资源简介

专题十 复数
典例分析
考查方式
复数在高考中注重基础，多以选择题的形式出现，大多单独考查，主要考查四则运算和几何意义，同时可能涉及实部、虚部、共轭复数、复数的模等概念的理解.
高考真题
1．[2024年 新课标Ⅱ卷]已知，则( )
A.0 B.1 C. D.2
2．[2024年 新课标Ⅰ卷]若，则( )
A. B. C. D.
3．[2023年 新课标Ⅰ卷]已知，则( )
A. B.i C.0 D.1
4．[2023年 新课标Ⅱ卷]在复平面内，对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5．[2022年 新高考Ⅰ卷]若，则( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
参考答案
1．答案：C
解析：，故选C.
2．答案：C
解析：解法一：因为，所以，即，即，所以，故选C.
解法二：因为，所以，即，即，所以，故选C.
3．答案：A
解析：因为，所以，即.
故选A.
4．答案：A
解析：，在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，故选A.
5．答案：D
解析：因为，所以，所以，所以.故选D.
重难突破
1.已知复数z满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数z在复平面内对应的点为，则( )
A. B. C. D.
3.已知i为虚数单位，若复数z满足，则( )
A.1 B. C.2 D.
4.复数的共轭复数在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.已知复数为纯虚数，则实数a的值为( )
A.2 B.-1 C.1 D.-2
6.若复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.若复数，则( )
A. B.5 C. D.2
8.若，则( )
A. B. C. D.
9.若复数z满足，则( )
A.10 B. C.20 D.
10.若复数z满足，则z的虚部与实部之差为( )
A.2 B.-2 C.-4 D.
11.已知复数z满足，则( )
A. B. C. D.
12.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
13.（多选）已知复数，以下说法正确的是( )
A.z的实部是3
B.
C.
D.z在复平面内对应的点在第一象限
14.（多选）若复数z满足，则( )
A. B.z的虚部为 C.为纯虚数 D.
15.（多选）对于复数z，下列说法正确的是( )
A.若，则 B.
C.一定是纯虚数 D.若，，则
16.i是虚数单位，复数___________.
17.若复数（i为虚数单位，）的实部与虚部互为相反数，则______
18.已知a为实数，若复数为纯虚数，则z的值为________.
19.若复数z满足，i为虚数单位，为z的共轭复数，则________.
20.设复数z满足，则__________.
21.已知复数z为纯虚数，是实数，i是虚数单位.
（1）求复数z；
（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围.
22.已知复数，，在复平面内表示的点分别为，，O为坐标原点.
（1）若复数在复平面内对应的点在直线上，求的值；
（2）若与的夹角为锐角，求实数m的取值范围.
23.已知复数z满足，，且z在复平面内对应的点在第二象限.
（1）求复数z；
（2）若复数满足，求在复平面内对应的点的集合构成图形的面积.
24.已知复数，为实数.
(1)求；
(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且z为实系数方程的根，求实数m的值.
25.已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）.
(1)设复数，求；
(2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为，所以.故选：B.
2.答案：B
解析：由题意，因为，所以，故选：B.
3.答案：B
解析：因为，所以，所以，所以.
故选：B.
4.答案：D
解析：因为，则，
因此，复数z的共轭复数在复平面对应的点位于第四象限.故选：D.
5.答案：C
解析：，
复数为纯虚数，故且，则.故选：C.
6.答案：C
解析：，在复平面内对应的点在第三象限，故选C.
7.答案：C
解析：根据复数的运算，化简可得，所以，
则 .故选：C.
8.答案：D
解析：由，可得，故，故选：D
9.答案：B
解析：由已知，
所以.故选：B.
10.答案：B
解析：因为，
所以，复数z的虚部为-3，实部为-1，
所以，z的虚部与实部之差为.故选：B.
11.答案：A
解析：由，得，
所以，故选：A.
12.答案：A
解析：依题意，，则，
所以的虚部为.故选：A
13.答案：ABC
解析：，则z的实部是3，故A正确；，B正确；，C正确，z在复平面内对应的点的坐标是，在第四象限，故D错误.故选ABC.
14.答案：BCD
解析：设，则，，
，，解得，，故.
A.，选项A错误.
B.z的虚部为，选项B正确.
C.，为纯虚数，选项C正确.
D.由得，故，选项D正确.
故选：BCD.
15.答案：BD
解析：对于选项A：例如，则，故A错误；
对于选项C：例如，则，，故C错误；
设，则，
对于选项B：因为，
所以，故B正确；
对于选项D：若，可得，且，即，
可得，即，故D正确；故选：BD
16.答案：
解析：.故答案为：.
17.答案：
解析：因为，；复数的实部与虚部互为相反数，，解得.
18.答案：
解析：由复数为纯虚数，得，解得，
所以.
19.答案：5
解析：由，可得；
则可得，因此.
20.答案：
解析：设，，则，所以，又，
所以，解得，所以，则.
21.答案：（1）；
（2）
解析：（1）由已知复数z为纯虚数，设（且），
所以.
又因为是实数，所以，
解得，即.
（2）因为，所以，
又因为复数所表示的点在第一象限，
所以解得，
即实数m的取值范围为.
22.答案：（1）
（2）
解析：（1），因为复数在复平面内对应的点在直线上，
所以，解得.
所以.
所以.
（2），，
因为与的夹角为锐角，则且两向量不同向，
所以，
即，即，解得或，
当两向量共线且同向时，设且，
即，，所以，解得，，
所以，
综上，实数m的取值范围为.
23.答案：（1）
（2）
解析：（1）设.
因为，且，，
所以，解得或，
又z在复平面内对应的点在第二象限，
所以，所以.
（2）由（1）知，
所以，
所以，所以，
所以在复平面内对应的点的集合是以为圆心，1为半径的圆及圆的内部，其面积为.
24.答案：(1)
(2)-3
解析：(1)由，为实数，
则为实数，
所以，即，，
所以.
(2)由在复平面内对应的点在第四象限，
所以，
又为实系数方程的根，
则，
所以，，
又，所以.
25.答案：(1).；
(2)
解析：（1）因为，则，
所以，为纯虚数，
所以，，解得.
解：，
因此，.
（2）因为，
则，
因为复数在复平面内对应的点位于第一象限，则，解得.
因此，实数a的取值范围是.

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