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24.4 弧长和扇形面积
■重点01 弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR． （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
【典例1】　（2024秋 四平期中）如图，点、、在上，，是的中点，若，则的长是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：如图，连接，
，
，
是的中点，
，
，
，
的长为．
故选：．
【典例2】　（2024秋 启东市期中）如图，已知，，为上的三点，且，．点从点出发，沿着逆时针方向运动到点，连接与弦相交于点，当△为直角三角形时，弧的长为　　
A． B． C．或 D．或
【答案】
【解答】解：如图所示，当时，连接，，
，，
，点为的中点，
，
、、三点共线，
，
△是等边三角形，
，，
，
弧的长为；
如图所示，当时，则，
为直径，
弧的长为；
综上所述，弧的长为或，
故选：．
【典例3】　（2024秋 海淀区校级期中）如图，的半径为12，点、是圆上的两点，，则的长为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：的长为．
故选：．
【典例4】　（2024秋 梁溪区校级月考）若某圆弧所在圆的直径为2，弧所对的圆心角为，则这条弧长为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：．
故选：．
弧长公式涉及三个量，分别为弧长l，半径R，圆心角n．对于这三个量，可以借助弧长公式知二求一．
■重点02 扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2． （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．
【典例1】　（2023秋 赣县区期末）
如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：
，
故选：．
【典例2】　（2024秋 大庆期中）如果一个扇形的圆心角为，面积是，那么这个扇形的弧长是 　　．
【答案】．
【解答】解：设扇形所在圆的半径为，
扇形的圆心角为，面积是，
，
（负值已舍去），
这个扇形的弧长．
故答案为：．
【典例3】　（2024秋 南京期中）已知扇形的圆心角为，半径是10，则扇形的面积为 　　．
【答案】．
【解答】解：扇形的圆心角为，半径是10，则扇形的面积为，
故答案为：．
【典例4】　（2024秋 乐清市期中）扇形的圆心角是．它的半径是6，则扇形的面积是　　（结果保留．
【解答】解：，
故答案为．
（1）如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积为． （2）半径为R，扇形的弧长为l的扇形面积为．
■难点 圆柱、圆锥的有关计算
1．圆柱 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高． （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积． （4）圆柱的体积＝底面积×高． 2．圆锥 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝ 2πr l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高．
【典例1】　（2023秋 滨湖区期末）用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径等于　　
A．3 B．5 C． D．
【解答】解：设底面半径为，则底面周长，半圆的弧长，
．
故选：．
【典例2】　（2024秋 东港区校级期中）如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥底面圆的半径为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：设围成的圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
即围成的圆锥的底面圆的半径为．
故选：．
【典例3】　（2024 市南区开学）如图是一个半径为4厘米，高为4厘米的圆柱体，在它的中间依次向下挖半径分别为3厘米、2厘米、1厘米，高分别为2厘米、1厘米、0.5厘米的圆柱体，则最后得到的立体图形表面积是 　　平方厘米．（结果保留
【答案】．
【解答】解：大圆柱表面积：，
最后得到的立体图形表面积是：
．
故答案为：．
【典例4】　（2022 常山县模拟）一个圆柱的底面半径为，母线长为，则这个圆柱的侧面积为 　　．
【答案】．
【解答】解：圆柱的底面周长为：，
侧面积为．
故答案为：．
注意： （1）圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． （2）圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
■易错点 不规则图形的面积的计算
求阴影面积常用的方法： （1）直接用公式法； （2）和差法； （3）割补法．
【典例1】　（2024 西安校级模拟）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点，连接，则阴影部分的面积是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：由题意可知：，，
，
为直径，
，
，
，
弓形的面积弓形的面积，
阴影部分的面积
扇形的面积的面积
，
故选：．
【典例2】　（2024秋 重庆期中）如图，△中，，，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：，，，
，，
，
阴影部分的面积为．
故选：．
【典例3】　（2024 日照）如图，在菱形中，，，点是对角线的中点，以点为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点在扇形内，则图中阴影部分的面积为　　
A． B． C． D．无法确定
【答案】
【解答】解：过作，，连接．
，
，
，
．
菱形，
平分，
．
在△和△中，
，
△△，
△面积△面积，
四边形面积四边形面积△面积，
，
，．
，
，
四边形面积△面积，
阴影部分的面积扇形面积四边形面积，
故选：．
【典例4】　（2024 章丘区二模）如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点落在弧的中点处．若折痕，则图中阴影部分的面积为 　　．
【答案】．
【解答】解：如图所示，连接，交于点，
将扇形折叠，点落在弧的中点处，
，
，且，
，
，
四边形是正方形，
，
，即，
解得，（负值舍去），
，，
阴影部分的面积为：，
故答案为：．
　
求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．中小学教育资源及组卷应用平台
24.4 弧长和扇形面积
■重点01 弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR． （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
【典例1】　（2024秋 四平期中）如图，点、、在上，，是的中点，若，则的长是　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 启东市期中）如图，已知，，为上的三点，且，．点从点出发，沿着逆时针方向运动到点，连接与弦相交于点，当△为直角三角形时，弧的长为　　
A． B． C．或 D．或
【典例3】　（2024秋 海淀区校级期中）如图，的半径为12，点、是圆上的两点，，则的长为　　
A． B． C． D．
【典例4】　（2024秋 梁溪区校级月考）若某圆弧所在圆的直径为2，弧所对的圆心角为，则这条弧长为　　
A． B． C． D．
弧长公式涉及三个量，分别为弧长l，半径R，圆心角n．对于这三个量，可以借助弧长公式知二求一．
■重点02 扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2． （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．
【典例1】　（2023秋 赣县区期末）
如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 大庆期中）如果一个扇形的圆心角为，面积是，那么这个扇形的弧长是 　　．
【典例3】　（2024秋 南京期中）已知扇形的圆心角为，半径是10，则扇形的面积为 　　．
【典例4】　（2024秋 乐清市期中）扇形的圆心角是．它的半径是6，则扇形的面积是　　（结果保留．
（1）如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积为． （2）半径为R，扇形的弧长为l的扇形面积为．
■难点 圆柱、圆锥的有关计算
1．圆柱 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高． （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积． （4）圆柱的体积＝底面积×高． 2．圆锥 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝ 2πr l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高．
【典例1】　（2023秋 滨湖区期末）用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径等于　　
A．3 B．5 C． D．
【典例2】　（2024秋 东港区校级期中）如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥底面圆的半径为　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024 市南区开学）如图是一个半径为4厘米，高为4厘米的圆柱体，在它的中间依次向下挖半径分别为3厘米、2厘米、1厘米，高分别为2厘米、1厘米、0.5厘米的圆柱体，则最后得到的立体图形表面积是 　　平方厘米．（结果保留
注意： （1）圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． （2）圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
■易错点 不规则图形的面积的计算
求阴影面积常用的方法： （1）直接用公式法； （2）和差法； （3）割补法．
【典例1】　（2024 西安校级模拟）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点，连接，则阴影部分的面积是　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 重庆期中）如图，△中，，，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024 日照）如图，在菱形中，，，点是对角线的中点，以点为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点在扇形内，则图中阴影部分的面积为　　
A． B． C． D．无法确定
【典例4】　（2024 章丘区二模）如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点落在弧的中点处．若折痕，则图中阴影部分的面积为 　　．
　
求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．

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