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培优提升二　平抛运动与斜面和曲面相结合的问题及临界极值问题
学习目标　1.掌握平抛运动与斜面和曲面结合问题的解题方法。2.会分析有关平抛运动的临界和极值问题。3.会用平抛运动的分析方法分析类平抛运动。
提升1　与斜面和曲面关联的平抛运动
几种常见的运动情形和分析方法
运动情形 分析方法
从空中水平抛出垂直落到斜面上，速度偏转角与斜面倾角互余，即α＋θ＝ 分解速度，构建速度三角形vx＝v0，vy＝gttan α＝＝ tan θ＝＝
从斜面某点水平抛出又落到斜面上，斜面的倾角等于位移与水平方向的夹角 分解位移，构建位移三角形x＝v0ty＝gt2 tan θ＝＝
从斜面外水平抛出，要求以最短位移打到斜面，位移的方向与斜面垂直，即α＋θ＝ 分解位移x＝v0t，y＝gt2tan θ＝＝tan α＝＝
从斜面外水平抛出，沿斜面方向落入斜面，其合速度方向沿斜面方向 分解速度vx＝v0，vy＝gttan α＝＝
角度1　从斜面上水平抛出
例1 如图所示，女子跳台滑雪运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑道上(未画出)获得一速度后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。设某运动员由斜坡顶的A点沿水平方向飞出的速度v0＝20 m/s，落点在斜坡上的B点，斜坡倾角θ＝37°，斜坡可以看成一斜面，不考虑空气阻力(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求：
(1)运动员在空中飞行的时间t；
(2)A、B间的距离s；
(3)运动员落到斜面上时的速度大小；
(4)运动员何时离斜面最远。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)平抛运动求时间利用各个分运动的等时性和独立性进行求解。
(2)计算分速度、合速度可分别求分速度，然后合成，也可以利用三角函数的关系进行联系。
(3)计算分位移、合位移可以分别求分位移，然后合成，也可以利用三角函数的关系进行联系。
(4)解决斜面上的平抛运动也可以沿斜面和垂直斜面建坐标系，恰当的选取坐标系，可以使运算简化。　　　　
角度2　对着斜面水平抛出
例2 如图所示，一个小球从高h＝10 m处以水平速度v0＝10 m/s抛出，撞在倾角θ＝45°的斜面上的P点，已知AC＝5 m，g取10 m/s2。求：
(1)P、C之间的距离；
(2)小球撞击P点时速度的大小和方向。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度3　对着曲面水平抛出
例3 (2024·云南省玉溪三中高一期末)如图所示，AB为一半径为R的圆弧，圆心位置O，一小球从与圆心等高的某点沿半径方向水平抛出，恰好垂直落在AB面上的Q点，且速度与水平方向夹角为53°，则小球从抛出点到Q点的水平距离为(　　)
A.0.6R B.0.8R
C.R D.1.2R
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)能够理解小球垂直打在圆面上，速度反向延长一定过圆心。
(2)解决平抛运动和圆弧相结合的问题，会应用到圆的切线、垂线及圆的轨迹方程，利用数形结合建立联系。　　　　
提升2　平抛运动的临界极值问题
常见的“三种”临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起、止”点，而这些起、止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
例4 (2024·广东茂名市高一期末)中国面食文化博大精深，“刀削面”的历史最早可以追溯到元朝，其制作方式可用平抛运动的模型来进行分析。如图所示，古人在制作刀削面时面团距离锅的高度h＝0.45 m，与锅沿的水平距离L＝0.3 m，锅的半径也为L＝0.3 m，“刀削面”在空中的运动可看作平抛运动，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)面片在空中运动的时间；
(2)面片恰好落在锅中心O点时的速度大小(结果可带根号)；
(3)为保证削出的面片都落在锅内，削出的面片初速度v0大小的取值范围。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
平抛运动临界极值问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质。
(2)根据题意确定临界状态。
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。
(4)应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。　　　　
例5 (2023·新课标卷)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
提升3　类平抛运动
1.类平抛运动的概念
凡是合外力________且________于初速度方向的运动都可以称为类平抛运动。
2.类平抛运动的特点
(1)初速度的方向不一定是水平方向，合力的方向也不一定是竖直向下，但合力的方向应与初速度方向________。
(2)加速度不一定等于重力加速度g，但应____________。
3.类平抛运动的分析方法
(1)类平抛运动可看成是沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的由静止开始的匀加速直线运动的合运动。
(2)处理类平抛运动的方法和处理平抛运动的方法类似，但要分析清楚加速度的大小和方向。
4.类平抛运动的规律
初速度v0方向上：vx＝v0，x＝____________________________________。
合外力方向上：a＝，vy＝_______________________________________，
y＝________。
例6 如图所示，光滑斜面长L＝10 m，倾角为30°，一小球从斜面的顶端以v0＝10 m/s的初速度水平抛出，g＝10 m/s2。求：
(1)小球沿斜面运动到底端时的水平位移x；
(2)小球到达斜面底端时的速度大小。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
随堂对点自测
1.(与斜面关联的平抛运动)如图所示，斜面与水平面之间的夹角为45°，在斜面底端A点正上方高度为10 m处的O点，以5 m/s的速度水平抛出一个小球，飞行一段时间后撞在斜面上，不计空气阻力，这段飞行所用的时间为(g＝10 m/s2)(　　)
A.2 s B. s
C.1 s D.0.5 s
2.(与曲面关联的平抛运动)如图所示，斜面ABC与圆弧轨道相接于C点，从A点水平向右飞出的小球恰能从C点沿圆弧切线方向进入轨道。OC与竖直方向的夹角为θ＝60°，若AB的高度为h，忽略空气阻力，则BC的长度为(　　)
A.h B.h
C.h D.2h
3.(临界问题)如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以速度v水平抛出，小物件直接穿过窗
口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2，不计空气阻力。则v的取值范围是(　　)
A.v>7 m/s B.v<2.3 m/s
C.3 m/s4.(极值问题)(2024·湖北卷，3)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(　　)
A.荷叶a B.荷叶b
C.荷叶c D.荷叶d
培优提升二　平抛运动与斜面和曲面相结合的问题及临界极值问题
提升1
例1 (1)3 s　(2)75 m　(3)10 m/s　(4)1.5 s
解析　(1)运动员由A点到B点做平抛运动，水平方向的位移x＝v0t，竖直方向的位移y＝gt2
又＝tan 37°
联立解得t＝＝3 s。
(2)由题意知sin 37°＝＝，得A、B间的距离s＝＝75 m。
(3)运动员落在斜面上时速度的竖直分量
vy＝gt＝10×3 m/s＝30 m/s
运动员落到斜面上时的速度大小
v＝eq \r(v＋v)＝10 m/s。
(4)如图，运动员距离斜面最远时，合速度方向与斜面平行，有
tan 37°＝
即tan 37°＝
解得t′＝＝1.5 s。
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例2 (1)5 m　(2)10 m/s　方向垂直于斜面向下
解析　(1)A、C之间的距离s＝5 m，设P、C之间的距离为L，根据平抛运动规律有
s＋Lcos 45°＝v0t
h－Lsin 45°＝gt2
联立解得L＝5 m，t＝1 s。
(2)小球撞击P点时的水平速度v0＝10 m/s
竖直速度vy＝gt＝10 m/s
所以小球撞击P点时速度的大小为v＝10 m/s
设小球的速度方向与水平方向的夹角为α
则tan α＝＝1，α＝45°，即方向垂直于斜面向下。
例3 D　[如图所示，小球恰好垂直落在AB面上的Q点，作速度的反向延长线，交于O点，由平抛运动的推论可知，速度反向延长线通过水平位移的中点，故tan 53°＝，结合圆的几何关系可得＋y2＝R2，联立可解得x＝1.2R，D正确。]
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提升2
例4 (1)0.3 s　(2) m/s　(3)1 m/s解析　(1)据平抛运动特点，竖直方向上h＝gt2
得t＝＝0.3 s。
(2)落在锅中心O点时的水平速度大小
v01＝＝2 m/s
竖直方向速度大小vy＝gt＝3 m/s
恰好落在锅中心O点时的速度大小
v＝eq \r(v＋v)＝ m/s。
(3)面片水平位移的范围为L由平抛运动特点，有x＝v0t
代入数据得1 m/s例5
解析　设石子抛出时的水平速度为v0，接触水面时竖直方向的速度为vy，不计空气阻力，石子做平抛运动
竖直方向有v＝2gh
恰好可以观察到“水漂”时，有tan θ≥
联立解得v0≥
即抛出速度的最小值为vmin＝。
提升3
1.恒定　垂直　2.(1)垂直　(2)恒定不变　4.v0t　at　at2
例6 (1)20 m　(2)10 m/s
解析　(1)小球在斜面上沿v0方向做匀速直线运动，沿垂直于v0方向做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有mgsin 30°＝ma
又L＝at2，解得t＝＝2 s
所以x＝v0t＝10×2 m＝20 m。
(2)设小球运动到斜面底端时的速度为v，则有
vx＝v0＝10 m/s
vy＝＝＝＝10 m/s
故v＝eq \r(v＋v)＝10 m/s。
随堂对点自测
1.C　[设小球撞到斜面上的一点D，则小球水平运动的时间与竖直下落的时间相等，设飞行时间为t，根据几何关系可得v0t＝10 m－gt2，代入数据解得t＝1 s，故选项C正确。]
2.B　[小球飞出后做平抛运动，到C点时的速度方向与初速度方向夹角为θ，设此时位移方向与初速度方向夹角为α。根据平抛运动规律得tan θ＝2tan α＝，解得x＝h，所以A、C、D错误，B正确。]
3.C　[若小物件恰好过窗口上沿，则有h＝gt，L＝v1t1，解得v1＝7 m/s；若小物件恰好过窗口下沿，则有h＋H＝gt，L＋d＝v2t2，解得v2＝3 m/s，所以3 m/s(分值：100分)
选择题1～10题，每小题7分，共70分。
对点题组练
题组一　与斜面和曲面关联的平抛运动
1.滑雪运动员在训练过程中，从斜坡顶端以5.0 m/s的速度水平飞出，落在斜坡上，然后继续沿斜坡下滑。已知斜坡倾角为45°，空气阻力忽略不计，g取10 m/s2，则他在该斜坡上方平抛运动的时间为(　　)
0.5 s 1.0 s
1.5 s 5.0 s
2.(多选)一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示，则下列说法正确的是(　　)
水平速度与竖直速度之比为tan θ
水平速度与竖直速度之比为
水平位移与竖直位移之比为2tan θ
水平位移与竖直位移之比为
3.(多选)如图所示，某物体(可视为质点)以水平初速度抛出，飞行一段时间t＝ s后，垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上(g取10 m/s2)，则下列关于物体的水平位移x和水平初速度v0正确的是(　　)
x＝25 m x＝10 m
v0＝10 m/s v0＝20 m/s
4.如图所示，斜面上有a、b、c、d、e五个点，ab＝bc＝cd＝de。从a点以速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上的b点；若小球从a点以速度2v0水平抛出，不计空气的阻力，则它将落在斜面上的(　　)
c点 c与d之间某一点
d与e之间某一点 e点
5.(2024·广东广州市高一下期末)如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为(　　)
题组二　平抛运动的临界极值问题
6.(2024·甘肃靖远二中高一期中)如图所示，在水平路面上一运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕沟两侧的高度差为0.8 m，水平距离为8 m，则运动员跨过壕沟的初速度至少为(取g＝10 m/s2)(　　)
0.5 m/s 2 m/s
10 m/s 20 m/s
7.(2024·浙江1月选考)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为(　　)
(＋1)D
题组二　类平抛运动
8.我国建造的航空母舰所使用的滑跳式甲板跑道，用来让飞行员练习在航空母舰上的滑跳式甲板起飞。如图所示的AOB为此跑道示意图，其中AO段水平，OB段为抛物线，O点为抛物线的顶点，抛物线过O点的切线水平，OB的水平距离为x，竖直高度为y。某次训练中，观察战机(视为质点)通过OB段时，得知战机在水平方向做匀速直线运动，所用时间为t，则战机离开B点的速率为(　　)
综合提升练
9.某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以20 m/s的速度沿水平方向反弹，球在墙面上反弹点距地面的高度在1.25 m至1.80 m之间，忽略空气阻力，g取10 m/s2，则球反弹一次后落地(　　)
飞行的最短时间为0.6 s
飞行的最长时间为1.1 s
飞行的最远水平距离为10 m
飞行的最大位移将超过12 m
10.(多选)如图所示，水平固定半球形碗的球心为O点，最低点为P点。在碗边缘处的A点向球心O以速度v1、v2水平抛出两个小球，在空中的飞行时间分别为t1、t2，小球分别落在碗内的M、P两点。已知∠MOP＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，以下判断正确的是(　　)
t1∶t2＝∶ t1∶t2＝2∶
v1∶v2＝∶10 v1∶v2＝∶5
11.(15分)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示。P是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒，高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h，已知重力加速度为g。
(1)(7分)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
(2)(8分)求能被探测屏探测到的微粒的初速度范围。
培优加强练
12.(15分)如图所示，排球场的长为18 m，球网的高度为2 m。运动员站在离网3 m远的线上，正对球网竖直跳起，把球垂直于网水平击出(g＝10 m/s2，不计空气阻力)。
(1)(7分)设击球点的高度为2.5 m，问球被水平击出时的速度v0在什么范围内才能使球既不触网也不出界？
(2)(8分)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度为多大，球不是触网就是出界，试求出此高度。
培优提升二　平抛运动与斜面和曲面相结合的问题及临界极值问题
1.B　[滑雪运动员做平抛运动，在水平方向有x＝v0t，竖直方向有y＝gt2，根据题意有tan 45°＝＝，解得t＝1.0 s，故B正确。]
2.AC　[小球落在斜面上，速度方向与斜面垂直，则速度方向与竖直方向的夹角为θ，则水平速度与竖直速度之比为＝tan θ，故A正确，B错误；水平位移与竖直位移之比＝＝＝2tan θ，故C正确，D错误。]
3.BC　[物体垂直撞在斜面上时竖直分速度vy＝gt＝10 m/s，将速度进行分解，根据平行四边形定则知，tan 30°＝，解得v0＝10× m/s＝10 m/s，则水平位移x＝v0t＝10× m＝10 m，故B、C正确，A、D错误。]
4.D　[小球落在斜面上时速度与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝，解得t＝，在竖直方向的位移y＝gt2＝eq \f(vtan2α,2g)。当初速度变为原来的2倍时，竖直方向的位移变为原来的4倍，所以小球一定落在斜面上的e点，选项D正确。]
5.D　[飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则知速度与水平方向的夹角为30°，有vy＝v0tan 30°，又 vy＝gt，则v0tan 30°＝gt，t＝，水平方向上小球做匀速直线运动，有R＋Rcos 60°＝v0t，联立解得v0＝，故D正确。]
6.D　[根据x＝v0t、y＝gt2，将已知数据代入可得v0＝20 m/s，故D正确。]
7.C　[设出水孔到水桶中心距离为x，则x＝v0，落到桶底A点时x＋＝v0，解得v0＝，故C正确。]
8.D　[战机在OB段的运动轨迹是抛物线，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，则战机到达B点时的水平分速度大小vx＝，竖直分速度大小vy＝，合速度大小为v＝eq \r(v＋v)＝，故D正确。]
9.D　[球反弹后做平抛运动，根据h＝gt2，可得t＝，取hmin＝1.25 m，可得tmin＝0.5 s，取hmax＝1.80 m，可得tmax＝0.6 s，故A、B错误；球在水平方向做匀速直线运动，有xmax＝v0tmax＝12 m，故C错误；球落地的最大位移smax＝eq \r(x＋h)＝ m>12 m，故D正确。]
10.BD　[小球落在M、P两点下落的高度分别为h1＝Rcos 37°＝0.8R，h2＝R，根据平抛运动规律，竖直方向上h＝gt2，可知t1＝＝，t2＝＝，解得t1∶t2＝2∶，B正确，A错误；小球落在M、P两点水平位移分别为x1＝R－Rsin 37°＝0.4R，x2＝R，根据平抛运动规律，水平方向上x＝vt，可知v1＝＝，v2＝＝，解得v1∶v2＝∶5，C错误，D正确。]
11.(1)　(2)L≤v≤L
解析　(1)对打在屏中点的微粒，有
h＝gt2，解得t＝。
(2)对打在B点的微粒，有
L＝v1t1，2h＝gt
解得v1＝L
对打在A点的微粒，有
L＝v2t2，h＝gt
解得v2＝L
故能被探测屏探测到的微粒初速度范围为
L≤v≤L。
12.(1)3 m/s解析　(1)如图甲所示，排球恰不触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰不出界时其运动轨迹为Ⅱ，根据平抛运动的规律，由x＝v0t和h＝gt2可得，当排球恰不触网时有
INCLUDEPICTURE"t52.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\课件\\2024课件\\同步\\2025（春）物理 必修 第二册 人教版（L）（鲁琼浙）\\学生word文档\\t52.tif" \* MERGEFORMATINET
x1＝3 m，x1＝v1t1①
h1＝2.5 m－2 m＝0.5 m，h1＝gt②
由①②可得v1＝3 m/s
当排球恰不出界时有
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v2t2③
h2＝2.5 m，h2＝gt④
由③④可得v2＝12 m/s
所以排球既不触网也不出界的速度范围是
3 m/s(2)如图乙所示为排球恰不触网也恰不出界的临界轨迹。设击球点的高度为h，根据平抛运动的规律有
INCLUDEPICTURE"t53.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\课件\\2024课件\\同步\\2025（春）物理 必修 第二册 人教版（L）（鲁琼浙）\\学生word文档\\t53.tif" \* MERGEFORMATINET
x1＝3 m，x1＝v0t1′⑤
h1′＝h－2 m，h1′＝gt1′2⑥
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v0t2′⑦
h2′＝h＝gt2′2⑧
联立⑤⑥⑦⑧式可得，高度h＝ m。(共53张PPT)
培优提升二　平抛运动与斜面和曲面相结合的
问题及临界极值问题
第五章　抛体运动
1.掌握平抛运动与斜面和曲面结合问题的解题方法。
2.会分析有关平抛运动的临界和极值问题。
3.会用平抛运动的分析方法分析类平抛运动。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　平抛运动的临界极值问题
提升1　与斜面和曲面关联的平抛运动
提升3　类平抛运动
提升1　与斜面和曲面关联的平抛运动
几种常见的运动情形和分析方法
角度1　从斜面上水平抛出
例1 如图所示，女子跳台滑雪运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑道上(未画出)获得一速度后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。设某运动员由斜坡顶的A点沿水平方向飞出的速度v0＝20 m/s，落点在斜坡上的B点，斜坡倾角θ＝37°，斜坡可以看成一斜面，不考虑空气阻力(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求：
(1)运动员在空中飞行的时间t；
(2)A、B间的距离s；
(3)运动员落到斜面上时的速度大小；
(4)运动员何时离斜面最远。
(3)运动员落在斜面上时速度的竖直分量
vy＝gt＝10×3 m/s＝30 m/s
(4)如图，运动员距离斜面最远时，合速度方向与斜面平行，有
(1)平抛运动求时间利用各个分运动的等时性和独立性进行求解。
(2)计算分速度、合速度可分别求分速度，然后合成，也可以利用三角函数的关系进行联系。
(3)计算分位移、合位移可以分别求分位移，然后合成，也可以利用三角函数的关系进行联系。
(4)解决斜面上的平抛运动也可以沿斜面和垂直斜面建坐标系，恰当的选取坐标系，可以使运算简化。　　　　
角度2　对着斜面水平抛出
例2 如图所示，一个小球从高h＝10 m处以水平速度v0＝10 m/s抛出，撞在倾角θ＝45°的斜面上的P点，已知AC＝5 m，g取10 m/s2。求：
(1)P、C之间的距离；
(2)小球撞击P点时速度的大小和方向。
解析　(1)A、C之间的距离s＝5 m，设P、C之间的距离为L，根据平抛运动规律有s＋Lcos 45°＝v0t
(2)小球撞击P点时的水平速度v0＝10 m/s
竖直速度vy＝gt＝10 m/s
设小球的速度方向与水平方向的夹角为α
D
(1)能够理解小球垂直打在圆面上，速度反向延长一定过圆心。
(2)解决平抛运动和圆弧相结合的问题，会应用到圆的切线、垂线及圆的轨迹方程，利用数形结合建立联系。　　　　
提升2　平抛运动的临界极值问题
常见的“三种”临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起、止”点，而这些起、止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
例4 (2024·广东茂名市高一期末)中国面食文化博大精深，“刀削面”的历史最早可以追溯到元朝，其制作方式可用平抛运动的模型来进行分析。如图所示，古人在制作刀削面时面团距离锅的高度h＝0.45 m，与锅沿的水平距离L＝0.3 m，锅的半径也为L＝0.3 m，“刀削面”在空中的运动可看作平抛运动，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)面片在空中运动的时间；
(2)面片恰好落在锅中心O点时的速度大小(结果可带根号)；
(3)为保证削出的面片都落在锅内，削出的面片初速度v0大
小的取值范围。
(2)落在锅中心O点时的水平速度大小
竖直方向速度大小vy＝gt＝3 m/s
恰好落在锅中心O点时的速度大小
(3)面片水平位移的范围为L由平抛运动特点，有x＝v0t
代入数据得1 m/s平抛运动临界极值问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质。
(2)根据题意确定临界状态。
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。
(4)应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。　　　　
例5 (2023·新课标卷)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g)
解析　设石子抛出时的水平速度为v0，接触水面时竖直方向的速度为vy，不计空气阻力，石子做平抛运动
提升3　类平抛运动
1.类平抛运动的概念
凡是合外力______且______于初速度方向的运动都可以称为类平抛运动。
2.类平抛运动的特点
(1)初速度的方向不一定是水平方向，合力的方向也不一定是竖直向下，但合力的方向应与初速度方向______。
(2)加速度不一定等于重力加速度g，但应__________。
恒定
垂直
垂直
恒定不变
3.类平抛运动的分析方法
(1)类平抛运动可看成是沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的由静止开始的匀加速直线运动的合运动。
(2)处理类平抛运动的方法和处理平抛运动的方法类似，但要分析清楚加速度的大小和方向。
4.类平抛运动的规律
初速度v0方向上：vx＝v0，x＝________。
v0t
at
例6 如图所示，光滑斜面长L＝10 m，倾角为30°，一小球从斜面的顶端以v0＝10 m/s的初速度水平抛出，g＝10 m/s2。求：
(1)小球沿斜面运动到底端时的水平位移x；
(2)小球到达斜面底端时的速度大小。
解析　(1)小球在斜面上沿v0方向做匀速直线运动，沿垂直于v0方向做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有mgsin 30°＝ma
(2)设小球运动到斜面底端时的速度为v，则有
vx＝v0＝10 m/s
随堂对点自测
2
C
B
C
3.(临界问题)如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以速度v水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2，不计空气阻力。则v的取值范围是(　　)
A.v>7 m/s B.v<2.3 m/s
C.3 m/sC
4.(极值问题)(2024·湖北卷，3)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(　　)
A.荷叶a B.荷叶b
C.荷叶c D.荷叶d
课后巩固训练
3
B
题组一　与斜面和曲面关联的平抛运动
1.滑雪运动员在训练过程中，从斜坡顶端以5.0 m/s的速度水平飞出，落在斜坡上，然后继续沿斜坡下滑。已知斜坡倾角为45°，空气阻力忽略不计，g取10 m/s2，则他在该斜坡上方平抛运动的时间为(　　)
A.0.5 s B.1.0 s C.1.5 s D.5.0 s
对点题组练
AC
BC
D
4.如图所示，斜面上有a、b、c、d、e五个点，ab＝bc＝cd＝de。从a点以速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上的b点；若小球从a点以速度2v0水平抛出，不计空气的阻力，则它将落在斜面上的(　　)
A.c点 B.c与d之间某一点
C.d与e之间某一点 D.e点
D
D
题组二　平抛运动的临界极值问题
6.(2024·甘肃靖远二中高一期中)如图所示，在水平路面上一运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕沟两侧的高度差为0.8 m，水平距离为8 m，则运动员跨过壕沟的初速度至少为(取g＝10 m/s2)(　　)
A.0.5 m/s B.2 m/s
C.10 m/s D.20 m/s
C
D
题组二　类平抛运动
8.我国建造的航空母舰所使用的滑跳式甲板跑道，用来让飞行员练习在航空母舰上的滑跳式甲板起飞。如图所示的AOB为此跑道示意图，其中AO段水平，OB段为抛物线，O点为抛物线的顶点，抛物线过O点的切线水平，OB的水平距离为x，竖直高度为y。某次训练中，观察战机(视为质点)通过OB段时，得知战机在水平方向做匀速直线运动，所用时间为t，则战机离开B点的速率为(　　)
D
9.某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以20 m/s的速度沿水平方向反弹，球在墙面上反弹点距地面的高度在1.25 m至1.80 m之间，忽略空气阻力，g取10 m/s2，则球反弹一次后落地(　　)
A.飞行的最短时间为0.6 s
B.飞行的最长时间为1.1 s
C.飞行的最远水平距离为10 m
D.飞行的最大位移将超过12 m
综合提升练
10.(多选)如图所示，水平固定半球形碗的球心为O点，最低点为P点。在碗边缘处的A点向球心O以速度v1、v2水平抛出两个小球，在空中的飞行时间分别为t1、t2，小球分别落在碗内的M、P两点。已知∠MOP＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，以下判断正确的是(　　)
BD
C
11.在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示。P是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒，高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h，已知重力加速度为g。
(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
(2)求能被探测屏探测到的微粒的初速度范围。
12.如图所示，排球场的长为18 m，球网的高度为2 m。运动员站在离网3 m远的线上，正对球网竖直跳起，把球垂直于网水平击出(g＝10 m/s2，不计空气阻力)。
培优加强练
(1)设击球点的高度为2.5 m，问球被水平击出时的速度v0
在什么范围内才能使球既不触网也不出界？
(2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出
时的速度为多大，球不是触网就是出界，试求出此高度。
x1＝3 m，x1＝v1t1①
当排球恰不出界时有x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v2t2③
(2)如图乙所示为排球恰不触网也恰不出界的临界轨迹。设击球点的高度为h，根据平抛运动的规律有
x1＝3 m，x1＝v0t1′⑤

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