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第4节　抛体运动的规律
学习目标　1.知道平抛运动的受力特点，理解平抛运动是匀变速曲线运动。2.理解平抛运动的规律，知道其轨迹是抛物线。3.掌握平抛运动的处理方法，会确定平抛运动的速度和位移。4.会用平抛运动的推论解决相关问题。5.了解斜抛运动的处理方法。
知识点一　平抛运动的理解
如图为一人正在练投掷飞镖，不计空气阻力，请思考：
(1)可以用什么方法处理平抛运动？
(2)飞镖掷出后，其加速度的大小和方向是否变化？
(3)飞镖掷出后，水平方向做什么运动？
(4)飞镖的运动是什么性质的运动？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 关于平抛运动，下列说法正确的是(　　)
A.平抛运动是一种不受任何外力作用的运动
B.平抛运动是曲线运动，它的速度方向不断改变，不可能是匀变速运动
C.平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D.平抛运动的物体质量越小，落点就越远，质量越大，落点就越近
(1)平抛运动是匀变速曲线运动，加速度恒为重力加速度。
(2)平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。　　　　
知识点二　平抛运动的速度、位移与轨迹以初速
度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，以初速度v0的方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系。物体做平抛运动的轨迹如图所示。
1.平抛运动的速度
(1)水平方向：vx＝________。
(2)竖直方向：vy＝________。
(3)t时刻的速度
大小v＝eq \r(v＋v)＝eq \r(v＋g2t2)
方向tan θ＝＝________(θ表示合速度与水平方向之间的夹角)。
2.平抛运动的位移与轨迹
(1)水平位移：x＝________。
(2)竖直位移：y＝________。
(3)合位移大小：s＝________。
方向：tan α＝＝________。
(4)轨迹方程：由以上两式消去时间t，可得平抛运动的轨迹方程为y＝________，由此可知平抛运动的轨迹是一条________。
【思考】
1.平抛运动的时间由什么决定？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.平抛运动的速度的大小由什么决定？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.平抛运动的水平位移由什么决定？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.速度的改变量沿什么方向？相等的时间t内速度的改变量是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.连续相等的时间t内，竖直的位移差是否相等？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6.竖直方向每秒内位移的增量是否相等？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.速度和水平方向的夹角与位移和水平方向的夹角是否相同？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 当灾害发生时，有时会利用无人机运送救灾物资。如图所示，一架无人机正准备向受灾人员空投急救用品。急救用品的底面离水面高度h＝19.6 m，无人机以v＝10 m/s的速度水平匀速飞行。若空气阻力忽略不计，重力加速度g＝9.8 m/s2。
(1)为了使投下的急救用品落在指定地点，无人机应该在离指定地点水平距离多远的地方进行投放？
(2)投放的急救用品落到水面上时，速度的大小是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3 如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移大小之比为1∶2，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A.A、B两球的初速度大小之比为1∶4
B.A、B两球的初速度大小之比为1∶
C.若两球同时落地，则两球抛出的时间差为(－1)
D.若两球同时抛出，则落地的时间差为
知识点三　平抛运动的两个重要推论
1.推论一：“反延过中”
做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。即xOB＝xA。
推导：如图，从速度的分解来看，速度偏向角的正切值tan θ＝＝①
将速度v反向延长，速度偏向角的正切值
tan θ＝＝②
联立①②式解得xOB＝v0t＝xA。
2.推论二：“正切二倍”
做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。
推导：速度偏向角的正切值tan θ＝①
位移偏向角的正切值
tan α＝＝＝②
联立①②式可得tan θ＝2tan α。
例4 如图所示，一小球自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，小球与斜面接触时速度方向与水平方向的夹角φ满足(　　)
A.tan φ＝sin θ B.tan φ＝cos θ
C.tan φ＝tan θ D.tan φ＝2tan θ
知识点四　一般的抛体运动
体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪等(如图所示)，都可以看作是斜上抛运动。
以抛出的铅球为例：
(1)铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、速度有何特点？
(2)铅球在最高点的速度是零吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.斜抛运动：初速度沿__________或____________的抛体运动。
2.斜抛运动的性质：斜抛运动是水平方向的____________运动和竖直方向的加速度为________的________________运动的合运动。
【思考】
以斜上抛运动为例，设抛出的初速度为v0，方向与x轴正方向的夹角为θ，如图所示。
(1)试写出斜抛运动的水平速度和竖直速度的表达式；
(2)试写出斜抛运动的水平分位移和竖直分位移的表达式；
(3)总结分析斜抛运动的思路。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例5 某同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直放置的篮板上，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，关于这两次篮球从抛出到撞击篮板的过程(　　)
A.两次在空中运动的时间相等
B.两次抛出时的速度相等
C.第1次抛出时速度的水平分量小
D.第2次抛出时速度的竖直分量大
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)斜上抛运动问题可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。
(2)斜上抛运动的最高点的速度等于水平初速度，最高点的加速度等于重力加速度g。
(3)由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动，由最高点到落地点的过程也可用平抛运动规律分析。　　　　
例6 如图，做斜上抛运动的物体到达最高点时，速度v＝24 m/s，落地时速度vt＝30 m/s，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)物体抛出时速度的大小和方向；
(2)物体在空中的飞行时间t。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
斜抛运动以最高点为对称点，在竖直方向上对称的位置具有对称的速率，对称的位移具有时间的对称性。　　　　
随堂对点自测
1.(平抛运动的理解)(多选)关于平抛运动，下列说法中正确的是(　　)
A.平抛运动的下落时间由下落高度决定
B.平抛运动的轨迹是曲线，所以平抛运动不可能是匀变速运动
C.平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小
D.平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化
2.(平抛运动规律的应用)如图所示为某公园的喷水装置，若水从喷水口中水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A.喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越短
B.喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
C.喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越近
D.喷水口高度一定，无论喷水速度多大，水从喷出到落入池中的时间都相等
3.(平抛运动的两个重要推论)水平投来两支飞镖，落在墙上的情形，如图所示。现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d，则抛出点与墙壁间的距离为
(　　)
A.d B.2d
C.d D.d
4.(斜抛运动)(多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球a、b，分别落在地面上的M、N两点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则(　　)
A.b的加速度比a的大
B.b的飞行时间比a的长
C.b在最高点的速度比a在最高点的大
D.b在落地时的速度比a在落地时的大
第4节　抛体运动的规律
知识点一
导学
提示　(1)运动的合成与分解，化曲为直，将其分解为水平和竖直方向两个分运动。
(2)加速度为重力加速度g，大小和方向均不变。
(3)匀速直线运动。
(4)匀变速曲线运动
例1 C　[做平抛运动的物体除了受自身重力外，不受其他外力，A错误；平抛运动轨迹是抛物线，它的速度方向不断改变，物体的加速度是重力加速度，故平抛运动是匀变速曲线运动，B错误；平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，C正确；平抛运动的运动情况与物体的质量无关，D错误。]
知识点二
1.(1)v0　(2)gt　(3)　2.(1)v0t　(2)gt2　(3)　　(4)eq \f(g,2v)x2　抛物线
[思考]
1.提示　由y＝gt2得t＝，可知平抛运动的时间由高度决定。
2.提示　由v＝eq \r(v＋v)＝eq \r(v＋2gy)知平抛运动的速度大小由水平速度和高度共同决定。
3.提示　由x＝v0t＝v0知平抛运动的水平位移由水平速度和高度共同决定。
4.提示　速度的改变量沿竖直方向，相等的时间t内速度的改变量Δv＝gt。
5.提示　竖直方向的位移差为Δy＝gt2，可见在连续相等时间t内，Δy相等。
6.提示　竖直方向每秒内位移的增量Δy＝g(t＋1)2－gt2＝gt＋g，即Δy不相等。
7.提示　速度与水平方向的夹角的正切值tan θ＝＝，位移与水平方向的夹角正切值tan α＝＝，可见tan θ≠tan α。
例2 (1)20 m　(2)22 m/s
解析　(1)急救用品做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，有h＝gt2，得t＝
急救用品在水平方向上做匀速直线运动，在时间t内的水平位移
x＝vxt＝v＝10× m＝20 m
即无人机应在离指定地点水平距离20 m处投放急救用品。
(2)设急救用品落到水面上时竖直方向速度的大小为vy，根据匀变速直线运动速度与位移的关系，有
v＝2gh
急救用品落到水面上时，速度的大小
v＝eq \r(v＋v)＝
＝ m/s＝22 m/s。
例3 C　[小球做平抛运动，竖直方向有H＝gt2，则运动时间t＝，所以A球的运动时间tA＝＝，B球的运动时间tB＝，所以tA∶tB＝∶1，由x＝v0t得v0＝，结合两球落地时的水平位移之比xA∶xB＝1∶2，可知A、B两球的初速度大小之比为1∶2，故A、B错误；若两球同时落地，则两球抛出的时间差Δt＝tA－tB＝(－1)，故C正确；若两球同时抛出，则落地的时间差Δt′＝tA－tB＝(－1)，故D错误。]
知识点三
例4 D　[如题图所示，接触斜面时位移方向与水平方向的夹角为θ，由平抛运动的推论可知，速度方向与水平方向的夹角φ与θ满足tan φ＝2tan θ，D正确。]
知识点四
导学
提示　(1)不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为g，其初速度不为零，初速度方向斜向上方。
(2)不是。由于铅球在水平方向做匀速运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的初速度。
知识梳理
1.斜向上方　斜向下方　2.匀速直线　g　匀变速直线
[思考]
提示　(1)水平速度：vx＝v0x＝v0cos θ。
竖直速度：vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt。
(2)水平位移：x＝v0xt＝v0tcos θ。
竖直位移：y＝v0tsin θ－gt2。
(3)一般抛体运动问题的处理方法和平抛运动的处理方法相同，都是将运动分解为两个方向的简单的直线运动，分别为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
例5 C　[将篮球的运动逆向处理，即为平抛运动。由题图可知，第2次运动过程中的高度较小，所以运动时间较短，故A错误；平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，第2次运动过程中的高度较小，故第2次抛出时速度的竖直分量vy＝较小，故D错误；平抛运动在水平方向是匀速直线运动，水平射程相等，由x＝v0t可知，v0＝＝x，第2次抛出时水平分速度较大，第1次抛出时水平分速度较小，故C正确；水平分速度第2次大，竖直分速度第1次大，根据速度的合成可知，两次抛出时的速度大小关系不能确定，故B错误。]
例6 (1)30 m/s　与水平方向夹角为37°　(2)3.6 s
解析　(1)根据斜抛运动的对称性，物体抛出时的速度与落地时速度大小相等，故v0＝vt＝30 m/s，设v0与水平方向夹角为θ，则cos θ＝＝0.8，故θ＝37°。
(2)竖直方向的初速度为v0y＝v0sin θ＝18 m/s
故物体在空中的飞行时间t＝＝3.6 s。
随堂对点自测
1.AC　[平抛运动的下落时间由下落的高度决定，A正确；平抛运动的轨迹是曲线，它的速度方向沿轨迹的切线方向，方向不断改变，所以平抛运动是变速运动，但由于其加速度为g，保持不变，所以平抛运动是匀变速曲线运动，B错误；平抛运动的速度方向和加速度方向的夹角θ满足tan θ＝＝，随着时间t的增大，tan θ变小，θ变小，C正确；平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向不变，D错误。]
2.D　[水从喷水口水平喷出后，做平抛运动，其运动时间由高度决定，所以喷水口高度一定时，水从喷出到落入池中的时间相等，水速越大，水喷得越远，A、B错误，D正确；喷水速度一定，喷水口高度越高，水从喷出到落入池中的时间越长，水喷得越远，C错误。]
3.C　[由平抛运动的推论知，把两飞镖速度反向延长，交点为水平位移中点，如图所示，设水平位移为x，则－＝d
解得x＝d，故C正确。]
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4.CD　[a、b两球都做斜上抛运动，只受重力作用，加速度都为重力加速度，A项错误；在竖直方向上做竖直上抛运动，由于上升的竖直高度相同，所以两小球在空中飞行时间相等，B项错误；由于b球的水平射程比a球的大，故b球的水平速度及落地时的速度均比a球的大，C、D项正确。]第4节　抛体运动的规律
(分值：100分)
选择题1～11题，第13题，每小题7分，共84分。
对点题组练
题组一　平抛运动的理解
1.人站在平台上水平抛出一小球，球离开手时的速度为v1，落地时的速度为v2，不计空气阻力，下列能表示出速度的矢量图的是(　　)
A B
C D
2.一个物体从某一确定的高度以初速度v0水平抛出，已知它落地时的速度大小为v，重力加速度为g，那么它的运动时间是(　　)
eq \f(v2－v,2g) eq \f(\r(v2－v),g)
题组二　平抛运动规律的应用
3.(2024·江苏连云港市高一校考)从高处以15 m/s的速度水平抛出一铁球，不计空气阻力，重力加速度取10 m/s2，经过2 s还没有落到地面，则它此时的速度大小是(　　)
15 m/s 20 m/s
25 m/s 30 m/s
4.(多选)“套圈”是老少皆宜的游戏。如图所示，某同学先后两次在A点把小环水平抛出，分别直接套中位于水平地面B、C两点处的目标物。不计空气阻力，下列说法正确的有(　　)
两小环在空中的飞行时间相同
两小环抛出时的初速度相同
两小环落地时的末速度相同
两小环在空中飞行过程中速度的变化量相同
5.(2022·广东卷，6)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t，不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是(　　)
将击中P点，t大于
将击中P点，t等于
将击中P点上方，t大于
将击中P点下方，t等于
6.某生态公园的人造瀑布景观如图所示，水流从高处水平流出槽道，恰好落入步道边的游泳池中。现制作一个为实际尺寸的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度应为实际的(　　)
7.(多选)某物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角为θ，其正切值tan θ随时间t变化的图像如图所示(g取10 m/s2)，则(　　)
第1 s内物体下落的高度为5 m
第1 s内物体下落的高度为10 m
物体的初速度为5 m/s
物体的初速度为10 m/s
题组三　平抛运动的两个重要推论
8.如图所示，从某高度以5 m/s的水平速度抛出一小球，小球经过0.5 s到达地面，此时小球的速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
小球距地面的高度为5 m
小球落地时的速度大小为5 m/s
小球落地时的位移与水平方向的夹角的正切值为
若小球抛出时的速度增大，则θ增大
9.如图，一名运动员在参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度为L，成绩为4L。假设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为α，运动员可视为质点，不计空气阻力。则有(　　)
tan α＝2 tan α＝
tan α＝ tan α＝1
综合提升练
10.(2024·河南商开高一联考)某同学站在楼上玩水枪游戏时，枪口离地高度为h＝5 m，若水从枪口沿水平方向射出的速度大小为v0＝5 m/s，水射出后落到水平地面上。不计空气阻力，重力加速度大小g取10 m/s2，则(　　)
射出的水的位移大小为5 m
射出的水在空中的运动时间为2 s
射出的水落到地面上时速度大小为10 m/s
射出的水落到地面上时速度方向与地面夹角的正切值为1
11.(多选)如图所示，a、b两点位于同一条竖直线上，从a、b两点分别以速度v1、v2同时水平抛出两个小球，它们都能经过水平地面上方的P点。则下列说法正确的是(　　)
两小球抛出的初速度v1>v2
两小球抛出的初速度v1从a点抛出的小球着地时水平射程较大
从b点抛出的小球着地时水平射程较大
12.(16分)从某一高度处水平抛出一物体，它落地时速度是50 m/s，方向与水平方向成53°角(不计空气阻力，g取10 m/s2，cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8)。求：
(1)(5分)抛出点的高度和水平射程；
(2)(5分)抛出后3 s末的速度；
(3)(6分)抛出后3 s内的位移。
培优加强练
13.(多选)(2024·广东广雅中学高一校考期中)如图所示，甲、乙两名滑板运动员在水平“U”型赛道上比赛，甲、乙先后从赛道边缘上的A点滑出，一段时间后再次滑入赛道，观察发现甲的滞空时间比乙长，运动过程中乙的最小速度比甲的最小速度大。不计空气阻力，可将运动员视为质点，则下列说法正确的是(　　)
甲、乙的最大腾空高度相同
甲从A点滑出时的初速度一定大于乙的初速度
甲、乙从A点滑出时的初速度方向一定不同
甲、乙再次滑入赛道的位置可能相同
第4节　抛体运动的规律
1.C　[做平抛运动的物体在水平方向上速度不变，竖直方向加速度恒为g，则速度的变化量Δv＝gΔt，方向始终竖直向下，故C正确。]
2.D　[可依据速度的分解求取竖直方向上的落地速度，从而根据竖直方向上的自由落体运动规律求运动时间。因为vy＝gt，又vy＝eq \r(v2－v)，故t＝eq \f(\r(v2－v),g)，故D正确。]
3.C　[竖直方向的速度vy＝gt＝2×10 m/s＝20 m/s，铁球此时的速度v＝eq \r(v＋v)＝ m/s＝25 m/s，故C正确。]
4.AD　[根据h＝gt2可得t＝，两小环的抛出点相同，故两小环在空中的飞行时间相同，故A正确；根据x＝v0t可知v0＝，由题图可知，两次的水平位移不同，则两小环抛出时的初速度不同，故B错误；根据v＝2gh可知vy＝，则落地速度为v＝eq \r(v＋2gh)，由于初速度不同，则落地时的末速度不同，故C错误；根据Δv＝gΔt，由于两次飞行的加速度和时间都相同，则两小环在空中飞行过程中速度的变化量相同，故D正确。]
5.B　[由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上均做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木的运动时间相同，根据h＝gt2，可知下落高度相同，所以将击中P点；初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，有t＝，故B正确。]
6.B　[由题意可知，水流出后做平抛运动的水平位移和竖直位移均变为原来的，由h＝gt2得t＝，所以时间变为实际的，水流出的速度v＝，由于水平位移变为实际的，时间变为实际的，则水流出的速度为实际的，故B正确。]
7.AD　[第1 s内物体下落的高度h＝gt2＝×10×12 m＝5 m，A正确，B错误；根据tan θ＝＝t，对应题图可得＝1，解得v0＝10 m/s，C错误，D正确。]
8.C　[小球做平抛运动，竖直方向为自由落体运动，根据h＝gt2得h＝×10×0.52 m＝1.25 m，故A错误；小球落地时的竖直方向速度vy＝gt＝10×0.5 m/s＝5 m/s，知小球落地时的速度大小为v＝eq \r(v＋v)＝ m/s＝5 m/s，故B错误；小球落地时的速度分解如图所示，可知tan θ＝＝＝1，由tan θ＝2tan α知，小球落地时的位移与水平方向的夹角的正切值为，故C正确；若水平速度v0增大，tan θ＝，t不变，则tan θ变小，θ变小，故D错误。]
9.D　[运动员从最高点到落地的过程做平抛运动，根据对称性知平抛运动的水平位移为2L，则有L＝gt2，解得t＝，运动员通过最高点时的速度为v0＝＝，则有tan α＝＝1，选项D正确。]
10.A　[由平抛运动规律可知h＝gt2，解得t＝＝s＝1 s，射出水的水平位移x＝v0t＝5×1 m＝5 m，位移为s＝＝m＝5 m，故A正确，B错误；落到地面上时竖直分速度vy＝gt＝10×1 m/s＝10 m/s，落到地面上速度大小为v′＝eq \r(v＋v)＝m/s＝5m/s，故C错误；落到地面上时速度方向与地面夹角的正切值tan θ＝＝2，故D错误。]
11.BD　[因为从抛出到P点的过程中，水平位移相等，从a点抛出的小球运动时间较长，则此小球的初速度较小，即v112.(1)80 m　120 m　(2)30 m/s，与水平方向的夹角为45°
(3)45 m，与水平方向的夹角的正切值为
解析　(1)设落地时竖直方向的速度为vy，水平速度为v0，则有
vy＝vsin 53°＝50×0.8 m/s
＝40 m/s
v0＝vcos 53°＝50×0.6 m/s＝30 m/s
抛出点的高度为h＝eq \f(v,2g)＝80 m
水平射程x＝v0t＝v0＝30× m＝120 m。
(2)竖直方向的分速度
vy3＝gt3＝10×3 m/s＝30 m/s
设抛出后3 s末的速度为v3，则
v3＝eq \r(v＋v)＝ m/s＝30 m/s
设速度方向与水平方向的夹角为α，则
tan α＝＝1，故α＝45°。
(3)抛出后3 s内物体的水平位移
x3＝v0t3＝30×3 m＝90 m
竖直方向的位移
y3＝gt＝×10×32 m＝45 m
故物体在3 s内的位移
s＝eq \r(x＋y)＝ m＝45 m
设位移方向与水平方向的夹角为θ，则
tan θ＝＝。
13.CD　[竖直方向先做竖直上抛运动，再做自由落体运动，运动时间具有对称性。甲的滞空时间t比乙长，根据h＝g可知，甲的最大腾空高度更大，故A错误；运动员滑出后做斜抛运动，则竖直方向vy＝，说明甲初速度的竖直分速度比乙的大。水平分速度vx即最小速度，乙的最小速度比甲的最小速度大，因为v＝eq \r(v＋v)，则无法确定二者初速度大小，故B错误；设滑出的速度与水平方向夹角为θ，则tan θ＝，结合选项B，甲的初速度与水平方向夹角比乙的大，故C正确；水平位移为x＝vtcos θ，结合以上分析知，甲、乙再次滑入赛道的位置可能相同，故D正确。](共58张PPT)
第4节　抛体运动的规律
第五章　抛体运动
1.知道平抛运动的受力特点，理解平抛运动是匀变速曲线运动。
2.理解平抛运动的规律，知道其轨迹是抛物线。
3.掌握平抛运动的处理方法，会确定平抛运动的速度和位移。
4.会用平抛运动的推论解决相关问题。
5.了解斜抛运动的处理方法。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　平抛运动的速度、位移与轨迹
知识点一　平抛运动的理解
知识点三　平抛运动的两个重要推论
知识点四　一般的抛体运动
知识点一　平抛运动的理解
　　　如图为一人正在练投掷飞镖，不计空气阻力，请思考：
(1)可以用什么方法处理平抛运动？
(2)飞镖掷出后，其加速度的大小和方向是否变化？
(3)飞镖掷出后，水平方向做什么运动？
(4)飞镖的运动是什么性质的运动？
提示　(1)运动的合成与分解，化曲为直，将其分解为水平和竖直方向两个分运动。
(2)加速度为重力加速度g，大小和方向均不变。
(3)匀速直线运动。
(4)匀变速曲线运动。
C
例1 关于平抛运动，下列说法正确的是(　　)
A.平抛运动是一种不受任何外力作用的运动
B.平抛运动是曲线运动，它的速度方向不断改变，不可能是匀变速运动
C.平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D.平抛运动的物体质量越小，落点就越远，质量越大，落点就越近
解析　做平抛运动的物体除了受自身重力外，不受其他外力，A错误；平抛运动轨迹是抛物线，它的速度方向不断改变，物体的加速度是重力加速度，故平抛运动是匀变速曲线运动，B错误；平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，C正确；平抛运动的运动情况与物体的质量无关，D错误。
(1)平抛运动是匀变速曲线运动，加速度恒为重力加速度。
(2)平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。　　　　
知识点二　平抛运动的速度、位移与轨迹
以初速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，以初速度v0的方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系。物体做平抛运动的轨迹如图所示。
1.平抛运动的速度
(1)水平方向：vx＝______。
(2)竖直方向：vy＝______。
(3)t时刻的速度
v0
gt
2.平抛运动的位移与轨迹
(1)水平位移：x＝________。
v0t
(2)竖直位移：y＝________。
(3)合位移大小：s＝_________。
方向：tan α＝＝_______。
(4)轨迹方程：由以上两式消去时间t，可得平抛运动的轨迹方程为y＝______，由此可知平抛运动的轨迹是一条________。
抛物线
【思考】
1.平抛运动的时间由什么决定？
2.平抛运动的速度的大小由什么决定？
3.平抛运动的水平位移由什么决定？
4.速度的改变量沿什么方向？相等的时间t内速度的改变量是多少？
提示　速度的改变量沿竖直方向，相等的时间t内速度的改变量Δv＝gt。
5.连续相等的时间t内，竖直的位移差是否相等？
提示　竖直方向的位移差为Δy＝gt2，可见在连续相等时间t内，Δy相等。
6.竖直方向每秒内位移的增量是否相等？
7.速度和水平方向的夹角与位移和水平方向的夹角是否相同？
例2 当灾害发生时，有时会利用无人机运送救灾物资。如图所示，一架无人机正准备向受灾人员空投急救用品。急救用品的底面离水面高度h＝19.6 m，无人机以v＝10 m/s的速度水平匀速飞行。若空气阻力忽略不计，重力加速度g＝9.8 m/s2。
(1)为了使投下的急救用品落在指定地点，无人机应该在离指定地点水平距离多远的地方进行投放？
(2)投放的急救用品落到水面上时，速度的大小是多少？
急救用品在水平方向上做匀速直线运动，在时间t内的水平位移
即无人机应在离指定地点水平距离20 m处投放急救用品。
(2)设急救用品落到水面上时竖直方向速度的大小为vy，根据匀变速直线运动速度与位移的关系，有
急救用品落到水面上时，速度的大小
答案　(1)20 m　(2)22 m/s
C
例3 如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移大小之比为1∶2，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
知识点三　平抛运动的两个重要推论
将速度v反向延长，速度偏向角的正切值
2.推论二：“正切二倍”
做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。
例4 如图所示，一小球自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，小球与斜面接触时速度方向与水平方向的夹角φ满足(　　)
A.tan φ＝sin θ B.tan φ＝cos θ
C.tan φ＝tan θ D.tan φ＝2tan θ
解析　如题图所示，接触斜面时位移方向与水平方向的夹角为θ，由平抛运动的推论可知，速度方向与水平方向的夹角φ与θ满足tan φ＝2tan θ，D正确。
D
知识点四　一般的抛体运动
　　　体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、
标枪等(如图所示)，都可以看作是斜上抛运动。
以抛出的铅球为例：
(1)铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、速度有何特点？
(2)铅球在最高点的速度是零吗？
提示　(1)不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为g，其初速度不为零，初速度方向斜向上方。
(2)不是。由于铅球在水平方向做匀速运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的初速度。
1.斜抛运动：初速度沿__________或__________的抛体运动。
2.斜抛运动的性质：斜抛运动是水平方向的__________运动和竖直方向的加速度为g的____________运动的合运动。
斜向上方
斜向下方
匀速直线
匀变速直线
【思考】
以斜上抛运动为例，设抛出的初速度为v0，方向与x轴正方向的夹角为θ，如图所示。
(1)试写出斜抛运动的水平速度和竖直速度的表达式；
(2)试写出斜抛运动的水平分位移和竖直分位移的表达式；
(3)总结分析斜抛运动的思路。
C
例5 某同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直放置的篮板上，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，关于这两次篮球从抛出到撞击篮板的过程(　　)
A.两次在空中运动的时间相等
B.两次抛出时的速度相等
C.第1次抛出时速度的水平分量小
D.第2次抛出时速度的竖直分量大
(1)斜上抛运动问题可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。
(2)斜上抛运动的最高点的速度等于水平初速度，最高点的加速度等于重力加速度g。
(3)由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动，由最高点到落地点的过程也可用平抛运动规律分析。　　　　
例6 如图，做斜上抛运动的物体到达最高点时，速度v＝24 m/s，落地时速度vt＝30 m/s，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)物体抛出时速度的大小和方向；
(2)物体在空中的飞行时间t。
故θ＝37°。
(2)竖直方向的初速度为v0y＝v0sin θ＝18 m/s
答案　(1)30 m/s　与水平方向夹角为37° (2)3.6 s
斜抛运动以最高点为对称点，在竖直方向上对称的位置具有对称的速率，对称的位移具有时间的对称性。　　　　
随堂对点自测
2
AC
1.(平抛运动的理解)(多选)关于平抛运动，下列说法中正确的是(　　)
A.平抛运动的下落时间由下落高度决定
B.平抛运动的轨迹是曲线，所以平抛运动不可能是匀变速运动
C.平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小
D.平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化
D
2.(平抛运动规律的应用)如图所示为某公园的喷水装
置，若水从喷水口中水平喷出，忽略空气阻力及水
之间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A.喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入
池中的时间越短
B.喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
C.喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越近
D.喷水口高度一定，无论喷水速度多大，水从喷出到落入池中的时间都相等
解析　水从喷水口水平喷出后，做平抛运动，其运动时间由高度决定，所以喷水口高度一定时，水从喷出到落入池中的时间相等，水速越大，水喷得越远，A、B错误，D正确；喷水速度一定，喷水口高度越高，水从喷出到落入池中的时间越长，水喷得越远，C错误。
C
CD
4.(斜抛运动)(多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球a、b，分别落在地面上的M、N两点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则(　　)
A.b的加速度比a的大
B.b的飞行时间比a的长
C.b在最高点的速度比a在最高点的大
D.b在落地时的速度比a在落地时的大
解析　a、b两球都做斜上抛运动，只受重力作用，加速度都为重力加速度，A项错误；在竖直方向上做竖直上抛运动，由于上升的竖直高度相同，所以两小球在空中飞行时间相等，B项错误；由于b球的水平射程比a球的大，故b球的水平速度及落地时的速度均比a球的大，C、D项正确。
课后巩固训练
3
C
题组一　平抛运动的理解
1.人站在平台上水平抛出一小球，球离开手时的速度为v1，落地时的速度为v2，不计空气阻力，下列能表示出速度的矢量图的是(　　)
对点题组练
解析　做平抛运动的物体在水平方向上速度不变，竖直方向加速度恒为g，则速度的变化量Δv＝gΔt，方向始终竖直向下，故C正确。
D
C
题组二　平抛运动规律的应用
3.(2024·江苏连云港市高一校考)从高处以15 m/s的速度水平抛出一铁球，不计空气阻力，重力加速度取10 m/s2，经过2 s还没有落到地面，则它此时的速度大小是(　　)
A.15 m/s B.20 m/s C.25 m/s D.30 m/s
AD
4.(多选)“套圈”是老少皆宜的游戏。如图所示，某同学先后两次在A点把小环水平抛出，分别直接套中位于水平地面B、C两点处的目标物。不计空气阻力，下列说法正确的有(　　)
A.两小环在空中的飞行时间相同
B.两小环抛出时的初速度相同
C.两小环落地时的末速度相同
D.两小环在空中飞行过程中速度的变化量相同
B
B
AD
7.(多选)某物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角为θ，其正切值tan θ随时间t变化的图像如图所示(g取10 m/s2)，则(　　)
A.第1 s内物体下落的高度为5 m
B.第1 s内物体下落的高度为10 m
C.物体的初速度为5 m/s
D.物体的初速度为10 m/s
C
D
A
综合提升练
BD
11.(多选)如图所示，a、b两点位于同一条竖直线上，从a、b两点分别以速度v1、v2同时水平抛出两个小球，它们都能经过水平地面上方的P点。则下列说法正确的是(　　)
A.两小球抛出的初速度v1>v2
B.两小球抛出的初速度v1C.从a点抛出的小球着地时水平射程较大
D.从b点抛出的小球着地时水平射程较大
解析　因为从抛出到P点的过程中，水平位移相等，从a点抛出的小球运动时间较长，则此小球的初速度较小，即v112.从某一高度处水平抛出一物体，它落地时速度是50 m/s，方向与水平方向成53°角(不计空气阻力，g取10 m/s2，cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8)。求：
(1)抛出点的高度和水平射程；
(2)抛出后3 s末的速度；
(3)抛出后3 s内的位移。
解析　(1)设落地时竖直方向的速度为vy，水平速度为v0，则有
vy＝vsin 53°＝50×0.8 m/s＝40 m/s
v0＝vcos 53°＝50×0.6 m/s＝30 m/s
(2)竖直方向的分速度
vy3＝gt3＝10×3 m/s＝30 m/s
设抛出后3 s末的速度为v3，则
设速度方向与水平方向的夹角为α，则
(3)抛出后3 s内物体的水平位移
x3＝v0t3＝30×3 m＝90 m
竖直方向的位移
故物体在3 s内的位移
设位移方向与水平方向的夹角为θ，则
CD
13.(多选)(2024·广东广雅中学高一校考期中)如图所示，甲、乙两名滑板运动员在水平“U”型赛道上比赛，甲、乙先后从赛道边缘上的A点滑出，一段时间后再次滑入赛道，观察发现甲的滞空时间比乙长，运动过程中乙的最小速度比甲的最小速度大。不计空气阻力，可将运动员视为质点，则下列说法正确的是(　　)
培优加强练
A.甲、乙的最大腾空高度相同
B.甲从A点滑出时的初速度一定大于乙的初速度
C.甲、乙从A点滑出时的初速度方向一定不同
D.甲、乙再次滑入赛道的位置可能相同

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