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知识点一：计数原理
1． 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
基本形式 一般形式
分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案， 在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m＋n种不同的方法． 完成一件事有n类不同方案， 在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法， …， 在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤， 做第1步有m种不同的方法， 做第2步有n种不同的方法， 那么完成这件事共 有N＝m×n种不同的方法． 完成一件事需要n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， …， 做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
注意：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法种数．
它们的区别在于：
分类加法计数原理与分类有关，各方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；
分步乘法计数原理与分步有关，各步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
2． 应用两个原理解题的一般思路
注意：(1)明白要完成的事情是什么；
(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；
(3) 有无特殊条件的限制；
(4) 检验是否有重复或遗漏．
知识点二：排列与组合
1．排列与排列数
(1) 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2) 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P表示．
(3) 排列数公式的两种形式
① P＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
②P＝.
(4) 全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为P＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.
2．组合及组合数的定义
(1)组合
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2) 组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
(3) 排列与组合的关系
相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
关系 组合数C与排列数P间存在的关系:P＝CP
(4) 组合数公式
组合数 公式 乘积 形式 C＝， 其中m，n∈N*，并且m≤n
阶乘 形式 C＝
规定：C＝1.
(5) 组合数的性质
性质1：C＝C. 性质2：C＝C＋C.
知识点三：二项式定理
1．二项式定理
(1)定义
一般地，对于任意正整数，都有：.
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数
(2) 二项式的展开式的特点：
①项数：共有项，比二项式的次数大1；
② 二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为；
(3)二项展开式的通顶公式
公式特点：① 它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
②字母的次数和组合数的上标相同；
2．二顶式系数及其性质
(1) 的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质：
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即；
②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大．
(2) 各二项式系数之和为，即；
(3) 二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即．
(4)二项式系数与展开式的系数的区别
二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等．
考点一 计数原理
1．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种.
2．用1，2，3，4组成没有重复数字的两位数，这样的两位数个数为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．24
3．如图，从甲村到乙村有3条路可走，从乙村到丙村有2条路可走，从甲村不经过乙村到丙村有2条路可走，则从甲村到丙村的走法种数为（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
4． 用数字0，1，2，3组成没有重复数字的3位数，其中比200大的有（ ）
A．24个 B．12个 C．18个 D．6个
5．从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（ ）
A．26 B．60 C．18 D．1080
6．3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只能去1个村，则不同的分配方案共有（ ）
A．4种 B．6种 C．8种 D．10种
7．“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（ ）
A．13种 B．22种 C．30种 D．60种
8．如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有_____________条不同的线路（每条线路仅含一条通路）．
考点二 排列与组合
9．计算：（1）； （2）； （3）； （4）．
10．下列问题是排列问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
11．计算：（1）； （2）；
12．写出从A，B，C，D，E 5个元素中，依次取3个元素的所有组合．
13．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（ ）
A．24种 B．6种 C．4种 D．12种
14．把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为 ．
15．用数字组成 个没有重复数字并且是的倍数的五位数.
16．现有8个人（5男3女）站成一排．
(1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
(2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？
17．已知有6本不同的书.
(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
考点三 二项式定理
18．求展开式中的前4项.
19．（1）求展开式中的第8项；
（2）求展开式中的第7项．
20．的展开式中常数项为 （用数字作答）．
21．设，求下列各式的值．
（1）；
（2）；
（3）；
22．已知，设，则（ ）
A． B． C． D．
23．已知的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项.
24．已知在的展开式中，第9项为常数项．求：
（1）n的值；
（2）展开式中x5的系数；
25．已知二项式，求展开式中的：
（1）第6项；
（2）第3项的系数；
（3）含的项；
（4）常数项．知识点一：计数原理
1． 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
基本形式 一般形式
分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案， 在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m＋n种不同的方法． 完成一件事有n类不同方案， 在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法， …， 在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤， 做第1步有m种不同的方法， 做第2步有n种不同的方法， 那么完成这件事共 有N＝m×n种不同的方法． 完成一件事需要n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， …， 做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
注意：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法种数．
它们的区别在于：
分类加法计数原理与分类有关，各方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；
分步乘法计数原理与分步有关，各步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
2． 应用两个原理解题的一般思路
注意：(1)明白要完成的事情是什么；
(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；
(3) 有无特殊条件的限制；
(4) 检验是否有重复或遗漏．
知识点二：排列与组合
1．排列与排列数
(1) 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2) 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P表示．
(3) 排列数公式的两种形式
① P＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
②P＝.
(4) 全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为P＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.
2．组合及组合数的定义
(1)组合
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2) 组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
(3) 排列与组合的关系
相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
关系 组合数C与排列数P间存在的关系:P＝CP
(4) 组合数公式
组合数 公式 乘积 形式 C＝， 其中m，n∈N*，并且m≤n
阶乘 形式 C＝
规定：C＝1.
(5) 组合数的性质
性质1：C＝C. 性质2：C＝C＋C.
知识点三：二项式定理
1．二项式定理
(1)定义
一般地，对于任意正整数，都有：.
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数
(2) 二项式的展开式的特点：
①项数：共有项，比二项式的次数大1；
② 二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为；
(3)二项展开式的通顶公式
公式特点：① 它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
②字母的次数和组合数的上标相同；
2．二顶式系数及其性质
(1) 的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质：
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即；
②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大．
(2) 各二项式系数之和为，即；
(3) 二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即．
(4)二项式系数与展开式的系数的区别
二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等．
考点一 计数原理
1．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种.
【答案】9
【解析】由题意，若从第一层取书，则有4种不同的取法，若从第二层取书，则有3种不同的取法，
若从第三次取书，则有2种不同的取法，所以不同的取法有种，故答案为：9.
2．用1，2，3，4组成没有重复数字的两位数，这样的两位数个数为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．24
【答案】B
【解析】先排个位，有4种排法，再排十位，有3种排法， 因此共有种排法，故选：B.
3．如图，从甲村到乙村有3条路可走，从乙村到丙村有2条路可走，从甲村不经过乙村到丙村有2条路可走，则从甲村到丙村的走法种数为（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】由图可知，从甲村直接到到丙村的走法有种，从甲村到乙村再到丙村的走法有种，
所以从甲村到丙村的走法共有种.故选: D.
4． 用数字0，1，2，3组成没有重复数字的3位数，其中比200大的有（ ）
A．24个 B．12个 C．18个 D．6个
【答案】B
【解析】由题意可知，百位上的数字为2或3，十位上的数字可在剩余3个数字中选择1个数字，个位上的数字再在剩下的2个数字中任选1个，故比200大的3位数的个数为，故选：B.
5．从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（ ）
A．26 B．60 C．18 D．1080
【答案】A
【解析】由分类加法计数原理知有（种）不同走法.故选：A
6．3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只能去1个村，则不同的分配方案共有（ ）
A．4种 B．6种 C．8种 D．10种
【答案】C
【解析】每个大学生都有种选择方法，所以不同的分配方案共有种，故选：C.
7．“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（ ）
A．13种 B．22种 C．30种 D．60种
【答案】D
【解析】根据分步乘法计数原理，共有（种）不同的选取方法，故选：D．
8．如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有_____________条不同的线路（每条线路仅含一条通路）．
【答案】
【解析】依题意按上、中、下三条线路可分为三类，上线路中有种，中线路中只有种，下线路中有（种．根据分类计数原理，共有（种,故答案为：．
考点二 排列与组合
9．计算：（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1）210（2）840（3）210（4）720
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
10．下列问题是排列问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
【答案】D
【解析】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；
B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；
C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；
D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．故选：D
11．计算：（1）； （2）；
【答案】（1）（2）330
【解析】解：（1）原式．
（2）原式．
12．写出从A，B，C，D，E 5个元素中，依次取3个元素的所有组合．
【答案】ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE．
【解析】解：含A的三个元素有：ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE，
不含A含B的三个元素有：BCD、BCE、BDE，
不含A、B的三个元素有：CDE，
所以取3个元素的所有组合是ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE．
13．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（ ）
A．24种 B．6种 C．4种 D．12种
【答案】B
【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则只需对剩下3人全排即可，
则不同的排法共有，故选：B．
14．把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为 ．
【答案】2880
【解析】先把4名女生捆绑在一起，看成一个整体，有种，再把这个整体与另外4名男生进行排列，有种，故不同的排法种数有种，故答案为：
15．用数字组成 个没有重复数字并且是的倍数的五位数.
【答案】
【解析】若末位为，则可组成个满足题意的五位数；若末位为，则可组成个满足题意的五位数；
共可组成满足题意的五位数有：个，故答案为：.
16．现有8个人（5男3女）站成一排．
(1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
(2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？
【答案】（1）5040（2）4320（3）21600
【解析】解：（1）根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有种情况，则甲必须站在排头有种排法；
（2）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则女生必须排在一起的排法有种；
（3）根据题意，将甲、乙两人安排在中间6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，
则甲、乙两人不能排在两端有种排法.
17．已知有6本不同的书.
(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
【答案】(1)15 (2)60
【解析】解：（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为.
（2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，
所以不同的分堆方法的种数为.
考点三 二项式定理
18．求展开式中的前4项.
【答案】答案见解析
【解析】解：展开式的第1项为，
第2项为，
第3项为，
第4项为.
19．（1）求展开式中的第8项；
（2）求展开式中的第7项．
【答案】答案见解析
【解析】解：（1）展开式中的第8项为
（2）展开式中的第7项
20．的展开式中常数项为 （用数字作答）．
【答案】7
【解析】因为，则其展开式的通项公式为，令，则，所以其常数项为.
21．设，求下列各式的值．
（1）；
（2）；
（3）；
【答案】答案见解析
【解析】解：（1）在中，令，得．
（2）令，得 ①，则．
（3）令，得 ②，联立①②，得．
22．已知，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以由组合数的性质得，
所以，
令，得，即．令，得，
所以，故选：D．
23．已知的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】
【解析】）解：的展开式的通项．因为展开式中前三项的系数成等差数列，所以，即，整理得，解得或．又因为，所以，所以第5项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为．
24．已知在的展开式中，第9项为常数项．求：
（1）n的值；
（2）展开式中x5的系数；
【答案】（1）10（2）
【解析】解：二项展开式的通项Tk+1==（-1）k．
（1）因为第9项为常数项，即当k=8时，2n-k=0，解得n=10．
（2）令2n-k=5，得k=（2n-5）=6，所以x5的系数为（-1）6．
25．已知二项式，求展开式中的：
（1）第6项；
（2）第3项的系数；
（3）含的项；
（4）常数项．
【答案】答案见解析
【解析】（1）通项公式．．
（2）因为，所以第3项的系数为9；
（3）由知：，所以；
（4）由知：，所以，即常数项为．

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