资源简介

专题七 空间向量与立体几何
典例分析
考查方式
高考对于立体几何的考查通常在选择题、填空题中，主要考查几何体的结构特征，几何体表面积、体积的计算，空间点、线、面位置关系的判定，空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的找法及计算，与截面、球有关的问题（此类问题往往难度较大），在解答题中主要考查平行与垂直的判定，空间角、空间距离的计算，常采用论证与计算相结合的模式. 此外立体几何也可能出现以生活、科技等为情境的试题，同时对立体几何的考查还涉及和其他知识的交汇，复习的重点在于提高空间想象能力、计算能力和阅读理解能力.
高考真题
1．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
2．[2024年 新课标Ⅱ卷]已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为( )
A. B.1 C.2 D.3
3．[2023年 新课标Ⅱ卷]（多选）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，
，点C在底面圆周上，且二面角为，则( )
A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为
C. D.的面积为
4．[2023年 新课标Ⅱ卷]底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为____________.
5．[2023年 新课标Ⅰ卷]在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为___________.
6．[2024年 新课标Ⅰ卷]如图，四棱锥中，底面，，，.
（1）若，证明：平面PBC；
（2）若，且二面角的正弦值为，求AD.
7．[2024年 新课标Ⅱ卷]如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得，
（1）证明：：
（2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.
参考答案
1．答案：B
解析：设圆柱和圆锥的底面半径均为r，因为它们的高均为，且侧面积相等，所以，得，所以圆锥的体积，故选B.
2．答案：B
解析：设正三棱台的高为h，三条侧棱延长后交于一点P，作平面ABC于点O，PO交平面于点，连接，，如图所示.由，可得，，又，，所以正三棱台的体积，解得，故.由正三棱台的性质可知，O为底面ABC的中心，则，因为平面ABC，所以是与平面ABC所成的角，在中，，故选B.
3．答案：AC
解析：对于A，依题意，圆锥母线长，，，所以底面圆的半径，圆锥的体积为，故A正确；对于B，该圆锥的侧面积为；故B错误；
对于C，如图，取AC的中点M，连接PM，OM，则，又因为，所以，故为二面角的平面角，即，所以，即，所以，故C正确；
对于D，由选项C可知，，，，所以的面积为，故D错误.故选AC.
4．答案：28
解析：法一：由于，截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，所以原正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.
法二：由法一可知，棱台的体积为.故答案为28.
5．答案：
解析：如图，连接AC，BD交于点O，连接，交于点，连接，过点作于点H，则为正四棱台的高.
在等腰梯形中，，，则，，所以.又，所以，所以，所以正四棱台的体积为.
6．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由于底面，底面，，
又，，平面，平面PAB，
又平面，.
，，，
平面，平面，平面PBC.
（2）由题意知DC，AD，AP两两垂直，以D为坐标原点，AD所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点D且平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，，
则，，，，，.
设平面CPD的法向量为，
则，即，可取.
设平面ACP的法向量为，
则，即，可取.
二面角的正弦值为，
余弦值的绝对值为，
故，
又，，即.
7．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由题，，，又，
所以由余弦定理得，故.
又，所以.
由及翻折的性质知，，
又，平面PED，所以平面PED.
又平面PED，所以.
（2）如图，连接CE，由题，，，，故.
又，，所以，故.
又，，平面ABCD，所以平面ABCD.
EF，ED，PE两两垂直，故以E为原点，EF，ED，PE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
连接PA，则，，，.
设平面PCD的法向量为，
则，可取.
设平面PBF即平面PAF的法向量为，
则，可取.
所以.
故平面PCD与平面PBF所成二面角的正弦值为.
重难突破
1.已知球的半径为1，其内接圆锥的高为，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
2.如图，在长方体中，，，点E为上的动点，则的最小值为( )
A.5 B. C. D.
3.已知，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是( )
A.， B.，
C.， D.，，，
4.中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为的圆锥，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
5.在正方体中，E，F分别是，的中点，则( )
A. B.平面BCE
C. D.平面
6.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则( )
A. B.3 C.2 D.5
7.如图，正方体的棱长为1，点P为正方形内的动点，满足直线与下底面所成角为的点P的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
8.如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，M为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为( )
A. B. C. D.
9.图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成.可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上.研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面与平面的夹角为45°，则( )
A. B. C. D.
10.如图，在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论错误的是( )
A.直线与所成的角不可能是
B.若，则二面角的平面角的正弦值为
C.当时，
D.当时，点到平面的距离为
11.正三棱柱中，，，O为BC的中点，M是棱上一动点，过O作于点N，则线段MN长度的最小值为( )
A. B. C. D.
12.“长太息以掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O）.如图：已知粽子三棱锥中，，H、I、J分别为所在棱中点，D、E分别为所在棱靠近P端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE 或平面HIJ切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为( )
A. B. C. D.
13.（多选）下列命题是真命题的有( )
A.直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
B.直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C.平面，的法向量分别为，，则
D.平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
14.（多选）在棱长为2的正方体中，点M在线段上，，过A，，M三点的平面截正方体所得的截面记为，记BD与截面的交点为N，则( )
A.截面的形状为等腰梯形 B.
C.平面 D.三棱锥的体积为
15.（多选）如图，一张矩形白纸，，，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点G，DF交AC于点H.现分别将，沿BE，DF折起，且点A，C在平面BFDE同侧，则下列命题为真命题的是( )
A.当平面平面CDF时，平面BFDE
B.当平面平面CDF时，
C.当A，C重合于点P时，
D.当A，C重合于点P时，三棱锥的外接球的表面积为
16.某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是________.
17.如图，在四面体中，，，M、N分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为________.
18.在棱长为2的正方体中，点P满足，点Q满足，其中，当________时，.
19.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）.例如，正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为.在底面为矩形的四棱锥中，底面，，与底面所成的角为，在四棱锥中，顶点B的曲率为________________.
20.如图，在长方体中，，，点E在棱上.若二面角的大小为，则_________.
21.如图，三棱柱各棱长均相等，M为棱上一点，Q为棱的中点，平面.
（1）求的值；
（2）若平面将三棱柱分为两部分，较小部分的体积为，较大部分的体积为，求的值.
22.如图，在四棱锥中，，，，，，点Q为棱上一点.
(1)证明：；
(2)当二面角的余弦值为时，求.
23.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过B作，交于O，连.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段上存在一点M，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.
24.如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
25.如图1，在中，，A，D分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，.
（1）求证：平面；
（2）若E为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）线段上一动点G满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为球的半径，其内接圆锥的高为，
所以圆锥的底面圆半径为，母线长为，
所以侧面积为.
故选：C.
2.答案：D
解析：将绕翻折到与共面，平面图形如下所示：
连接，则的长度即为的最小值，
因为，，所以，
所以，所以，即的最小值为.
故选：D
3.答案：C
解析：对于A，，，则l与相交、平行或，故A错误；
对于B，，，则l与相交、平行或，故B错误；
对于C，，，由线面垂直的性质知，故C正确；
对于D，，，，，则l与相交、平行或，故D错误.
故选：C.
4.答案：D
解析：设圆柱的底面半径为，母线长为，圆锥的底面半径为，高为，
则圆柱的侧面积为，解得，故，
又，则，而，得，
故所求正切值为.
故选：D
5.答案：B
解析：对于A，
设G为中点，则，但EG，EF相交，所以EF，BD异面，故A错误；
对于B，设的中点为H，则，，
因为平面BEC，平面BEC，平面BEC，平面BEC，
所以平面BEC，平面BEC，
又因为，GH，平面，
故平面平面，
又平面，故平面BCE，选项B正确.
对于C，在中，，，故EF与不可能垂直（否则EF垂直平分，会得到，这与矛盾），C选项错误.
对于D，
易知平面，又，故D选项错误.
故选：B.
6.答案：B
解析：以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图：
由题意有：，，，由，可得，
所以，，所以.
故选：B.
7.答案：B
解析：直线与下底面所成角等于直线与上底面所成角，
连接，因为平面，平面，
所以，故为直线与上底面所成角，
则，
因为，所以，
故点P的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的，
故轨迹长度为.
故选：B
8.答案：A
解析：因为底面平面，
所以，
因为四边形为正方形，所以，
所以两两垂直，
所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，
则，
所以
，
因为，
所以当时，取得最小值；
当或1，或1时，取得最大值4.
故选：A
9.答案：A
解析：
连接、相交于点O，连接，因为四棱锥为正棱锥，
所以平面，取的中点E，连接、，
因为，，所以，，
所以即为平面与平面的夹角，即，
设，则，
所以，，
在中，由余弦定理，
故选：A.
10.答案：B
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
对于A，设，
故，
故，而，
设直线与所成的角为，
则，
若直线与所成的角是，
则，
整理得到：，此方程在上无实数解，
故直线与所成的角不可能是，故A正确.
对于B，当时，结合A分析得，此时，
故，而，
设此时平面的法向量为，
则即，
取，则，，故，
又，，
设平面的法向量为，
则即，
取，则，，故，
故，
故二面角的平面角的正弦值为，故B错误.
对于C，当时，又B的分析可得，
故，
故，故C正确.
对于D，当时，结合A中分析可得，故，
故，
而，
设平面的法向量为，
则即，
取，则，，故，
又，故到平面的距离为，故D正确.
故选：B
11.答案：B
解析：因为正三棱柱中，O为BC的中点，取中点Q，连接，
如图，以O为原点，，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
因为M是棱上一动点，设，且，所以，则，
因为，所以在直角三角形中可得：，所以，
即，于是令，，
所以，，又函数在上为增函数，
所以当时，，即线段MN长度的最小值为.
故选：B.
12.答案：B
解析：如图所示，取 AB 中点为F，
，为方便计算，
不妨设，由，
可知，
又D、E分别为所在棱靠近P端的三等分点，
则，且，
，，，平面，即平面
又平面ABC，则平面平面ABC ，设肉馅球半径为r ，，
由于H 、I 、J分别为所在棱中点，且沿平面HIJ 切开后，截面中均恰好不见肉馅，则P到CF的距离，，，
又，
解得，故，
又，解得，
，所以：，
解得，，
由以上计算可知为正三棱锥，
故，
所以比值为.
13.答案：AD
解析：，，，则，直线l与m垂直，故A符合题意；，，则，则，或，故B不符合题意；，，与不共线，不成立，故C不符合题意；点，，，，.向量是平面的法向量，即可得，故D符合题意.故选AD.
14.答案：BCD
解析：如图，连接，并延长交BC于点E，易得，，是BC的中点.取的中点F，连接，，，易得.又，四边形为菱形，且菱形为，故A错误.同理可得，，，故B正确.连接，由前两个相似三角形可知，.连接，在正方体中，易得，，且，平面，.同理可得.又，平面，平面，故C正确.易得N，M为，上靠近E，C的三等分点，.又，，，故D正确.选BCD.
15.答案：AD
解析：在中，，在中，，所以，，所以，.由题意，将，沿BE，DF折起，且点A，C在平面BFDE同侧，此时A，C，G，H四点在同一平面内，平面平面，平面平面，当平面平面CDF时，，显然，所以四边形AGHC是平行四边形，所以.又平面，平面BFDE，所以平面BFDE，所以A为真命题.
由A知，当平面平面CDF时，，但，所以AE与CD不平行，所以B为假命题.
当A，C重合于点P时，可得，，连接GD（图略），，则，所以PG和PD不垂直，所以C为假命题.
当A，C重合于点P时，在三棱锥中，和均为直角三角形，所以DF为三棱锥的外接球的直径，又，则三棱锥的外接球的表面积为，所以D为真命题.故选AD.
16.答案：
解析：设球心为O，作出过球心的截面图如图所示，则，
由截面圆的周长为，得，，
球的半径是.
所以该球的表面积为.
故答案为：.
17.答案：5
解析：取中点P，连接，，
又因为，，M，N分别为，的中点，
所以且，且，
则为异面直线与所成的角（或补角），
又因为异面直线与所成的角为，
所以，
所以，所以，
故答案为：5
18.答案：1
解析：，又，
所以点P在射线上；
，又，
所以点Q在射线上；
因为当变化时，平面，故只需考虑过B且与平面垂直的线，
因为正方体有平面，而平面，所以
又，，平面，所以平面，
平面，所以，
所以当点Q在上时，即时，
故答案为：1.
19.答案：
解析：设，则，
平面，即为与底面所成角，即，
，，
，，；
平面，平面，，
又，，，平面，平面，
平面，，即，又，
顶点B的曲率为.
故答案为：.
20.答案：
解析：以D为原点，以，，为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，平面的法向量为
由题可知，，，，，
平面的一个法向量为轴，可取平面的法向量为
为平面的法向量，
令，则
二面角的大小为
，即
解得，（舍去）
故答案为
21.答案：（1）；
（2）
解析：（1）连接，与交于H，连接.
因为平面，平面平面，
根据线面平行的性质定理，所以.
又因为，在和中，由于平行线分线段成比例定理，可得.因为，所以.
（2）在上取一点S，使，连接，，
因为，所以四边形即为过三点的截面.
设三棱柱的底面积为，高为h，体积为V，则.
因为，且，所以与相似，相似比为，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得的面积为.
对于三棱台，根据体积公式.
因为，，，
所以.
则.
22.答案：(1)证明见解析；
(2).
解析：（1）因为，，，
所以，所以，
又，且，平面，
所以平面，
又平面，所以.
（2）因为，，所以，则.
由（1）可知，，两两垂直，以D为原点，以，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，，，
可知，，
设，则，
设平面的一个法向量，
则即
令，解得，，故，
设平面的一个法向量为，
由，得
令，解得，，故，
所以，
即，整理，得，
解得或（舍去）.
故.
23.答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
解析：（1）因为，因为，，
所以四边形为矩形，
在中，，，，
则，
，，
且平面平面，平面
平面平面，
平面；
（2）以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
，，可得，
则，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，取.
设平面的法向量为，，
由，取，
.
二面角是钝角，
二面角的正弦值为.
（3）设，则，
又平面的法向量为，
直线与平面所成的角的正弦值为，解得，
.
24.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)如图，取的中点F，连接，
，有，
又，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面平面，
所以平面.
(2)如图，取的中点O，连接，
因为，
所以，
由，
知四边形是正方形，有，
因为，所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
在平面内作直线的垂线，
则平面，有，
分别以所在直线为x轴 y轴 z轴，
建立空间直角坐标系，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
由，知，
由，
知，
从而有，
，
有，
设平面的法向量为，
由有取，
则，得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则
25.答案：（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
解析：（1）因为A，D分别为，的中点，所以.
因为，所以，所以.
又，，，平面，
所以平面.
（2）因为，，，所以，，两两垂直.
以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意有，，，，，，
则，，，.
设平面的法向量，
则有
令，得，，所以是平面的一个法向量.
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）假设存在，使二面角的正弦值为，
即使二面角的余弦值为.
由（2）得，，
所以，，.
易得平面的一个法向量为.
设平面的法向量，
，
解得，令，得，
则是平面的一个法向量.
由图形可以看出二面角的夹角为锐角，且正弦值为，
故二面角的余弦值为，
则有，
即，解得，.
又因为，所以.
故存在，使二面角的正弦值为

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