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2025 届高三湖北十一校第一次联考 数学试题参考答案
1.【答案】C
【解答】集合 故 . 2.【答案】A
【解答】由 ,则 ,即
3.【答案】A
【解答】由题意 ,解得 .
4.【答案】C
【解答】由图可得
所以 ,且 ,得 ,故选 C
5.【答案】D
【解答】 中, .
6.【答案】C
【解答】由 点到直线 的距离为 ,故
的外接圆直径
设三棱柱 的外接球半径 ,
则 ,外接球表面积 .
7.【答案】B
【解答】由题 ,又直线 都与椭圆 相切,因此直线 所围成矩形的外接圆 即为椭圆 的蒙日圆,由 A、B 为椭圆 上任意两个动点,动点 满足 为锐角,得点 在圆 外,又动点 在直线 上,因此直线 与圆 相离,则
得 ,则 ,解得 ,
所以椭圆 的离心率的取值范围为
8.【答案】B
【解答】因为 为偶函数,所以 ,所以 是奇函数,所以
因为 ,所以 ,所以
所以 ,所以
又 ,所以 是周期为 4 的函数
9.【答案】
【解答】A 中, 的周期 ,所以 A 正确;
中,令 ,得对称中心为 ,故 正确
中,将 的图象向左平移 个单位长度,得到 的,故 错误;
中,由 的对称轴为 在 上不单调
故 错误.
10.【答案】
【解答】由函数 的定义域为 ,
且 ,所以 的单调递增区间为 ,
中,令 ,得 ,所以 错误;
中,由已知得 ,充分性得证,所以 正确;
中, 有两个零点 ,方程 与 分别有两个实数解, 正确;
中,由 ,即 ,
令 ,可得 ,
所以 在(0,1)为单调递减函数,所以 ,即 ,
因为 ,可得 ,所以 ,
得 ,所以 正确.
11.【答案】
【解答】设 点坐标为(x, y),则曲线 , 正确;
中,若 ,则 ,这样的 点只有 1 个,即为原点, 错误;
中,由 得,
整理得, ,所以 正确;
中,从双纽线的图形上,可以观察有四个点处切线的斜率为 0,
另外,由 得 ,则 ,
令 或 0,经计算曲线 在原点处的切线方程为 正确.
12.【答案】 1
【解答】由 得: ,则 ,所以 .
13.【答案】
【解答】设 ,则 ,设切点为 ,则 ,
可得切线方程为 ,整理可得 ,
所以 ,解得 ,所以 ,所以 ,
设 ,则 ,当 时, 单调递增,
当 时, 单调递减,所以当 时, 取得最大值 ,
所以 的最大值为 .
14.【答案】(1) 2 ; (2) .
【解答】(1)由托勒密定理,得 . 因为 ,所以 .
设圆 的半径为 ,由正弦定理,得 . 又 ,
所以 . 因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,则 ,故 .
(2)如图,假设 边固定,结合 得,圆心 到直线 的距离 ,即 是以 为圆心半径为 1 的圆的切线.
过 (或 ) 分别做小圆的切线时,可得直线 当 点在劣弧 时,顶点 可以在劣弧 上运动, 由对称性可知,不妨考虑点 在劣弧 上时,通过计算可知: ,所以 与 的夹角 , 得 .
15.(13 分)
【解答】(1)证明: 为正三角形, 为 中点, .
在直三棱柱 中,平面 平面 ,又平面 平面 ,
故 平面 ,则 . (3 分)
当 时, ,则 ,
,即 ,而 平面 . (6 分)
(说明: 也可以用坐标法证明)
(2)当 时, ,易证 ,由(1)可得: 平面 .
以 为坐标原点,以 向量方向分别为 轴, 轴, 轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则有 , (8 分)
由 平面 可得: 平面 的一个法向量是 , (10 分)
且 . 记直线 与平面 所成角为 ,则
所以直线 与平面 所成角的正弦值是 . (13 分)
(说明: 也可以用几何法求解)
16.(15 分)
【解答】(1)当 且 时, ,化简得 ,即 ； (6 分)
(2)由 得: ,所以双曲线方程为 ,渐近线方程分别为 ,
不妨设 ,则由 得: , (9 分)
由 在双曲线 上得: , (12 分)
而 . (15 分 17.(15 分)
【解答】(1)若小明取到红色外观的模型,棕色内饰的有 12 个,米色内饰的有 2 个,则对应的概率 ,
若小明取到米色内饰的模型, 红色外观的有 2 个, 蓝色外观的有 3 个, 则对应的概率
(2 分)
同时取到红色外观、米色内饰的模型有 2 个,即 ,则 . (4 分)
,即事件 和事件 不独立.(6 分)
(2)由题意知 ,
则外观和内饰均为同色的概率 ,(8 分)
外观和内饰都异色的概率 , (10 分)
仅外观或仅内饰同色的概率 ,
,
则 的分布列为: (13 分)
150 300 600
则 (元). (15 分)
18.(17 分)
【解答】(1)当 时, , 1 分
令 ,则
当 时, ,即 在 为减函数,
当 时, ,即 在 为增函数, -3 分
所以 ,即
所以 在 上为增函数; -4 分
(2)因为 ,所以
设
则 -5 分
令 则 ,
在 为增函数,即 在 为增函数,
故 . 6 分
当 时, ,此时 在 为增函数,
故 ,符合题意; 7 分
当 时, ,且 在 为增函数 (趋于正无穷大),
故存在 满足 ,则 在 递减,
所以当 时, ,不符合题意.
综上所述, 的取值范围为 .
(3) 证明: .
由 ,得 ,
所以 , -11 分
两边同除以 ,得 ,
所以 , 13 分
令 ,得 ,得 .
因为 ,
所以 , 15 分
因为 ,又 ,易知 ,所以 , 又 ,所以 ,故 ,得 . -17 分
(说明: 第(3)问用极值点偏移的方法对应给分, 易知部分不证明也给分)
19.(17 分)
【解答】(1) 不为 “ 数列”. 理由如下:
由题意得: , -3 分
因为 ,所以满足 的 至少有 2 个,不合题意,
所以 不为 “ 数列”; -5 分
(2)证明: 因为 ,所以当 时, ,所以 ,
解得 ,所以 , -7 分
当 时, ,所以 ,解得 ,
因此 ,此时 , 9 分
所以,对每一个 ,有且仅有一个 ,使得 ,
故 为 “ 数列”,且其 “余项数列” 的通项为 ; 11 分
(3) 证明: 因为 为正项数列,所以 单调递增.
,所以 , -12 分
因为 ,且 为 “ 数列”,所以必有 ,因此 ,
因为 “余项数列” 为等差数列,所以其公差 .
由 知: , 13 分
若 ,则当 时, ,与 矛盾,不合题意;
若 ,则 .
所以 ,即 . -14 分
对于 ,若 ,则 ,与正项数列 矛盾,所以 .
由正项数列 可知 递增,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,且 . -16 分
又因为 ,
所以 . 17 分鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 龙泉中学 武汉二中 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中 宜昌一中 夷陵中学 2025 届高三湖北省十一校第一次联考 数学试题
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
注意事项:
1. 答题前, 先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的.
1. 若集合 ,则 ( )
A. B. "C. D.
2. 若复数 满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知非零向量 ,若向量 在 方向上的投影向量为 ,则 ( )
A. -2 B. -4 C. 2 D. 4
4. 某工厂生产了 500 件产品, 质检人员测量其长度 (单位: 厘米), 将测量数据分成 6 组, 整理得到如图所示的频率分布直方图. 如果要让 90% 的产品长度不超过 厘米,根据直方图估计,下列最接近 的数是 ( )
A. 93.5 B. 94.1
C. 94.7 D. 95.5
5. 下列选项中,与 不相等的是( )
A. B. C. D.
6. 已知直三棱柱 中, 点到直线 的距离为 ,则三棱柱 的外接球表面积为( )
A. B. C. D.
7. 蒙日是法国著名的数学家, 他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆, 这个圆被称为“蒙日圆”. 已知椭圆 的焦点在 轴上, 为椭圆上任意两点,动点 在直线 上. 若 恒为锐角,根据蒙日圆的相关知识得椭圆 的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 的定义域为 是 的导数,且 , ,若 为偶函数,则 ( )
A. 80 B. 75 C. 70 D. 65
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ,下列说法正确的是( )
A.
B. 函数 的图象关于点 中心对称
C. 将 的图象向左平移 个单位长度,可得到 的图象
D. 函数 在区间 上单调递增
10. 已知函数 ,定义域为 ,则下列结论正确的是( )
A. 若 且 ,则
B. 已知 且 ,则 “ ” 是 “ ” 的充分条件
C. 方程 有 4 个不同的实数解
D. 若 ,则
11. 双纽线是卡西尼卵形线的一类分支, 在数学曲线领域占有至关重要的地位, 同时也具有特殊的有价值的艺术美. 双纽线的图形轮廓像 “ ”,是许多艺术家设计作品的主要几何元素. 已知在平面直角坐标系中, ,满足 的动点 的轨迹为
曲线 . 则下列结论正确的是 ( )
A. 曲线 既是中心对称又是轴对称图形
B. 曲线 上满足 的点 有 2 个
C.
D. 曲线 上存在四个不同的点,使曲线在该点处切线的斜率为 0
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知数列 是等差数列,且其前 项和为 . 若 ,则 _____.
13. 若直线 为曲线 的一条切线,则 的最大值为_____.
14. 克罗狄斯·托勒密是希腊数学家, 他博学多才, 既是天文学权威, 也是地理学大师. 托勒密定理是平面几何中非常著名的定理, 它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系, 该定理的内容为: 圆的内接四边形中, 两条对角线长的乘积等于两组对边长的乘积之和. 已知四边形 是圆 的内接四边形,且 . 若 ,则
(1)圆 的半径是_____；
(2)四边形 面积的取值范围是_____.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
如图,在直三棱柱 中, 是边长为 2 的正三角形, 为 中点,点 在棱 上,且 .
(1)当 时,求证: 平面 ；
(2)当 时,求直线 与平面 所成角的正弦值.
16. (15 分)
已知双曲线 的左顶点为 ,右焦点为 ,动点 在双曲线 上. 当 时, .
(1)求 的离心率；
(2)已知 两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、四象限. 若 , 求 的面积.
17. (15 分)
2024 年 7 月 13 日,国际汽车博览会在长春举行,已知某汽车模型公司共有 25 个汽车模型, 其外观和内饰的颜色分布如下表所示:
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 12 8
米色内饰 2 3
(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型,记事件 为小明取到红色外观的模型,事件 为小明取到米色内饰的模型,求 和 ,并判断事件 和事件 是否独立;
(2)该公司举行了一个抽奖活动,规定在一次抽奖中,每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型, 给出以下假设:
假设 1: 拿到的两个模型会出现三种结果, 即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、 以及仅外观或仅内饰同色;
假设 2: 按结果的可能性大小, 概率越小奖项越高;
假设 3: 该抽奖活动的奖金额为: 一等奖 600 元, 二等奖 300 元, 三等奖 150 元.
请你分析奖项对应的结果,设 为奖金额,写出 的分布列并求出 的数学期望.
18. (17 分)
已知函数 .
(1)当 时,判断函数 的单调性;
(2)对任意的 时 恒成立,求实数 的取值范围;
(3)记 ,若 ,且 ,求证 . (参考公式: )
19. (17 分)
已知数列 的前 项和为 . 若对每一个 ,有且仅有一个 ,使得 . 则称 为 “ 数列”. 记 ,称数列 为 的“余项数列”.
(1)若 的前四项依次为 ,试判断 是否为“ 数列”,并说明理由;
(2)若 ,证明 为 “ 数列”,并求它的 “余项数列” 的通项公式;
(3)已知 的正项数列 为“ 数列”,且 的“余项数列”为等差数列,证明 .

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