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第四章　课时精练7　等差数列前n项和的性质及应用
(分值：100分)
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共6分.
一、基础巩固
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　)
1 －1
2
2.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 024＝S2 025，Sk＝S2 023，则正整数k为(　　)
2 022 2 024
2 025 2 026
3.某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数(假设每人的得票数各不相同)排名次，发放的奖金数成等差数列.已知前10名共发放2 000元，前20名共发放3 500元，则前30名共发放(　　)
4 000元 4 500元
4 800元 5 000元
4.(多选)在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn，则下列命题正确的是(　　)
若S3＝S11，则必有S14＝0
若S3＝S11，则S7是{Sn}中的最大项
若S7>S8，则必有S8>S9
若S7>S8，则必有S6>S8
5.若等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＞0，a2 024＋a2 025＞0，a2 024·a2 025＜0，则满足Sn＞0成立的最大正整数n的值是(　　)
4 046 4 047
4 048 4 049
6.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，S25＝0，则使Sn取得最大值时的n的值为________.
7.在项数为2n－1的等差数列中，所有奇数项的和为225，所有偶数项的和为210，则n的值为________.
8.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2，－＝2，则＝________.
9.(10分)某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2 000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元.你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？
10.(10分)在①a1＝13，S10＝－5；②a3＝7，a7＝－5；③S3＝30，S5＝35这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列{an}满足________.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn，以及使得Sn取得最大值时n的值.
二、综合运用
11.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为(　　)
9 10
19 29
12.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－3，Sm＝－2，Sm＋1＝0，则m＝________.
13.(13分)7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件.
(1)问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？
(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.问该款服装在社会上流行几天？
三、创新拓展
14.(16分)在等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
等差数列前n项和的性质及应用
1.A　[＝＝＝×＝1.]
2.D　[因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，
所以由二次函数的对称性及
S2 024＝S2 025，Sk＝S2 023，
可得＝，解得k＝2 026.]
3.B　[由已知可知等差数列中
S10＝2 000，S20＝3 500，
因为S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，
所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
所以2×(3 500－2 000)＝2 000＋(S30－3 500)，
解得S30＝4 500.]
4.ABC　[根据等差数列的性质，若S3＝S11，
则S11－S3＝4(a7＋a8)＝0，则a7＋a8＝0，
S14＝＝7(a7＋a8)＝0；
根据Sn的图象，当S3＝S11时，对称轴是 ＝7，且d<0，那么S7是最大值；
若S7>S8，则a8<0，且d<0，所以a9<0，
所以S9－S8<0，即S8>S9；
S8－S6＝a8＋a7＝2a8－d，符号不确定，
所以ABC正确.]
5.C　[由条件知d＜0，且a2 024＞0，a2 025＜0，
S4 047＝4 047a2 024＞0，
S4 048＝2 024(a1＋a4 048)＝2 024(a2 024＋a2 025)＞0，
S4 049＝4 049a2 025＜0，
故Sn＞0的最大n值为4 048.]
6.12或13　[S25＝＝25a13＝0，即a13＝0，
又a1＞0，∴d＜0，S12＝S13最大.]
7.15　[∵等差数列有2n－1项，S奇－S偶＝an，
∴an＝15.
又S2n－1＝(2n－1)an，
∴225＋210＝(2n－1)×15，∴n＝15.]
8.2 022　[∵Sn是等差数列{an}的前n项和，
∴是等差数列，设其公差为d.
∵－＝2，∴2d＝2，d＝1，
∵a1＝－2，∴＝－2，
∴＝－2＋(n－1)×1＝n－3，
∴＝2 025－3＝2 022.]
9.解　从12月20日到第二年的1月1日共13天，每天领取的奖品价值是以100为首项，以10为公差的等差数列，
设为{an}，则a1＝100，d＝10，n＝13，
所以共获奖品价值
S13＝13×100＋×10＝2 080(元).
因为2 080＞2 000，
所以第二种领奖方式获奖者受益更多.
10.解　(1)选条件①，因为数列{an}是等差数列，
设公差为d，则
解得d＝－3，
所以an＝13＋(n－1)×(－3)＝16－3n.
选条件②，因为数列{an}是等差数列，
设公差为d，则
解得
所以an＝13＋(n－1)×(－3)＝16－3n.
选条件③，因为数列{an}是等差数列，
设首项为a1，公差为d，
则
即解得
所以an＝13＋(n－1)×(－3)＝16－3n.
(2)由(1)知an＝16－3n，
Sn＝＝，
令an＝16－3n>0，可得n<，
所以{an}的前5项都是正值，从第6项起是负值，
故当n＝5时，Sn取得最大值.
11.B　[钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.
∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.
当n＝20时，S20＝210＞200.
∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，根数为10根.]
12.4　[am＝Sm－Sm－1＝－2＋3＝1，am＋1＝Sm＋1－Sm＝0＋2＝2，
可知公差d＝am＋1－am＝2－1＝1，
则am＝a1＋(m－1)d＝a1＋m－1＝1，
即a1＋m＝2.
又由Sm＝ma1＋＝－2，
解得m＝4(m＝－1舍去).]
13.解　(1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N*，1≤n≤31)，最多时售出ak件.
由题意知解得
∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件.
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，
∵an＝
∴Sn＝，1≤n≤13，
又S13＝273，
∴Sn＝273＋(51－n)(n－13)，14≤n≤31.
∵S13＝273>200，
∴当1≤n≤13时，由Sn>200，得12≤n≤13，
当14≤n≤31时，日销售量连续下降，
由an<20，得23≤n≤31，
∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日).
14.解　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，
由题意得解得
所以{an}的通项公式为an＝(n∈N*).
(2)由(1)知bn＝.
当n＝1，2，3时，1≤<2，bn＝1；
当n＝4，5时，2≤<3，bn＝2；
当n＝6，7，8时，3≤<4，bn＝3；
当n＝9，10时，4≤<5，bn＝4.
所以数列{bn}的前10项和为
1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.第二课时　等差数列前n项和的性质及应用
课标要求　1.理解等差数列前n项和的性质并学会运用. 2.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
【引入】 银行有一种“零存整取”的储蓄项目：它是每月某日存入一笔相同的金额，这是零存；到一定时期存款到期，可以提出全部本金及利息，这是整取.我们比较关心的是利息多少，你从中发现等差数列了吗？
一、等差数列前n项和的性质及应用
探究1 等差数列{an}的前n项和为Sn，试探索Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…的关系？
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探究2 在等差数列{an}中，如果项数为2n，那么S偶与S奇之间存在什么样的关系？
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探究3 若等差数列{an}的前n项和为Sn，则是等差数列吗？
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【知识梳理】
等差数列前n项和的常见性质
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为________.
(2)若Sn，S2n，S3n，…分别为等差数列{an}的前n项，前2n项，前3n项，…和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为________.
(3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝.
(4)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝________，
＝(S奇≠0).
(5)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1(an＋1是数列的中间项)，
S偶－S奇＝－an＋1，＝________(S奇≠0).
(6)在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n).
温馨提示　上述性质可用于小题，大题中要先证再用.性质(2)不要误解为Sn，S2n，S3n，…成等差数列.
例1 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110.
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思维升华　利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些.
(2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法.
训练1 (链接教材P23T5)(1)在项数为2n＋1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n＝(　　)
A.9 B.10
C.11 D.12
(2)已知数列{an}和{bn}都是等差数列，且其前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则＝________.
二、等差数列前n项和的最值
探究4 已知一个数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n，你能说明数列{an}的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？
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【知识梳理】
1.在等差数列{an}中，
(1)当a1>0，d<0时，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；
(2)当a1<0，d>0时，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定.
2.因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有________值；当d<0时，Sn有________值，且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值.
温馨提示　由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值.
例2 (链接教材P23例9)在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值.
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迁移 本例改为“在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S16，则当n＝________时，Sn取得最大值.”
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思维升华　等差数列前n项和最值的求法
(1)二次函数法：等差数列前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)的形式，通过配方法，结合二次函数的图象求最值，但要注意n为正整数.
(2)邻项变号法：对于等差数列中a1＞0，d＜0或a1＜0，d＞0的情况，通过研究变号项来求Sn的最大值或最小值.
训练2 (1)(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是(　　)
A.d<0
B.a7＝0
C.S9>S5
D.S6与S7均为Sn的最大值
(2)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则公差d的取值范围是________.
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三、等差数列前n项和的实际应用
例3 (链接教材P24T1)某单位用分期付款的方式为职工购买40套公寓，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，则全部按期付清后，买这40套公寓实际花了多少钱？
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思维升华　应用等差数列解决实际问题的一般思路
训练3 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
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【课堂达标】
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)
A.5 B.7
C.9 D.11
2.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝(　　)
A.35 B.32
C.23 D.38
3.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大.
4.已知等差数列的前n项和为Sn，若＝，则等于________.
等差数列前n项和的性质及应用
探究1　提示　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列.
探究2　提示　因为S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，
所以S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＋…＋(a2n－a2n－1)＝nd.
又由等差数列的性质知a1＋a2n－1＝2an，
a2＋a2n＝2an＋1，且S奇＝，
S偶＝，所以＝.
探究3　提示　由等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d，
得＝a1＋(n－1)，
所以数列是以a1为首项，以为公差的等差数列，且点(n＝1，2，3，…)共线.
知识梳理
(1)　(2)n2d　(4)nd　(5)
例1　解　法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵S10＝100，S100＝10，
∴
解得
∴S110＝110a1＋d＝110×＋×＝－110.
法二　设等差数列{an}的前n项和
Sn＝An2＋Bn.
由题设条件可知
解得
故S110＝－×1102＋×110＝－110.
法三　∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，
设公差为d，
∴该数列的前10项和为
10×100＋d＝S100＝10，
解得d＝－22，
∴前11项和S110＝11×100＋×(－22)＝－110.
法四　由也是等差数列，构造新的等差数列＝10，＝，
则d＝＝－，
所以＝＋10d＝＋＝－1，
所以S110＝－110.
法五　直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可得S110＝－110.
训练1　(1)B　(2)　[(1)根据等差数列前n项和的性质可得
＝＝，解得n＝10.
(2)由等差数列{an}的前n项和满足
S2n－1＝(2n－1)an，得＝，
故＝＝＝.]
探究4　提示　思路一　由Sn＝n2－5n求得an＝2n－6，d＝2＞0，故递增，考虑a1＜a2＜0，a3＝0，0＜a4＜a5＜…，
则前n项和Sn在n＝2或3时取最小值.
思路二　Sn＝n2－5n＝－，它的图象是分布在函数y＝x2－5x的图象上的离散的点，图象开始下降后又上升说明了{an}的前几项为负数.由Sn的图象可知，Sn有最小值且当n＝2或3时，Sn最小，最小值为－6，即数列{an}前2项或前3项和最小.
知识梳理
1.(1)最大　(2)最小
2.最小　最大
例2　解　法一　因为S8＝S18，a1＝25，
所以8×25＋d
＝18×25＋d，
解得d＝－2.
所以Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169.
所以当n＝13时，Sn有最大值为169.
法二　同法一，求出公差d＝－2.
所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
因为a1＝25>0，
由得
又因为n∈N*，
所以当n＝13时，Sn有最大值为169.
法三　因为S8＝S18，
所以a9＋a10＋…＋a18＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.
因为a1>0，所以d<0.
所以a13>0，a14<0.
所以当n＝13时，Sn有最大值.
由a13＋a14＝0，
得a1＋12d＋a1＋13d＝0，
解得d＝－2，
所以S13＝13×25＋×(－2)＝169，
所以Sn的最大值为169.
法四　设Sn＝An2＋Bn.
因为S8＝S18，a1＝25，
所以借助二次函数图象知对称轴为n＝＝13，且开口方向向下，
所以当n＝13时，Sn取得最大值.
由题意得
解得
所以Sn＝－n2＋26n，
所以S13＝169，
即Sn的最大值为169.
迁移　13　[由Sn＝An2＋Bn为二次函数具有对称性，S10＝S16，对称轴为＝13，故S13最大.]
训练2　(1)ABD　(2)
[(1)∵S5S8，
∴a6>0，a7＝0，a8<0，
∴d<0，
∴S6与S7均为Sn的最大值.
S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0，
∴S9(2)由题意，当且仅当n＝8时，Sn有最大值，
可知即
解得－1例3　解　由于购房时先付150万元，则欠款1 000万元.
依题意分20次付款，则每次付款金额顺次构成数列{an}，
所以an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%
＝60－(n－1)(1≤n≤20，n∈N*)，
所以{an}是以60为首项，－为公差的等差数列，
所以a20＝60－19×＝50.5，
所以S20＝(a1＋a20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.
所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元).
故全部按期付清后，买这40套公寓实际花了1 255万元.
训练3　解　从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.
由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.
25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.
∵500>480，
∴在24小时内能构筑成第二道防线.
课堂达标
1.A　[因为a1＋a5＝2a3，
所以a1＋a3＋a5＝3a3＝3，
所以a3＝1，所以S5＝＝5a3＝5.]
2.A　[由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数列，且九项之和为207，
故S9＝9a1＋d＝9a1－108＝207，
解得a1＝35.]
3.8　[∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.
∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<0.
故前8项的和最大.]
4.　[由等差数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，设S3＝k，S6＝4k，则S9＝3S6－3S3＝9k，S12＝3S9－3S6＋S3＝16k，所以＝.](共62张PPT)
第二课时　等差数列前n项和的性质及应用
第四章 4.2　等差数列 4.2.2　等差数列的前n项和公式
课标要求
1.理解等差数列前n项和的性质并学会运用. 2.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
引入
银行有一种“零存整取”的储蓄项目：它是每月某日存入一笔相同的金额，这是零存；到一定时期存款到期，可以提出全部本金及利息，这是整取.我们比较关心的是利息多少，你从中发现等差数列了吗？
课时精练
一、等差数列前n项和的性质及应用
二、等差数列前n项和的最值
三、等差数列前n项和的实际应用
课堂达标
内容索引
等差数列前n项和的性质及应用
一
探究1 等差数列{an}的前n项和为Sn，试探索Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…的关系？
提示　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列.
探究2 在等差数列{an}中，如果项数为2n，那么S偶与S奇之间存在什么样的关系？
提示　因为S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，
所以S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＋…＋(a2n－a2n－1)＝nd.
又由等差数列的性质知a1＋a2n－1＝2an，
(2)若Sn，S2n，S3n，…分别为等差数列{an}的前n项，前2n项，前3n项，…和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为________.
知识梳理
n2d
nd
温馨提示
上述性质可用于小题，大题中要先证再用.性质(2)不要误解为Sn，S2n，S3n，…成等差数列.
例1
已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110.
法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵S10＝100，S100＝10，
法二　设等差数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn.
法三　∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，
利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些.
(2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法.
思维升华
(链接教材P23T5)(1)在项数为2n＋1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n＝
A.9 B.10 C.11 D.12
训练1
√
根据等差数列前n项和的性质可得
由等差数列{an}的前n项和满足
等差数列前n项和的最值
二
探究4 已知一个数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n，你能说明数列{an}的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？
提示　思路一　由Sn＝n2－5n求得an＝2n－6，d＝2＞0，故递增，考虑a1＜a2＜0，a3＝0，0＜a4＜a5＜…，
则前n项和Sn在n＝2或3时取最小值.
知识梳理
最大
最小
最小
最大
温馨提示
由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值.
例2
(链接教材P23例9)在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值.
法一　因为S8＝S18，a1＝25，
法二　同法一，求出公差d＝－2.
所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
因为a1＝25>0，
又因为n∈N*，
所以当n＝13时，Sn有最大值为169.
法三　因为S8＝S18，
所以a9＋a10＋…＋a18＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.
因为a1>0，所以d<0.
所以a13>0，a14<0.
所以当n＝13时，Sn有最大值.
由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，解得d＝－2，
法四　设Sn＝An2＋Bn.
因为S8＝S18，a1＝25，
所以Sn＝－n2＋26n，
所以S13＝169，
即Sn的最大值为169.
本例改为“在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S16，则当n＝________时，Sn取得最大值.”
迁移
13
思维升华
等差数列前n项和最值的求法
(1)二次函数法：等差数列前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)的形式，通过配方法，结合二次函数的图象求最值，但要注意n为正整数.
(2)邻项变号法：对于等差数列中a1＞0，d＜0或a1＜0，d＞0的情况，通过研究变号项来求Sn的最大值或最小值.
(1)(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是
A.d<0 B.a7＝0
C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值
训练2
√
∵S5S8，∴a6>0，a7＝0，a8<0，∴d<0，
√
√
∴S6与S7均为Sn的最大值.
S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0，
∴S9(2)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则公差d的取值范围是____________.
等差数列前n项和的实际应用
三
例3
(链接教材P24T1)某单位用分期付款的方式为职工购买40套公寓，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，则全部按期付清后，买这40套公寓实际花了多少钱？
由于购房时先付150万元，则欠款1 000万元.
依题意分20次付款，则每次付款金额顺次构成数列{an}，
所以an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%
思维升华
应用等差数列解决实际问题的一般思路
训练3
某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1,a2,…,a25.
【课堂达标】
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝
A.5 B.7 C.9 D.11
√
因为a1＋a5＝2a3，
所以a1＋a3＋a5＝3a3＝3，
√
2.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝
A.35 B.32 C.23 D.38
由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数列，且九项之和为207，
3.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大.
∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.
8
∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<0.
故前8项的和最大.
【课时精练】
√
√
2.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 024＝S2 025，Sk＝S2 023，则正整数k为
A.2 022 B.2 024 C.2 025 D.2 026
因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，
所以由二次函数的对称性及S2 024＝S2 025，Sk＝S2 023，
√
3.某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数(假设每人的得票数各不相同)排名次，发放的奖金数成等差数列.已知前10名共发放2 000元，前20名共发放3 500元，则前30名共发放
A.4 000元 B.4 500元 C.4 800元 D.5 000元
由已知可知等差数列中S10＝2 000，S20＝3 500，
因为S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，
所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
所以2×(3 500－2 000)＝2 000＋(S30－3 500)，解得S30＝4 500.
√
4.(多选)在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn，则下列命题正确的是
A.若S3＝S11，则必有S14＝0 B.若S3＝S11，则S7是{Sn}中的最大项
C.若S7>S8，则必有S8>S9 D.若S7>S8，则必有S6>S8
根据等差数列的性质，若S3＝S11，
√
√
则S11－S3＝4(a7＋a8)＝0，则a7＋a8＝0，
若S7>S8，则a8<0，且d<0，所以a9<0，
所以S9－S8<0，即S8>S9；
S8－S6＝a8＋a7＝2a8－d，符号不确定，
所以ABC正确.
√
5.若等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＞0，a2 024＋a2 025＞0，a2 024·a2 025＜0，则满足Sn＞0成立的最大正整数n的值是
A.4 046 B.4 047 C.4 048 D.4 049
由条件知d＜0，且a2 024＞0，a2 025＜0，
S4 047＝4 047a2 024＞0，
S4 048＝2 024(a1＋a4 048)＝2 024(a2 024＋a2 025)＞0，
S4 049＝4 049a2 025＜0，
故Sn＞0的最大n值为4 048.
6.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，S25＝0，则使Sn取得最大值时的n的值为________.
12或13
又a1＞0，∴d＜0，S12＝S13最大.
7.在项数为2n－1的等差数列中，所有奇数项的和为225，所有偶数项的和为210，则n的值为________.
∵等差数列有2n－1项，S奇－S偶＝an，∴an＝15.
15
又S2n－1＝(2n－1)an，
∴225＋210＝(2n－1)×15，∴n＝15.
∵Sn是等差数列{an}的前n项和，
2 022
9.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2 000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元.你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？
从12月20日到第二年的1月1日共13天，每天领取的奖品价值是以100为首项，以10为公差的等差数列，
设为{an}，则a1＝100，d＝10，n＝13，
因为2 080＞2 000，所以第二种领奖方式获奖者受益更多.
10.在①a1＝13，S10＝－5；②a3＝7，a7＝－5；③S3＝30，S5＝35这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列{an}满足________.
(1)求数列{an}的通项公式；
选条件①，因为数列{an}是等差数列，
解得d＝－3，
所以an＝13＋(n－1)×(－3)＝16－3n.
选条件②，因为数列{an}是等差数列，
所以an＝13＋(n－1)×(－3)＝16－3n.
选条件③，因为数列{an}是等差数列，
(2)求数列{an}的前n项和Sn，以及使得Sn取得最大值时n的值.
由(1)知an＝16－3n，
所以{an}的前5项都是正值，从第6项起是负值，
故当n＝5时，Sn取得最大值.
√
11.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为
A.9 B.10 C.19 D.29
钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.
当n＝19时，S19＝190.
当n＝20时，S20＝210＞200.
∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，根数为10根.
12.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－3，Sm＝－2，Sm＋1＝0，则m＝________.
am＝Sm－Sm－1＝－2＋3＝1，am＋1＝Sm＋1－Sm＝0＋2＝2，
4
可知公差d＝am＋1－am＝2－1＝1，
则am＝a1＋(m－1)d＝a1＋m－1＝1，即a1＋m＝2.
13.7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件.
(1)问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？
设7月n日售出的服装件数为an(n∈N*，1≤n≤31)，最多时售出ak件.
(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.问该款服装在社会上流行几天？
设Sn是数列{an}的前n项和，
又S13＝273，∴Sn＝273＋(51－n)(n－13)，14≤n≤31.
∵S13＝273>200，∴当1≤n≤13时，由Sn>200，得12≤n≤13，
当14≤n≤31时，日销售量连续下降，由an<20，得23≤n≤31，
14.在等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
设数列{an}的首项为a1，公差为d，
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.第四章　课时精练6　等差数列的前n项和公式
(分值：100分)
单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共12分.
一、基础巩固
1.在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n等于(　　)
10 15
20 30
2.(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1可以等于(　　)
－1 3
5 7
3.已知数列{an}满足2an＝an＋1＋an－1(n≥2)，a5＝2，则S9＝(　　)
18 20
32 64
4.已知Sn＝An2＋Bn＋C，下列选项中能使{an}为以2作公差的等差数列的是(　　)
A＝1，B＝2，C＝3
A＝1，B＝2，C＝0
A＝－1，B＝2，C＝0
A＝－1，B＝2，C＝1
5.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an＞0的最小正整数n＝(　　)
7 8
9 10
6.设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N*)均在函数y＝3x－2的图象上，则数列{an}的通项公式an＝________.
7.等差数列{an}的前四项和为21，末四项和为67，前n项和为286，则项数n＝________.
8.在等差数列{an}中，已知公差d＞0，a3＋a5＝－4，a2a6＝－12，则数列{|an|}的前4项和S4＝________.
9.(13分)在等差数列{an}中：
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
10.(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋c，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列.
二、综合运用
11.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应函数的图象的是(　　)
A B
C D
12.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝3(n∈N*)，则an＝____________，a4＋a7＋a10＋…＋a3n＋4＝____________.
13.(17分)已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
三、创新拓展
14.若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，则an＝________，＋＋…＋＝________.
等差数列的前n项和公式
1.C　[因为Sn＝10n＋n(n－1)×2＝n2＋9n，所以n2＋9n＝580，
解得n＝20或n＝－29(舍去).]
2.CD　[由题意知a1＋(n－1)×2＝11，①
Sn＝na1＋×2＝35，②
由①②解得a1＝5或a1＝7.]
3.A　[因为2an＝an＋1＋an－1(n≥2)，
所以数列{an}是等差数列，
所以S9＝＝＝9×2＝18.]
4.B　[C＝0，公差为2A＝2，故A＝1，选B. ]
5.B　[由S13＝＝0，
得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，
∴数列{an}的通项公式为
an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，
由2n－14＞0，得n＞7，
即使得an＞0的最小正整数n＝8.]
6.6n－5　[依题意得＝3n－2，
即Sn＝3n2－2n，
所以数列{an}为等差数列，且
a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝7，
设其公差为d，则d＝6，
所以an＝6n－5.]
7.26　[因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，
所以a1＋an＝＝22，
所以Sn＝＝11n＝286，
所以n＝26.]
8.20　[由
得或(舍).
故an＝2n－10，当n≤4时，an＜0，
∴S4＝－＝20.]
9.解　(1)
解得
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3
＝85.
(2)由已知得S8＝＝＝172，
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，
∴d＝5.
10.解　当n＝1时，a1＝S1＝2＋c，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n＋c)－[(n－1)2＋(n－1)＋c]＝2n.
∴数列{an}的通项公式是
an＝
(1)当c＝0时，an＝2n为等差数列；
(2)当c≠0时，a1＝2＋c≠2×1，
∴数列{an}不满足每一项与前一项的差是同一个常数，
∴{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列.
11.ABC　[因为Sn是等差数列{an}的前n项和，
所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)，
则其对应函数为y＝ax2＋bx.
当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，C满足题意；
当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，A，B满足题意；
D中的曲线不过原点，不符合题意.]
12.3n－2　　[由题意可知，数列{an}是以1为首项，以3为公差的等差数列，
所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.
因此，a4＋a7＋a10＋…＋a3n＋4＝10＋19＋28＋…＋[3×(3n＋4)－2]＝＝.]
13.解　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由S2＝16，S4＝24，得
即　解得
所以等差数列{an}的通项公式为
an＝11－2n (n∈N*)，前n项和为Sn＝＝－n2＋10n.
由an≥0，解得n≤5，则
①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an
＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)
＝n2－10n＋50，
故Tn＝
14.4(n＋1)2　2n2＋6n　[令n＝1，得＝4，故a1＝16.
当n≥2时，＋＋…＋
＝(n－1)2＋3(n－1).
与已知式相减，得＝n2＋3n－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2，
∴an＝4(n＋1)2.
又∵n＝1时，a1＝16满足上式，
∴an＝4(n＋1)2(n∈N*)，
∴＝4n＋4，
∴＋＋…＋
＝＝2n2＋6n.]4.2.2　等差数列的前n项和公式
第一课时　等差数列的前n项和公式
课标要求　1.了解等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列的前n项和公式. 3.了解等差数列前n项和公式与二次函数的关系.
【引入】 我们知道，梯形的面积公式为S＝(a＋b)h，那么你知道怎么推导这个公式吗？这里有一个很“有趣”的方法，如下面的示意图：
将梯形“倒置”，恰好拼接为一个平行四边形，平行四边形的面积为(a＋b)h，可得到梯形的面积为S＝(a＋b)h，你看懂了吗？
一、等差数列前n项和公式
探究1 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了这个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050.
你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗？
____________________________________________________________
____________________________________________________________
探究2 参考“引入”中梯形面积的推导方法，类比求解Sn＝1＋2＋3＋…＋n.
____________________________________________________________
____________________________________________________________
【知识梳理】
等差数列前n项和公式
(1)我们用两种方式表示Sn：
Sn＝a1＋a2＋…＋an，①
Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②
①＋②得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)，
由此得等差数列{an}的前n项和公式为Sn＝____________(公式一).
这种求前n项和Sn的方法称为倒序相加法.
(2)将an＝a1＋(n－1)d代入公式一中，得到Sn＝____________(公式二).
此为等差数列前n项和的另一个公式.
温馨提示　倒序相加法求和要求任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和.
例1 (链接教材P21例6)在等差数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝7，求S9；
(2)a3＋a15＝40，求S17；
(3)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d.
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
思维升华　等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值：
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.
(2)结合等差数列的性质解题：
等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q，k∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，特别地，m＋n＝2k，则2ak＝am＋an，常与求和公式Sn＝结合使用.
训练1 (1)(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，当首项a1和公差d变化时，若a1＋a8＋a15是定值，则下列各项中为定值的是(　　)
A.a7 B.a8
C.S15 D.S16
(2)已知等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，则n＝________.
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二、等差数列前n项和的函数特征
探究3 等差数列中，Sn与n的关系与以前学过的什么函数有关？
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【知识梳理】
等差数列{an}的前n项和公式具有二次函数结构，可以写成Sn＝An2＋Bn，特别地，当A＝0时，数列{an}为常数列；数列{an}的公差为2A.
温馨提示　Sn＝An2＋Bn＋C，若C≠0，则{an}不是等差数列；若C＝0，则{an}是等差数列.
例2 若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由.
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迁移 若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由.
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思维升华　在判断{an}是否为等差数列时，务必验证n＝1是否满足an(n≥2)的情形.
(1)若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，
(2)若a1不适合an，则an＝
训练2 (1)数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，则{an}的公差d＝________.
(2)数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是_____________.
三、数列{|an|}的前n项和
例3 若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
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思维升华　已知等差数列{an}，求数列{|an|}的前n项和的注意事项：
(1)一般地，数列{an}与数列{|an|}是两个不同的数列，只有当数列{an}的每一项都是非负数时，它们才表示同一个数列；
(2)求{|an|}的前n项和，关键在于分清哪些项为正数，哪些项为负数，最终化为去掉绝对值符号后的数列求和；
(3)数列{|an|}的前n项和求解的易错点在于没有考虑分类讨论，最后结果未分段
表示.
训练3 数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N*).
(1)判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差；
(2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn.
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【课堂达标】
1.在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝(　　)
A.12 B.24
C.36 D.48
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝(　　)
A.16 B.24
C.36 D.48
3.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn＝5n2＋n，则这个数列的通项公式为________________.
等差数列的前n项和公式
探究1　提示　对于上述数列，设an＝n，那么高斯的计算方法可以表示为(a1＋a100)＋(a2＋a99)＋…＋(a50＋a51)＝101×50＝5 050.可以发现，高斯在计算中利用了a1＋a100＝a2＋a99＝…＝a50＋a51这一特殊关系，这就是上一节我们学过的性质，它使不同数的求和问题转化了相同数(即101)的求和，从而简化了运算.
探究2　提示　Sn＝1＋2＋3＋…＋n，
Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋1，
两式相加，2Sn＝(1＋n)＋(1＋n)＋…＋(1＋n)＝n(1＋n)，得Sn＝.
知识梳理
(1)　(2)na1＋d
例1　解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，
所以d＝2.
故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81.
(2)S17＝＝
＝＝340.
(3)由题意得Sn＝＝＝－5，
解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
所以d＝－，
所以n＝15，d＝－.
训练1　(1)BC　(2)12　[(1)由a1＋a15＝2a8，
得a1＋a8＋a15＝3a8是定值，可得a8是定值，
S15＝×15(a1＋a15)＝15a8，
故S15为定值，故选BC.
(2)Sn＝n·＋×＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
即n＝12.]
探究3　提示　在等差数列{an}中，Sn＝na1＋d＝n2＋n.
当d＝0时，Sn＝na1；
当d≠0时，Sn是关于n的二次函数.
例2　解　当n＝1时，a1＝S1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，
经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，
故an＝4n－5.
数列{an}是等差数列，证明如下：
因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，
所以数列{an}是等差数列.
迁移　解　∵Sn＝2n2－3n－1，①
当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2，
当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1，②
①－②得an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5，
经检验当n＝1时，a1＝－2不满足上式，
故an＝
故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第2项起以4为公差的等差数列.
训练2　(1)－2　(2)－1　[(1)法一　当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋n)－[－(n－1)2＋(n－1)]＝－2n＋2，
经检验，n＝1时，a1＝0也适合上式.
故an＝－2n＋2(n∈N*)，
∴d＝－2.
法二　由二次项系数为－1，则公差为2×(－1)＝－2.
(2)∵Sn＝n2＋2n＋1＋λ，
∴1＋λ＝0，∴λ＝－1.]
例3　解　∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an
＝na1＋d＝13n＋×(－4)
＝15n－2n2；
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
＝2×－(15n－2n2)
＝56＋2n2－15n.
∴Tn＝
训练3　解　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]
＝101－2n.
∵a1＝S1＝100×1－12＝99，满足上式，
∴an＝101－2n(n∈N*).
又an＋1－an＝－2为常数，
∴数列{an}是首项为99，公差为－2的等差数列.
(2)令an＝101－2n≥0，得n≤50.5，
∵n∈N*，∴n≤50(n∈N*).
①当1≤n≤50时，an>0，此时bn＝|an|＝an，
∴数列{bn}的前n项和Tn＝100n－n2.
②当n≥51时，an<0，此时bn＝|an|＝－an，
由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an)
＝－(Sn－S50)＝S50－Sn，
得数列{bn}的前n项和Tn＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn＝2×2 500－(100n－n2)
＝5 000－100n＋n2.
由①②得数列{bn}的前n项和为
Tn＝
课堂达标
1.B　[∵S10＝＝120，
∴a1＋a10＝24.]
2.D　[设数列{an}的公差为d，则S4＝2＋6d＝20，
解得d＝3，所以S6＝3＋15d＝48.]
3.2　[由2S3＝3S2＋6，
可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，
化简得2a3＝a1＋a2＋6，
即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.]
4.an＝10n－　[由Sn＝5n2＋n，可知数列{an}为等差数列.d＝2×5＝10，a1＝S1＝，an＝＋(n－1)×10＝10n－.](共55张PPT)
第一课时　等差数列的前n项和公式
第四章 4.2　等差数列 4.2.2　等差数列的前n项和公式
课标要求
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列的前n项和公式. 3.了解等差数列前n项和公式与二次函数的关系.
引入
课时精练
一、等差数列前n项和公式
二、等差数列前n项和的函数特征
三、数列{|an|}的前n项和
课堂达标
内容索引
等差数列前n项和公式
一
探究1 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了这个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050.
你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗？
提示　对于上述数列，设an＝n，那么高斯的计算方法可以表示为(a1＋a100)＋(a2＋a99)＋…＋(a50＋a51)＝101×50＝5 050.可以发现，高斯在计算中利用了a1＋a100＝a2＋a99＝…＝a50＋a51这一特殊关系，这就是上一节我们学过的性质，它使不同数的求和问题转化了相同数(即101)的求和，从而简化了运算.
探究2 参考“引入”中梯形面积的推导方法，类比求解Sn＝1＋2＋3＋…＋n.
提示　Sn＝1＋2＋3＋…＋n，
Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋1，
等差数列前n项和公式
(1)我们用两种方式表示Sn：
Sn＝a1＋a2＋…＋an，①
Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②
①＋②得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)，
知识梳理
由此得等差数列{an}的前n项和公式为Sn＝____________ (公式一).
这种求前n项和Sn的方法称为倒序相加法.
(2)将an＝a1＋(n－1)d代入公式一中，得到Sn＝__________________ (公式二).
此为等差数列前n项和的另一个公式.
温馨提示
倒序相加法求和要求任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和.
例1
(链接教材P21例6)在等差数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝7，求S9；
(2)a3＋a15＝40，求S17；
(1)设等差数列{an}的公差为d，则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2.
等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值：
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.
(2)结合等差数列的性质解题：
思维升华
(1)(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，当首项a1和公差d变化时，若a1＋a8＋a15是定值，则下列各项中为定值的是
A.a7 B.a8 C.S15 D.S16
训练1
√
由a1＋a15＝2a8，
√
得a1＋a8＋a15＝3a8是定值，可得a8是定值，
故S15为定值，故选BC.
12
整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
即n＝12.
等差数列前n项和的函数特征
二
探究3 等差数列中，Sn与n的关系与以前学过的什么函数有关？
当d＝0时，Sn＝na1；
当d≠0时，Sn是关于n的二次函数.
知识梳理
等差数列{an}的前n项和公式具有二次函数结构，可以写成Sn＝An2＋Bn，特别地，当A＝0时，数列{an}为常数列；数列{an}的公差为2A.
温馨提示
Sn＝An2＋Bn＋C，若C≠0，则{an}不是等差数列；若C＝0，则{an}是等差数列.
例2
若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由.
当n＝1时，a1＝S1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，
经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，
故an＝4n－5.
数列{an}是等差数列，证明如下：
因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，
所以数列{an}是等差数列.
若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由.
迁移
∵Sn＝2n2－3n－1，①
当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2，
当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1，②
①－②得an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5，
经检验当n＝1时，a1＝－2不满足上式，
故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第2项起以4为公差的等差数列.
思维升华
在判断{an}是否为等差数列时，务必验证n＝1是否满足an(n≥2)的情形.
(1)若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，
(1)数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，则{an}的公差d＝________.
训练2
法一　当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0；
－2
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋n)－[－(n－1)2＋(n－1)]＝－2n＋2，
经检验，n＝1时，a1＝0也适合上式.
故an＝－2n＋2(n∈N*)，∴d＝－2.
法二　由二次项系数为－1，则公差为2×(－1)＝－2.
(2)数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是____________.
∵Sn＝n2＋2n＋1＋λ，
－1
∴1＋λ＝0，∴λ＝－1.
数列{|an|}的前n项和
三
例3
若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
＝56＋2n2－15n.
思维升华
已知等差数列{an}，求数列{|an|}的前n项和的注意事项：
(1)一般地，数列{an}与数列{|an|}是两个不同的数列，只有当数列{an}的每一项都是非负数时，它们才表示同一个数列；
(2)求{|an|}的前n项和，关键在于分清哪些项为正数，哪些项为负数，最终化为去掉绝对值符号后的数列求和；
(3)数列{|an|}的前n项和求解的易错点在于没有考虑分类讨论，最后结果未分段表示.
训练3
数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N*).
(1)判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n.
∵a1＝S1＝100×1－12＝99，满足上式，
∴an＝101－2n(n∈N*).
又an＋1－an＝－2为常数，
∴数列{an}是首项为99，公差为－2的等差数列.
(2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn.
令an＝101－2n≥0，得n≤50.5，
∵n∈N*，∴n≤50(n∈N*).
①当1≤n≤50时，an>0，此时bn＝|an|＝an，
∴数列{bn}的前n项和Tn＝100n－n2.
②当n≥51时，an<0，此时bn＝|an|＝－an，
由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an)
＝－(Sn－S50)＝S50－Sn，
得数列{bn}的前n项和Tn＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn＝2×2 500－(100n－n2)＝
5 000－100n＋n2.
【课堂达标】
1.在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝
A.12 B.24 C.36 D.48
√
√
设数列{an}的公差为d，则S4＝2＋6d＝20，
解得d＝3，所以S6＝3＋15d＝48.
3.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.
由2S3＝3S2＋6，
2
可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，
化简得2a3＝a1＋a2＋6，
即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.
【课时精练】
√
1.在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n等于
A.10 B.15 C.20 D.30
解得n＝20或n＝－29(舍去).
√
2.(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1可以等于
A.－1 B.3 C.5 D.7
由题意知a1＋(n－1)×2＝11，①
√
由①②解得a1＝5或a1＝7.
√
3.已知数列{an}满足2an＝an＋1＋an－1(n≥2)，a5＝2，则S9＝
A.18 B.20 C.32 D.64
因为2an＝an＋1＋an－1(n≥2)，
所以数列{an}是等差数列，
√
4.已知Sn＝An2＋Bn＋C，下列选项中能使{an}为以2作公差的等差数列的是A.A＝1，B＝2，C＝3 B.A＝1，B＝2，C＝0
C.A＝－1，B＝2，C＝0 D.A＝－1，B＝2，C＝1
C＝0，公差为2A＝2，故A＝1，选B.
√
5.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an＞0的最小正整数n＝
A.7 B.8 C.9 D.10
得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，
∴数列{an}的通项公式为an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，
由2n－14＞0，得n＞7，
即使得an＞0的最小正整数n＝8.
6n－5
所以数列{an}为等差数列，且
a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝7，
设其公差为d，则d＝6，
所以an＝6n－5.
7.等差数列{an}的前四项和为21，末四项和为67，前n项和为286，则项数n＝________.
因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，
26
所以n＝26.
8.在等差数列{an}中，已知公差d＞0，a3＋a5＝－4，a2a6＝－12，则数列{|an|}的前4项和S4＝________.
20
9.在等差数列{an}中：
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，
∴d＝5.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋c，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列.
当n＝1时，a1＝S1＝2＋c，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n＋c)－[(n－1)2＋(n－1)＋c]＝2n.
∴数列{an}的通项公式是
(1)当c＝0时，an＝2n为等差数列；
(2)当c≠0时，a1＝2＋c≠2×1，
∴数列{an}不满足每一项与前一项的差是同一个常数，
∴{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列.
√
11.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则下列选项中可能是Sn所对应函数的图象的是
√
√
因为Sn是等差数列{an}的前n项和，
所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)，
则其对应函数为y＝ax2＋bx.
当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，C满足题意；
当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，A，B满足题意；
D中的曲线不过原点，不符合题意.
12.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝3(n∈N*)，则an＝________，a4＋a7＋a10＋…＋a3n＋4＝______________.
由题意可知，数列{an}是以1为首项，以3为公差的等差数列，
3n－2
所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.
13.已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
所以等差数列{an}的通项公式为
4(n＋1)2
2n2＋6n
又∵n＝1时，a1＝16满足上式，
∴an＝4(n＋1)2(n∈N*)，

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