资源简介

1
华中师大一附中2024—2025学年度上学期高三年级第二次考试
数学试题
时限：120分钟满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知为虚数单位，，则（）
A. 1 B. 2 C. D.
2. 已知集合，，则的子集的个数为（）
A. 3 B. 4 C. 8 D. 16
3. 设，向量，且，则（）
A. B. C. D.
4. 函数的图象大致是（）
A B.
C. D.
5. 已知能被9整除，则整数的值可以是（）
A B. C. 9 D. 13
6. 已知抛物线的焦点为，准线为为上一点，垂直于点为等边三角形，过的中点作直线，交轴于点，则直线的方程为（）
A. B.
C. D.
7. 已知的内角，，的对边分别为，，，若的面积为，则的最大值为（）
A. B. C. D.
8. 已知函数的图象在区间内恰好有对关于轴对称的点，则的值可以是（）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 定义在上的函数的值域为，且，则（）
A. B.
C. D.
10. 下列命题正确的是（）
A. “是第二象限角或第三象限角”，“”，则是的充分不必要条件
B. 若为第一象限角，则
C. 在中，若，则为锐角三角形
D. 已知，且，则
11. 已知曲线，则下列结论正确是（）
A. 随着增大而减小
B. 曲线的横坐标取值范围为
C. 曲线与直线相交，且交点第二象限
D. 是曲线上任意一点，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在的展开式中，的系数为_________________．
13. 在中，，，依次成等差数列，，的取值范围为______．
14. 如图，球内切于圆柱，圆柱的高为，为底面圆的一条直径，为圆上任意一点，则平面截球所得截面面积最小值为__________若为球面和圆柱侧面交线上的一点，则周长的取值范围为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点.
（1）过点作三棱柱截面交于点，求线段长度；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
16. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，，
（1）求A的大小：
（2）点D在BC上，
（Ⅰ）当，且时，求AC的长；
（Ⅱ）当，且时，求的面积．
17. 从一副扑克牌中挑出4张Q和4张K，将其中2张Q和2张K装在一个不透明的袋中，剩余的2张Q和2张K放在外面．现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出Q，则把它放回袋中：若抽出K，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张Q放入袋中．如此操作若干次，直到将袋中的K全部置换为Q，
（1）在操作2次后，袋中K的张数记为随机变量X，求X的分布列及数学期望；
（2）记事件“在操作次后，恰好将袋中全部置换为”为，记．
（ⅰ）在第1次取到的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率；
（ⅱ）试探究与的递推关系，并说明理由．
18. 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆与椭圆相似．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆与椭圆的相似比为，设P为上异于其左、右顶点的一点．当时，过P分别作椭圆的两条切线，切点分别为，设直线的斜率为，证明：为定值；
19. 已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
（1）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
（2）若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
（3）若为连续可表数列，且，求证：．
华中师大一附中2024—2025学年度上学期高三年级第二次考试
数学试题
时限：120分钟满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】C
2.
【答案】D
3.
【答案】D
4.
【答案】B
5.
【答案】B
6.
【答案】B
7.
【答案】D
8.
【答案】C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.
【答案】ACD
10.
【答案】ACD
11.
【答案】AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.
【答案】224
13.
【答案】
14.
【答案】 ①. ②.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【解析】
【分析】（1）将平面延展得到点，再利用相似三角形求解即可.
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量利用夹角公式求解即可.
【小问1详解】
由正三棱柱中，，
又因为点分别为棱的中点，可得，
如图所示，延长交的延长线于点，
连接交于点，则四边形为所求截面，
过点作的平行线交于，
所以
因此，所以.
【小问2详解】
以点为原点，以所在直线分别为轴，
以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，可得，
则，
设平面的法向量为，则
取，则，所以，
取的中点，连接.因为△为等边三角形，可得，
又因为平面，且平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又由，可得，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
16.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得的值，结合即可求解的值；
（2）（Ⅰ）根据锐角三角函数和差角公式可得正弦定理即可求解.
（Ⅱ）采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决．
【小问1详解】
因为，
所以由正弦定理可得，
又，
所以，
因为为三角形内角，，
所以，可得，
因为，所以；
【小问2详解】
（Ⅰ）此时，，
所以，所以，
在中，由正弦定理可得；
（Ⅱ）设，由，
可得，化简可得
有，
由于，所以，
所以，
则．
17.
【解析】
【分析】（1）由题意可知，的所有取值为0，1，2，求出相应的概率，进而得到的分布列，再结合期望公式求出即可；
（2）（ⅰ）利用条件概率公式求解；
（ⅱ）设事件表示“次操作后袋中还剩1张”，则（B），为次操作后，恰好将袋中的全部置换为，分2种情况求得（B），代入（B），即可得到与的递推关系．
【小问1详解】
由题意可知，的所有取值为0，1，2，
则，，，
所以的分布列为：
0 1 2
所以；
【小问2详解】
（ⅰ）记事件表示“第1次取到”，事件表示“总共4次操作恰好完成置换”，
则（E），
依题意，若第一次取到，则剩余的3次操作，须将袋中全部置换为，
①若第二次也取出，则第三次和第四次均须取出，
其概率为，
②若第二次取出，则第三次取出，第四次取出，
其概率为，
综上所述，，
所以，
即在第1次取到的条件下，总共4次操作恰好完成置换的概率为；
（ⅱ），理由如下：
设事件表示“次操作后袋中还剩1张”，
依题意，为次操作后，恰好将袋中的全部置换为，而发生这样的情况需次操作后袋中还剩1张，且第次抽中，
则，即，
为次操作后，恰好将袋中的全部置换为，发生这样需2种情况：
①次操作后袋中还剩2张（即前次全取，概率为，并且第次和次全取，
②次操作后袋中还剩1张，第次取，第次取，
所以（B）
又因为，所以．
18.
【解析】
【分析】（1）首先得到、的长轴长、短轴长、焦距、依题意可得，从而得到，再由离心率公式计算可得；
（2）设，则直线的方程为，进而与椭圆联立方程，并结合判别式得，同理得到，进而得，再根据即可求得答案；
【小问1详解】
对于椭圆：，则长轴长为，短轴长为2，焦距为2，
椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为，
依题意可得，所以，
则椭圆的离心率.
【小问2详解】
由相似比可知，，解得，
所以椭圆：，
设，则直线的方程为，即，
记，则的方程为，
将其代入椭圆的方程，消去，得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，
所以，即，
将代入上式，整理得，
同理可得，
所以为关于的方程的两根，
所以．
又点在椭圆上，
所以，
所以为定值．
【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
19.
【解析】
【分析】（1）直接利用定义验证即可；
（2）先考虑不符合，再列举一个合题即可；
（3）先证明，再说明时不合题意，找出且满足题意的数列即可得解．
【小问1详解】
，，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列．
【小问2详解】
若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；
当时,数列，满足，，，，，，，，．
【小问3详解】
先证明
从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，
取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，
取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，
所以对任意给定的5个整数，最多可以表示个正整数，不能表示20个正整数，即.
若，最多可以表示个正整数，
由于为连续可表数列，且，所以至少有一项为负数，
既然任意5个正整数都不可能为20-连续可表数列，那么中间若插人一个负数项，更不能连续表示的正整数.
所以至少要有6个正整数才能连续表示的正整数.所以中至少包含6个正整数和一个负数，故.
当时，数列满足题意，
．
PAGE
第11页

展开更多......

收起↑