资源简介

第26讲 与圆有关的位置关系
知识精讲练
①探索并掌握（改动）点与圆的位置关系.
②探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线.（删除）
③*探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆（删除）的两条切线长相等.
④*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线.（新增）
知识点1点、直线与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系
位置关系 与 的关系 图示
点在圆外 ① ，如点 的半径是,点到圆心的距离是
点在圆上 ② ，如点
点在圆内 ③ ，如点
2.直线与圆的位置关系的半径是,圆心到直线的距离是
位置关系 相离 相切 相交
图示
与 的关系 ④ ⑤ ⑥
公共点个数 0 1 2
知识点2 切线的性质与判定
概念 直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点
性质定理 圆的切线⑦ 于过切点的半径
判定定理 经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
判定方法 （1）直线与圆的公共点已知：连半径，证垂直； （2）直线与圆的公共点未知：作垂直，证半径
【知识拓展】 （1）弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边和圆相切的角； （2）弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.如图，
知识点3 切线长与切线长定理
概念 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长
定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图，，分别与相切于，两点，则，
知识点4 三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆 三角形的内切圆
圆心 外心：三角形三条边的⑧ 的交点 内心：三角形三条⑨ 的交点
描述 经过三角形的三个顶点的圆 与三角形三边都相切的圆
图示
性质 三角形的外心到三个顶点的距离相等，即 三角形的内心到三角形三边的距离相等，即
角度关系 ⑩
【知识拓展】 （1）若直角三角形的两条直角边、斜边的长分别为，，，则它的外接圆的半径为，内切圆的半径为（切线长定理可得）或（等面积法可得）； （2）若的三边长分别为,,，则它的内切圆半径为（等面积法可得）
考点小练
1．如图,已知中, ,,,为的中点,以点为圆心,为半径作圆.
第1题图
（1） 若,则点在__,点在__,点在__;
（2） 若,则直线与的位置关系为____;
（3） 若直线与相切,则________；
（4） 若线段与有唯一公共点,则的取值范围为____________________________.
2．如图，是的直径，是的弦，连接,过点的切线交的延长线于点.若,则__________ .
第2题图
3．【人教九上P101 T3变式】如图，,分别与相切于,两点，, ,则________.
第3题图
4．如图，内接于，是的直径， ，则__________ ．
第4题图
5．【人教九上P100例2变式】如图，在中， ，为的内切圆，与三边的切点分别为，，.
第5题图
（1） 若,,则
① 的面积为____；（结果保留）
② ________；
（2） 若 ，则____________.
重难点突破
重难点 切线的判定
类型1 有公共点，连半径，证垂直
方法1 利用等角代换证垂直
例1 如图,的直径与弦相交于点,且,点在的延长线上，连接,,.求证:是的切线.
例1题图
题干中直接给出角度关系或给出切线与弦的夹角等于某个圆周角时，常通过等角代换来证明.
方法2 利用平行证垂直
例2 如图,是的直径,是弦，延长至点，使.连接,过点作于点.求证:是的切线.
例2题图
当需要证明的切线和已知直线垂直时,可证明过切点的半径与已知直线平行.
方法3 利用三角形全等证垂直
例3 如图,是的直径,为上一点,连接,,过点作于点，过点作的切线交的延长线于点,连接.求证:是的切线.
例3题图
利用三角形全等证垂直，常在“共点双切线型”图形中运用，通过连接圆心与两条切线的交点构造全等三角形来证垂直.
类型2 无公共点，作垂直，证半径
例4 如图，在中， ，平分,以为圆心,长为半径作.求证:是的切线.
例4题图
， 径长.
变式1．[2024新疆三模]如图，是的直径，弦于，与弦交于，过点的直线分别与，的延长线交于，，.
变式1题图
（1） 求证：是的切线；
（2） 若，，求的长.
变式2．[2024兰州]如图，内接于，为的直径，点为上一点，，延长至，使得.
变式2题图
（1） 求证：是的切线；
（2） 若，，求的长.
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 切线的性质（6年2考）
1．[2019新疆22题]如图，是的直径，与相切于点，与的延长线交于点，于点.
第1题图
（1） 求证：；
（2） 若，，求的半径.
2．[2022新疆22题]如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，连接，延长交过点的切线于点．
第2题图
（1） 求证：；
（2） 求证：；
（3） 若，，求的长．
拓展训练
3．[2024贵州23题]如图，为半圆的直径，点在半圆上，点在的延长线上，与半圆相切于点，与的延长线相交于点，与相交于点，.
第3题图
（1） 写出图中一个与相等的角：__________________________；
（2） 求证：；
（3） 若，，求的长.
命题点2 切线的判定与性质综合（6年3考）
4．[2020新疆22题]如图，在中，为的直径，为上一点，是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点.
第4题图
（1） 求证：是的切线；
（2） 若，，求的长.
5．[2021新疆22题]如图，是的直径，，是的弦，为的中点，与交于点，过点作，交的延长线于点，且平分．
第5题图
（1） 求证：是的切线；
（2） 求证：；
（3） 若，，求的长．
6．[2023新疆22题]如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点.
第6题图
（1） 求证：是的切线；
（2） 若，，求的长.第26讲 与圆有关的位置关系
知识精讲练
①探索并掌握（改动）点与圆的位置关系.
②探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线.（删除）
③*探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆（删除）的两条切线长相等.
④*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线.（新增）
知识点1点、直线与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系
位置关系 与 的关系 图示
点在圆外 ① ，如点 的半径是,点到圆心的距离是
点在圆上 ② ，如点
点在圆内 ③ ，如点
2.直线与圆的位置关系的半径是,圆心到直线的距离是
位置关系 相离 相切 相交
图示
与 的关系 ④ ⑤ ⑥
公共点个数 0 1 2
知识点2 切线的性质与判定
概念 直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点
性质定理 圆的切线⑦垂直于过切点的半径
判定定理 经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
判定方法 （1）直线与圆的公共点已知：连半径，证垂直； （2）直线与圆的公共点未知：作垂直，证半径
【知识拓展】 （1）弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边和圆相切的角； （2）弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.如图，
知识点3 切线长与切线长定理
概念 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长
定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图，，分别与相切于，两点，则，
知识点4 三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆 三角形的内切圆
圆心 外心：三角形三条边的⑧垂直平分线的交点 内心：三角形三条⑨角平分线的交点
描述 经过三角形的三个顶点的圆 与三角形三边都相切的圆
图示
性质 三角形的外心到三个顶点的距离相等，即 三角形的内心到三角形三边的距离相等，即
角度关系 ⑩2
【知识拓展】 （1）若直角三角形的两条直角边、斜边的长分别为，，，则它的外接圆的半径为，内切圆的半径为（切线长定理可得）或（等面积法可得）； （2）若的三边长分别为,,，则它的内切圆半径为（等面积法可得）
考点小练
1．如图,已知中, ,,,为的中点,以点为圆心,为半径作圆.
第1题图
（1） 若,则点在__,点在__,点在__;
（2） 若,则直线与的位置关系为____;
（3） 若直线与相切,则________；
（4） 若线段与有唯一公共点,则的取值范围为____________________________.
【答案】（1） 上；外；内
（2） 相离
（3）
（4） 或
2．如图，是的直径，是的弦，连接,过点的切线交的延长线于点.若,则__________ .
第2题图
【答案】
3．【人教九上P101 T3变式】如图，,分别与相切于,两点，, ,则________.
第3题图
【答案】
4．如图，内接于，是的直径， ，则__________ ．
第4题图
【答案】
5．【人教九上P100例2变式】如图，在中， ，为的内切圆，与三边的切点分别为，，.
第5题图
（1） 若,,则
① 的面积为____；（结果保留）
② ________；
（2） 若 ，则____________.
【答案】①
②
（2）
重难点突破
重难点 切线的判定
类型1 有公共点，连半径，证垂直
方法1 利用等角代换证垂直
例1 如图,的直径与弦相交于点,且,点在的延长线上，连接,,.求证:是的切线.
例1题图
证明：如解图，连接.
，，
，,
.
，
例1题解图
，即 ，
.
又为的半径，
是的切线.
题干中直接给出角度关系或给出切线与弦的夹角等于某个圆周角时，常通过等角代换来证明.
方法2 利用平行证垂直
例2 如图,是的直径,是弦，延长至点，使.连接,过点作于点.求证:是的切线.
例2题图
证明:如解图,连接.
,,
是的中位线，
.
例2题解图
又,
.
又是的半径，
是的切线.
当需要证明的切线和已知直线垂直时,可证明过切点的半径与已知直线平行.
方法3 利用三角形全等证垂直
例3 如图,是的直径,为上一点,连接,,过点作于点，过点作的切线交的延长线于点,连接.求证:是的切线.
例3题图
证明:如图,连接是的切线，,,,,垂直平分，.
又，，, ，.
又是的半径，
是的切线.
例3题图
利用三角形全等证垂直，常在“共点双切线型”图形中运用，通过连接圆心与两条切线的交点构造全等三角形来证垂直.
类型2 无公共点，作垂直，证半径
例4 如图，在中， ，平分,以为圆心,长为半径作.求证:是的切线.
例4题图
证明:如解图，过点作于点平分,
,
.
在和中，
例4题解图
，
是的半径，是的半径，
是的切线.
过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长等于半径长.
变式1．[2024新疆三模]如图，是的直径，弦于，与弦交于，过点的直线分别与，的延长线交于，，.
变式1题图
（1） 求证：是的切线；
（2） 若，，求的长.
【答案】
（1） 证明：连接，如解图.
变式1题解图
，
.
，
.
，
.
，， ,
即 ，
.
又为的半径，
是的切线.
（2） 解：如解图，连接，
在中，，
设，则，，，
，，
是的切线，
.
又，
，
，即.
设，则.
，
.
，
，
.
变式1题解图
变式2．[2024兰州]如图，内接于，为的直径，点为上一点，，延长至，使得.
变式2题图
（1） 求证：是的切线；
（2） 若，，求的长.
【答案】
（1） 证明：连接，如解图，
变式2题解图
为的直径，
，，
.
在和中，
，
，
.
，，
.
，
，
即.
又为的半径，
是的切线.
（2） 解：，
，
.
，，
.
在中，，
设，.
，，
，
，
即.
由，得，
由，得，
，
.
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 切线的性质（6年2考）
1．[2019新疆22题]如图，是的直径，与相切于点，与的延长线交于点，于点.
第1题图
（1） 求证：；
（2） 若，，求的半径.
【答案】
（1） 证明：如解图，连接，
第1题解图
与相切于点，．
，．
， ．
，
．
（2） 解：如解图，连接，
是的直径， ，
．
，．
，，
．
又，，
．
，
在中，，
在中，，
，．
设的半径为，
则.
易得，
则，即.
解得，
的半径为．
第1题解图
2．[2022新疆22题]如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，连接，延长交过点的切线于点．
第2题图
（1） 求证：；
（2） 求证：；
（3） 若，，求的长．
【答案】
（1） 证明：，.
，.
（2） 证明：如解图，连接,
与相切于点，
．
四边形是的内接四边形，
．
，
．
，
．
，，
，，
，
．
第2题解图
（3） 解：是的直径， .
，，
．
，，
，
，
即，．
，,
，
，即，
，
.
拓展训练
3．[2024贵州23题]如图，为半圆的直径，点在半圆上，点在的延长线上，与半圆相切于点，与的延长线相交于点，与相交于点，.
第3题图
（1） 写出图中一个与相等的角：__________________________；
（2） 求证：；
（3） 若，，求的长.
【答案】（1） 或
（2） 解：证明：如解图，连接，
与半圆相切于点，
，
.
，
,
，
，
，.
第3题解图
（3） 解：设，则，
，
，
.
，
，
解得或（不合题意,舍去），
，，.
，
，
，即，
，即，
，.
命题点2 切线的判定与性质综合（6年3考）
4．[2020新疆22题]如图，在中，为的直径，为上一点，是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点.
第4题图
（1） 求证：是的切线；
（2） 若，，求的长.
【答案】
（1） 证明：如解图，连接,
是 的中点，
，
.
，
，
，.
，.
又是的半径，
是的切线.
第4题解图
（2） 解：如解图，连接交于点，
为的直径， .
是的中点，
，，
四边形是矩形，
，.
，
.
，
，
，
.
易得，，
，
，
.
第4题解图
5．[2021新疆22题]如图，是的直径，，是的弦，为的中点，与交于点，过点作，交的延长线于点，且平分．
第5题图
（1） 求证：是的切线；
（2） 求证：；
（3） 若，，求的长．
【答案】
（1） 证明：如解图，连接，
平分，.
，，
，.
,.
又是的半径，是的切线.
第5题解图
（2） 证明：如解图,连接，是的直径，
， .
，.
由题意，得，.
,.
第5题解图
（3） 解：在中，，，
，.
由（2）知，，，
，，.
为的中点，
，.
在中，，，
，，
．
6．[2023新疆22题]如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点.
第6题图
（1） 求证：是的切线；
（2） 若，，求的长.
【答案】
（1） 证明:如解图，连接，
第6题解图
，,
.
，,
，.
， ，
.
又是的半径，
是的切线.
（2） 解：设的半径为，
在中，
,
设，，则,
,
.
是的直径， ,,,,.
,
.
又,
，
.
,,,,
,.

展开更多......

收起↑