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知识点一：集合及其表示
1．集合的概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．
2．元素与集合的关系
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与集合的关系 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A “a属于A”
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A “a不属于A”
3．常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
4．集合的表示方法　
(1)列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(2)描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
知识点二：集合之间的关系
1．子集、真子集、集合相等的相关概念
定义 符号表示 图形表示
子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A B (或B A)
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA)
集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B
空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
结论：集合{a1，a2，…，an}的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
2．Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
3．子集的性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
4．空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
(2)规定：空集是任何集合的子集．
知识点三：集合的运算
1．交集
(1)自然语言：
集合A与B的交集是所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，记作（读作“A交B”）.
(2)符号语言：
(3)图形语言
2．并集
(1)自然语言：
集合A与B的并集是所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，记作（读作“A并B”）.
(2)符号语言：
(3)图形语言
3．补集
(1)全集：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.
(2)补集
自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA
符号语言 UA＝ {x|x∈U且x A}
图形语言
考点一 集合及其表示
1．下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形
C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
2．下列关系中，正确的是　　
A． B． C． D．
3．以下六个写法中：①；②；③；④；⑤；正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4． 已知集合 ，且 ，则实数m的值为（ ）
A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3
5．已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合，若，则实数的值构成的集合为 ．
7．已知均为非零实数，则代数式的值所组成的集合的元素个数是 ．
8．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程的解集；
（2）大于且小于的所有整数组成的集合．
考点二 集合之间的关系
9．已知集合，2，，则集合的非空真子集的个数是　　
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
10．设集合，则下列表述正确的有　　
①；②；③；④有4个子集．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知，，若，则实数取值的集合为　　
A． B． C． D．
12．集合，，若，则由实数组成的集合为 .
13．设集合，则集合的子集个数为 ．
14．已知集合，，且．
（1）求；
（2）写出集合的所有子集．
15．已知集合，，
（1）若为空集，求实数的取值范围；
（2）若是的真子集，求实数的取值范围．
16．已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
（1）；
（2）恰有一个元素.
考点三 集合的运算
17．如图，全集，，，则阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
18．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
19．设全集，集合，，．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
20．设集合，下列表示正确是（ ）
A．， B． C． D．
21．已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
22．集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
23．设为实数，已知集合，满足，则的取值集合为 .
A． B． C． D．
24．已知全集，集合，集合．
（1）求集合及；
（2）若集合，且，求实数的取值范围．知识点一：集合及其表示
1．集合的概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．
2．元素与集合的关系
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与集合的关系 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A “a属于A”
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A “a不属于A”
3．常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
4．集合的表示方法　
(1)列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(2)描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
知识点二：集合之间的关系
1．子集、真子集、集合相等的相关概念
定义 符号表示 图形表示
子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A B (或B A)
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA)
集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B
空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
结论：集合{a1，a2，…，an}的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
2．Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
3．子集的性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
4．空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
(2)规定：空集是任何集合的子集．
知识点三：集合的运算
1．交集
(1)自然语言：
集合A与B的交集是所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，记作（读作“A交B”）.
(2)符号语言：
(3)图形语言
2．并集
(1)自然语言：
集合A与B的并集是所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，记作（读作“A并B”）.
(2)符号语言：
(3)图形语言
3．补集
(1)全集：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.
(2)补集
自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA
符号语言 UA＝ {x|x∈U且x A}
图形语言
考点一 集合及其表示
1．下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形
C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
【答案】B
【解析】选项A，C不满足集合的确定性；集合B正方形是确定的，故能构成集合；选项D不满足集合的互异性．故选：B．
2．下列关系中，正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据元素与集合的关系，用符号，，，，集合与集合的关系，用等符号，可知正确，故选：．
3．以下六个写法中：①；②；③；④；⑤；正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【解析】对于①：是集合与集合的关系，应该是，①不对；对于②：空集是任何集合的子集，，②对；对于③：是一个集合，是集合与集合的关系，，③不对；对于④：根据集合的无序性可知，④对；对于⑤：是空集，表示没有任何元素，应该是，⑤不对；正确的是：②④．故选：B．
4． 已知集合 ，且 ，则实数m的值为（ ）
A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3
【答案】A
【解析】因为，且，所以或，解得或或，当时，即集合不满足集合元素的互异性，故，当时集合不满足集合元素的互异性，故，当时满足条件；故选：A
5．已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A：由是集合，所以，∴选项A错误；对于B：当时，，与集合中元素的互异性相矛盾，∴选项B错误；对于C：当时，，，不合题意，∴选项C错误；对于D：当，时，，符合题意，∴选项D正确，故选：D.
6．已知集合，若，则实数的值构成的集合为 ．
【答案】
【解析】因为集合，且 所以或
（1）当时，此时，符合题意.
（2）当时，解得或，当时，与集合元素的互相性矛盾，舍去；当时，符合题意，综上可知实数的值构成的集合为，故答案为：.
7．已知均为非零实数，则代数式的值所组成的集合的元素个数是 ．
【答案】2
【解析】根据题意分2种情况讨论：当全部为负数时，为正数，则；
当全部为正数时，为正数，则；当一正一负时，为负数，则；综上可知，的值为或3，即代数式的值所组成的集合的元素个数是2，故答案为：2.
8．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程的解集；
（2）大于且小于的所有整数组成的集合．
【答案】(1)；；(2)；
【解析】(1)方程的根可以用x表示，它满足的条件是，因此，用描述法表示为；又方程的根是，因此，用列举法表示为．
(2)大于且小于的整数可以用x表示，它满足的条件是且，因此，用描述法表示为；大于且小于的整数有，因此，用列举法表示为
考点二 集合之间的关系
9．已知集合，2，，则集合的非空真子集的个数是　　
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】
【解析】根据题意，集合，2，，其非空真子集为、、、，、、、，，共6个；故选：．
10．设集合，则下列表述正确的有　　
①；②；③；④有4个子集．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】因为集合，所以集合，，则①②④正确，③错误，故选：．
11．已知，，若，则实数取值的集合为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，，且，①时，，满足；
②时，，则或2，解得或，实数的取值集合为，故选：．
12．集合，，若，则由实数组成的集合为 .
【答案】.
【解析】集合，，且，或或，．则实数组成的集合为，故答案为：.
13．设集合，则集合的子集个数为 ．
【答案】16
【解析】，1，3，，集合的子集个数为，故答案为：16.
14．已知集合，，且．
（1）求；
（2）写出集合的所有子集．
【答案】（1）；（2）：，，，.
【解析】解：（1），或，解得或，
当时，，集合不满足互异性，舍去，
当时，经经验，符合题意，故．
（2）由（1）知，的子集为：，，，.
15．已知集合，，
（1）若为空集，求实数的取值范围；
（2）若是的真子集，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）当为空集时，， 解得．即实数的取值范围为.
（2）若是的真子集，则， 解得，即实数的取值范围为.
16．已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
（1）；
（2）恰有一个元素.
【答案】(1)；(2)
【解析】解：(1)若，则关于x的方程没有实数解，则，且，
所以，实数m的取值范围是；
(2)若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，讨论：当时，，满足题意；当时，，所以．综上所述，m的取值范围为．
考点三 集合的运算
17．如图，全集，，，则阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由图示可知，阴影部分可表示为，∵，∴，故选：.
18．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，又全集，所以，故选：B．
19．设全集，集合，，．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】解：(1)或，故．
(2)，因为，故．
20．设集合，下列表示正确是（ ）
A．， B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，则，对：因为不是的子集，故错误；对：因为不是的子集，故错误；对：是的非真子集，故错误；对：.故正确，故选：.
21．已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）集合，，，当时，，
；
（2），，，解得，实数的取值范围为．
22．集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，解得，所以，，所以 ，故选：D
23．设为实数，已知集合，满足，则的取值集合为 .
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题可得，由可得，由，可得或2，故答案为：.
24．已知全集，集合，集合．
（1）求集合及；
（2）若集合，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；(2)
【解析】解：(1)由得：，所以，则，由，所以，．
(2)因为且，所以，解得，所以的取值范围是．

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