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知识点一：函数的概念
1．函数的有关概念
函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法 ，
定义域 x叫做自变量，x的取值范围A的集合叫做函数的定义域
值域 函数值y的集合叫做函数的值域
2．同一个函数
一般地，函数的三要素：定义域，对应关系与值域，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．
3．函数定义域的求法
当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑
(1)分母不为零；
(2)偶次根号的被开方数、式大于或等于零；
(3)零次幂的底数不为零，以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.
注意：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
4．分段函数
(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
5．复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．
知识点二：函数的表示方法
(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.
(2)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势.
(3)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值.
知识点三：函数的性质
1．函数的单调性
(1)增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：
①如果 x1，x2∈D，当x1②如果 x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．
(2)函数的单调区间
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
(3)证明函数单调性的步骤
第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且；
第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系；
第四步：得出结论．
(4)常见函数的单调性
函数 单调性
一次函数（） 当时，在上单调递增
当时，在上单调递减
反比例函数（） 当时，在和上单调递减
当时，在和上单调递增
二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增
当时，在上单调递增； 在上单调递减
2．函数的奇偶性
(1)函数奇偶性的概念
①偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．
②奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数．
(2)奇偶函数的图象与性质
①偶函数：函数是偶函数函数的图象关于轴对称；偶函数必满足；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反.
②奇函数：函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称；若奇函数在处有意义，
则有；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
(3)用定义判断函数奇偶性的步骤
第一步：求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
第二步：求，若，则 是奇函数；若=，则是偶函数；若，则既不是奇函数，也不是偶函数；若且，则既是奇函数，又是偶函数.
考点一 函数的概念
1．下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】B中，当时，有两个值和对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，故选：B.
2．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意且，所以函数的定义域是，故选 ：B．
3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得：，解得：，由，解得：，故函数的定义域是，故选：B．
4． 下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与； ②与；
③与； ④与
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【答案】C
【解析】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数；②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；③与的定义域是，并且，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；④与是同一函数；所以是同一函数的是③④，故选：C.
5．函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，因此该函数的对称轴为：，因为，所以当时，函数有最小值，最小值为，而，所以最大值为，因此值域为，故选：C.
6．已知函数，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】方法一（配凑法）∵，∴.
方法二（换元法）令，则，∴，∴.
故选：A.
7．已知函数为一次函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则，解得，，，故选：A.
8．若函数的定义域为，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，成立，当时，成立，即，当时，，解得，因此得，所以的范围是，故选：A.
9．已知，求的解析式．
【答案】
【解析】用－x替换中的x，得，由，
解得．
考点二 函数的表示方法
10．某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不少于方案的投入”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】经过年后，方案的投入为，则“经过年之后，方案的投入不少于方案的投入”可以用不等式表示为，故选：D.
11．已知是反比例函数，且，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，∵，，∴，故选：B.
12．若函数和分别由下表给出，则不等式的解集为（ ）
x －1 0 1
1 0 －1
x 1 2 3
0 1 －1
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当x＝1时，；当x＝2时，；当x＝3时，，综上，不等式的解集为，故选：C．
13．设为一次函数，且．若，则的解析式为（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，其中，则，所以，，解得或.当时，，此时，合乎题意；当时，，此时，不合乎题意，综上所述，，故选：B.
考点三 函数的性质
14．已知函数，则的单调增区间是（ ）
A．和 B．
C．和 D．
【答案】D
【解析】二次函数的对称轴为，并且开口向上，则函数在上单调递增，即D选项正确；故选：D.
15．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解解析】函数的对称轴为，开口向上，依题意可得，解得，即，故选：D
16．若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在上单调递增，，，解得：，实数的取值范围为，故选：C.
17．已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为______.
【答案】
【解析】因为是定义在上的奇函数,所以,当时,,所以,当时,,所以.
18．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，是奇函数，是偶函数，故排除ABC，的定义域为，故既不是奇函数也不是偶函数，故选：D.
19．已知偶函数在区间上单调递增，则下列关系式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为为偶函数，所以，又因为且在上单调递增，所以，所以，故选：B.
20．利用单调性的定义，证明函数在上是减函数．
【答案】证明见解析
【解析】证明：设x1，x2是区间上任意两个实数且，则，∵，∴，，．∴．即，，∴在上是减函数．
21．已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则______________．
【答案】12
【解析】．
22．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，设，则为奇函数，，即，.故选：C
23．定义在上的奇函数在上是减函数，若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】是定义在上的奇函数，且在上是减函数， 在定义域上是减函数，且
，即，故可知，即可解得，实数的取值范围为，故答案为：.
24．定义在R上的偶函数和奇函数满足，求函数的解析式．
【答案】
【解析】解：因为①，所以．又为偶函数，所以；为奇函数，所以，所以②，联立①②可得．
25．已知函数
（1）判断的奇偶性并说明理由；
（2）判断在上的单调性并加以证明.
【答案】（1）奇函数；理由见解析；（2）单调递减，证明见解析.
【解析】解：（1）由题意知：定义域为，关于原点对称，，为奇函数；
（2）令，；
，，，，又，，在上单调递减.知识点一：函数的概念
1．函数的有关概念
函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法 ，
定义域 x叫做自变量，x的取值范围A的集合叫做函数的定义域
值域 函数值y的集合叫做函数的值域
2．同一个函数
一般地，函数的三要素：定义域，对应关系与值域，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．
3．函数定义域的求法
当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑
(1)分母不为零；
(2)偶次根号的被开方数、式大于或等于零；
(3)零次幂的底数不为零，以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.
注意：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
4．分段函数
(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
5．复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．
知识点二：函数的表示方法
(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.
(2)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势.
(3)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值.
知识点三：函数的性质
1．函数的单调性
(1)增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：
①如果 x1，x2∈D，当x1②如果 x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．
(2)函数的单调区间
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
(3)证明函数单调性的步骤
第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且；
第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系；
第四步：得出结论．
(4)常见函数的单调性
函数 单调性
一次函数（） 当时，在上单调递增
当时，在上单调递减
反比例函数（） 当时，在和上单调递减
当时，在和上单调递增
二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增
当时，在上单调递增； 在上单调递减
2．函数的奇偶性
(1)函数奇偶性的概念
①偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．
②奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数．
(2)奇偶函数的图象与性质
①偶函数：函数是偶函数函数的图象关于轴对称；偶函数必满足；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反.
②奇函数：函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称；若奇函数在处有意义，
则有；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
(3)用定义判断函数奇偶性的步骤
第一步：求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
第二步：求，若，则 是奇函数；若=，则是偶函数；若，则既不是奇函数，也不是偶函数；若且，则既是奇函数，又是偶函数.
考点一 函数的概念
1．下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A． B． C． D．
4． 下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与； ②与；
③与； ④与
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
5．函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数为一次函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．若函数的定义域为，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，求的解析式．
考点二 函数的表示方法
10．某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不少于方案的投入”的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知是反比例函数，且，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
12．若函数和分别由下表给出，则不等式的解集为（ ）
x －1 0 1
1 0 －1
x 1 2 3
0 1 －1
A． B． C． D．
13．设为一次函数，且．若，则的解析式为（ ）
A．或 B．
C． D．
考点三 函数的性质
14．已知函数，则的单调增区间是（ ）
A．和 B．
C．和 D．
15．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为______.
18．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
19．已知偶函数在区间上单调递增，则下列关系式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
20．利用单调性的定义，证明函数在上是减函数．
21．已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则______________．
22．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
23．定义在上的奇函数在上是减函数，若，则实数的取值范围为 .
24．定义在R上的偶函数和奇函数满足，求函数的解析式．
25．已知函数
（1）判断的奇偶性并说明理由；
（2）判断在上的单调性并加以证明.

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