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提分专题七 圆中最值及隐形圆问题［2022.15］
类型1 点圆最值
已知条件 已知平面内一定点和，点是上一点，当，，三点共线时，线段有最大（小）值（依据：直径是圆中最长的弦），设点与点之间的距离为，的半径为
位置关系 点在内 点在上 点在外
图示
的最大值
此时点 的位置 连接并延长交于点
的最小值 0
此时点 的位置 连接并延长交于点 点与点重合 连接交于点
例1 如图,在中,,是边的中点,以点为圆心,长为半径作,是上一点.若,,则线段长的最小值为__________,最大值为__________.
例1题图
①确定一定点（点）和一动点（点），动点（点）在圆上或轨迹为圆.
②求定点与动点之间的连线的最值:
.最大值：连接定点与圆心并延长，动点在该延长线与圆的交点上；
.最小值：连接定点与圆心，动点在连线与圆的交点上.
针对训练
1．如图，在中， ，，，半径为1的在内平移（可以与该三角形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为____________.
第1题图
类型2 线圆最值
已知条件 已知及直线，的半径为，圆心到直线的距离为，点为上一点
位置关系 直线与相离 直线与相切 直线与相交
图示
点 到直线 的距离最大值
此时点 的位置 过点作直线的垂线，其反向延长线与的交点即为点
点 到直线 的距离最小值 0 0
此时点 的位置 过点作直线的垂线，与的交点即为点 直线与的交点即为点
例2 如图，在中，，，是边的中点，以为圆心，长为半径作，是上一动点，连接，，若的面积为10，则面积的最小值为________.
例2题图
①确定一定线段和一动点（点），动点（点）在圆上或轨迹为圆；
②通常过圆心向定线段作垂线，即可确定动点与定线段之间的最值，进而求解.
针对训练
2．如图，在中，， ，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点 为切点），则线段长度的最小值为（ ）
第2题图
A. B. C. D. 4
3．如图，是的弦，是优弧上一点，连接,，若的半径为4， ，则面积的最大值为____________.
第3题图
类型3 定点定长作隐形圆
已知条件 平面内,点为定点,点为动点,且长度固定 在矩形中,点是边上的定点,点是边上一点,将沿折叠得到 将绕点逆时针旋转一定角度得到
图示
结论 点的轨迹为以点为圆心，长为半径的圆 点，，均在上 点的运动轨迹为以点为圆心,长为半径的一段圆弧 点的运动轨迹是以点为圆心,长为半径的一段圆弧
例3 如图，在等腰直角中， ，将绕点逆时针旋转 得到.若，则点运动的路径长为________.
例3题图
①确定一定点（点）和一动点（点）；
②连接定点和动点的线段长度固定；
③利用定点（点）、定长画圆求解.
针对训练
4．如图，在矩形中,,,点是边上的动点（不与,重合）,连接,作点关于的对称点，则的最小值为________.
第4题图
5．如图，在四边形中，，连接，，，，则的长为__________.
第5题图
6．[2024烟台]如图，在中， ，，，为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________________
第6题图
【解析】 在中， ，， ，为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得，， 点是以点为圆心，为直径圆周上的一点.如解图，过点作交直线于点，过点作于点，连接， 要求面积的最小值，只要求的最小值即可.，的最小值为.过点作于点，则.在中，， ，，，的最小值为，面积的最小值为.
第6题解图
类型4 定弦定角作隐形圆
已知条件 在中，为定长，为定角度
图示
结论 当时,点的运动轨迹为优弧（不与点，重合）, 当时,点的运动轨迹为（不与点,重合）,弦为的直径 当时,点的运动轨迹为劣弧（不与点,重合）,
解题关键 考题常以，，，，来考，核心关键就是画出等腰三角形
推论：构成等腰三角形，且点为的中点时，点到的距离最大，此时的面积最大
例4 如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为________.
例4题图
①确定定边（线段）和定边所对的角为定角；
②根据圆周角定理，确定定边端点、定角顶点均在同一个圆上；
③利用定边、定角画圆求解.
针对训练
7．如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足 ，则的最小值是（ ）
第7题图
A. B. C. D.
8．如图，在边长为的等边中，点，分别是，上的两个动点，且满足，连接，相交于点，则线段的最小值为________.
第8题图
9．如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得 ，则线段的最小值为____________.
第9题图
类型5 四点共圆作隐形圆（2022.15）
已知条件 和共斜边 为和的公共边,点,在的同侧,且 在四边形中,（或）
图示
结论 取的中点,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得，则,,,四点共圆 利用同弧所对的圆周角相等，可得,,,四点共圆 利用圆内接四边形的对角互补，可得,,,四点共圆
例5 如图，在矩形中，，，点为对角线上一动点，过点作,分别交，于点，，则的值为（ ）
例5题图
A. B. C. D.
①确定对角互补的四边形（四边形）；
②根据圆周角定理，可确定四边形的顶点在同一个圆上；
③利用圆的相关角度之间的关系求解.
例6 如图，,,是的三条高，若,,,则线段的长为________.
例6题图
①确定线段同侧有相等的角（，利用三角形的高得出）；
②根据圆周角定理，可确定线段端点（点，）、角的顶点（点，）在同一个圆上；
③利用圆的相关角度之间的关系求解.
针对训练
10．[2024泰安]如图，在菱形中， ，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为 角的直角三角形，连接.当点在直线上运动时，线段的最小值是（ ）
第10题图
A. 2 B. C. D. 4
11．如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若 ，则的大小是____________.
第11题图
12．如图，在四边形中， ，连接，.若 ，，，则________.
第12题图
13．如图，正方形的边长为2，对角线，交于点，为上一点， ，过点作于点，连接，则线段的长度为____________.
第13题图提分专题七 圆中最值及隐形圆问题［2022.15］
类型1 点圆最值
已知条件 已知平面内一定点和，点是上一点，当，，三点共线时，线段有最大（小）值（依据：直径是圆中最长的弦），设点与点之间的距离为，的半径为
位置关系 点在内 点在上 点在外
图示
的最大值
此时点 的位置 连接并延长交于点
的最小值 0
此时点 的位置 连接并延长交于点 点与点重合 连接交于点
例1 如图,在中,,是边的中点,以点为圆心,长为半径作,是上一点.若,,则线段长的最小值为__________,最大值为__________.
例1题图
【答案】；
①确定一定点（点）和一动点（点），动点（点）在圆上或轨迹为圆.
②求定点与动点之间的连线的最值:
.最大值：连接定点与圆心并延长，动点在该延长线与圆的交点上；
.最小值：连接定点与圆心，动点在连线与圆的交点上.
针对训练
1．如图，在中， ，，，半径为1的在内平移（可以与该三角形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为____________.
第1题图
【答案】
类型2 线圆最值
已知条件 已知及直线，的半径为，圆心到直线的距离为，点为上一点
位置关系 直线与相离 直线与相切 直线与相交
图示
点 到直线 的距离最大值
此时点 的位置 过点作直线的垂线，其反向延长线与的交点即为点
点 到直线 的距离最小值 0 0
此时点 的位置 过点作直线的垂线，与的交点即为点 直线与的交点即为点
例2 如图，在中，，，是边的中点，以为圆心，长为半径作，是上一动点，连接，，若的面积为10，则面积的最小值为________.
例2题图
【答案】
①确定一定线段和一动点（点），动点（点）在圆上或轨迹为圆；
②通常过圆心向定线段作垂线，即可确定动点与定线段之间的最值，进而求解.
针对训练
2．如图，在中，， ，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点 为切点），则线段长度的最小值为（ ）
第2题图
A. B. C. D. 4
【答案】A
3．如图，是的弦，是优弧上一点，连接,，若的半径为4， ，则面积的最大值为____________.
第3题图
【答案】
类型3 定点定长作隐形圆
已知条件 平面内,点为定点,点为动点,且长度固定 在矩形中,点是边上的定点,点是边上一点,将沿折叠得到 将绕点逆时针旋转一定角度得到
图示
结论 点的轨迹为以点为圆心，长为半径的圆 点，，均在上 点的运动轨迹为以点为圆心,长为半径的一段圆弧 点的运动轨迹是以点为圆心,长为半径的一段圆弧
例3 如图，在等腰直角中， ，将绕点逆时针旋转 得到.若，则点运动的路径长为________.
例3题图
【答案】
①确定一定点（点）和一动点（点）；
②连接定点和动点的线段长度固定；
③利用定点（点）、定长画圆求解.
针对训练
4．如图，在矩形中,,,点是边上的动点（不与,重合）,连接,作点关于的对称点，则的最小值为________.
第4题图
【答案】
5．如图，在四边形中，，连接，，，，则的长为__________.
第5题图
【答案】
6．[2024烟台]如图，在中， ，，，为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________________
第6题图
【答案】
【解析】 在中， ，， ，为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得，， 点是以点为圆心，为直径圆周上的一点.如解图，过点作交直线于点，过点作于点，连接， 要求面积的最小值，只要求的最小值即可.，的最小值为.过点作于点，则.在中，， ，，，的最小值为，面积的最小值为.
第6题解图
类型4 定弦定角作隐形圆
已知条件 在中，为定长，为定角度
图示
结论 当时,点的运动轨迹为优弧（不与点，重合）, 当时,点的运动轨迹为（不与点,重合）,弦为的直径 当时,点的运动轨迹为劣弧（不与点,重合）,
解题关键 考题常以，，，，来考，核心关键就是画出等腰三角形
推论：构成等腰三角形，且点为的中点时，点到的距离最大，此时的面积最大
例4 如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为________.
例4题图
【答案】
①确定定边（线段）和定边所对的角为定角；
②根据圆周角定理，确定定边端点、定角顶点均在同一个圆上；
③利用定边、定角画圆求解.
针对训练
7．如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足 ，则的最小值是（ ）
第7题图
A. B. C. D.
【答案】D
8．如图，在边长为的等边中，点，分别是，上的两个动点，且满足，连接，相交于点，则线段的最小值为________.
第8题图
【答案】
9．如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得 ，则线段的最小值为____________.
第9题图
【答案】
类型5 四点共圆作隐形圆（2022.15）
已知条件 和共斜边 为和的公共边,点,在的同侧,且 在四边形中,（或）
图示
结论 取的中点,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得，则,,,四点共圆 利用同弧所对的圆周角相等，可得,,,四点共圆 利用圆内接四边形的对角互补，可得,,,四点共圆
例5 如图，在矩形中，，，点为对角线上一动点，过点作,分别交，于点，，则的值为（ ）
例5题图
A. B. C. D.
【答案】A
①确定对角互补的四边形（四边形）；
②根据圆周角定理，可确定四边形的顶点在同一个圆上；
③利用圆的相关角度之间的关系求解.
例6 如图，,,是的三条高，若,,,则线段的长为________.
例6题图
【答案】
①确定线段同侧有相等的角（，利用三角形的高得出）；
②根据圆周角定理，可确定线段端点（点，）、角的顶点（点，）在同一个圆上；
③利用圆的相关角度之间的关系求解.
针对训练
10．[2024泰安]如图，在菱形中， ，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为 角的直角三角形，连接.当点在直线上运动时，线段的最小值是（ ）
第10题图
A. 2 B. C. D. 4
【答案】C
11．如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若 ，则的大小是____________.
第11题图
【答案】
12．如图，在四边形中， ，连接，.若 ，，，则________.
第12题图
【答案】
13．如图，正方形的边长为2，对角线，交于点，为上一点， ，过点作于点，连接，则线段的长度为____________.
第13题图
【答案】

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