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专题三 三角函数与解三角形
典典例分析
析
考查方式
三角函数及解三角形在高考中通常以简单题和中档题为主，高考对此部分的考查难度略有提高，更注重综合应用. 高考中有时直接考查三角函数的图象与性质、图象的伸缩变换、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等，有时会将其作为数学工具，隐含在平面向量、立体几何、解析几何、函数等问题中考查. 复习过程中，要贯通三角函数与基本初等函数、导数方法之间的联系，在函数主题的整体视角下审视三角函数问题，提高思维的灵活性和分析问题、解决问题的能力.
高考真题
1．[2023年 新课标Ⅰ卷]已知，，则( )
A. B. C. D.
2．[2023年 新课标Ⅱ卷]已知为锐角，，则( )
A. B. C. D.
3．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知，，则( )
A. B. C. D.3m
4．[2024年 新课标Ⅰ卷]当时，曲线与的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
5．[2024年 新课标Ⅱ卷]（多选）对于函数和，下列说法中正确的有( )
A.与有相同的零点
B.与有相同的最大值
C.与有相同的最小正周期
D.与的图象有相同的对称轴
6．[2024年 新课标Ⅱ卷]已知为第一象限角，为第三象限角，，，则__________.
7．[2024年 新课标Ⅰ卷]记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）求B；
（2）若的面积为，求c.
8．[2024年 新课标Ⅱ卷]记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求A；
（2）若，，求的周长.
参考答案
1．答案：B
解析：依题意，得，所以，所以
，所以，故选B.
2．答案：D
解析：法一：由题意，，得，又为锐角，所以，所以，故选D.
法二：由题意，，得，将选项逐个代入验证可知D选项满足，故选D.
3．答案：A
解析：由得①.由得②，由①②得，所以，故选A.
4．答案：C
解析：因为函数的最小正周期，所以函数在上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数与在上的图象如图所示，
由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C.
5．答案：BC
解析：对于A，令，则，，又，故A错误；
对于B，与的最大值都为1，故B正确；
对于C，与的最小正周期都为，故C正确；
对于D，图象的对称轴方程为，，即，，图象的对称轴方程为，，即，，故与的图象的对称轴不相同，故D错误.故选BC.
6．答案：
解析：由题知，即，又，可得.由，，，，得，.又，所以是第四象限角，故.
7．答案：（1）
（2）
解析：（1）由余弦定理得，
又，.
，，
又，.
（2）由（1）得，
由正弦定理，得，.
的面积，得.
8．答案：（1）
（2）
解析：（1）法一：由，得，
所以.
因为，所以，
所以，故.
法二：由，得，
两边同时平方，得，
则，
整理，得，
所以，则.
因为，所以或.
当时，成立，符合条件；
当时，不成立，不符合条件.
故.
法三：由，得，
两边同时平方，得，
则，
整理，得，
所以，则.
因为，所以.
（2）由，得，
由正弦定理，得，所以，
因为，所以.
，
所以
.
法一：由正弦定理，得，
.
所以的周长为.
法二：由正弦定理，
得，
所以，
所以的周长为.
重难突破
1.已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是( )
A. B. C. D.
2.若角为第二象限角，，则( )
A. B. C. D.
3.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B.2 C. D.
5.已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.将函数(其中)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则的最小值是( )
A.6 B. C. D.
7.已知角，满足，，则( )
A. B. C. D.2
8.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
9.已知函数（）在上单调，在上存在极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知函数的最小正周期为T.若，且曲线关于点中心对称，则( )
A. B. C. D.
11.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测量球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为( )()
A. B. C. D.
12.已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是( )
A.函数的图象关于点中心对称
B.函数的单调增区间为
C.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D.函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为
13.（多选）已知，则下列说法正确的是( )
A. B.
C.若，则 D.若，则
14.（多选）已知函数，则下列说法正确的是( )
A.当时，的最小正周期为
B.函数过定点
C.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则的最小值为
D.函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
15.（多选）若的内角A，B，C对边分别是a，b，c，，且，则( )
A.外接圆的半径为 B.的周长的最小值为
C.的面积的最大值为 D.边的中线的最小值为
16.已知，则_____________.
17.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数，则的最小值为________.
18.已知，，，，则___________.
19.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，且，则面积的最大值为___________.
20.如图，已知函数（其中，，）的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，，，.则函数在上的值域为___________.
21.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）求c；
（2）设D为边上一点，且，求的面积.
22.已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，得到的图象，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积.
23.已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)求在上的值域.
24.在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知______.
（1）求角A；
（2）若，，求边上的中线的长.
注：若选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分.
25.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若的最大值为，求a的值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为扇形面积为，半径是1，所以扇形的弧长为，所以扇形的圆心角为.故选：C.
2.答案：B
解析：因为，，又角为第二象限角，
解得.故选：B
3.答案：C
解析：设，，，
，
，，，故选：C
4.答案：C
解析：由，得，而，
因此，所以.故选：C
5.答案：C
解析：，
由函数在上单调递减.且，，解得：，，因为，当且仅当时，有满足要求的取值，即.故选：C.
6.答案：D
解析：将的图象向左平移个单位，可得
所得图象关于，所以，
所以，即，
由于，故当时取得最小值.故选：D.
7.答案：B
解析：因为，
，
所以，
即，则，
因为，所以，
其中，
故，解得.故选：B.
8.答案：C
解析：在中，由及正弦定理得，
即，由余弦定理得，，
则，当且仅当时取等号，因此，
的面积，
所以当时，的面积取得最大值.故选：C
9.答案：B
解析：函数，令，
则其减区间为，增区间为，，
由函数在上单调，则，解得，
①当函数在上单调递减时，则，解得，
由，则，；
②当函数在上单调递增时，则，解得，
由，则不符合题意；易知当，即时，函数取得极值，可得，解得，由，则，，综上所述，.故选：B.
10.答案：B
解析：由，则，由，
则，解得，
由，则当时，函数取得对称中心，
由题意可得，化简可得，
当时，，显然当时，，
所以，则.
故选：B.
11.答案：B
解析：如图，设球的半径为R，
则，，
所以由题，又，
故
，
所以，即该球体建筑物的高度约为.
故选：B.
12.答案：C
解析：，
由图可知，，可得，，
，，故A正确；
，解得，
所以函数在单调递增，故B正确；
函数的图象向左平移个单位长度得，
，故C错误；
，，
当时，，此时有两个零点，
即，可得，故D正确.
故选：C.
13.答案：ABD
解析：对于A：，故A正确；
对于B：
，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：因为，所以，又，，
所以，则，
所以，故D正确.
故选：ABD
14.答案：BC
解析：A选项错误，当时，最小正周期；
B选项正确，，与的取值无关；
C选项正确，向左平移个单位长度后的函数解析式，
令，，解得，当时，的最小正值为；
D选项错误，令，即，解得或，，即或者，要使得在区间上恰好有5个零点，令，满足，解得.故选BC.
15.答案：ACD
解析：对于A：，由正弦定理得，
即，
即，
因为，所以，
所以，，
因为，则，
令外接圆的半径为R，
根据正弦定理可得，
即，故A正确；
对于C：由余弦定理知，，
因为，，所以，，
当且仅当时等号成立，
因为，
所以的最大值为，故C正确；
对于B：由C知，则，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最大值为，故B错；
对于D：因为为边上的中线，
所以，，
得，因为，
所以的最小值为，故D正确；
故选：ACD
16.答案：
解析：由诱导公式得，
故，
所以.
故答案为：.
17.答案：
解析：，
图象向右平移个单位长度后得到是偶函数，
，，，，的最小值为.
18.答案：
解析：由，两边平方得，所以，
故，因为，所以，
解得，又因为，所以.
故答案为：.
19.答案：
解析：，，.
由正弦定理，得，.由余弦定理，得，
且，，当且仅当时等号成立，，
，面积的最大值为.
20.答案：
解析：由题意得，，，，，，，.，，把代入上式可得，，又，，，，又，，，又，，函数，当时，，，，故答案为.
21.答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，所以，，所以.在中，由余弦定理得，
即，解得（舍去），.
（2）
因为，，，由余弦定理得，
又，即是直角三角形，所以，
则，，又，则，
所以的面积为.
22.答案：（1）且
（2）
解析：（1）由题设，则，
所以且，可得且，
所以解集为且.
（2）由题意，则，
所以，，
所以曲线在点处的切线为，
显然切线过，，故其与坐标轴围成的三角形面积为.
23.答案：(1)；
(2).
解析：（1）观察图象知，，，即，
又，且0在的递增区间内，
则，，由，得，，
解得，，又且，解得，因此，，
所以函数的解析式是.
（2）由（1）知，，当时，，
而正弦函数在上单调递减，在上单调递增，
于是，，
所以在上的值域为.
24.答案：（1）任选一个，答案均为；
（2）.
解析：（1）选①，
由正弦定理得，
，
，
，三角形中，所以，
又，所以；
选②
由正弦定理得，三角形中，
所以，又三角形中，所以，，
所以，即；
选③，
由余弦定理得，整理得，
所以，而，；
（2）由（1），，
由余弦定理得：
，又，，
所以，
所以，.
25.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题设及正弦边角关系，有，
所以，
整理得，即，
显然不合题设，则，
所以，而，可得.
（2）由，可得，，
所以，
由（1）知：，则
，
由，则，又的最大值为，
所以，可得（负值舍），
综上，.

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