资源简介

专题八 平面解析几何
典例分析
考查方式
直线与圆的方程在高考中可单独以选择题、填空题的形式考查，也可与圆锥曲线综合在解答题中考查. 直线主要考查直线的斜率和方程、两直线的交点与距离问题、对称问题等；圆主要考查圆的方程的求解、与圆有关的最值问题、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等. 复习的重点在于立足基础，培养推理论证能力，提高运算能力，注重解题的通性通法.
圆锥曲线在高考中占据极其重要的地位，是高考的重点、热点和难点，更是每年的必考内容. 简单题主要考查圆锥曲线的定义、方程、简单性质，难题主要考查圆锥曲线几何性质的综合应用、直线和圆锥曲线的位置关系、利用解析几何知识解决圆锥曲线综合应用，这类题目的综合性较强，对计算能力要求较高. 复习的重点在于重视基础知识的掌握，重视思想方法的训练，提高计算能力和综合解题能力.
高考真题
1．[2023年 新课标Ⅰ卷]设椭圆，的离心率分别为，.若，则( )
A. B. C. D.
2．[2024年 新课标Ⅱ卷]已知曲线，从C上任意一点P向x轴作垂线，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
3．[2023年 新课标Ⅰ卷]过点与圆相切的两条直线的夹角为，则
( )
A.1 B. C. D.
4．[2023年 新课标Ⅱ卷]已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则( )
A. B. C. D.
5．[2024年 新课标Ⅰ卷]（多选）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于-2，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则( )
A.
B.点在C上
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点在C上时，
6．[2024年 新课标Ⅰ卷]设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，，则C的离心率为__________.
7．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知和为椭圆上两点.
（1）求C的离心率；
（2）若过P的直线l交C于另一点B，且的面积为9，求l的方程.
参考答案
1．答案：A
解析：由椭圆的方程知离心率，由椭圆的方程知.又，即，化简得，，，.故选A.
2．答案：A
解析：设，则，因为点P在曲线C上，所以，即，所以线段的中点M的轨迹方程为，故选A.
3．答案：B
解析：设圆为圆C，化简得，圆心为，半径.如图，设，则，，易知，则，所以.故选B.
4．答案：C
解析：设直线与x轴交于点，直线方程与椭圆方程联立得，，解得.
设，到直线AB的距离分别为，，由题意得，，所以.由三角形相似可得，，解得或.因为，所以，故选C.
5．答案：ABD
解析：因为坐标原点O在曲线C上，所以，又，所以，所以A正确.
因为点到点的距离与到定直线的距离之积为，所以点在曲线C上，所以B正确.
设（，）是曲线C在第一象限的点，则有，所以，令，则，因为，且，所以函数在附近单调递减，即必定存在一小区间使得单调递减，所以在区间上均有，所以纵坐标的最大值一定大于1，所以C错误.
因为点在C上，所以且，得，所以，所以D正确.
综上，选ABD.
6．答案：
解析：法一：由及双曲线的对称性得，因为，所以，，所以，，则C的离心率.
法二：因为，所以，所以，
又，所以，得，
所以，得，所以C的离心率.
7．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题知，解得，
，的离心率.
（2），设点B到直线PA的距离为h，
则的面积为，解得.易知直线，
设，则，解得或，或，
故或.
重难突破
1.已知椭圆经过点，当k变动时，C截得直线的最大弦长为，则C的方程为( )
A. B. C. D.
2.已知直线与直线平行，则m的值为( )
A.-3 B.-1 C.2 D.-3或2
3.已知圆关于直线对称，则实数( )
A. B.1 C. D.2
4.过抛物线的焦点F作直线l，交抛物线于两点.若线段中点的纵坐标为3，则等于( )
A.10 B.8 C.6 D.4
5.圆与圆的公共弦长为( )
A. B. C. D.
6.若直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知圆，直线则直线l被圆C截得的弦长的最小值为( )
A.5 B. C.10 D.
8.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于x轴的入射光线的一束光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为( )
A. B. C. D.
9.已知，是椭圆的左 右焦点，直线l与椭圆C相切于点，过左焦点作直线l的垂线，垂足为Q，则点Q与原点O之间的距离为( )
A. B.2 C.3 D.4
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆相交于A、B两点，与y轴相交于点C.连接，.若O为坐标原点，，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
11.已知D为双曲线右支上一点，过点D分别作C的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点A，B，则( )
A.2 B. C. D.
12.已知抛物线过点，动点M，N为C上的两点，且直线AM与AN的斜率之和为0，直线l的斜率为，且过C的焦点F，l把分成面积相等的两部分，则直线MN的方程为( )
A. B.
C. D.
13.（多选）已知椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于P，Q两点，则( )
A.
B.
C.当，P，Q不共线时，的周长为8
D.设点P到直线的距离为d，则
14.（多选）已知O为坐标原点，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则( )
A.直线与抛物线C相切
B.
C.若P是线段的中点，则
D.存在直线l，使得
15.（多选）已知双曲线的左焦点为F，P为C右支上的动点，过P作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A.点F到C的一条渐近线的距离为2
B.双曲线C的离心率为
C.则P到C的两条渐近线的距离之积大于4
D.当最小时，则的周长为
16.已知直线，当k变化时，所有的直线恒过定点_________
17.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2，的面积为，则_______________.
18.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点P满足，则实数m的取值范围是______________.
19.已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆的离心率为，点分别为蒙日圆O与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形EFGH的面积的比值为_________.
20.已知抛物线的焦点为F，A，B为C上的两点.若直线的斜率为，且，延长，分别交C于P，Q两点，则四边形的面积为____________.
21.已知点与直线，圆
(1)一条光线从点P射出，经直线l反射后，通过点，求反射光线所在的直线方程；
(2)过P点作圆的切线，求切线方程.
22.已知抛物线，C的焦点是F.
（1）若过原点O作两条直线交曲线C于A，B两点，且，求证：直线AB过定点；
（2）若过曲线C上一点作两条直线交曲线C于A，B两点，且，求的面积的取值范围.
23.已知椭圆的焦距为，且点在椭圆M上.
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设O为坐标原点，A，B，C是椭圆M上的三个动点，且四边形OABC恰为平行四边形，试判断平行四边形OABC的面积是否为定值？若是，求出该定值，若否，请说明理由.
24.已知双曲线的左、右顶点分别为，.
（1）若过点的直线l交双曲线E于A，B两点，求直线l的斜率范围；
（2）过原点的直线与双曲线E相交于C，D两点（C在x轴的上方），直线，与圆分别交于点M，N，直线CD与直线MN的斜率分别为，，求的值.
25.已知A，B分别是椭圆的左、右顶点.椭圆长轴长为6，离心率为.O为坐标原点，过点，且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两个不同的点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当直线l的斜率为正时，设直线AM，AN分别交y轴于点S，T，记，，求的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由题意可得，，所以，，所以椭圆方程为.
故选：A
2.答案：A
解析：由两直线平行得：，解得或.
当时，，，两直线重合，不合题意.
当时，，即，，两直线平行，符合题意.
故m的值为-3.
故选：A.
3.答案：A
解析：由，得，故圆心为，
又因为圆关于直线对称，
故圆心在直线上，则.
故选：A
4.答案：B
解析：抛物线的焦点为，准线方程为，
设，
则，
所以，
故选：B
5.答案：C
解析：圆①与圆②，
①－②得，即公共弦方程为，
又圆的半径为，圆心为，
圆心到直线距离，
所以公共弦长为.
故选：C.
6.答案：D
解析：因为双曲线的焦点在y轴上，且直线即为，
由双曲线的渐近线方程是，所以，即，
所以离心率.
故选：D.
7.答案：C
解析：由，
，即l过定点，
由得，半径，
则当时，C到l的距离最远，此时l被圆C截得的弦长最小，
最小值为.
故选：C.
8.答案：C
解析：因为点在抛物线上，所以，解得，
所以抛物线的方程为，则焦点为，
又因为反射光线经过点及焦点，，
所以反射光线的方程为，
联立抛物线方程得，解得或，
所以反射光线与抛物线的交点为，
由两点间距离公式可得，
所以反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为.
故选：C.
9.答案：B
解析：直线l的斜率显然存在，所以设直线l的方程为，即，
联立方程组，
消去y，得，
因为直线l与椭圆C相切于点，
所以，
整理得，解得，
所以切线方程为，
由椭圆，可得，所以，
可得左焦点，所以过左焦点与直线l的垂直的直线方程为，
联立方程组，解得，所以，
所以点Q与原点O之间的距离为2.
故选：B.
10.答案：A
解析：设，由
可得，由于与等高，
所以，
又，，，
又，，
在中，，
，
在中，，
化简可得，解得，
故选：A.
11.答案：C
解析：设坐标原点为，易知C的渐近线的方程为，
联立
解得，
不妨取，
同理可得，
则，
因为四边形OABD是平行四边形，
于是，
由于点D在C上，
所以，
因此，
故C正确.
故选：C
12.答案：D
解析：因为抛物线过点，
所以，解得：，所以，
设，，
直线，代入中整理得，
所以，，
所以
，即，
则，解得：，
所以直线，
直线l的斜率为-1，且过C的焦点，
所以，则到直线l的距离为，
所以l把分成面积相等的两部分，因为直线与直线平行，
所以到直线的距离为到直线距离的，
，解得：或（舍去）.
所以直线MN的方程为.
故选：D.
13.答案：BCD
解析：对于A，由题意知：，，，，A错误；
对于B，为椭圆C的焦点弦，，B正确；
对于C，，
的周长为，C正确；
对于D，作垂直于直线，垂足为M，
设，则，
，，
，，D正确.
故选：BCD.
14.答案：AC
解析：因为点在抛物线上，所以，解得，
即抛物线方程为，焦点.
对于A：直线的方程为，即，
因为，解得，所以直线与抛物线C相切点，故A正确；
对于B：设过点B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意；
所以直线l的斜率存在，设其方程为，，，
由，得，则，即或，
于是，，
又，
所以，故B错误；
对于C：由焦半径公式可得，，
因为P是线段的中点，
所以，整理得，即，故C正确；
对于D：若，则，得
所以，即，解得，
此时，则直线l与抛物线相切，故D错误.
故选：AC.
15.答案：BCD
解析：双曲线的渐近线为，左焦点，所以点F到C的一条渐近线的距离为，所以A错误；
由双曲线方程可得，，所以离心率，所以B正确；
设点，则，即，
点P到两渐近线距离分别为和，
则，所以C正确；
设双曲线的右焦点，则，所以，
若最小，则只需最小即可，
过作垂直渐近线与点A，交双曲线右支与点P，此时最小，
，由勾股定理得，所以，所以，
所以的周长为，所以D正确.
故选：BCD.
16.答案：
解析：因为直线，即为，
令，解得，
所以直线恒过定点.
故答案为：.
17.答案：
解析：有得所以双曲线的渐近线为
又抛物线的准线方程为联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得，，
在中，O到的距离为.，，.
18.答案：
解析：设，因为点，，，
所以，即，
所以，可得圆心，半径，
由圆可得圆心，半径，
因为在圆C上存在点P满足，
所以圆与圆有公共点，
所以，整理可得：，
解得，
所以实数m的取值范围是，
故答案为：.
19.答案：
解析：由题意得蒙日圆O为，
则，，
直线的方程为：，
联立
得，
，
解得，，
所以.
故答案为：.
20.答案：50
解析：由题可知，抛物线的焦点坐标为.
因为直线的斜率为，所以直线的方程为，
与抛物线C的方程联立，得，所以.
设，，则，，
故.
因为，所以，
所以直线的斜率为-2，直线的方程为，
与抛物线C的方程联立，得.所以.
设，，则，，
故.
所以四边形的面积为.
故答案为：50.
21.答案：(1)
(2)或
解析：(1）设点P关于直线的对称点坐标为，
则有，解得，即，
直线的方程为：，即，
因反射光线过点，而反射光线所在直线过点，
所以反射光线所在直线方程为.
(2）圆即圆的圆心为，半径为，
过点且斜率不存在的直线为，显然到直线的距离，故满足题意；
设过点且斜率存在的直线的直线与圆相切，
则，解得，此时所求直线为，即；
综上所述，满足题意的切线方程为或.
22.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为A，B是两直线与抛物线C的交点，
所以OA，OB的斜率均存在，且不为零，
故可设直线，则直线.
由，，所以.
同理得.
则，
则直线AB的方程为，
所以直线AB过定点.
（2）因为点在曲线C上，所以将点P的坐标代入曲线C的方程可得，即，则.
设，，由题意可知直线AB的斜率存在，则可设直线AB的方程为.
则由得，则，，.
所以，
，
得或，满足.
而点F到AB的距离，
，
则.
所以.
所以的面积的取值范围为.
23.答案：（1）
（2）平行四边形OABC的面积为定值
解析：（1）因为椭圆M的焦距，所以，
因为点在椭圆M上，所以，解得，
所以，
故椭圆M的标准方程为.
（2）如图，
因为四边形OABC为平行四边形，所以，
平行四边形OABC的面积，
设直线AC的方程为，
联立，消去y并整理得，
由，整理得.
设，，
则，，
得，
所以，
因为点B在椭圆M上，则，
所以，满足，
则，
又点O到直线AC的距离，
所以，
故平行四边形OABC的面积为定值.
24.答案：（1）且
（2）
解析：（1）根据题意，过点的直线l的方程可设为，
联立得.
因为直线l交双曲线E于A，B两点，
所以解得且.
故直线l的斜率k的范围为且.
（2）设，由题意知，
则令，
所以直线的方程为，
联立得.
所以，.
由于C，D两点关于原点对称，所以，
令直线的斜率为n，则.
所以，又，
所以，即.
所以，，
所以
.
又，所以.
25.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题可知
解得所以椭圆C的标准方程为.
（2）设直线，，，.
由得，
，解得或（舍），
且，.
直线AM的方程为，令，得，所以，
同理可得，所以，，.
由，，可得，，
所以，
即
，
因为，所以，所以，所以.
故的取值范围为.

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