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第1部分第1节《集合》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．下列集合与集合A＝{2 022,1}相等的是(　　)
A．(1,2 022)
B．{(x，y)|x＝2 022，y＝1}
C．{x|x2－2 023x＋2 022＝0}
D．{(2 022,1)}
2．已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B等于(　　)
A．{－1,2} B．{1,2} C．{1,4} D．{－1,4}
3．设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝________， U(A∩B)＝________.
【知识归纳】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：____________、____________、____________.
(2)元素与集合的关系是________或________，用符号______或________表示．
(3)集合的表示法：__________、____________、____________.
(4)常见数集的记法
集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N*(或N＋)
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作________(或B A)．
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集，记作________(或B?A)．
(3)相等：若A B，且________，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是________________的子集，是________________________的真子集．
3．集合的基本运算
表示运算 　 集合语言 图形语言 记法
并集
交集
补集
常用结论：
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
【题型展示】
题型一　集合的含义与表示
例1 (1)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为(　　)
A．1 B．1或0
C．0 D．－1或0
(2)设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B的元素个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
跟踪训练1 (1)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)(多选)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，则下列四个命题中，错误的命题是(　　)
A．0 M B．{0}∈M
C．{1} M D．1 M
题型二　集合间的基本关系
例2 (1)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有________个；当B A时，实数m的取值范围是________．
(2)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，则下列结论正确的是(　　)
A．A＝B B．A∩B＝
C．A?B D．B A
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝的定义域为A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B A，则实数a的取值范围是________________．
(2)(多选)已知非空集合M满足：①M {－2，－1,1,2,3,4}，②若x∈M，则x2∈M.则集合M可能是(　　)
A．{－1,1} B．{－1,1,2,4}
C．{1} D．{1，－2,2}
题型三　集合的基本运算
命题点1　利用集合的运算求参数的值(范围)
例3 已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若( RA)∪B＝R，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
命题点2　集合的运算
例4 (1)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T等于(　　)
A． B．S C．T D．Z
(2)设全集U＝R，A＝{x|－2≤x<4}，B＝{x|y＝}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{x|x≤－2} B．{x|x>－2}
C．{x|x≥4} D．{x|x≤4}
跟踪训练3 (1)已知集合A＝{x|(x－1)·(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a的取值范围是(　　)
A．[1,4) B．(1,4)
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)
(2)设全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则 U(A∪B)等于(　　)
A．{1,3} B．{0,3}
C．{－2,1} D．{－2,0}
题型四　集合的新定义问题
例5 (1)已知集合M＝{1,2,3,4}，A M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为n.
①若n＝3，则这样的集合A共有________个；
②若n为偶数，则这样的集合A共有________个．
(2)(多选)当一个非空数集F满足条件“若a，b∈F，则a＋b，a－b，ab∈F，且当b≠0时，∈F”时，称F为一个数域，以下说法正确的是(　　)
A．0是任何数域的元素
B．若数域F有非零元素，则2 023∈F
C．集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域
D．有理数集为数域
跟踪训练4 设集合U＝{2,3,4}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大．最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依此类推．若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是________．
基础夯实
1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足 UM＝{1,3}，则(　　)
A．2∈M B．3∈M
C．4 M D．5 M
2.已知集合A＝{x|－1A.{x|0≤x<1} B.{x|－1C.{x|13.设集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则(A∩B)∪C＝(　　)
A.{0} B.{0，1，3，5}
C.{0，1，2，4} D.{0，2，3，4}
4.设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N等于(　　)
A.[0，1] B.(0，1]
C.[0，1) D.(－∞，1]
5．已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{x|x∈Z且x＋1∈A}，则B等于(　　)
A．{－1,0,1} B．{－2，－1,0}
C．{－2，－1,0,1} D．{－2，－1,0,1,2}
6．已知集合A＝{x|1m}，若A∩( RB)＝ ，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
7.已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B A，则实数a＝(　　)
A.－1 B.2
C.－1或2 D.1或－1或2
8.已知集合A＝{x|y＝log2(x2－8x＋15)}，B＝{x|a＜x＜a＋1}，若A∩B＝ ，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，3] B.(－∞，4]
C.(3，4) D.[3，4]
9.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M (A∩B)的集合M的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
10.已知集合A＝{x|x＞－1，x∈R}，B＝{x|x2－x－2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是(　　)
A.A B B. RA RB
C.A∩B＝ D.A∪B＝R
11.若集合A＝{x∈N|(x－3)(x－2)＜6}，则A中的元素个数为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
12．设集合A＝{x∈N*|2x<4}，B＝{x∈N|－1A．{x|－1C．{0,1} D．{1}
13．集合M＝{(x，y)|2x－y＝0}，N＝{(x，y)|x＋y－3＝0}，则M∩N等于(　　)
A．{(2，－1)} B．{2，－1}
C．{(1,2)} D．{1,2}
14．已知集合A＝{x|x2－6x－7<0}，B＝{y|y＝3x，x<1}，则A∩( RB)等于(　　)
A．[3,7) B．(－1,0]∪[3,7)
C．[7，＋∞) D．(－∞，－1)∪[7，＋∞)
15．(多选)已知集合A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，则实数m的值为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
16．(多选)已知全集U的两个非空真子集A，B满足( UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是(　　)
A．A∩B＝ B．A∩B＝B
C．A∪B＝U D．( UB)∪A＝A
17.已知集合A＝{x|－5＜x＜1}，B＝{x|(x－m)(x－2)＜0}，若A∩B＝(－1，n)，则m＋n＝________.
18.已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B A，则m＝________.
19.若全集U＝R，A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|0＜x≤8}，则图中阴影部分所表示的集合为________.
20.已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，则Venn图中阴影部分的集合为________．
21．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能是________．
22．已知集合A＝{x|(x＋3)(x－3)≤0}，B＝{x|2m－3≤x≤m＋1}．当m＝－1时，则A∪B＝________；若A∩B＝B，则m的取值范围为________．
23.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜1－m}，若A∩B＝ ，则实数m的取值范围是________.
24．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,3,5}，T＝{2,3,6}，则S∩( UT)＝________，集合S共有________个子集．
优化提升
25.(多选)若集合A＝{x|sin 2x＝1}，B＝，则下列结论正确的是(　　)
A.A∪B＝B B. RB RA
C.A∩B＝ D. RA RB
26.(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中每一个元素小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是(　　)
A.M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}是一个戴德金分割
B.M没有最大元素，N有一个最小元素
C.M有一个最大元素，N有一个最小元素
D.M没有最大元素，N也没有最小元素
27．(多选)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}， U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为(　　)
A．{2,3,4} B．{3,4,5}
C．{4,5,6} D．{3,5,6}
28．(多选)1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称“戴德金分割”)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是(　　)
A．M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}满足戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
29.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1 A且k＋1 A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.
30.若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆.若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是________.
31．某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人．第一天参加但第二天没参加活动的有________人，这三天参加活动的最少有________人．
32．我们将b－a称为集合{x|a≤x≤b}的“长度”．若集合M＝{x|m≤x≤m＋2 022}，N＝{x|n－2 023≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤2 024}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值为________．
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．C　2.B 3．{x|x≥－1}　{x|x<2或x≥3}
【知识归纳】
1．(1)确定性　互异性　无序性
(2)属于　不属于　∈　
(3)列举法　描述法　图示法
(4)N　Z　Q　R
2．(1)任意一个元素　A B　(2)x A
A?B　(3)B A　(4)任何集合
任何非空集合
3．{x|x∈A，或x∈B}　A∪B
{x|x∈A，且x∈B}　A∩B
{x|x∈U，且x A}　 UA
【题型展示】
例1
(1)C
(2)C
跟踪训练1
(1)C　(2)ABD
例2
(1)15　(－∞，－2)∪[－1,0]
(2)C
跟踪训练2
(1)(－∞，－3]∪[5，＋∞)
(2)AC
例3 B
例4 (1)C
(2)C
跟踪训练3
(1)A　(2)D
例5
(1)2　13
(2)ABD
跟踪训练4
{2,4}
基础夯实
1.A　
2.B
3.C
4.A
5.B　
6.A
7.C
8.D
9.C
10.D
11.B
12.C　
13.C　
14.B　
15．AD
16．CD
17.0
18.0或3
19.{x|0＜x≤6}
20.{－1,2,3}
21．0，－，
22．[－5,3]　[0,2]∪(4，＋∞)
23.[0，＋∞)
24．{1,5}　8　
优化提升
25.AB
26.BD
27．BD
28．BD
29.6
30.27
31．160　290
32．2 021

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