
（1） 求证：.
（2） 求证：四边形是平行四边形.
（3） 若，，.
① 求的长；
② 若，求四边形的面积.
【答案】
（1） 证明： 四边形是平行四边形，
，
.
在和中，，
.
（2） 证明：，.
又， 四边形是平行四边形.
（3） ① 解：， .
，，.
四边形是平行四边形，
，.
在中，由勾股定理，得，.
② 解：，
.
，
，
，
.
变式．[2024北京]如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.
变式题图
（1） 求证：四边形为平行四边形；
（2） 若 ，，，求的长.
【答案】
（1） 证明：是的中点，
.
，
是的中位线，
，
.
，
四边形为平行四边形.
（2） 解：由（1）知，是的中位线，
.
四边形为平行四边形，
,
，，
，
，
，
.
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 多边形及其性质（6年3考）
1．[2023新疆11题]若一个正多边形的每个内角为 ，则这个正多边形的边数是__.
【答案】十
2．[2021新疆12题]四边形的外角和等于____________ ．
【答案】
3．[2019新疆11题]五边形的内角和为____________度.
【答案】
拓展训练
4．[2024济南]若正多边形的一个外角是 ，则这个正多边形是（ ）
A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形
【答案】C
5．[2024枣庄]如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形.若 ，则的值为（ ）
第5题图
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
【答案】A
6．[2024乌鲁木齐模拟]将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点,,，四点共线，为公共顶点.则____________.
第6题图
【答案】
命题点2 平行四边形的性质与判定（6年2考）
7．[2022新疆18题]如图，在中，点，分别为边，的中点．延长到点，使，连接．
第7题图
求证：
（1） ；
（2） 四边形是平行四边形．
【答案】
（1） 证明：是的中点，．
在和中，
，.
（2） 点，分别为边，的中点，
，，，， 四边形是平行四边形．
拓展训练
8．[2024大庆]如图，在平行四边形中，，分别是，的平分线，且点，分别在边，上.
第8题图
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 若 ，，求的面积.
【答案】
（1） 证明： 四边形是平行四边形，
，，
.
，分别是，的平分线，，，，.又， 四边形是平行四边形.
（2） 解：如图，过点作于点，则 四边形是平行四边形，， ，是的平分线， ， ，是等边三角形，，.在中，由勾股定理，得..由（1），得四边形是平行四边形，，，，，.
第8题图第23讲 平行四边形与多边形
知识精讲练
了解多边形（本标准中多边形指凸多边形）（新增）的概念（改动）及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线等概念（删除）.
知识点1 多边形及其性质
边形 内角和定理 边形的内角和等于①
外角和定理 边形的外角和等于②
对角线 过边形的一个顶点可以引条对角线，把这个边形分成个三角形，边形共有③ 条对角线
正 边形 边 正边形的各条边④
内角 各内角相等，正边形的每个内角为⑤
外角 各外角相等，正边形的每个外角为
对称性 当为奇数时，正边形是轴对称图形，不是中心对称图形; 当为偶数时，正边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
【满分技法】正边形边数的求法：①已知外角的度数，则； ②已知内角和，则； ③已知一个顶点引出的对角线条数,则一个顶点引出的对角线条数
知识点2 平行四边形的性质与判定
图形
性质 （1）边：平行四边形的对边⑥ ; （2）角：平行四边形的对角⑦ ，邻角⑧ ; （3）对角线：平行四边形的对角线⑨ ; （4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是⑩ ; （5）四边形具有不稳定性
判定 边 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形; （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形; （3）一组对边 的四边形是平行四边形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形（需证明）
对角线 对角线互相 的四边形是平行四边形
面积 （表示一条边长，表示此边上的高） 【温馨提示】平行四边形被两条对角线分成四个面积相等的三角形.若一条直线过平行四边形的对角线的交点，则这条直线平分平行四边形的面积和周长
考点小练
1．
（1） 一个边形的内角和为 ，则__________；
（2） 一个边形的内角和是它的外角和的2倍，则________；
（3） 正五边形的一个内角度数为____________，有________条对称轴；
（4） 从正八边形的一个顶点出发，可以画出________条对角线，它们将正八边形分成________个三角形.
2．如图，在中，对角线与交于点.
第2题图
（1） 若 ，则____________ ，__________ ；
（2） 若，，.
① ________，____________；
② 的周长为______________，面积为__________；
③ 的面积为________.
3．如图,在四边形中,,要使四边形是平行四边形，还需要补充的一个条件是____________________________________.
第3题图
重难点突破
重难点 平行四边形的性质与判定
例 【人教八下P46例3变式】如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，.
例题图
（1） 求证：.
（2） 求证：四边形是平行四边形.
（3） 若，，.
① 求的长；
② 若，求四边形的面积.
变式．[2024北京]如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.
变式题图
（1） 求证：四边形为平行四边形；
（2） 若 ，，，求的长.
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 多边形及其性质（6年3考）
1．[2023新疆11题]若一个正多边形的每个内角为 ，则这个正多边形的边数是__.
2．[2021新疆12题]四边形的外角和等于____________ ．
3．[2019新疆11题]五边形的内角和为____________度.
拓展训练
4．[2024济南]若正多边形的一个外角是 ，则这个正多边形是（ ）
A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形
5．[2024枣庄]如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形.若 ，则的值为（ ）
第5题图
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
6．[2024乌鲁木齐模拟]将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点,,，四点共线，为公共顶点.则____________.
第6题图
命题点2 平行四边形的性质与判定（6年2考）
7．[2022新疆18题]如图，在中，点，分别为边，的中点．延长到点，使，连接．
第7题图
求证：
（1） ；
（2） 四边形是平行四边形．
] 中，，分别是，的平分线，且点，分别在边，上.
第8题图
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 若 ，，求的面积.

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