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常见的数学模型三　中点问题四大模型
　　　　　　　　　　　　　　　　
　中点中位线
如图，在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理:DE∥BC，且DE＝BC，△ADE∽△ABC解决问题.
【模型运用】
1.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连结DF，EF，则EF的长为 .
第1题图
2.如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝11，D是AC的中点，E是△ABC内一点，DE∥BC.若∠AEB＝90°，则DE的长为 .
第2题图
　直角三角形斜边中点斜边上的中线
如图，在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD＝AB＝AD＝BD来证明线段或角之间的数量关系.
【模型运用】
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连结EF，若AB＝10，则EF的长是(　 　)
第3题图
A.5 B.4
C.3 D.2
4.如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动.若矩形ABCD的形状保持不变，且AB＝2，BC＝1，则在运动过程中，点D到点O的最大距离为 .
第4题图
5.如图，在△ABC中，AD是高线，CE是中线，G是CE的中点，DG⊥CE于点G.
(1)求证:DC＝BE.
(2)若∠AEC＝66°，求∠BCE的度数.
第5题图
　等腰三角形底边中点三线合一
如图，等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形底边上中线、高线、顶角平分线“三线合一”的性质得到:∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，BD＝CD.
【模型运用】
6.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是 .
第6题图
7.如图，点D在△ABC的边BC上，AD＝AB，E是BD的中点，点F在边AC上，AF＝AC＝6，连结EF，则EF的长为 .
第7题图
8.【数学知识】(1)等腰三角形的“三线合一”性质非常重要.如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线.若∠C＝58°，则∠BAD的度数为 °.
第8题图
【知识应用】(2)如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，AD，AG分别为△ABC和△AEF的中线.若∠BAF＝110°，∠CAE＝24°，求∠DAG的度数.
【拓展提升】(3)如图3，在△ABC和△ABE中，AB＝AC，AB＝AE，AD，AF分别为△ABC和△ABE的中线，AD与BE相交于点O.若∠AOF＝69°，求∠CAE的度数.
　三角形中点全等三角形(倍长中线)
如图，当遇见中线或者中点时，可以尝试用倍长中线法构造全等三角形，证明线段间的数量关系.
【模型运用】
9.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6，M为BD的中点，则CM的长为 .
第9题图
10.如图，AB⊥BC，AB⊥AD，AD＝5，AB＝12，BC＝10，E是CD的中点，则AE的长是 .
第10题图
11.如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，AF平分∠EAD，交CD于点F，若F恰好为CD的中点.
(1)求证:AE＝BE＋2CE.
(2)求的值.
第11题图
12.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题.
如图1，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围.
第12题图
小颖在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法:如图2，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE.请根据小颖的方法思考:
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是(　 　)
A.SSS B.SAS
C.AAS D.HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 .
解后反思:题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
完成上题的解答之后，小颖乐于探究，她又提出了如下的问题，请你解答.
(3)在△ABC中，D是BC上一点，连结AD，E是AD上一点，连结BE并延长，交边AC于点F.
①如图3，若AD是△ABC的中线，且AF＝EF，求证:AC＝BE.
②如图4，若E是BF的中点，求证:AF·CD＝AC·BD.
　　
第12题图常见的数学模型三　中点问题四大模型
　　　　　　　　　　　　　　　　
　中点中位线
【数学建模】
如图，在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理:DE∥BC，且DE＝BC，△ADE∽△ABC解决问题.
【模型运用】
1.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连结DF，EF，则EF的长为 　.
第1题图
第1题答图
【解析】 如答图，连结DE，CD.
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，∴DE∥CF.
又∵CF＝BC，∴DE＝CF，
∴四边形DCFE是平行四边形，∴EF＝CD.
∵在Rt△BCD中，∠B＝90°，BD＝AB＝，BC＝3，
∴CD＝，
∴EF＝CD＝.
2.如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝11，D是AC的中点，E是△ABC内一点，DE∥BC.若∠AEB＝90°，则DE的长为　2　.
第2题图
第2题答图
【解析】 如答图，延长AE，交BC于点F.
∵D是AC的中点，DE∥BC，
∴△ADE∽△ACF，
∴，
∴AE＝EF.
又∵∠AEB＝90°，
∴BF＝AB＝7，
∴FC＝BC－BF＝11－7＝4.
∵AD＝DC，AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE＝FC＝2.
　直角三角形斜边中点斜边上的中线
【数学建模】
如图，在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD＝AB＝AD＝BD来证明线段或角之间的数量关系.
【模型运用】
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连结EF，若AB＝10，则EF的长是(　A　)
第3题图
A.5 B.4
C.3 D.2
4.如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动.若矩形ABCD的形状保持不变，且AB＝2，BC＝1，则在运动过程中，点D到点O的最大距离为 ＋1　.
第4题图
【解析】 如答图，取AB的中点E，连结OE，DE，OD.
第4题答图
∵OD≤OE＋DE，
∴当O，D，E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，OE＝AE＝AB＝1，
DE＝，
∴OD的最大值为OE＋DE＝＋1.
5.如图，在△ABC中，AD是高线，CE是中线，G是CE的中点，DG⊥CE于点G.
(1)求证:DC＝BE.
(2)若∠AEC＝66°，求∠BCE的度数.
第5题图
解:(1)如答图，连结DE.
第5题答图
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
∵AE＝EB，∴DE＝EB＝EA.
∵DG⊥EC，EG＝GC，
∴DE＝CD，∴DC＝BE.
(2)设∠BCE＝x.
∵EB＝DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝x，
∴∠EBD＝∠BDE＝∠DEC＋∠DCE＝2x.
∵∠AEC＝∠EBD＋∠ECD，∴66°＝3x，
∴x＝22°，∴∠BCE＝22°.
　等腰三角形底边中点三线合一
【数学建模】
如图，等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形底边上中线、高线、顶角平分线“三线合一”的性质得到:∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，BD＝CD.
【模型运用】
6.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是 　.
第6题图
7.如图，点D在△ABC的边BC上，AD＝AB，E是BD的中点，点F在边AC上，AF＝AC＝6，连结EF，则EF的长为　6　.
第7题图
第7题答图
【解析】 如答图，连结AE.
∵AB＝AD，BE＝ED，∴AE⊥BD.
∵AF＝AC＝FC，
∴F是Rt△AEC斜边上的中点，
∴EF＝AC＝6.
8.【数学知识】(1)等腰三角形的“三线合一”性质非常重要.如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线.若∠C＝58°，则∠BAD的度数为　32　°.
第8题图
【知识应用】(2)如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，AD，AG分别为△ABC和△AEF的中线.若∠BAF＝110°，∠CAE＝24°，求∠DAG的度数.
【拓展提升】(3)如图3，在△ABC和△ABE中，AB＝AC，AB＝AE，AD，AF分别为△ABC和△ABE的中线，AD与BE相交于点O.若∠AOF＝69°，求∠CAE的度数.
解:(2)由等腰三角形三线合一可知∠DAC＝∠BAC，∠EAG＝∠EAF，
∴∠DAG＝∠DAC＋∠CAE＋∠EAG＝∠BAC＋∠CAE＋∠EAF＝∠BAF＋∠CAE.
∵∠BAF＝110°，∠CAE＝24°，
∴∠DAG＝55°＋12°＝67°.
(3)由等腰三角形三线合一可知AF⊥BE，∠BAF＝BAE，∠BAD＝BAC，
∴∠AOF＋∠OAF＝90°.
又∵∠AOF＝69°，∴∠OAF＝21°，
∴∠BAF－∠BAD＝∠BAE－∠BAC＝21°，
∴∠BAE－∠BAC＝42°，
∴∠CAE＝∠BAE－∠BAC＝42°.
　三角形中点全等三角形(倍长中线)
【数学建模】
如图，当遇见中线或者中点时，可以尝试用倍长中线法构造全等三角形，证明线段间的数量关系.
【模型运用】
9.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6，M为BD的中点，则CM的长为 　.
第9题图
第9题答图
【解析】 如答图，延长CM交AD于点E.
∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠DEM＝∠BCM.
∵M为BD的中点，
∴BM＝DM，
∴△BMC≌△DME(AAS)，
∴CM＝ME，BC＝DE＝3，
∴AE＝AD－DE＝3.
∵AC⊥BC，AD∥BC，
∴AC⊥AD，∴∠CAE＝90°，
∴CE＝＝5，
∴CM＝ME＝CE＝.
10.如图，AB⊥BC，AB⊥AD，AD＝5，AB＝12，BC＝10，E是CD的中点，则AE的长是 　.
第10题图
11.如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，AF平分∠EAD，交CD于点F，若F恰好为CD的中点.
(1)求证:AE＝BE＋2CE.
(2)求的值.
第11题图
第11题答图
解:(1)如答图，延长BC交AF的延长线于点G.
∵AD∥CG，∴∠DAF＝∠G.
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF＝∠EAF，∴∠G＝∠EAF，
∴EA＝EG.
∵F为CD的中点，
∴CF＝DF.
又∵∠DFA＝∠CFG，∠FAD＝∠G，
∴△ADF≌△GCF(AAS)，
∴CG＝AD＝BC＝BE＋CE，
∴EG＝BE＋CE＋CE＝BE＋2CE，
∴AE＝BE＋2CE.
(2)设CE＝a，BE＝b，则AE＝2a＋b，AB＝a＋b.
在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即(a＋b)2＋b2＝(2a＋b)2，
解得b＝3a，b＝－a(舍去)，
∴.
12.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题.
如图1，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围.
第12题图
小颖在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法:如图2，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE.请根据小颖的方法思考:
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是(　B　)
A.SSS B.SAS
C.AAS D.HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是　2＜AD＜10　.
解后反思:题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
完成上题的解答之后，小颖乐于探究，她又提出了如下的问题，请你解答.
(3)在△ABC中，D是BC上一点，连结AD，E是AD上一点，连结BE并延长，交边AC于点F.
①如图3，若AD是△ABC的中线，且AF＝EF，求证:AC＝BE.
②如图4，若E是BF的中点，求证:AF·CD＝AC·BD.
　　
第12题图
解:(1)在△ADC和△EDB中，
∵
∴△ADC≌△EDB(SAS).
(2)∵△ADC≌△EDB，∴BE＝AC.
在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE，
∴4＜2AD＜20，∴2＜AD＜10.
(3)①如答图1，延长AD到点G，使DG＝AD.
∵AD＝DG，∠ADC＝∠GDB，CD＝DB，
∴△ADC≌△GDB(SAS)，
∴AC＝BG，∠DAC＝∠G.
∵AF＝EF，∴∠AEF＝∠EAF.
又∵∠AEF＝∠BEG，∴∠BEG＝∠G，
∴BE＝BG，∴AC＝BE.
第12题答图
②如答图2，延长AD到点H，使得EH＝AE，连结BH.
∵AE＝EH，∠AEF＝∠BEH，EF＝EB，
∴△AEF≌△HEB(SAS)，
∴BH＝AF，∠H＝∠EAF，
∴BH∥AC，∴△BDH∽△CDA，
∴，∴，
∴AF·CD＝AC·BD.

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