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第30讲 图形的对称、平移与旋转
知识精讲练
知识点1 轴对称图形与中心对称图形
轴对称图形 中心对称图形
图示
判断方法 （1）找对称轴——直线； （2）图形沿对称轴折叠后完全重合 （1）找对称中心——点； （2）图形绕对称中心旋转 后完全重合
【温馨提示】（1）常见的轴对称图形：等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、正五边形、正六边形、圆等; （2）常见的中心对称图形：平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等; （3）常见的既是轴对称图形又是中心对称图形：菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等
知识点2 轴对称与中心对称
轴对称 中心对称
图示
性质 （1）成轴对称的两个图形是全等图形； （2）对称点所连线段被对称轴垂直平分 （1）成中心对称的两个图形是全等图形； （2）对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分
作图方法 （1）找出原图形的关键点，作出它们关于对称轴（或对称中心）的对称点； （2）根据原图形依次连接各对称点即可
知识点3 图形的折叠
实质 折叠的本质是轴对称变换
图示 将矩形沿对角线折叠，点的对应点为，连接交于点
性质 （1）对应边① ，即，； （2）对应角② ，即，，， ，且关于③ 对称； ④
知识点4 图形的平移与旋转
平移 旋转
图示
要素 平移方向和⑤ 旋转中心、旋转方向和⑥
性质 （1）平移前后，对应线段⑦ （或在同一条直线上）且相等，对应角相等； （2）各组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等； （3）平移前后的图形⑧ （1）对应点到旋转中心的距离⑨ ； （2）任何一组对应点与旋转中心连线所成的角都⑩ 旋转角； （3）旋转前后的图形
作图步骤 （1）找出图形中的关键点； （2）把关键点按要求进行平移或旋转得到每个点的对应点； （3）按原图形依次连接各关键点的对应点，得到变换后的图形
考点小练
1．下列图形中，
（1） 是轴对称图形的是______；
第1题图
（2） 是中心对称图形的是____；
（3） 既是轴对称图形又是中心对称图形的是__；
（4） 既不是轴对称图形又不是中心对称图形的是__.
2．[2024河北]如图，与交于点，和关于直线对称，点，的对称点分别是点，.下列不一定正确的是（ ）
第2题图
A. B.
C. D.
3．[2024吐鲁番一模]如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若 ，____________.
第3题图
4．如图,将绕点逆时针旋转后,能与重合.
第4题图
（1） 与全等的三角形是______________；
（2） 若将绕点逆时针旋转 后与重合,,那么的长为__________;
（3） 若将 绕点逆时针旋转 后与重合,,那么的长为________;
（4） 若将 绕点逆时针旋转 后与重合,且,则的度数为____________.
重难点突破
重难点1 与折叠有关的计算
例1 已知矩形，，，点是上一点.将沿折叠得到.
例1题图
（1） 如图1，若点的对应点恰好落在边上，则的长为__________；
（2） 如图2，若点的对应点恰好落在对角线上，则的长为________；
（3） 如图3，若交于点，交于点，，则的长为__________.
（1）利用折叠前后，图形对应边相等，得出 ，结合勾股定理求解.
（2）设，则 ，利用折叠前后，图形对应边相等，得出 ， ，根据勾股定理，得出 ，从而得出 ，结合勾股定理求解.
（3）①设，则 ，利用折叠前后，图形对应边、角相等，得出 ， ， ；
②利用所得、所知条件可得 ，得出 ， ，进而得到 ， ， ；
③利用勾股定理求解.
变式1-1．[2024乌鲁木齐新市区一模]如图，正方形的边长为2，是边的中点，是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接.当最小时，它的长是________.
变式1-1题图
变式1-2．[2024海南]如图，矩形纸片中，，，点，分别在边，上，将纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为，则的最小值为________，的最大值为________.
变式1-2题图
重难点2 与旋转有关的计算
例2 [2024天津]如图，中， ，将绕点顺时针旋转 得到，点，的对应点分别为，，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ）
例2题图
A. B.
C. D.
利用旋转的性质，可判断选项；
利用两直线平行， 互补，可判断选项；
利用旋转前后，图形的对应边相等，可判断选项；
利用旋转的性质，得 ，结合 ，可判断选项.
变式2-1．[2024呼和浩特改编]如图，在中， ， ，将沿翻折 得到，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，点为的中点，连接，.若，则的面积是__________.
变式2-1题图
变式2-2．[2024盐城]如图，在中， ，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到.连接，当时，________________________.
变式2-2题图
变式2-3．[2024大庆]如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转 ，点旋转到点，则周长的最小值为____________.
变式2-3题图
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 对称图形的判断（6年2考）
1．[2023新疆2题]下列交通标志中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2．[2021新疆2题]下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
拓展训练
3．[2024山西]1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立.下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. 山西煤炭化学研究所 B. 东北地理与农业生态研究所
C. 西安光学精密机械研究所 D. 生态环境研究中心
4．[2024潍坊]下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
命题点2 与折叠有关的计算（2023.15）
5．[2023新疆15题]如图，在中，，， ，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为__________.
第5题图
拓展训练
6．[2024连云港]如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接，再将矩形纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为.若点恰好为线段最靠近点的一个五等分点，，则的长为____________.
第6题图
命题点3 图形的旋转（6年3考）
7．[2019新疆14题]如图，在中，，将绕点顺时针旋转 ，得到，延长交的延长线于点，则的长为____________.
第7题图
8．[2021新疆15题]如图，已知正方形边长为1，为边上一点，以点为中心，将按逆时针方向旋转得，连接，分别交，于点，．若，则________.
第8题图
9．[2022新疆15题]如图，四边形是正方形，点在边的延长线上，点在边上，以点为中心，将绕点顺时针旋转 与恰好完全重合，连接交于点，连接交于点，连接，若，则______.
第9题图
拓展训练
10．[2023菏泽]如图，点是正方形内的一点，将绕点按顺时针方向旋转 ，得到.若 ，则__________度.
第10题图第30讲 图形的对称、平移与旋转
知识精讲练
知识点1 轴对称图形与中心对称图形
轴对称图形 中心对称图形
图示
判断方法 （1）找对称轴——直线； （2）图形沿对称轴折叠后完全重合 （1）找对称中心——点； （2）图形绕对称中心旋转 后完全重合
【温馨提示】（1）常见的轴对称图形：等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、正五边形、正六边形、圆等; （2）常见的中心对称图形：平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等; （3）常见的既是轴对称图形又是中心对称图形：菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等
知识点2 轴对称与中心对称
轴对称 中心对称
图示
性质 （1）成轴对称的两个图形是全等图形； （2）对称点所连线段被对称轴垂直平分 （1）成中心对称的两个图形是全等图形； （2）对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分
作图方法 （1）找出原图形的关键点，作出它们关于对称轴（或对称中心）的对称点； （2）根据原图形依次连接各对称点即可
知识点3 图形的折叠
实质 折叠的本质是轴对称变换
图示 将矩形沿对角线折叠，点的对应点为，连接交于点
性质 （1）对应边①相等，即，； （2）对应角②相等，即，，， ，且关于③ 对称； ④垂直平分
知识点4 图形的平移与旋转
平移 旋转
图示
要素 平移方向和⑤平移距离 旋转中心、旋转方向和⑥旋转角
性质 （1）平移前后，对应线段⑦平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等； （2）各组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等； （3）平移前后的图形⑧全等 （1）对应点到旋转中心的距离⑨相等； （2）任何一组对应点与旋转中心连线所成的角都⑩等于旋转角； （3）旋转前后的图形 全等
作图步骤 （1）找出图形中的关键点； （2）把关键点按要求进行平移或旋转得到每个点的对应点； （3）按原图形依次连接各关键点的对应点，得到变换后的图形
考点小练
1．下列图形中，
（1） 是轴对称图形的是______；
第1题图
（2） 是中心对称图形的是____；
（3） 既是轴对称图形又是中心对称图形的是__；
（4） 既不是轴对称图形又不是中心对称图形的是__.
【答案】（1） ①④⑤⑥⑦
（2） ③⑥⑦
（3） ⑥⑦
（4） ②⑧
2．[2024河北]如图，与交于点，和关于直线对称，点，的对称点分别是点，.下列不一定正确的是（ ）
第2题图
A. B.
C. D.
【答案】A
3．[2024吐鲁番一模]如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若 ，____________.
第3题图
【答案】
4．如图,将绕点逆时针旋转后,能与重合.
第4题图
（1） 与全等的三角形是______________；
（2） 若将绕点逆时针旋转 后与重合,,那么的长为__________;
（3） 若将 绕点逆时针旋转 后与重合,,那么的长为________;
（4） 若将 绕点逆时针旋转 后与重合,且,则的度数为____________.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
重难点突破
重难点1 与折叠有关的计算
例1 已知矩形，，，点是上一点.将沿折叠得到.
例1题图
（1） 如图1，若点的对应点恰好落在边上，则的长为__________；
（2） 如图2，若点的对应点恰好落在对角线上，则的长为________；
（3） 如图3，若交于点，交于点，，则的长为__________.
【答案】（1）
（2）
（3）
（1）利用折叠前后，图形对应边相等，得出 ，结合勾股定理求解.
（2）设，则 ，利用折叠前后，图形对应边相等，得出 ， ，根据勾股定理，得出 ，从而得出 ，结合勾股定理求解.
（3）①设，则 ，利用折叠前后，图形对应边、角相等，得出 ， ， ；
②利用所得、所知条件可得 ，得出 ， ，进而得到 ， ， ；
③利用勾股定理求解.
变式1-1．[2024乌鲁木齐新市区一模]如图，正方形的边长为2，是边的中点，是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接.当最小时，它的长是________.
变式1-1题图
【答案】
变式1-2．[2024海南]如图，矩形纸片中，，，点，分别在边，上，将纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为，则的最小值为________，的最大值为________.
变式1-2题图
【答案】；
重难点2 与旋转有关的计算
例2 [2024天津]如图，中， ，将绕点顺时针旋转 得到，点，的对应点分别为，，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ）
例2题图
A. B.
C. D.
【答案】D
利用旋转的性质，可判断选项；
利用两直线平行，同旁内角互补，可判断选项；
利用旋转前后，图形的对应边相等，可判断选项；
利用旋转的性质，得 ，结合 ，可判断选项.
变式2-1．[2024呼和浩特改编]如图，在中， ， ，将沿翻折 得到，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，点为的中点，连接，.若，则的面积是__________.
变式2-1题图
【答案】
变式2-2．[2024盐城]如图，在中， ，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到.连接，当时，________________________.
变式2-2题图
【答案】或
变式2-3．[2024大庆]如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转 ，点旋转到点，则周长的最小值为____________.
变式2-3题图
【答案】
新疆6年中考真题及拓展
命题点1 对称图形的判断（6年2考）
1．[2023新疆2题]下列交通标志中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．[2021新疆2题]下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
拓展训练
3．[2024山西]1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立.下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. 山西煤炭化学研究所 B. 东北地理与农业生态研究所
C. 西安光学精密机械研究所 D. 生态环境研究中心
【答案】A
4．[2024潍坊]下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
命题点2 与折叠有关的计算（2023.15）
5．[2023新疆15题]如图，在中，，， ，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为__________.
第5题图
【答案】
拓展训练
6．[2024连云港]如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接，再将矩形纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为.若点恰好为线段最靠近点的一个五等分点，，则的长为____________.
第6题图
【答案】
命题点3 图形的旋转（6年3考）
7．[2019新疆14题]如图，在中，，将绕点顺时针旋转 ，得到，延长交的延长线于点，则的长为____________.
第7题图
【答案】
8．[2021新疆15题]如图，已知正方形边长为1，为边上一点，以点为中心，将按逆时针方向旋转得，连接，分别交，于点，．若，则________.
第8题图
【答案】
9．[2022新疆15题]如图，四边形是正方形，点在边的延长线上，点在边上，以点为中心，将绕点顺时针旋转 与恰好完全重合，连接交于点，连接交于点，连接，若，则______.
第9题图
【答案】
拓展训练
10．[2023菏泽]如图，点是正方形内的一点，将绕点按顺时针方向旋转 ，得到.若 ，则__________度.
第10题图
【答案】

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