资源简介

专题一 集合与常用逻辑用语
典例分析
考查方式
集合是每年高考的必考内容，以选择题为主，难度较低，主要考查元素与集合间的关系、集合之间的基本关系、集合的基本运算（高频考法），通常会穿插不等式、函数等知识一起考查，角度灵活多变，解题时需要注意基础知识的灵活运用.
常用逻辑用语相关的考题主要考查充分、必要条件的判定，全称量词命题与存在量词命题的否定，常以其他知识（如三角函数、数列、向量等）为载体命题.
高考真题
1．[2023年 新课标Ⅰ卷]已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2．[2023年 新课标Ⅱ卷]设集合，，若，则( )
A.2 B.1 C. D.-1
3．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4．[2022年 新高考Ⅱ卷]已知集合，，则( )
A. B. C. D.
5．[2022年 新高考Ⅰ卷]若集合，，则( )
A. B.
C. D.
6．[2024年 新课标Ⅱ卷]已知命题，，命题，.则( )
A.p和q都是真命题 B.和q都是真命题
C.p和都是真命题 D.和都是真命题
参考答案
1．答案：C
解析：因为或，所以，故选C.
2．答案：B
解析：依题意，有或.当时，解得，此时，，不满足；当时，解得，此时，，满足.所以，故选B.
3．答案：A
解析：方法一：因为，，所以，故选A.
方法二：因为，，，，，所以，，，，，所以，故选A.
4．答案：B
解析：通解：由，得，解得，所以，所以，故选B.
优解：因为，所以，故排除C，D；又，所以，故排除A.故选B.
5．答案：D
解析：通解（直接法）因为，所以；因为，所以.所以，故选D.
光速解（特取法）观察选项进行特取，取，则，，所以，排除A，B；取，则，，所以，排除C.故选D.
6．答案：B
解析：法一：因为，，所以命题p为假命题，所以为真命题.因为，所以，所以，即，解得或或，所以，使得，所以命题q为真命题，所以为假命题，所以和q都是真命题，故选B.
法二：在命题p中，当时，，所以命题p为假命题，为真命题.在命题q中，因为立方根等于本身的实数有，0，1，所以，使得，所以命题q为真命题，为假命题，所以和q都是真命题，故选B.
重难突破
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题，，则命题p的否定形式是( )
A.， B.，
C.， D.，
3.设集合，，则( )
A. B.
C. D.
4.“”是“函数在区间上为增函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知命题“，”是假命题，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集，且，那么称子集族构成集合U的一个k划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为( )
A.3 B.4 C.14 D.16
7.已知，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.，若，则实数x的取值集合为( )
A. B.
C. D.
9.如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
10.命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分必要条件是( )
A. B. C. D.
11.集合，，，C中元素的和为6，则C中元素的积为( )
A.1 B. C.8 D.
12.已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”.①集合是“完美集”；②若是两个不同的正数，且是“完美集”，则至少有一个大于；③二元“完美集”有无穷多个；④若为正整数，则“完美集”有且只有一个，且；上列结论是真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
13.（多选）设全集，集合，，，则( )
A.集合A的真子集个数是7 B.
C. D.
14.（多选）下列四个结论中正确的是( )
A.，
B.命题“，”的否定是“，”
C.“”是“”的充分不必要条件
D.“”的充要条件是“”
15.（多选）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合A和B，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作A与B的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合M，N，T，下列说法错误的是( )
A. B.
C. D.
16.设集合，，若，则实数a的取值范围是____________.
17.已知命题p：，；命题q：，.若p，q都是假命题，则实数m的取值范围是______.
18.树德中学对高一强基班的学科培优进行了调查.调查结果显示：参加物理培优的有60人，参加数学培优的有80人，参加化学培优的有50人，三科培优都参加的有24人，只选择两科培优参加的有22人，不参加其中任何一科培优的有15人，则接受调查的高一强基班学生共有__________人.
19.已知集合，集合其中是的充分不必要条件，则m的取值范围是________________．
20.设集合，，已知且，则a的取值集合为_________.
21.已知集合，.
(1)当时，求，；
(2)若，求a的取值范围.
22.已知关于x的方程有实数根，.
(1)若命题是真命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
23.已知全集为R，集合，集合.
（1）若，求，；
（2）若，求实数m的取值范围.
24.设集合，；
（1）用列举法表示集合A；
（2）若是的充分条件，求实数m的值；
（3）求，.
25.定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集；
(1)求集合的生成集B；
(2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；
(3)若集合，A的生成集为B，求证.
答案以及解析
1.答案：D
解析：依题意，集合，而，所以.故选：D.
2.答案：C
解析：命题，，为全称量词命题，则该命题的否定为：，.
故选：C
3.答案：B
解析：，，故.故选：B.
4.答案：A
解析：函数在区间上为增函数，则，则“”是“”的充分不必要条件，故“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，故选：A.
5.答案：A
解析：已知原命题为假命题，那么它的否定“，”为真命题.
对于一元二次函数，要使其对于任意实数x都大于等于0.
因为恒成立，所以，即，解得.故选：A.
6.答案：B
解析：依题意，，
的2划分为，共3个，
的3划分为，共1个，
故集合的所有划分的个数为4.故选：B.
7.答案：A
解析：由可知，所以，所以充分性成立，当，时，满足，但是不成立，所以必要性不成立，故选：A.
8.答案：A
解析：由题意，或，或，由集合元素互异性可知，
则实数x的取值集合为.故选：A.
9.答案：B
解析：依题意，集合，而，则，
由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为.故选：B
10.答案：D
解析：由得；
①当时，，则，解得，
因为，，满足题意；
②当时，，
若存在唯一的，使得成立，
则与有且仅有一个交点，
在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示，
由图象可知：当时，与有且仅有一个交点，
所以，，解得，此时，；
③当时，，
由②同理可得，解得：，则.
综上所述：原命题成立的充要条件为.故选：D.
11.答案：D
解析：因为，，所以，，，所以，，，，.若，则（舍去）或，此时，符合题意，所以C中的元素的积为；若，则或，此时或，与已知C中的元素和为6不符；若，则或（舍去），此时，与已知C中的元素和为6不符；若，则或（舍去），此时，与已知C中的元素和为6不符；若，则，则，即，此时，所以该方程无解.综上，C中元素的积为.故选D.
12.答案：D
解析：对于①中，，，
集合是“完美集”，所以①正确；
对于②中，若、是两个不同的正数，且是“完美集”，
设，
根据根和系数的关系知，和相当于的两根，
由，解得或(舍去)，所以，又均为正数，
所以、至少有一个大于2，所以②正确；
对于③中，由②知，一元二次方程，当t取不同的值时，的值是不同的，
所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确；
对于④，不妨设A中，
由，得，
当时，即有，所以，于是，无解，
即不存在满足条件的“完美集”；
当时，，故只能，，求得，
于是“完美集”A只有一个，为.
当时，由，即有，
事实上，，矛盾，
所以当时不存在完美集A，所以④正确.
故选：D.
13.答案：ABD
解析：对于A选项，集合A的元素个数为3，则集合A的真子集个数是，A对；
对于B选项，因为，，则，B对；
对于C选项，因为全集，集合，，
则，，则，C错；
对于D选项，由C选项可知，因为，，则，D对.
故选：ABD
14.答案：ABD
解析：对于A，由，解得，，即，，，故A正确；对于B，根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，命题“，”的否定为：“，”，故B正确；对于C，若，则不一定成立，令，，满足，但，，，即；反之，若，由，可得，即.所以“”是“”的必要不充分条件，故C错误；对于D，由于是R上的增函数，所以.所以“”的充要条件是“”，故D正确.故选：ABD.
15.答案：ABC
解析：对于A，若，，则，，，A错误；
对于B，若，，，则，
而，，B错误；
对于C，若，，，则，
，，，C错误；
对于D，任取元素，则且，则且，
于是且，即，
反之若任取元素，则且，
因此，且，即且，
所以，即，D正确.故选：ABC
16.答案：
解析：由题意得，，
所以，则，即.
17.答案：
解析：命题p的否定，为真命题，当时恒成立，当时，可得，故.命题q的否命题，为真命题，所以，解得或，故范围是.
18.答案：135
解析：由文恩图可得；参加培优的人数为，
又不参加其中任何一科培优的有15人，
所以接受调查的高一强基班学生共有.
故答案为：135.
19.答案：
解析：因为是的充分不必要条件，所以，因为不等式的解集为，所以，所以，所以，所以m的取值范围是.
20.答案：
解析：因为，即，所以或.若，则或；若，即，则或.由与互异，得，故或.又，即，所以且，解得且.综上所述，a的取值集合为.故答案为.
21.答案：(1)，.
(2)
解析：(1)当时，，而，
则，.
(2)由，得或，解得或，
所以a的取值范围是.
22.答案：(1)
(2)
解析：(1)因为命题是真命题，则命题p是假命题，
即关于x的方程无实数根，
因此，解得，
所以实数a的取值范围是.
(2)由(1)知，若命题p是真命题，则，
因为命题p是命题q的必要不充分条件，
则是的真子集，
因此，解得，
所以实数m的取值范围是.
23.答案：（1）；
（2）
解析：（1），
当时，，，，
；
（2），，
当时，，解得；
当时，解得；
综上，.
24.答案：（1）
（2）
（3）答案见解析
解析：（1）集合，即；
（2）由已知，，
若是的充分条件，则，
情形一：若，则，故满足题意；
情形二：若，则，故满足题意；
情形三：若且，则存在，但，这与矛盾，故此情形不符合题意；
综上所述，满足题意的m的值为1或2；
（3），
情形一：当时，，此时，；
情形二：当时，，此时，；
情形三：当且时，，此时，；
综上所述，当时，，；当时，，；当且时，，.
25.答案：(1)；
(2)或；
(3)证明见解析
解析：（1）由题可知，
(1)当时，，
(2)当时，，
（3）当，或，时，
所以
（2）①当时，，
②当时，
③当，或，时，
B的子集个数为4个，则B中有2个元素，
所以或或，
解得或（舍去），
所以或.
（3）证明：，
，，
，，
设任意，取，则，所以，
则，
所以；
所以

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