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第24讲 特殊四边形
知识精讲练
①理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形（新增）的概念，以及它们之间的关系.
②正方形既是矩形，又是菱形（改动）；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系（新增）
知识点1 矩形、菱形、正方形
矩形 菱形 正方形
图形
边 两组对边① 且② 两组对边③ ，四条边都④ 两组对边平行，四条边都⑤
角 四个角都是⑥ 对角⑦ ，邻角⑧ 四个角都是⑨
对角线 对角线⑩ 且互相平分 对角线 ，每一条对角线平分一组对角 对角线 且相等，每一条对角线平分一组对角
对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形
有 条对称轴 有 条对称轴 有 条对称轴
面积
【常用结论】矩形：矩形的两条对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形. 菱形：（1）菱形的两条对角线将菱形分成四个面积相等的直角三角形； （2）对角线互相垂直的四边形的面积; 正方形：正方形的两条对角线将正方形分成四个面积相等的等腰直角三角形
知识点2 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
从边与角的角度看
从对角线的角度看
知识点3 梯形（2022年版课标新增）
图形
概念 只有一组对边平行的四边形叫做梯形
分类 （1）一般梯形; （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形; （3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形
性质 梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半
面积 （上底下底）高
知识点4 中点四边形
概念 依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形
原图形 任意四边形 矩形 菱形 正方形 对角线相等的四边形 对角线垂直的四边形 对角线垂直且相等的四边形
中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形
判定依据 三角形的中位线定理
【温馨提示】中点四边形的形状是由原四边形的对角线的数量关系及位置关系决定的
考点小练
1．[2024济宁改编]如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接.若，则菱形的边长为________.
第1题图
2．如图，已知是正方形对角线上一点，平分，则的度数是______________.
第2题图
3．如图，矩形的对角线与相交于点，，，分别为，的中点，则的长度为________.
第3题图
4．如图，四边形的对角线与相交于点.
第4题图
（1） 若要使四边形是平行四边形，可添加条件____________________________________
________；
（2） 若要使是矩形，可添加条件____________________________________；
（3） 若要使是菱形，可添加条件______________________________；
（4） 若要使矩形是正方形，可添加条件______________________________；
（5） 若要使菱形是正方形，可添加条件______________________________.
5．如图，在梯形中,,, ，则__________.
第5题图
6．在梯形中，， ， ，，，则梯形的面积为____________.
7．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点,,,分别为边,,,的中点.若，，则四边形的面积为__________.
第7题图
第1课时 矩形与菱形
重难点突破
重难点1 矩形的性质与判定
例1 如图，在四边形中，，过点作交的延长线于点，连接，交于点，且，连接， .
例1题图
（1） 求证：.
（2） 求证：四边形是矩形.
（3） 若，，
① 求四边形的周长；
② 求四边形的面积.
式 .
变式1题图
（1） 如图1,若,,则__________ ,的长为________.
（2） 如图2,点是边上一动点.
① 若,,则的最小值为________;
② 若,, ,则的长为____________.
重难点2 菱形的性质与判定
例2 如图，在中，是的中点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，连接，.
例2题图
（1） 求证：.
（2） 求证：四边形是菱形.
（3） 若， ， ，
① 求四边形的面积；
② 求的长.
变式2．已知四边形为菱形,对角线,交于点.
变式2题图
（1） 若 ,则__________ .
（2） 若,.
① 菱形的周长为__________；
② ,间的距离为____________；
③ 如图1,是的中点,则的长为________；若点为的中点,连接,则________.
（3） 如图2，若菱形的边长为4, ,点是边上一动点（不与点,重合）,过点作交于点,连接,当是等腰三角形时,的长为____________________.
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 矩形的性质与判定（6年2考）
1．[2023新疆18题]如图，和相交于点， ，，点，分别是，的中点.
第1题图
（1） 求证：;
（2） 当 时，求证：四边形是矩形.
新 的中线，交于点，点，分别是，的中点.
第2题图
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 当时，求证：是矩形.
命题点2 菱形的性质与判定（6年2考）
3．[2019新疆19题]如图，在菱形中，对角线，相交于点，是中点，连接.过点作交的延长线于点，连接.
第3题图
求证：
（1） ；
（2） 四边形是矩形.
1 ，且分别交对角线于点，，连接，.
第4题图
（1） 求证：；
（2） 若，求证：四边形为菱形.
温 后提升练》P51～52习题
第2课时 正方形
重难点突破
重难点 正方形的性质与判定
例
（1） 已知四边形为平行四边形.
例题图
① 若 ,则要使平行四边形为正方形,需添加的条件为______________________________;
② 连接,,若,则要使平行四边形为正方形,需添加的条件为____________________________________.
（2） 如图1,若四边形为正方形,是上一点,连接,交于点,且.
① 的长为__________，____________;
② 若是的中点,则的长为________,____________;
（3） 若四边形为正方形,连接,交于点.
① 如图2,点,分别是,上的点,连接,,,.若四边形是菱形,且,则__________,____________;
② 如图3,是的中点,是上一点,为对角线上一点.若，,则的最小值为________.
变式1．[2024伊宁校级一模]如图，在正方形中，对角线，交于点，点在上，交于点，且为的中点，交于点，连接交于点，连接.下列结论： ；；；.其中正确结论的序号为____.
变式1题图
变式2．[2023十堰]如图，的对角线，交于点，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点，连接，.
变式2题图
（1） 试判断四边形的形状，并说明理由；
（2） 请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？
新疆6年中考真题及拓展
命题点 正方形的性质与判定（6年3考）
1．[2019新疆9题]如图，正方形的边长为2，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则以下结论中：；；；.正确的是（ ）
第1题图
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
拓展训练
2．如图，已知正方形的边长为3，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，（ ）
第2题图
A. B. 2 C. D.
3．[2024重庆B卷]如图，在边长为4的正方形中，是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分交于点.若，则的长度为（ ）
第3题图
A. 2 B. C. D.
4．如图，在边长为2的正方形中，点,分别是边，的中点，连接，，点,分别是，的中点，连接，则的长度为（ ）
第4题图
A. B. C. D.
5．如图，在平行四边形中，点，，，分别在边，，，上，，，且平分.
第5题图
（1） 求证：；
（2） 若 ，求证：四边形是正方形.第24讲 特殊四边形
知识精讲练
①理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形（新增）的概念，以及它们之间的关系.
②正方形既是矩形，又是菱形（改动）；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系（新增）
知识点1 矩形、菱形、正方形
矩形 菱形 正方形
图形
边 两组对边①平行且②相等 两组对边③平行，四条边都④相等 两组对边平行，四条边都⑤相等
角 四个角都是⑥直角 对角⑦相等，邻角⑧互补 四个角都是⑨直角
对角线 对角线⑩相等且互相平分 对角线 互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 对角线 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形
有 两条对称轴 有 两条对称轴 有 四条对称轴
面积
【常用结论】矩形：矩形的两条对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形. 菱形：（1）菱形的两条对角线将菱形分成四个面积相等的直角三角形； （2）对角线互相垂直的四边形的面积; 正方形：正方形的两条对角线将正方形分成四个面积相等的等腰直角三角形
知识点2 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
从边与角的角度看
从对角线的角度看
知识点3 梯形（2022年版课标新增）
图形
概念 只有一组对边平行的四边形叫做梯形
分类 （1）一般梯形; （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形; （3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形
性质 梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半
面积 （上底下底）高
知识点4 中点四边形
概念 依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形
原图形 任意四边形 矩形 菱形 正方形 对角线相等的四边形 对角线垂直的四边形 对角线垂直且相等的四边形
中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形
判定依据 三角形的中位线定理
【温馨提示】中点四边形的形状是由原四边形的对角线的数量关系及位置关系决定的
考点小练
1．[2024济宁改编]如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接.若，则菱形的边长为________.
第1题图
【答案】
2．如图，已知是正方形对角线上一点，平分，则的度数是______________.
第2题图
【答案】
3．如图，矩形的对角线与相交于点，，，分别为，的中点，则的长度为________.
第3题图
【答案】
4．如图，四边形的对角线与相交于点.
第4题图
（1） 若要使四边形是平行四边形，可添加条件____________________________________
________；
（2） 若要使是矩形，可添加条件____________________________________；
（3） 若要使是菱形，可添加条件______________________________；
（4） 若要使矩形是正方形，可添加条件______________________________；
（5） 若要使菱形是正方形，可添加条件______________________________.
【答案】（1） ，（答案；不唯一）
（2） （答案不唯一）
（3） （答案不唯一）
（4） （答案不唯一）
（5） （答案不唯一）
5．如图，在梯形中,,, ，则__________.
第5题图
【答案】
6．在梯形中，， ， ，，，则梯形的面积为____________.
【答案】
7．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点,,,分别为边,,,的中点.若，，则四边形的面积为__________.
第7题图
【答案】
第1课时 矩形与菱形
重难点突破
重难点1 矩形的性质与判定
例1 如图，在四边形中，，过点作交的延长线于点，连接，交于点，且，连接， .
例1题图
（1） 求证：.
（2） 求证：四边形是矩形.
（3） 若，，
① 求四边形的周长；
② 求四边形的面积.
【答案】（1） 证明： ，，，， ，.在和中，，.
（2） 证明：，.又， 四边形是平行四边形，，， 四边形是平行四边形.又 ， 四边形是矩形.
（3） ① 解： 四边形是矩形，，.，，.
② 解：在中,，，，，，.
变式1．已知四边形为矩形,回答下列问题.
变式1题图
（1） 如图1,若,,则__________ ,的长为________.
（2） 如图2,点是边上一动点.
① 若,,则的最小值为________;
② 若,, ,则的长为____________.
【答案】（1） ；
（2） ①
② 或4
重难点2 菱形的性质与判定
例2 如图，在中，是的中点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，连接，.
例2题图
（1） 求证：.
（2） 求证：四边形是菱形.
（3） 若， ， ，
① 求四边形的面积；
② 求的长.
【答案】（1） 证明：是的中点，，，，.
（2） 证明：，.又， 四边形是平行四边形.， 四边形是菱形.
（3） ① 解：， ，，，，
，，，
.
② 解：如解图，过点作于点，
四边形是菱形，， ，
，， ，
例2题解图
.
，
，
，
，.
，
.
变式2．已知四边形为菱形,对角线,交于点.
变式2题图
（1） 若 ,则__________ .
（2） 若,.
① 菱形的周长为__________；
② ,间的距离为____________；
③ 如图1,是的中点,则的长为________；若点为的中点,连接,则________.
（3） 如图2，若菱形的边长为4, ,点是边上一动点（不与点,重合）,过点作交于点,连接,当是等腰三角形时,的长为____________________.
【答案】（1）
（2） ①
②
③ ；
（3） 或
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 矩形的性质与判定（6年2考）
1．[2023新疆18题]如图，和相交于点， ，，点，分别是，的中点.
第1题图
（1） 求证：;
（2） 当 时，求证：四边形是矩形.
【答案】
（1） 证明:在和中，
,
,
点,分别是,的中点，
，,.
（2） ，， 四边形是平行四边形. ， ，,，, 四边形是矩形.
2．[2024新疆19题10分]如图，的中线，交于点，点，分别是，的中点.
第2题图
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 当时，求证：是矩形.
【答案】
（1） 证明：和是的中线，
点和点分别为和的中点，
是的中位线，
，.
同理可得，，，
，， 四边形是平行四边形.
（2） 的中线，交于点， 点是的重心，，，分别是，的中点，，，，，.又 四边形是平行四边形， 四边形是矩形.
命题点2 菱形的性质与判定（6年2考）
3．[2019新疆19题]如图，在菱形中，对角线，相交于点，是中点，连接.过点作交的延长线于点，连接.
第3题图
求证：
（1） ；
（2） 四边形是矩形.
【答案】
（1） 证明：，．
是的中点，．
在和中，，．
（2） ，， 四边形是平行四边形． 四边形是菱形，， ， 四边形是矩形．
4．[2020新疆18题]如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，，连接，.
第4题图
（1） 求证：；
（2） 若，求证：四边形为菱形.
【答案】
（1） 证明： 四边形是平行四边形，
，，
.
，，.
在和中，
，
，
.
（2） 由（1）知，,.
又,
四边形是平行四边形.
又,
四边形为菱形.
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第2课时 正方形
重难点突破
重难点 正方形的性质与判定
例
（1） 已知四边形为平行四边形.
例题图
① 若 ,则要使平行四边形为正方形,需添加的条件为______________________________;
② 连接,,若,则要使平行四边形为正方形,需添加的条件为____________________________________.
（2） 如图1,若四边形为正方形,是上一点,连接,交于点,且.
① 的长为__________，____________;
② 若是的中点,则的长为________,____________;
（3） 若四边形为正方形,连接,交于点.
① 如图2,点,分别是,上的点,连接,,,.若四边形是菱形,且,则__________,____________;
② 如图3,是的中点,是上一点,为对角线上一点.若，,则的最小值为________.
【答案】① （答案不唯一）
② （答案不唯一）
（2） ① ；
② ；
（3） ① ；
②
变式1．[2024伊宁校级一模]如图，在正方形中，对角线，交于点，点在上，交于点，且为的中点，交于点，连接交于点，连接.下列结论： ；；；.其中正确结论的序号为____.
变式1题图
【答案】①②③④
变式2．[2023十堰]如图，的对角线，交于点，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点，连接，.
变式2题图
（1） 试判断四边形的形状，并说明理由；
（2） 请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？
【答案】
（1） 解：四边形为平行四边形.
理由： 四边形为平行四边形，
，.
以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点，
，，
四边形为平行四边形.
（2） 当，时，四边形为正方形.
，
.
，，，
.
四边形为正方形.
新疆6年中考真题及拓展
命题点 正方形的性质与判定（6年3考）
1．[2019新疆9题]如图，正方形的边长为2，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则以下结论中：；；；.正确的是（ ）
第1题图
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】A
拓展训练
2．如图，已知正方形的边长为3，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，（ ）
第2题图
A. B. 2 C. D.
【答案】C
3．[2024重庆B卷]如图，在边长为4的正方形中，是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分交于点.若，则的长度为（ ）
第3题图
A. 2 B. C. D.
【答案】D
4．如图，在边长为2的正方形中，点,分别是边，的中点，连接，，点,分别是，的中点，连接，则的长度为（ ）
第4题图
A. B. C. D.
【答案】B
5．如图，在平行四边形中，点，，，分别在边，，，上，，，且平分.
第5题图
（1） 求证：；
（2） 若 ，求证：四边形是正方形.
【答案】
（1） 证明： 四边形是平行四边形，
.
在与中，
，.
（2） 四边形是平行四边形，
，，.
，，，，
，.
，，
四边形为平行四边形，
，.
平分，，
，
，
平行四边形是菱形.
又 ，
四边形是正方形.

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