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核心素养专题四 开放与探究型问题
　　开放型问题的基本形式有:条件开放题、结论开放题.这些问题的解决，需要经过探索来确定结论，或者补全条件，将开放型问题转化为封闭型问题，再选择合适的解题途径完成最后的解答.近年来还出现一些其他形式的开放题，如综合型开放题，主要是条件和结论都不确定，需要考生认定条件和结论组成一个新命题，并加以证明.这种新颖的综合型开放题，成为了中考的又一亮点.
探究型问题是一种具有开放性和发散性的问题，要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括，继而得出结论.这种题目对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求，它有利于培养学生在问题探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程.
如图，AB交CD于点O，在△AOC和△BOD中，有下列三个条件:①OC＝OD;②AC＝BD;③∠A＝∠B.请你在上述三个条件中选择两个作为条件，另一个作为能被这两个条件推出来的结论，并证明你的结论(只要求写出一种正确的选法).
(1)你选的条件为 ，结论为 (填序号).
(2)证明你的结论.
典例1图
如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，连结DE，EF，AE.
(1)求证:四边形ADEF是平行四边形.
(2)加上条件 后，能使得四边形ADEF为菱形.请从①∠BAC＝90°;②AE平分∠BAC;③AB＝AC这三个条件中选择一个条件填空(写序号)，并加以证明.
变式1图
[2024·深圳]为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设BD的读数为x，CD读数为y，抛物线的顶点为C.
(1)(Ⅰ)列表:
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
(Ⅱ)描点:请将表格中的(x，y)描在图2中.
(Ⅲ)连线:请用平滑的曲线在图2将上述点连结，并求出y与x的关系式.
典例2图
(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB，竖直跨度为CD，且AB＝m，CD＝n，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程:
方案一:将二次函数y＝a(x－h)2＋k平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线表达式为y＝ax2.
①此时点B'的坐标为 .
②将点B'的坐标代入y＝ax2中，解得a＝ (用含m，n的式子表示).
方案二:设C点坐标为(h，k).
①此时点B的坐标为 .
②将点B坐标代入y＝a(x－h)2＋k中，解得a＝ (用含m，n的式子表示).
(3)[应用]如图4，已知平面直角坐标系xOy中有A，B两点，AB＝4，且AB∥x轴，二次函数C1:y1＝2(x＋h)2＋k和C2:y2＝a(x＋h)2＋b都经过A，B两点，且C1和C2的顶点P，Q距线段AB的距离之和为10，求a的值.
典例2图
[2024·泉州模拟]某校组织九年级学生，以“运用函数知识探究铜锌混合物中的铜含量”为主题，开展跨学科主题学习活动.已知常温下，铜与稀盐酸不会发生反应，锌与稀盐酸发生反应后不生成固体难溶物.小明按实验操作规程，在放有10 g铜锌混合物样品(不含其他杂质)的烧杯中，逐次加入等量等溶度的20 g稀盐酸，每次加入前，测出与记录前次加入并充分反应后剩余固体的质量，直到发现剩余固体的质量不变时停止加入，记录的数据如下表所示，然后小明通过建立函数模型来研究该问题，研究过程如下:
(Ⅰ)收集数据:
加入稀盐酸的累计总量x(g) 0 20 40 60 80 100 ...
充分反应后剩余固体的质量y(g) 10 8.7 7.8 6.1 4.5 3.5 ...
(Ⅱ)建立模型:在如图的平面直角坐标系中，描出这些数值所对应的点.发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是 (填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”).
(Ⅲ)求解模型:为使得所描的点尽可能多地落在该函数图象上，根据过程(Ⅱ)所选的函数类型，求出该函数的表达式.
(Ⅳ)解决问题:根据剩余固体的质量不再变化时，所加稀盐酸的总量求得样品中的铜含量.
阅读以上材料，回答下列问题:
(1)完成小明的研究过程(Ⅱ)(描点，并指出函数类型).
变式2图
(2)完成小明的研究过程(Ⅲ).
(3)设在研究过程(Ⅳ)中，发现最后剩余固体的质量保持2.2 g不再变化，请你根据前述求得的函数表达式，计算加入稀盐酸的总量至少为多少时，剩余固体均为铜.核心素养专题四 开放与探究型问题
　　开放型问题的基本形式有:条件开放题、结论开放题.这些问题的解决，需要经过探索来确定结论，或者补全条件，将开放型问题转化为封闭型问题，再选择合适的解题途径完成最后的解答.近年来还出现一些其他形式的开放题，如综合型开放题，主要是条件和结论都不确定，需要考生认定条件和结论组成一个新命题，并加以证明.这种新颖的综合型开放题，成为了中考的又一亮点.
探究型问题是一种具有开放性和发散性的问题，要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括，继而得出结论.这种题目对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求，它有利于培养学生在问题探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程.
类型一　开放型问题
如图，AB交CD于点O，在△AOC和△BOD中，有下列三个条件:①OC＝OD;②AC＝BD;③∠A＝∠B.请你在上述三个条件中选择两个作为条件，另一个作为能被这两个条件推出来的结论，并证明你的结论(只要求写出一种正确的选法).
(1)你选的条件为　①③(或②③)　，结论为　②(或①)　(填序号).
(2)证明你的结论.
典例1图
证明:(2)以条件选①③，结论选②为例.
在△AOC和△BOD中，
∵
∴△AOC≌△BOD(AAS)，∴AC＝BD.
变式1 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，连结DE，EF，AE.
(1)求证:四边形ADEF是平行四边形.
(2)加上条件　②(或③)　后，能使得四边形ADEF为菱形.请从①∠BAC＝90°;②AE平分∠BAC;③AB＝AC这三个条件中选择一个条件填空(写序号)，并加以证明.
变式1图
证明:(1)∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，且DE＝AC＝AF，
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)选②AE平分∠BAC.
∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠FAE.
∵DE∥AF，
∴∠DEA＝∠EAF，∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝ED.
又由(1)知，四边形ADEF是平行四边形，
∴ ADEF是菱形.
选③证明略.
类型二　函数图象探究型问题
[2024·深圳]为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设BD的读数为x，CD读数为y，抛物线的顶点为C.
(1)(Ⅰ)列表:
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
(Ⅱ)描点:请将表格中的(x，y)描在图2中.
(Ⅲ)连线:请用平滑的曲线在图2将上述点连结，并求出y与x的关系式.
典例2图
(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB，竖直跨度为CD，且AB＝m，CD＝n，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程:
方案一:将二次函数y＝a(x－h)2＋k平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线表达式为y＝ax2.
①此时点B'的坐标为 　.
②将点B'的坐标代入y＝ax2中，解得a＝ 　(用含m，n的式子表示).
方案二:设C点坐标为(h，k).
①此时点B的坐标为 　.
②将点B坐标代入y＝a(x－h)2＋k中，解得a＝ 　(用含m，n的式子表示).
(3)[应用]如图4，已知平面直角坐标系xOy中有A，B两点，AB＝4，且AB∥x轴，二次函数C1:y1＝2(x＋h)2＋k和C2:y2＝a(x＋h)2＋b都经过A，B两点，且C1和C2的顶点P，Q距线段AB的距离之和为10，求a的值.
典例2图
解:(1)(Ⅱ)描点连线绘制函数图象如答图.
典例2答图
(Ⅲ)抛物线过点O，故设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx，
将(2，1)，(3，2.25)代入上式，得
解得
则抛物线的表达式为y＝x2.
(2)方案一:
②将点B'的坐标代入抛物线表达式，得n＝a×m2，则a＝.
方案二:
②将点B的坐标代入抛物线表达式，得
k＋n＝a＋k，解得a＝.
(3)对于二次函数C1:m＝4，
由a＝，得2＝，解得n＝8，
则C2距线段AB的距离n＝2.
当a＞0时，则a＝;
当a＜0时，同理可得a＝－.
综上所述，a＝±.
变式2 [2024·泉州模拟]某校组织九年级学生，以“运用函数知识探究铜锌混合物中的铜含量”为主题，开展跨学科主题学习活动.已知常温下，铜与稀盐酸不会发生反应，锌与稀盐酸发生反应后不生成固体难溶物.小明按实验操作规程，在放有10 g铜锌混合物样品(不含其他杂质)的烧杯中，逐次加入等量等溶度的20 g稀盐酸，每次加入前，测出与记录前次加入并充分反应后剩余固体的质量，直到发现剩余固体的质量不变时停止加入，记录的数据如下表所示，然后小明通过建立函数模型来研究该问题，研究过程如下:
(Ⅰ)收集数据:
加入稀盐酸的累计总量x(g) 0 20 40 60 80 100 ...
充分反应后剩余固体的质量y(g) 10 8.7 7.8 6.1 4.5 3.5 ...
(Ⅱ)建立模型:在如图的平面直角坐标系中，描出这些数值所对应的点.发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是　一次函数　(填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”).
(Ⅲ)求解模型:为使得所描的点尽可能多地落在该函数图象上，根据过程(Ⅱ)所选的函数类型，求出该函数的表达式.
(Ⅳ)解决问题:根据剩余固体的质量不再变化时，所加稀盐酸的总量求得样品中的铜含量.
阅读以上材料，回答下列问题:
(1)完成小明的研究过程(Ⅱ)(描点，并指出函数类型).
变式2图
(2)完成小明的研究过程(Ⅲ).
(3)设在研究过程(Ⅳ)中，发现最后剩余固体的质量保持2.2 g不再变化，请你根据前述求得的函数表达式，计算加入稀盐酸的总量至少为多少时，剩余固体均为铜.
解:描点如答图:
变式2答图
(2)设该函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将(0，10)，(20，8.7)代入上式，得
解得
∴y＝－0.065x＋10.
故函数的表达式为y＝－0.065x＋10.
(3)根据题意，当剩余固体的质量保持2.2 g不再变化时，剩余固体均为铜，由(2)可得，当y＝2.2时，即2.2＝－0.065x＋10，
解得x＝120，
即当加入稀盐酸的总量至少为120 g时，剩余固体均为铜.

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