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第1部分第3节《等式性质与不等式性质》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是(　　)
A．ac2>bc2 B．a>b
C．a＋c>b＋c D.>
2．若13．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________．
【知识归纳】
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)
2．等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么 ；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么 ；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么 .
3．不等式的性质
性质1　对称性：a>b ；
性质2　传递性：a>b，b>c ；
性质3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ；a>b，c<0 ；
性质5　同向可加性：a>b，c>d ；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
常用结论：
1．若ab>0，且a>b <.
2．若a>b>0，m>0 <；
若b>a>0，m>0 >.
【题型展示】
题型一　数(式)的大小比较
例1　(1)若a>b>1 ，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是(　　)
A．P>Q B．P＝Q
C．P(2)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为(　　)
A．MN
C．M≤N D．M≥N
跟踪训练1　(1)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
(2)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为(　　)
A．M>N B．M＝N
C．M题型二　不等式的性质
例2　(1)(多选)若a>0>b>－a，cA．ad>bc B.＋<0
C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c)
(2)已知a>b>c>0，下列结论正确的是(　　)
A．2ab(a－c)
C.> D．(a－c)3>(b－c)3
跟踪训练2　(1)(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　　)
A.< B．|a|＋b>0
C．a－>b－ D．ln a2>ln b2
(2)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　)
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若>，则aC．若aD．若a>b，则a2>b2
题型三　不等式性质的综合应用
例3　(1)已知3(2)已知－1跟踪训练3　(1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是(　　)
A．[－7,4] B．[－6,9] C．[6,9] D．[－2,8]
(2)已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是________．
基础夯实
1.若a，b∈R，且a＞|b|，则(　　)
A.a＜－b B.a＞b C.a2＜b2 D.＞
2.已知a＋b＜0，且a＞0，则(　　)
A.a2＜－ab＜b2 B.b2＜－ab＜a2
C.a2＜b2＜－ab D.－ab＜b2＜a2
3.设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.b＞a＞c D.b＞c＞a
4．若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是(　　)
A．－2π<α－β<2π B．0<α－β<2π
C．－2π<α－β<0 D．{0}
5．已知x，y∈R，且x>y>0，则(　　)
A．cos x－cos y>0
B．cos x＋cos y>0
C．ln x－ln y>0
D．ln x＋ln y>0
6.把下列各题中的“＝”全部改成“＜”，结论仍然成立的是(　　)
A.如果a＝b，c＝d，那么a－c＝b－d
B.如果a＝b，c＝d，那么ac＝bd
C.如果a＝b，c＝d，且cd≠0，那么＝
D.如果a＝b，那么a3＝b3
7．已知a>0，b>0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系为(　　)
A．M>N
B．MC．M≤N
D．M，N大小关系不确定
8．已知a，b∈R，若a>b，<同时成立，则(　　)
A．ab>0 B．ab<0
C．a＋b>0 D．a＋b<0
9．(多选)已知aA．b2C．2a>2b D．ln(1－a)>ln(1－b)
10．(多选)已知a，b，c满足cA．ac(a－c)>0 B．c(b－a)<0
C．cb2ac
11．(多选)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有(　　)
A．c2C．ac0
12．(多选)已知非零实数a，b满足a>|b|＋1，则下列不等关系一定成立的是(　　)
A．a2>b2＋1 B．2a>2b＋1
C．a2>4b D.>b＋1
13.(多选)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为(　　)
A.若a＞b，则ac＜bc
B.若ac2＞bc2，则a＞b
C.若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
D.若a＞0＞b，则|a|＜|b|
14.(多选)下面四个选项能推出＜的有(　　)
A.b＞0＞a B.0＞a＞b
C.a＞0＞b D.a＞b＞0
15.设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.
16.实数a，b，c，d满足下列三个条件：
①d＞c；②a＋b＝c＋d；③a＋d＜b＋c.
那么a，b，c，d的大小关系是________.
17.已知非零实数a，b满足a＞b，则下列结论正确的是________(填序号).
①＜；②a3＞b3；③2a＞2b；④ln a4＞ln b4.
18．eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．
19．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”)
20．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a2>b2>c2，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．
21．若1<α<3，－4<β<2，则2α＋|β|的取值范围是________．
22.已知a＋b＞0，试比较＋与＋的大小.
23.(1)若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤；
(2)已知c＞a＞b＞0，求证：＞.
优化提升
24.已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a＜b≤c B.b≤c＜a
C.b＜c＜a D.b＜a＜c
25．已知0A．mC．p26．已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　)
A．a＞0＞b B．a＞b＞0
C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
27．(多选)设实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则下列不等式成立的是(　　)
A．cC．b≤a D．a28.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则的取值范围是________.
29．实数a，b，c，d满足下列三个条件：
①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d那么a，b，c，d的大小关系是________．
30.若a＞b＞0，c＜d＜0，|b|＞|c|.
(1)求证：b＋c＞0.
(2)求证：＜.
(3)在(2)的不等式中，能否找到一个代数式，满足＜所求式＜？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．D　
2.
3.M>N
【知识归纳】
1．>　＝　<
2．b＝a　a＝c　＝
3．bc　ac>bc　aca＋c>b＋d　ac>bd
【题型展示】
例1 (1)C
(2)B
跟踪训练1 (1)M>N
(2)A
例2 (1)BCD
(2)D
跟踪训练2 (1)AC　(2)C
例3 (1)
(2)(－4,2)　(1,18)
跟踪训练3 (1)A
(2)－2<<－
基础夯实
1.B
2.A
3.B
4.C　
5.C　
6.D
7．B　
8.A　
9.AD　
10.BCD
11．AD
12．ABC
13.BC
14.ABD
15.[5，10]
16.b＞d＞c＞a
17.②③
18．eπ·πe19．>　
20.－3，－1,0(答案不唯一)
21．(2,10)
22.＋－＝＋
＝(a－b)·＝.
∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，
∴≥0.
∴＋≥＋.
23.证明　(1)∵bc≥ad，＞0，∴≥，
∴＋1≥＋1，∴≤.
(2)∵c＞a＞b＞0，∴c－a＞0，c－b＞0.
∵a＞b＞0，∴＜，
又∵c＞0，∴＜，∴＜，
又c－a＞0，c－b＞0，∴＞.
优化提升
24.A
25．A
26．A
27．BD
28.
29．b>d>c>a
30.(1)证明　因为|b|＞|c|，且b＞0，c＜0，所以b＞－c，所以b＋c＞0.
(2)证明　因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.
又a＞b＞0，所以由同向不等式的可加性可得a－c＞b－d＞0，
所以(a－c)2＞(b－d)2＞0，
所以0＜＜①.
因为a＞b，d＞c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d＞b＋c，
所以a＋d＞b＋c＞0②.
①②相乘得＜.
(3)解　因为a＋d＞b＋c＞0，0＜＜，
所以＜＜或＜＜.
所以，均为所求代数式.(只要写出一个即可)