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第1部分第5节《一元二次方程及不等式》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为(　　)
A．1 B．2 C．－1 D．－2
2．不等式<0的解集为(　　)
A． B．(2,3)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，＋∞)
3．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
【知识归纳】
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数的图象
方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1不等式的解集 {x|x≠－} R
2．分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) ；
(2)≥0(≤0) .
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为 ，|x|0)的解集为 ．
【题型展示】
题型一　一元二次不等式的解法
命题点1　不含参数的不等式
例1　(1)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是(　　)
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}
C．a＋b＋c>0
D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为∪
(2)不等式|x|(1－2x)>0的解集是(　　)
A.
B.
C．(－∞，0)∪
D．(－∞，0)∪
命题点2　含参数的一元二次不等式
例2　已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.
(1)若不等式f(x)<0的解集为，求a的值；
(2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集．
跟踪训练1　解关于x的不等式．
(1)>1；
(2)m>0时，mx2－mx－1<2x－3.
题型二　一元二次不等式恒成立问题
命题点2　在R上恒成立问题
命题点1　在给定区间上恒成立问题
例3　已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．
例4　(多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k可以是(　　)
A．0 B．－24 C．－20 D．－2
命题点3　在给定参数范围内的恒成立问题
例5　(2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　)
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
跟踪训练2　(1)设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则(　　)
A．a≤2 B．a≥2
C．a≤ D．a≥
(2)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为 ，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2C．{a|－2基础夯实
1.不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为(　　)
A.(－2，5)
B.(－∞，－2)∪(5，＋∞)
C.(－5，2)
D.(－∞，－5)∪(2，＋∞)
2．已知命题p：“ x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．－1C．a<－1 D．－1≤a<2
3．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1A. B.
C．{x|－21}
4．已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是(　　)
A．αC．m<α<β5.函数y＝的定义域为(　　)
A.(－4，－1) B.(－4，1)
C.(－1，1) D.(－1，1]
6.关于x的不等式x2＋px－2＜0的解集是(q，1)，则p＋q的值为(　　)
A.－2 B.－1 C.1 D.2
7.已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　　)
A.[0，1]
B.(0，1]
C.(－∞，0)∪(1，＋∞)
D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
8.若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.∪{2}
9．(多选)与不等式x2－x＋2>0的解集相同的不等式有(　　)
A．x2＋x－2>0 B．－x2＋x－2>0
C．－x2＋x－2<0 D．2x2－3x＋2>0
10．(多选)已知a∈R，关于x的不等式>0的解集可能是(　　)
A．(1，a) B．(－∞，1)∪(a，＋∞)
C．(－∞，a)∪(1，＋∞) D．
11．(多选)已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
12.(多选)设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为(　　)
A. B.3 C.－4.5 D.－5
13.(多选)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a＞0)有且只有一个零点，则(　　)
A.a2－b2≤4
B.a2＋≥4
C.若不等式x2＋ax－b＜0的解集为(x1，x2)，则x1x2＞0
D.若不等式x2＋ax＋b＜c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4
14.不等式＞2的解集为________.
15.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为(－∞，0]，若关于x的不等式f(x)＞c－1的解集为(m－4，m)，则实数c的值为________.
16．若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值为________．
17．不等式>x的解集是________．
18.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)＞0；
(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值.
19.函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围.
20．已知集合：①A＝；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}(m为常数)，从①②③这三个条件中任选一个作为集合A，求解下列问题：
(1)定义A－B＝{x|x∈A且x B}，当m＝0时，求A－B；
(2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
21．已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.
(1)若不等式f(x)≥－2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若a<0，解关于x的不等式f(x)优化提升
22.若mx2－mx－1＜0对于m∈[1，2]恒成立，则实数x的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.R
23．下面给出了问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－20.”的一种解法：
因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－20可化为a(－x)2＋b(－x)＋c>0，所以－2<－x<1，即－10的解集为{x|－1参考上述解法，解答问题：
若关于x的不等式＋<0的解集为{x|－2A.∪ B．(－1,1)∪(1,3)
C．(－3，－1)∪(1,2) D.∪
24．关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(m，n)(m甲：m＝－3；乙：n＝－1；丙：m＋n＝－2；丁：ac<0.
如果只有一个假命题，则假命题是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
25．(多选)已知函数f(x)＝x2－ax－1，当x∈[0,3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的值可以是(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．3
26.已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________.
27．已知0<θ<，若cos2θ＋2msin θ－2m－2<0恒成立，则实数m应满足的条件是________．
28.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．B
2．B
3．[1,3]
【知识归纳】
1．{x|xx2}
2．(1)f(x)g(x)>0(<0)
(2)f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0
3．(－∞，－a)∪(a，＋∞)　(－a，a)
【题型展示】
例1 (1)ABD
(2)D
例2 解　(1)不等式f(x)<0，
即ax2＋(2－4a)x－8<0，
可化为(ax＋2)(x－4)<0.
因为f(x)<0的解集是，
所以a>0且－＝－，
解得a＝3.
(2)不等式f(x)>0，
即ax2＋(2－4a)x－8>0，
因为a<0，所以不等式可化为(x－4)<0，
当4<－，即－当4＝－，即a＝－时，原不等式的解集为 ；
当4>－，即a<－时，原不等式的解集为.
综上所述，
当－原不等式的解集为；
当a＝－时，原不等式的解集为 ；
当a<－时，
原不等式的解集为.
跟踪训练1 解　(1)移项得－1>0，合并得>0，
等价于(3x＋1)(－x－2)>0，
即(3x＋1)(x＋2)<0，
解得－2所以不等式的解集为.
(2)移项得mx2－(m＋2)x＋2<0，
对应的方程(mx－2)(x－1)＝0的两根为和1，
当01，
解得1当m＝2时，＝1，原不等式无解；
当m>2时，<1，解得综上所述，当0当m＝2时，原不等式的解集为空集；
当m>2时，原不等式的解集为.
例3
例4 ACD
例5 D
跟踪训练2 (1)C　(2)C
基础夯实
1.A
2.D　
3.A　
4.C　
5.C
6.B
7.A
8.B
9．CD　
10.BCD
11．AB　
12.BC
13.ABD
14.{x|1＜x＜4}
15.－3
16.－4
17.(－∞，－1)∪(1,5)　
18.(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，解得3－2＜a＜3＋2.
所以不等式的解集为
{a|3－2＜a＜3＋2}.
(2)∵f(x)＞b的解集为(－1，3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，
∴解得
故a的值为3±，b的值为－3.
19.解　(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，
∴实数a的取值范围是[－6，2].
(2)由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0
在x∈[－2，2]上恒成立，
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，
则有①Δ≤0或②或
③
解①得－6≤a≤2，解②得a∈ ，
解③得－7≤a＜－6.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2].
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3，
当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立，
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
∴实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞).
20．解　(1)选①：
>1，若x＋1>0，即x>－1时，>1，即4>x＋1，
解得－1若x＋1<0，则<0，
则>1无解，
所以>1的解集为(－1,3)，
故A＝(－1,3)，由m＝0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0故B＝(0,1)，
则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．
选②：
x2－2x－3<0，解得－1故A＝(－1,3)，
m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，
解得0则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．
选③：
|x－1|<2，－2解得－1故A＝(－1,3)，
m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，
解得0故B＝(0,1)，
则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．
(2)由(1)可知，条件①②③求出的集合A相同，即A＝(－1,3)．
由x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0，
即(x－m)[x－(m＋1)]<0，
解得B＝(m，m＋1)，
因为p是q成立的必要不充分条件，所以B?A，所以
或
解得－1≤m≤2，
故m的取值范围为[－1,2]．
21．解　(1) x∈R，f(x)≥－2恒成立等价于 x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0，
当a＝0时，x≥0，对一切实数x不恒成立，则a≠0，
此时必有
即解得a≥，
所以实数a的取值范围是.
(2)依题意，因为a<0，则f(x)0，
当a＝－1时，－＝1，
解得x≠1；
当－11，
解得x<1或x>－；
当a<－1时，0<－<1，
解得x<－或x>1，
所以，当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；当－1当a<－1时，原不等式的解集为.
优化提升
22.B
23．A
24．B
25．CD
26.　
27．m≥－
28.解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a＞0时，
原不等式可化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1.
③当a＜0时，
原不等式化为(x＋1)≤0.
当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当＜－1，即－2＜a＜0时，
解得≤x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＞0时，不等式的解集为
；
当－2＜a＜0时，不等式的解集为
；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为.

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