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第20讲 分式及其性质（十大题型）
学习目标
1、知道分式的概念及有意义的条件； 2、学会分式的求值； 3、掌握分式的基本性质、最简分式、约分等．
一、分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
要点：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.
（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.
（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式.
（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果.
二、分式有意义，无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
要点：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.
（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.
（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.
三、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.
要点：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.
四、分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
要点：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.
五、分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
要点：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.
（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.
【即学即练1】下列各式，，，，，，，中，分式共有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【即学即练2】下列分式中，有意义的条件为的是（　　）
A． B． C． D．
【即学即练3】若分式的值为整数，则整数的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．1或3
【即学即练4】若分式的值为0，则的值为（ ）
A．4 B． C．0 D．4或
【即学即练5】下列说法正确的是（ ）
A．代数式是分式
B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变
C．分式是最简分式
D．分式有意义
【即学即练6】下列约分正确的是（　　）
A． B．
C． D．
题型1：分式的概念及判断
【典例1】．在代数式，，，，，中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典例2】．下列各式：，，，，，，其中分式共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【典例3】．式子，， ，与分数一样都是 （即A÷B）的形式，分数的分子A与分母B都是 ，而这些式子中的A与B都是 ，并且B中都含有字母．
题型2：分式有意义的条件
【典例4】．若分式有意义，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【典例5】．函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【典例6】．代数式中x的取值范围是 ．
题型3：分式的值为0
【典例7】．分式的值为0时，的值是（　　）
A． B． C． D．或
【典例8】．若分式的值为0，则x是（ ）
A． B． C． D．
【典例9】．下列结论：
①不论a为何值时都有意义；
②时，分式的值为0；
③若的值为负，则x的取值范围是；
④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
题型4：求分式的值
【典例10】．如果分式中的，，那么这个分式的值（ ）
A． B． C． D．
【典例11】．当时，对于分式的说法正确的是（ ）
A．分式的值为 B．分式的值为 C．分式无意义 D．分式有意义
【典例12】．若是整数，则整数的所有值是（ ）
A．2，3 B． C． D．
【典例13】．对于，下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【典例14】．已知，则的值是（　　）
A． B．8 C． D．6
题型5：分式的基本性质
【典例15】．如果将分式中的字母与的值分别扩大为原来的5倍，那么这个分式的值（ ）
A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍
C．缩小为原来的 D．不改变
【典例16】．在①，②，③，④中，从左到右的变形正确的是（　　）
A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④
【典例17】．填空：（1）；括号中填 ．
（2）；括号中填 ．
（3）．括号中填 ．
题型6：分式的变形
【典例18】．下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【典例19】．下列等式中，从左向右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例20】．下列变形错误的是( )
A． B．
C． D．
题型7：将分式的分子分母最高次项化为整数、正数
【典例21】．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（ ）
A． B． C． D．
【典例22】．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例23】．将方程中分母化为整数，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型8：最简分式
【典例24】．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【典例25】．下列各式，，，，，中，最简分式的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【典例26】．对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，以此类推…，则分式等于（ ）
A． B． C． D．
题型9：约分
【典例27】．约分：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【典例28】．约分：
(1)；
(2)；
(3)．
题型10：约分的应用
【典例29】．“探究比例的性质”
【描述定义】如果两个数与的比等于另外两个数与的比，则称这四个数，，，成比例．记作，或．其中与称为比例的外项，与称为比例的内项．
【活动目的】通过具体数的计算到式的计算，让学生体会两者之间的联系；由特殊到一般得出比例的性质的猜想，再进行有关的验证．培养学生的逻辑思维能力和转化能力：
【理论支撑】等式的性质，分式的运算．
【进程跟踪】在小学，学生已学过比例的基本性质，此性质是在具体的数的基础上得出的．提出问题如何进行证明
（1）已知：．求证：．
【证明】，
等式两边同乘得，．
（2）由等比式得出等积式，由等积式能得出等比式吗 你能得出几种式子
除了外还有
①反比性质：在比例式中，把比的前项和后项交换后的比例式仍然成立．若，则．
②更比性质：在比例式中，更换两个内项和外项，比例式仍然成立．若，则，．
（3）除了上述结论还有哪些结论
③合比性质：已知：．求证：．
【证明】设，则，，
，，
．
请用上面的证明方法证明下面三个结论：
①分比性质：．
②和分比性质：．
③等比性质：若，
则．
实践应用
已知，则___________．
一、单选题
1．下列式子：，，，，，其中分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．将中的a、b都扩大3倍，则分式的值(　　　)
A．扩大3倍 B．扩大6倍 C．扩大9倍 D．不变
3．x为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零
B．当时，有意义
C．无论x为何值，不可能得正整数值
D．无论x为何值，的值总为正数
5．下列各式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
6．分式的值为负，则x应满足（ ）．
A． B． C． D．
7．下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若表示的是一个最简分式，则可以是（ ）
A． B． C． D．
9．当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
10．按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？
，
整式{ …}；
分式{ …}．
12．约分：
； ； ；
； ； ；
； ； ．
22．求下列各分式的值：
（1），其中． （2），其中．
23．下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
24．约分
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
25．不改变分式的值，把下列各式的分式与分母中各项的系数都化为整数．
①；②；③；④．
26．阅读材料：已知，求的值.
解：由得，，则有，
由此可得，所以
请理解上述材料后求：已知，用a的代数式表示的值．
27．已知无论x取何实数，分式 总有意义，求m的取值范围．
小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开．解：
(1)请将小明对此题 = = 的解题过程补充完整；
(2)利用小明的思路，解决下列问题：无论x取何实数，分式都有意义，求m的取值范围．
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第20讲 分式及其性质（十大题型）
学习目标
1、知道分式的概念及有意义的条件； 2、学会分式的求值； 3、掌握分式的基本性质、最简分式、约分等．
一、分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
要点：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.
（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.
（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式.
（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果.
二、分式有意义，无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
要点：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.
（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.
（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.
三、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.
要点：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.
四、分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
要点：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.
五、分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
要点：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.
（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.
【即学即练1】下列各式，，，，，，，中，分式共有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题考查的是分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解析】解：代数式，，，，，，，中，是分式的有，，，，，，
一共有6个分式，
故选：B．
【即学即练2】下列分式中，有意义的条件为的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件，分母不为0，逐项分析判断即可求解．
【解析】解：A、有意义，，解得，故该选项符合题意；
B、有意义，，解得，故该选项不符合题意；
C、有意义，，解得，故该选项不符合题意；
D、有意义，，解得，故该选项不符合题意；
故选：A．
【即学即练3】若分式的值为整数，则整数的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．1或3
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式的值，根据分式的值为整数，确定出整数x的值即可．
【解析】解：∵分式的值为整数，且x为整数，
∴，
∴整数x的值为1或3，
故选：D
【即学即练4】若分式的值为0，则的值为（ ）
A．4 B． C．0 D．4或
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件是分母不为0，分子为0进行求解即可．
【解析】解；∵分式的值为0，
∴，
∴，
故选：B．
【即学即练5】下列说法正确的是（ ）
A．代数式是分式
B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变
C．分式是最简分式
D．分式有意义
【答案】A
【分析】此题主要考查分式的定义、性质、最简分式以及分式有意义的条件．根据分式的定义及性质依次判断即可求解．
【解析】解：A、代数式是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
B、分式中，都扩大3倍后为，分式的值扩大3倍，故本选项不符合题意；
C、分式是最简分式，故本选项符合题意；
D、当时，分式有意义，故本选项不符合题意；
故选：C．
【即学即练6】下列约分正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式的性质，注意约分是约去分子、分母的公因式，并且分子与分母相同时约分结果应是，而不是．根据分式的基本性质进行解答即可．
【解析】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误；
故选：C．
题型1：分式的概念及判断
【典例1】．在代数式，，，，，中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查的是分式的定义，一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．根据分式的定义解答即可．
【解析】解：代数式，，，中，分母不含有字母，都是整式，
而，中，分母含有字母，都是是分式．
故选：B．
【典例2】．下列各式：，，，，，，其中分式共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】本题考查了分式的定义，根据一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，进行分析判断，注意是数字．
【解析】解：，，的分母中含有字母，属于分式，共有个．
故选：．
【典例3】．式子，， ，与分数一样都是 （即A÷B）的形式，分数的分子A与分母B都是 ，而这些式子中的A与B都是 ，并且B中都含有字母．
【答案】 整数 整式
【解析】略
题型2：分式有意义的条件
【典例4】．若分式有意义，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义 分母为零；（2）分式有意义 分母不为零；（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
根据分母不为零，分式有意义进行选择即可．
【解析】解：当分母，即时，分式有意义，
故选：C．
【典例5】．函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】
本题主要考查分式有意义和二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义和分式有意义分别列出关系式求解，并取其公共部分即可．
【解析】解：根据题意得，解得，则．
故选：A．
【典例6】．代数式中x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数，且分式的分母不为零求解即可．
【解析】由题意得：，
∴，
解得：，
故答案为：．
题型3：分式的值为0
【典例7】．分式的值为0时，的值是（　　）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】
本题考查分式值为零的条件，由分式值为零得到，且，解得，熟记分式值为零的条件是解决问题的关键．
【解析】
解：分式的值为0，
，且，解得，
故选：B．
【典例8】．若分式的值为0，则x是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的值为0的条件，用分式的分母不等于0时分式有意义及分式值为0则分子为0即可得出答案．
【解析】解：分式的值为0，
，
解得：，
故选：B．
【典例9】．下列结论：
①不论a为何值时都有意义；
②时，分式的值为0；
③若的值为负，则x的取值范围是；
④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，值为0的条件，对各式进行逐一分析即可．
【解析】解：①∵，
∴不论a为何值时，都有意义，故①正确；
②∵当时，，
此时分式无意义，
∴②错误；
③∵的值为负，，
∴，
∴，故③正确；
④∵有意义，
∴且，
∴x的取值范围是且，故④正确．
故选：B
题型4：求分式的值
【典例10】．如果分式中的，，那么这个分式的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将，代入中求值即可．
【解析】解：，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查分式的求值．正确计算是解题关键．
【典例11】．当时，对于分式的说法正确的是（ ）
A．分式的值为 B．分式的值为 C．分式无意义 D．分式有意义
【答案】A
【分析】由题意，当时，分式的分母，根据分式有意义的条件即可解答．
【解析】解：由题意，当时，分式的分母，
分式无意义，
故选：．
【点睛】本题主要考查了分式的值，分式有意义的条件，分式的值为零的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解答本题的关键．
【典例12】．若是整数，则整数的所有值是（ ）
A．2，3 B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了求分式的值．首先把化成，然后根据是整数，推得是整数，求出整数的所有值即可．
【解析】解：，
是整数，
是整数，
是整数，
或，
解得：，0，2，3．
故选：D．
【典例13】．对于，下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【分析】本题考查了代数式求值，把每个选项中的的值代入，分别计算判断即可．熟练掌握代数式求值的方法是解题的关键．
【解析】解：A、当时，分母，无意义，故此选项不符合题意；
B、当时，，故此选项不符合题意；
C、
，
∵，
∴，，
∴，
即，
∴，故此选项符合题意；
D、当时，的正负无法确定，所以与的大小无法确定，故此选项不符合题意；
故选：C．
【典例14】．已知，则的值是（　　）
A． B．8 C． D．6
【答案】D
【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值等知识点，灵活对代数式进行变形是解题的关键．
由可得进而得到，然后将整体代入计算即可．
【解析】解：∵，
∴，即，则，
∴．
题型5：分式的基本性质
【典例15】．如果将分式中的字母与的值分别扩大为原来的5倍，那么这个分式的值（ ）
A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍
C．缩小为原来的 D．不改变
【答案】D
【分析】
本题考查分式的性质，根据题意将字母与的值分别扩大为原来的5倍，化简即可得到答案，熟记分式性质是解决问题的关键．
【解析】解：将分式中的字母与的值分别扩大为原来的5倍，
，即这个分式的值不改变，
故选：D．
【典例16】．在①，②，③，④中，从左到右的变形正确的是（　　）
A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质依次判断即可．
此题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【解析】①当时，才有，
故该变形错误；
②∵分式中，
∴，
故该变形正确；
③当时，才有，
故该变形错误；
④∵，
∴，
故该变形正确；
综上，正确的有②④．
故选：B
【典例17】．填空：（1）；括号中填 ．
（2）；括号中填 ．
（3）．括号中填 ．
【答案】
【分析】根据分式的性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数分式值不变直接求解（1）、（2）、（3）即可得到答案；
【解析】解：由题意可得，
(1)，
故答案为：，
(2)，
故答案为：，
(3)，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数分式值不变，熟练掌握分式的性质是解题关键．
题型6：分式的变形
【典例18】．下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的基本性质和倒数的概念，掌握分式的基本性质和倒数概念的区别是解题关键．利用分式的基本性质，分子分母都乘以或除以同一个不为零的数分式的值不变，分式与其倒数不相等，对选项进行判断，即可解题．
【解析】解：A、，故A项变形错误，不符合题意；
B、，故B项变形错误，不符合题意；
C、，故C项变形错误，不符合题意；
D、，故D项变形正确，符合题意．
故选：D．
【典例19】．下列等式中，从左向右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子或分母同时乘以或除以一个相同的不为0的数或式子，分式的值不变，据此求解即可．
【解析】解：A、，原式变形错误，不符合题意；
B、，原式变形错误，不符合题意；
C、，原式变形错误，不符合题意；
D、，原式变形正确，符合题意；
故选：D．
【典例20】．下列变形错误的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的基本性质．对各项进行计算，找出分子分母的公因式进行约分即可．
【解析】A，，此选项正确；
B，，此选项正确；
C，，此选项正确；
D，，此选项错误．
故选：D．
题型7：将分式的分子分母最高次项化为整数、正数
【典例21】．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可．
【解析】解：．
【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号．
【典例22】．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质以及分式中的符号法则进行判断即可．
【解析】解：，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项正确；
，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是分式的基本性质和约分，正确的把分子分母进行因式分解是解题的关键．
【典例23】．将方程中分母化为整数，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查将分母化为整数，分子分母各自乘一个不为零的数，或等式左右两边同乘一个不为零的数，根据上述两种方式逐一进行判断即可．
【解析】解：根据题意得，整理得，故C正确，A错误；
或，整理得，故B和D错误．
故选：C．
题型8：最简分式
【典例24】．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较容易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
【解析】解：A. ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B. ，是最简二次根式，故该选项符合题意；
C. ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D. ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
故选：B．
【典例25】．下列各式，，，，，中，最简分式的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查最简分式，熟练掌握最简分式的概念是解题的关键；因此此题可根据“分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式”进行求解即可
【解析】解：，，，都不是最简分式，
，，是最简分式，
故选：B．
【典例26】．对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，以此类推…，则分式等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的定义，规律问题．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每4个为一循环，再让，根据结果即可确定．
【解析】解：，
，
，
，
，
，，，
个一循环，
，
，
故选：D．
题型9：约分
【典例27】．约分：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】找到分子和分母的公因式，然后约分即可得到答案．
【解析】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
【点睛】本题主要考查了分式的约分，正确找到对应分子和分母的公因式是解题的关键．
【典例28】．约分：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据分式的基本性质，分子、分母同时除以即可得出答案．
（2）根据分式的基本性质，分子、分母同时除以即可得出答案．
（3）根据分式的基本性质，分子、分母同时除以即可得出答案．
【解析】（1）解：原式；
（2）原式
（3）原式．
【点睛】本题考查约分，用到的知识点是分式的基本性质，分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．
题型10：约分的应用
【典例29】．“探究比例的性质”
【描述定义】如果两个数与的比等于另外两个数与的比，则称这四个数，，，成比例．记作，或．其中与称为比例的外项，与称为比例的内项．
【活动目的】通过具体数的计算到式的计算，让学生体会两者之间的联系；由特殊到一般得出比例的性质的猜想，再进行有关的验证．培养学生的逻辑思维能力和转化能力：
【理论支撑】等式的性质，分式的运算．
【进程跟踪】在小学，学生已学过比例的基本性质，此性质是在具体的数的基础上得出的．提出问题如何进行证明
（1）已知：．求证：．
【证明】，
等式两边同乘得，．
（2）由等比式得出等积式，由等积式能得出等比式吗 你能得出几种式子
除了外还有
①反比性质：在比例式中，把比的前项和后项交换后的比例式仍然成立．若，则．
②更比性质：在比例式中，更换两个内项和外项，比例式仍然成立．若，则，．
（3）除了上述结论还有哪些结论
③合比性质：已知：．求证：．
【证明】设，则，，
，，
．
请用上面的证明方法证明下面三个结论：
①分比性质：．
②和分比性质：．
③等比性质：若，
则．
实践应用
已知，则___________．
【答案】（3）见解析；【实践应用】
【分析】根据等式的性质及材料提供的方法即可．
【解析】（3）④设，则，，
，，
．
⑤设，则，，
，，．
（6）设，
则，，…，，
，
．
【实践应用】解：，
设，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等式的性质，分式的运算，熟练运用等式的性质是本题的关键．
一、单选题
1．下列式子：，，，，，其中分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
【解析】解：，的分母中含有字母，属于分式，共有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的定义，熟悉相关性质，注意是常数，是解题的关键．
2．将中的a、b都扩大3倍，则分式的值(　　　)
A．扩大3倍 B．扩大6倍 C．扩大9倍 D．不变
【答案】D
【分析】依据分式的性质进行计算，再判断即可．
【解析】解：∵a、b都扩大3倍，
∴
∴分式的值不变．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
3．x为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零进行分析即可．
【解析】解：A、当x=0时，无意义，故此选项错误；
B、当x=±1时，无意义，故此选项错误；
C、当x=-1时，无意义，故此选项错误；
D、x为任何实数时，分式一定有意义，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
4．下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零
B．当时，有意义
C．无论x为何值，不可能得正整数值
D．无论x为何值，的值总为正数
【答案】D
【分析】A、当分子为0，分母不为0时，分式的值为0；
B、当分母不为0时，分式有意义；
C、可举出一个反例；
D、只要证明是正数即可，在根据同号得正可得出．
【解析】A．当时，无意义，故A错误，不符合题意；
B．当时，有意义，故B错误，不符合题意；
C．当或时，得正整数值，故C错误，不符合题意；
D．分母，分子，故无论x为何值，的值总为正数，正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件，以及分式等于0的条件．
5．下列各式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了最简分式判断，根据分式的分子分母不含有公因式的分式叫最简分式判断即可．
【解析】解：．，不是最简分式，故该选项不符合题意；
．是最简分式，故该选项符合题意；
．，不是最简分式，故该选项不符合题意；
．，不是最简分式，故该选项不符合题意；
故选：B．
6．分式的值为负，则x应满足（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得出x+5＜0，进而求出答案．
【解析】解：∵分式的值为负，
∴x的取值范围是：x+5＜0，
解得：x＜-5．
故选：A．
【点睛】本此题主要考查了分式的值，得出x+5的符号是解题关键．
7．下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据约分的步骤找出分子与分母的公分母，再约去即可．
【解析】解：A、，正确，不符合题意；
B、，不正确，符合题意；
C、，正确，不符合题意；
D、，正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了约分，用到的知识点是分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
8．若表示的是一个最简分式，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键，利用最简分式的定义对每个选项进行判断即可得出结论．
【解析】解：A、为时，，原式为最简分式，故选项符合题意；
B、为时，，原式不是最简分式，故选项不符合题意；
C、为时，，原式不是最简分式，故选项不符合题意；
D、为时，，原式不是最简分式，故选项不符合题意；
故选：A．
9．当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
【答案】D
【分析】先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把代入到分式中进行正确的计算即可得到答案.
【解析】解：
把代入上式中
原式
故选A.
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.
10．按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个分式的分子是，第n个分式的分母是，即可得到第n个分式．
【解析】解：第1个分式的分子是，
第2个分式的分子是，
第3个分式的分子是，
；
第n个分式的分子是；
第1个分式的分母是，
第2个分式的分母是，
第3个分式的分母是，
；
第n个分式的分母是，
第n个分式是，
故选：B．
二、填空题
11．下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？
，
整式{ …}；
分式{ …}．
【答案】 ，， ，，，，，，
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解析】解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
，，，，，，的分母中含有字母，因此是分式．
故答案为：，，；，，，，，，．
【点睛】本题主要考查分式的定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
12．约分：
； ； ；
； ； ；
； ； ．
【答案】
【分析】根据分式的性质，提公因式法因式分解或公式法因式分解，进行约分即可．
【解析】；；；
；；
；
；
；
．
故答案为： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．
【点睛】本题考查了分式的约分，掌握因式分解是解题的关键．
13．若成立，则的取值范围是 ．
【答案】x≠1
【分析】根据分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的式子，分式的值不变即可解答．
【解析】解：由题意可知：x-1≠0，
∴x≠1，
故答案为：x≠1．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
14．（1）使分式有意义的条件为 ；分式有意义的条件为 ；
（2）当 时，分式的值为零；分式的值为0，则y的值为 ．
【答案】 -1 3
【分析】（1）直接利用分式有意义的条件分析得出答案；
（2）直接利用分式为0的条件分析得出答案．
【解析】解：（1）使分式有意义的条件为，即，
分式有意义的条件为，即，
故答案为：，；
（2）当且时，分式的值为零；
解得；
分式的值为0，则且，
解得或，
当时，，符合条件，
当时，，不符合条件，舍去，
故答案为：；；；．
【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义 分母为零；（2）分式有意义 分母不为零；（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
15．要将分式化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是 ．
【答案】
【分析】本题考查约分，约掉分式分子分母的公因式就能将分式化为最简分式，熟记分式约分法则，准确找到分式分子分母公因式是解决问题的关键．
【解析】解：要将分式化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是，
故答案为：．
16．在分式中，最简分式有 个．
【答案】2
【分析】根据最简分式的定义对各个分式逐一判断即可得．
【解析】解：
是最简分式，故有2个.
故答案为：2
【点睛】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．本题的关键是找出分子分母的公因式．
17．已知分式（n为常数），当时分式值为0，则n的值为 ．
【答案】
【分析】根据分式的值为0的条件列出关于的式子，求出的值即可．
【解析】解：∵当时分式值为0，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的值为0，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
18．已知，则分式的值为 ．
【答案】/0.6
【分析】本题考查了分式的求值，由得，然后代入计算即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题
19．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（2）（4）是整式，（1）（3）是分式
【分析】根据分式和整式的定义逐一判断即可得．
【解析】解：（1）的分母中含有字母，是分式；
（2）的分母中没有字母，且，是由2个单项式的和构成的，是整式；
（3）的分母中有字母，是分式；
（4）是由单项式xy与单项式x2y的和构成的多项式，是整式．
【点睛】本题主要考查分式和整式的定义，解题的关键是掌握如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式；单项式和多项式统称为整式．
20．x满足什么条件时下列分式有意义？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，逐题列不等式计算即可．
【解析】解：（1）∵有意义
∴3x≠0，即x≠0；
（2）∵
∴3-x≠0，即x≠3；
（3）∵
∴3x+5≠0，即；
（4）∵
∴≠0，即．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于0成为解答本题的关键．
21．已知分式
（1）当x取什么值时，分式有意义？
（2）当x取什么值时，分式为零？
（3）当x取什么值时，分式的值为负数？
【答案】（1）x≠－3；（2）x＝3；（3）x＜3且x≠－3
【分析】（1）根据分式有意义的条件即可求出答案．
（2）根据分式值为零的条件是：分子等于零且分母不等于零．
（3）根据分子和分母异号时值为负数．
【解析】（1）∵分式有意义，∴x+30，∴x-3，∴当x-3时，分式有意义．
（2）∵分式.的值为零，∴2-18=0且x+30，∴x=3，∴当x=3时，分式为零．
（3）∵=2（x-3），∵分式. 的值为负数，∴2（x-3）0且x+30
∴x＜3且x≠－3，∴当x＜3且x≠－3时，分式. 的值为负数．
【点睛】本题主要考查的是分式的值，熟练掌握分式有意义的条件，分式值为零的条件，以及分式为正数和负数的条件是解题关键．
22．求下列各分式的值：
（1），其中． （2），其中．
【答案】（1） -2；（2）
【分析】（1）将分式化为整式相除形式，把带代入计算即可；
（2）将分式化为整式相除形式，把代入计算即可．
【解析】（1）
当时，
原式
；
（2）
当时，
原式
．
【点睛】本题考查了求分式的值，解题的思路是把字母的值代入计算即可，注意分式的实质是两个整式相除，故可以将分式变形后代入，以简化运算．
23．下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】根据分式的基本性质判断即可；
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，准确分析判断是解题的关键．
24．约分
（1）；
④
【点睛】本题考查的是利用分式的基本性质把分子分母的各项系数化为整数，掌握变形的方法是解题的关键.
26．阅读材料：已知，求的值.
解：由得，，则有，
由此可得，所以
请理解上述材料后求：已知，用a的代数式表示的值．
【答案】．
【分析】根据材料可求出，再求出的倒数用含a的式子表示即可.
【解析】由，可得，
则有，
由此可得，
，
所以．
【点睛】此题主要考查分式方程的应用.
27．已知无论x取何实数，分式 总有意义，求m的取值范围．
小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开．解：
(1)请将小明对此题 = = 的解题过程补充完整；
(2)利用小明的思路，解决下列问题：无论x取何实数，分式都有意义，求m的取值范围．
【答案】(1)补全过程见解析
(2)
【分析】（1）根据分式有意义的条件可知，分式 总有意义，就是分母不为零，即只需要即可，根据求解即可得到结论；
（2）根据（1）的解题过程即可同理求解得到无论x取何实数，分式都有意义时m的取值范围．
【解析】（1）解：
=
=
，
根据无论x取何实数，分式 总有意义，
只要当，即可满足题意，
；
（2）解：由（1）可知
，
，
根据无论x取何实数，分式 总有意义，
只要当，即可满足题意，
．
【点睛】本题考查分式有意义条件的综合应用，涉及到配方及不等式的性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
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