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第14讲 一元一次方程及其解法 （十大题型）
学习目标
1、知道一元一次方程的概念； 2、会解一元一次方程； 3、掌握一元一次方程的代数应用。
一、一元一次方程的有关概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
要点： “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．
二、解一元一次方程的一般步骤
变形名称 具体做法 注意事项
去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号
移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项
合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变
系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒
要点：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
三、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
要点：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：
(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或.
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
四、教材解法补：整体法
例 解方程：4(x-2)+5=35—(x-2).
分析 可以将x—2 看作一个整体进行运算.
解：移项， 得4(x—2)+(x—2)=35—5.
将x-2看作一个整体进行加法运算，得5(x—2)=30.
两边同除以5,得x—2=6.
移项，得 x=8.
所以，原方程的解是x=8.
【即学即练1】在方程① ，② ，③ ，④ 中，一元一次方程共有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【即学即练2】已知方程的解是，则 ．
【即学即练3】若方程是一元一次方程，则（ ）
A．或 B． C． D．
【即学即练4】解方程
(1)
(2)
(3)
【即学即练5】下列解方程过程中，变形正确的是（ ）
A．由得
B．方程移项得
C．方程，去括号，得
D．由得
【即学即练6】下列方程变形中，正确的是（　　）
A．方程，去分母得
B．方程，去括号得
C．方程，系数化为1得
D．方程，移项得
题型1：一元一次方程
【典例1】．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是一元一次方程的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．①②③⑥ D．①②④⑥
【典例2】．已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一元一次方程的有( )
A．①③⑤ B．①③⑥ C．①③ D．⑤⑥
题型2：利用一元一次方程的概念求参数
【典例3】．如果方程是关于的一元一次方程，则 ．
【典例4】．若是关于的一元一次方程，则的值为 ．
【典例5】．如果关于的方程是一元一次方程，则 ．
题型3：一元一次方程的解，根据解求参数
【典例6】．请写出一个解为的一元一次方程： ．
【典例7】．已知关于x的方程的解为正整数，则整数k的值为 ．
【典例8】．若关于的方程的解为，则的值为 ．
【典例9】．若关于x的方程的解为， 则k的值为 ．
【典例10】．已知关于x的方程的解是，则 ．
【典例11】．当取不同值，代数式的值如下表所示，则的为 ．
1 2 4
1
题型4：合并同类项与移项
【典例12】．下面解方程结果正确的是（ ）
A．方程的解为 B．方程的解为
C．方程的解为 D．方程的解为
【典例13】．对于方程进行合并正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例14】．把方程的系数化为1的过程中，最恰当的叙述是（ ）
A．给方程两边同时乘 B．给方程两边同时除以
C．给方程两边同时乘 D．给方程两边同时除以5
【典例15】．已知的绝对值与的绝对值相等，则x的相反数为（ ）
A．9 B．1 C．1或 D．9或
题型5：去括号
【典例16】．解方程，去括号的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例17】．已知关于的方程的解满足，则的值是（ ）
A． B．10 C． D．
【典例18】．方程，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是，那么★处的数字是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【典例19】．已知关于 的方程 的解都是正整数，则整数 的所有可能的取值的积为( )
A． B． C． D．
题型6：去分母
【典例20】．解方程，去分母正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【典例21】．解方程时，把分母化为整数，得（ ）
A． B．
C． D．
【典例22】．将方程去分母得到错在（ ）
A．最简公分母找错 B．去分母时分子部分没有加括号
C．去分母时漏乘某一项 D．去分母时各项所乘的数不同
题型7：一元一次方程的解法综合
【典例23】．解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【典例24】．解方程：
(1)；
(2)．
题型8：一元一次方程解法的代数应用
【典例25】．已知方程与方程的解相同，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例26】．（1）取何值时，代数式与的值互为相反数？
（2）取何值时，关于的方程和的解相同？
【典例27】．若整式的值比小1，求的值．
题型9：审题不清、解错方程问题
【典例28】．小云在解关于x的方程时，误将看作，得到方程的解为，则原方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【典例29】．小明在解关于的方程，去分母乘时常数漏乘了，从而解出，请你试着求出的值，并求出方程正确的解．
题型10：解一元一次方程拓展
【典例30】．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【典例31】．若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（ ）
A．5 B．3 C．6 D．2
【典例32】．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（　　）
A．2013 B． C．2023 D．
一、单选题
1．下列各式中是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列是小明同学做的四道解方程，其中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若是关于的方程的解，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．
4．下列方程的变形正确的是（ ）
A．由 ，得
B．由 ，得
C．由 ，得
D．由 ，得
5．若是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　）
A． B．1 C． D．任何实数
6．在解方程时，去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．解方程时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列变形正确的是（ ）
A．将去分母，得
B．由，得
C．去括号，得
D．由，解得
9．若式子和的值互为相反数，则的值是（　　）
A．4 B． C．1 D．
10．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．将方程 去分母，应在方程的两边同乘以 ．
12．若是关于的一元一次方程，则 ．
13．若关于的方程和有相同的解，则 ．
14．已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ．
15．若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ．
16．小滨在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为 ．
17．方程的解为 ．
18．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和都相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则的值为 ．
三、解答题
19．解方程：
(2)
(3)
(4)
28．解方程：
(1)；
(2)．
29．解方程
(1)
(2)
30．阅读下面解方程的步骤，在后面的横线上填写此步骤的依据：
解：去分母，得．①
依据 ．
去括号，得．
移项，得．②
依据 ．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
∴是原方程的解．
31．已知代数式.
(1)化简M；
(2)如果是关于x的一元一次方程，求M的值.
32．（1）解方程：．
（2）当为何值时，代数式的值比代数式的值大3．
33．方程与方程的解相同，求代数式的值．
34．已知关于的方程，某同学在解这个方程时，不小心把方程右边的加7抄成了减7，解得方程的解为“”，求原方程的解．
35．如图，在一块展示牌上，整齐地贴着许多资料卡片，这些卡片均为大小相同的长方形，卡片之间露出了三块正方形（图中阴影部分），每一块正方形的面积为，求每一块卡片的面积？
36．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
(1)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值；
(2)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，并且它的解是，求m，n的值．
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第14讲 一元一次方程及其解法 （十大题型）
学习目标
1、知道一元一次方程的概念； 2、会解一元一次方程； 3、掌握一元一次方程的代数应用。
一、一元一次方程的有关概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
要点： “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．
二、解一元一次方程的一般步骤
变形名称 具体做法 注意事项
去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号
移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项
合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变
系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒
要点：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
三、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
要点：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：
(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或.
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
四、教材解法补：整体法
例 解方程：4(x-2)+5=35—(x-2).
分析 可以将x—2 看作一个整体进行运算.
解：移项， 得4(x—2)+(x—2)=35—5.
将x-2看作一个整体进行加法运算，得5(x—2)=30.
两边同除以5,得x—2=6.
移项，得 x=8.
所以，原方程的解是x=8.
【即学即练1】在方程① ，② ，③ ，④ 中，一元一次方程共有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式”即可求解．
【解析】解：①，含有一个未知数，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不符合题意；
②，含有一个未知数，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，符合题意；
③，含有两个未知数，未知数的最高次数是1次，不是一元一次方程，不符合题意；
④，不是整式，不是一元一次方程，不符合题意；
综上所述，一元一次方程的共有1个，
故选：A ．
【即学即练2】已知方程的解是，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元一次方程的解，将代入方程，再解方程即可，解题的关键是正确理解方程的解的概念及应用．
【解析】解：∵是方程的解，
∴，
解得．
故答案为：．
【即学即练3】若方程是一元一次方程，则（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义．根据只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫一元一次方程列出关于的方程求解即可得出答案．
【解析】解：∵关于的方程是一元一次方程，
∴且，
解得：．
故选：C．
【即学即练4】解方程
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了解一元一次方程．
（1）按照去括号，移项，合并同类项，化系数为1的顺序进行解答即可；
（2）按照去括号，移项，合并同类项，化系数为1的顺序进行解答即可；
（3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的顺序进行解答即可；
【解析】（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
化系数为1，得．
（2）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
化系数为1，得．
（3）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
化系数为1，得．
【即学即练5】下列解方程过程中，变形正确的是（ ）
A．由得
B．方程移项得
C．方程，去括号，得
D．由得
【答案】C
【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的性质一：等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立．性质二：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．据此逐个判定即可．
【解析】解：A、由得，故A变形不正确；
B、方程移项得，故B变形正确；
C、方程，去括号，得，故C变形不正确；
D、由得，故D变形不正确；
故选：B．
【即学即练6】下列方程变形中，正确的是（　　）
A．方程，去分母得
B．方程，去括号得
C．方程，系数化为1得
D．方程，移项得
【答案】D
【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的性质的应用．根据等式的性质，逐项判断即可．
【解析】解：方程，去分母得，
选项A符合题意；
方程，去括号得，
选项B不符合题意；
方程，系数化为1得，
选项C不符合题意；
方程，移项得，
选项D不符合题意．
故选：A．
题型1：一元一次方程
【典例1】．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是一元一次方程的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．①②③⑥ D．①②④⑥
【答案】A
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax＋b＝0（a，b是常数且a≠0）．
【解析】解：①，符合一元一次方程的定义，正确；
②，符合一元一次方程的定义，正确；
③符合一元一次方程的定义，正确；
④未知数的指数是2次，不是一元一次方程，错误；
⑤，不是整式方程，不是一元一次方程，错误；
⑥，符合一元一次方程的定义，正确；
⑦，含有两个未知数，不是一元一次方程，错误；
故是一元一次方程的是①②③⑥，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
【典例2】．已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一元一次方程的有( )
A．①③⑤ B．①③⑥ C．①③ D．⑤⑥
【答案】C
【分析】利用一元一次方程的定义进行判断即可．
【解析】解：由一元一次方程的定义可得，①③⑥为一元一次方程，
②含有两个未知数，不是一元一次方程，④未知数的次数为2，不是一元一次方程，⑤不是整式方程，不是一元一次方程，
故选：B
【点睛】本题考查一元一次方程的区分，注意一元一次方程是指整式等式中只含有一个未知数且未知数的次数为1，理解好一元一次方程的定义是解题的关键．
题型2：利用一元一次方程的概念求参数
【典例3】．如果方程是关于的一元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义进行求解即可．
【解析】解：∵方程是关于的一元一次方程，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
【典例4】．若是关于的一元一次方程，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（，是常数且）
【解析】解：∵是关于的一元一次方程，
∴且，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
【典例5】．如果关于的方程是一元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】根据一元一次方程是只有一个未知数且未知数的次数是1的方程可知，的系数应为0，的系数应不为0，列出关系式求解即可．
【解析】解：由题意得：，
解得且，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，熟悉一元一次方程应满足的条件是解题的关键．
题型3：一元一次方程的解
【典例6】．请写出一个解为的一元一次方程： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据方程的解和一元一次方程的定义即可解答．
【解析】解：写出一个解为的一元一次方程是．
故答案是：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了方程的解和一元一次方程的定义，方程的解是能使方程的左右两边相等的未知数的值．
【典例7】．已知关于x的方程的解为正整数，则整数k的值为 ．
【答案】2或8/8或2
【分析】解方程用含有k的式子表示x，再根据7除以几得正整数，求出整数k．
【解析】
，
显然，
解得，，
∵k为整数，关于x的方程的解为正整数，
∴或，
解得，或，
故答案为：2或8．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解题关键是根据方程的解为正整数，k为整数，确定未知数的系数的值．
【典例8】．若关于的方程的解为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解．根据“方程的解是使方程左右两边相等的数”即可求解．
【解析】解：是方程的解，
，
，
故答案为：．
【典例9】．若关于x的方程的解为， 则k的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查方程的解，将代入方程，进行求解即可．
【解析】解：把，代入，得：，
∴；
故答案为：1．
【典例10】．已知关于x的方程的解是，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程，即可得到一个关于的方程，即可求解．
【解析】解：把代入方程得，
，解得：．
故答案为：．
【典例11】．当取不同值，代数式的值如下表所示，则的为 ．
1 2 4
1
【答案】3
【分析】本题考查了代数式求值，方程的解，由表格可得到①，②，③，通过可得，进而可得到结果．
【解析】解：由表可知，当时，，即①，
当时，，即②，
当时，，即③，
可得，，即，
，
，
故答案为：3．
题型4：合并同类项与移项
【典例12】．下面解方程结果正确的是（ ）
A．方程的解为 B．方程的解为
C．方程的解为 D．方程的解为
【答案】D
【分析】根据解一元一次方程的方法逐项判断即得答案.
【解析】解：A、方程的解为，故解方程结果错误，不符合题意；
B、方程的解为，故解方程结果错误，不符合题意；
C、方程的解为，故解方程结果错误，不符合题意；
D、方程的解为，故解方程结果正确，符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，属于基础题型，正确合并同类项和化系数为1是解题的关键.
【典例13】．对于方程进行合并正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据合并同类项的法则进行判断即可.
【解析】解：方程合并同类项，得；
故选：C.
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，正确合并同类项是关键.
【典例14】．把方程的系数化为1的过程中，最恰当的叙述是（ ）
A．给方程两边同时乘 B．给方程两边同时除以
C．给方程两边同时乘 D．给方程两边同时除以5
【答案】A
【分析】根据等式的性质2，方程两边同时乘即可．
【解析】解：，
方程两边同时乘得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
【典例15】．已知的绝对值与的绝对值相等，则x的相反数为（ ）
A．9 B．1 C．1或 D．9或
【答案】A
【分析】根据题意列绝对值方程求解即可．
【解析】解：∵，
∴，或，
∴或，
∴x的相反数是或1．
故选：C．
【点睛】此题考查了绝对值方程的应用，解一元一次方程，正确理解题意列得方程是解题的关键．
题型5：去括号
【典例16】．解方程，去括号的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据去括号的法则解答即可.
【解析】解：方程，去括号的结果是；
故选：D.
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟知去括号的法则是关键.
【典例17】．已知关于的方程的解满足，则的值是（ ）
A． B．10 C． D．
【答案】C
【分析】先求出方程的解；再把求出的解代入方程，求关于m的一元一次方程即可．
【解析】解：∵，
解得：，
将代入方程得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【典例18】．方程，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是，那么★处的数字是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】根据方程的解满足方程，把解代入方程，再解方程即可得到答案．
【解析】解：把代入得，
，
解得．
故选：A
【点睛】此题考查了方程的解和解一元一次方程，准确计算是解题的关键．
【典例19】．已知关于 的方程 的解都是正整数，则整数 的所有可能的取值的积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先将该方程的解表示出来，然后根据该方程的解为正整数，分情况进行讨论即可．
【解析】解：
即，
解得：
∵的解都是正整数，
∴是正整数，
∴或或
解得：或或，
∴整数 的所有可能的取值的积为，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，根据题意得出是正整数是解题的关键．
题型6：去分母
【典例20】．解方程，去分母正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据去分母的方法即可得到结果．
【解析】解：去分母得，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的关键是去分母时各项都要乘以各分母的最小公倍数，尤其是常数项．
【典例21】．解方程时，把分母化为整数，得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】方程利用分数的性质化简得到结果，即可作出判断．
【解析】解：方程，
整理得：．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
【典例22】．将方程去分母得到错在（ ）
A．最简公分母找错 B．去分母时分子部分没有加括号
C．去分母时漏乘某一项 D．去分母时各项所乘的数不同
【答案】C
【分析】去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，分子如果是多项式，需要将这个多项式作为整体加括号．
【解析】解：方程去分母，将方程两边同时乘6，
得：，故A、C、D不符合题意，去分母时，分子部分没有加括号，B符合题意．
【点睛】本题主要考查了解带分母的方程，先找出分母的最小公倍数，然后去分母求解．需要特别注意：分子如果是多项式，需要将这个多项式作为整体加括号．
题型7：一元一次方程的解法综合
【典例23】．解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；
（3）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；
（4）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；
（5）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可；
（6）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可．
【解析】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
（5）解：
．
（6）解：
．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【典例24】．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据分数的性质，将方程化简，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤求解即可；
（2）先将方程化为，再求解即可．
【解析】（1）解：，
原方程可化为，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）解：
原方程可化为，
去分母，得，
移项、合并同类项，得，
化系数为1，得：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤．
题型8：一元一次方程解法的代数应用
【典例25】．已知方程与方程的解相同，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出方程的解，再把，代入，即可求解．
【解析】解：，
去分母得：，
去括号得：，
解得：，
∵方程与方程的解相同，
∴，
解得：．
故选：B
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程得基本步骤是解题的关键．
【典例26】．（1）取何值时，代数式与的值互为相反数？
（2）取何值时，关于的方程和的解相同？
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题意得，进行计算即可得；
（2）计算方程得，解为，即可得的解为，将代入进行计算即可得．
【解析】解：（1）因为与的值互为相反数，
所以，
解得．
（2），
，
，
，
所以的解为，
所以，
解得．
【点睛】本题考查了相反数，方程的解，解题的关键是掌握这些知识点，准确计算．
【典例27】．若整式的值比小1，求的值．
【答案】
【分析】根据题意可列出方程，解方程即可．
【解析】解：根据题意，得，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．
题型9：审题不清、解错方程问题
【典例28】．小云在解关于x的方程时，误将看作，得到方程的解为，则原方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将错就错，把代入中，计算求出a的值，进而求出方程的解．
【解析】解：把代入方程得：，
移项合并得：，
解得：，
代入方程得：，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，解题的关键是掌握一元一次方程的解的定义．
【典例29】．小明在解关于的方程，去分母乘时常数漏乘了，从而解出，请你试着求出的值，并求出方程正确的解．
【答案】，
【分析】根据“小明在解关于的方程，去分母乘时常数漏乘了，从而解出”，分析出“是方程的解”，把代入方程中，求出的值，再把的值代入原方程中，正确去分母，求出方程正确的解即可．
【解析】解：∵小明在解关于的方程，去分母乘时常数漏乘了，从而解出，
∴是方程的解，
∴把代入方程中，
得：，
解得：，
把代入原方程中，
得：，
方程左右同乘、去分母，得：，
移项、合并同类项，得，
解得：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，本题先根据错误运算的思路列方程求出的值是解题的关键．
题型10：解一元一次方程拓展
【典例30】．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先把所求方程变形为，设，则，根据题意可得关于m的一元一次方程的解为，则可求出，由此即可得到答案．
【解析】解：∵，
∴，
设，则，
∵关于x的一元一次方程的解为，
∴关于m的一元一次方程的解为，
∴，
∴，
∴于y的一元一次方程的解为，
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的特殊解法，正确将所求方程变形为是解题的关键．
【典例31】若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（ ）
A．5 B．3 C．6 D．2
【答案】A
【分析】先求出此方程的解，再利用方程的解是整数，k也是整数，即可判断k的取值．
【解析】解：，
，
，
，
解得：，
∵方程的解是整数，k也是整数，
∴k可以为-4或-2或-1或1或2或4，共有6个数，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是方程的解，根据方程的解为整数和k为整数，求出当k为整数，也是整数时，k的值，是解决此题的关键．
【典例32】．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（　　）
A．2013 B． C．2023 D．
【答案】A
【分析】首先由方程可得，，由方程可得，，设n=y-5，可得，再由方程的解为，可得方程的解为n=2018，据此即可解得．
【解析】解：由方程，得，
由方程可得，，
得，
设n=y-5，则可得，
方程的解为，
方程的解为n=2018，
，
解得y=2023，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和利用换元法解一元一次方程，正确掌握和利用换元法的转化思想是解题的关键．
一、单选题
1．下列各式中是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的识别，判断一个方程是否是一元一次方程，看它是否具备以下三个条件：①只含有一个未知数，②含未知数项的最高次数是1，③整式方程，这三个条件缺一不可．据此逐项分析即可．
【解析】解：A．中未知数的次数是2，故不符合题意；
B．不是整式方程，故不符合题意；
C．中含2个未知数，故不符合题意；
D．是一元一次方程，符合题意；
2．下列是小明同学做的四道解方程，其中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤：合并同类项，系数化为1，进行计算逐一判断即可解答．
【解析】A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
3．若是关于的方程的解，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】D
【分析】本题考查方程的解，解题的关键是理解题意，根据方程的解的定义把代入方程可得关于m的方程，解方程即可解决问题．
【解析】解：把代入方程，得：
，
解得：，
故选：A．
4．下列方程的变形正确的是（ ）
A．由 ，得
B．由 ，得
C．由 ，得
D．由 ，得
【答案】C
【分析】本题考查解一元一次方程，移项问题．根据移项法则是移项变号，清楚移项是指把方程中的某一项或某些项，改变符号后，从方程的一边移到另一边，规则是不移动的项放在最前边，移动的项放在后边，便于检查．
【解析】解：A、由 ，得 ，故原式变形错误，不符合题意；
B、由 ，得 ，故原式变形正确，符合题意；
C、由 ，得 ，故原式变形错误，不符合题意；
D、由 ，得 ，故原式变形错误，不符合题意；
故选：B．
5．若是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　）
A． B．1 C． D．任何实数
【答案】C
【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义可得到且，即可求出的值．
【解析】解：是关于x的一元一次方程，
根据题意得：且，
解得：，
故选：B．
6．在解方程时，去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．方程去括号得到结果，即可做出判断．
【解析】解：将方程去括号，得．
故选：D
7．解方程时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了解一元一次方程，根据去分母的方法进行解答即可．
【解析】解：
两边同乘以6得，，
故选：D．
8．下列变形正确的是（ ）
A．将去分母，得
B．由，得
C．去括号，得
D．由，解得
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次方程；根据方程的解法分别判断即可．
【解析】解：A、将去分母，得原解题过程错误，不符合题意；
B、由得原解题过程正确，符合题意；
C、去括号，得原解题过程错误，不符合题意；
D、，得，原解题过程错误，不符合题意；
故选：B．
9．若式子和的值互为相反数，则的值是（　　）
A．4 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查解一元一次方程、相反数，掌握相反数的定义、根据定义列出等式，正确列出方程是解题关键．
根据互为相反数的两个数和为0列出式子即可求出答案．
【解析】解：依题意得：
，
故选：B
10．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据第一个方程的解是得出关于的一元一次方程中，再求出即可．
【解析】解：关于的一元一次方程的解为，
关于的一元一次方程中，
解得：，
即关于的一元一次方程的解为．
故选：D．
二、填空题
11．将方程 去分母，应在方程的两边同乘以 ．
【答案】
【分析】本题考查解含有分母的一元一次方程的解题步骤问题，关键会找公分母，会求各分母的最小公倍数，会利用等式性质将分母化去．
【解析】解：4与6的最小公倍数是12，为了去分母应将方程两边都同乘12．
故答案为：12．
12．若是关于的一元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，象这样的方程叫做一元一次方程，熟练掌握定义是解答本题的关键根据未知数的次数等于1且系数不等于0列式求解即可．
【解析】解：∵是关于的一元一次方程，
∴且，
解得．
故答案为：．
13．若关于的方程和有相同的解，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了方程的解的定义，已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”． 解方程，把方程的解代入即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值．
【解析】解：解方程得：，
把代入方程得：，
解得：．
故答案为：．
14．已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ．
【答案】0
【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，根据一元一次方程的解求得，进而代值求解即可．
【解析】解：把代入方程中得，，
∴，
∴
．
故答案为：0．
15．若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ．
【答案】2或3或4或7
【分析】首先解方程表示出的值，然后根据解为正整数求解即可．本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【解析】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
关于的方程的解为正整数，
为正整数，
或或或
或或或．
故答案为：2或3或4或7
16．小滨在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据题意得是方程的解，据此把代入方程中求出a的值进而解方程即可．
【解析】解：由题意得，是方程的解，
∴，
∴，
∴，
∴原方程为
整理得：，
解得，
故答案为：．
17．方程的解为 ．
【答案】4或2
【分析】本题考查绝对值的意义，以及解一元一次方程，根据绝对值的意义，得到或，解之即可解题．
【解析】解：，
或，
解得或，
故答案为：4或2．
18．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和都相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则的值为 ．
【答案】
【分析】如图，设置一下参数，使得幻方成立，利用具有公共的数来列等式，，问题随之得解．
【解析】如图，设置一下参数，使得幻方成立，
根据幻方可得等式：，，
∴，，
即：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查方程的应用及有理数加法的应用，理解题意，列出相应方程等式然后化简求值是解题关键．
三、解答题
19．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解元一次方程的方法．
（1）先移项合并同类项，然后系数化为1即可；
（2）先合并同类项，再系数化为1即可．
【解析】（1）解：
移项合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
20．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解析】（1）解：
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，．
（2）解：
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，．
21．解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤解方程即可．
（1）去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1即可求解．
（2）去分母，去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1即可求解．
【解析】（1）解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
化系数为1：
（2）
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：
化系数为1：
22．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解一元一次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
（1）先去括号，再移项，合并同类项，化系数为1即可解题；
（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可解题．
【解析】（1）解：，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得
系数化为1，得 ；
（2）
去分母，得，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得
系数化为1，得 ．
23．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1．
（1）先去括号，然后移项合并同类项即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1．
【解析】（1）解：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
（2）解：，
方程两边同乘10，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
24．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可．
（1）先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可．
【解析】（1）解：
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：．
25．解方程
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．熟练掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1是解题的关键．
（1）先去括号，然后移项合并，最后化系数为1可得解；
（2）先去分母，再去括号，然后移项合并，最后化系数为1可得解；
【解析】（1）解：去括号得：，
移项合并得：，
系数化为1得：．
（2）去分母得：，
去括号得： ，
移项合并得： ，
系数化为1得： ．
26．解方程或比例．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了解方程和解比例：
（1）根据等式的性质解方程即可；
（2）根据等式的性质解方程即可；
（3）先根据比例的性质得到，再根据等式的性质解方程即可．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
27．求未知数x
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据等式的基本性质解方程即可；
（2）根据等式的基本性质解方程即可；
（3）根据比例的基本性质解方程即可；
（4）根据等式的基本性质解方程即可.
本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握等式的基本性质及比例的基本性质是解题的关键．等式的基本性质是，等式的两边同时加上或减去，乘或除以一个不为0的数，等式的值不变.．比例的基本性质是：两内项之积等于两外项之积．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
28．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
（1）通过去括号、移项、合并同类项和系数化为1来求解；
（2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1来求解．
【解析】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：
，
，
，
，
，
．
29．解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查一元一次方程的解法；
（1）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解；
（2）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解．
【解析】（1）
去分母得：
去括号得：
移项合并同类项得：
系数化1得：
（2）
整理得：
去分母得：
去括号得：
移项合并同类项得：
系数化1得：
30．阅读下面解方程的步骤，在后面的横线上填写此步骤的依据：
解：去分母，得．①
依据 ．
去括号，得．
移项，得．②
依据 ．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
∴是原方程的解．
【答案】等式的基本性质2：等式的两边都乘以同一个数，所得的等式仍然成立；依据等式的基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的等式仍然成立．
【分析】本题考查了解一元一次方程，利用等式的基本性质判断即可．
【解析】解：，
去分母，得．①
依据依据等式的基本性质2：等式的两边都乘以同一个数，所得的等式仍然成立．
去括号，得．
移项，得．②
依据依据等式的基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的等式仍然成立．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
∴是原方程的解．
故答案为：等式的基本性质2：等式的两边都乘以同一个数，所得的等式仍然成立；依据等式的基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的等式仍然成立．
31．已知代数式.
(1)化简M；
(2)如果是关于x的一元一次方程，求M的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据去括号，合并同类项进行化简即可求解；
（2）根据一元一次方程的定义求得，代入（1）的结果进行计算即可求解．
【解析】（1）解：
；
（2）解：∵是关于x的一元一次方程，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了整式的加减与化简求值，一元一次方程的定义，正确的去括号与合并同类项，一元一次方程的定义是解题的关键．
32．（1）解方程：．
（2）当为何值时，代数式的值比代数式的值大3．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程即可求解；
（2）根据题意列出方程解方程即可．
【解析】（1）解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
化系数为1，得：；
（2）由题意得：，
，
．
∴，
∴，
∴，
∴每一块卡片的面积为．
36．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
(1)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值；
(2)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，并且它的解是，求m，n的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了新定义——“差解方程”，熟练掌握新定义，一元一次方程解的定义，解一元一次方程，代数式求值，是解决问题的关键．
（1）根据一元一次方程是“差解方程”，得到，代回原方程求解即得；
（2）根据一元一次方程是“差解方程”，且，得到，再把代回原方程即可求出m与n的值．
【解析】（1）∵一元一次方程是“差解方程”，
∴，
∴，
解得：；
（2）∵一元一次方程是“差解方程”，
∴，
又，
∴，
∴，
把，代回原方程得：，
∴，
将代入中，得．
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