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第1节　圆周运动
学习目标　1.了解圆周运动、匀速圆周运动的特点。2.理解线速度、角速度的物理意义。了解转速、周期等概念。会对它们进行定量计算。3.知道线速度、角速度、周期之间的关系。4.会分析常见传动装置中各物理量间的关系。
知识点一　描述圆周运动的物理量及其关系
闹钟与手表为什么会有上述快慢之争？提出你的看法，和同学进行讨论。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.线速度
(1)定义：物体做圆周运动通过的________与所用________之比。
(2)定义式：v＝________。
(3)标矢性：线速度是________，其方向为物体做圆周运动时该点的________方向。
(4)物理意义：描述质点沿圆周运动__________的物理量。
(5)匀速圆周运动
①定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处________的圆周运动。
②性质：线速度的方向是时刻变化的，所以匀速圆周运动是一种________运动。
2.角速度
(1)定义：如图所示，物体在Δt时间内由A运动到B。半径OA在这段时间内转过的________与所用时间Δt________叫作角速度，用符号________表示。
(2)表达式：ω＝________。
(3)国际单位：弧度每秒，符号 ________。
(4)物理意义：角速度是描述物体绕圆心转动快慢的物理量。
3.周期
(1)周期：做匀速圆周运动的物体，运动________所用的时间，用T表示，国际单位制单位为秒(s)。
(2)转速：物体转动的________与所用时间之比，叫作转速，常用符号 ________表示，单位为________________或________________。
4.线速度与角速度的关系
(1)关系式：v＝________。
(2)两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度的大小与半径的________。
(3)推导
【思考】
1.有同学说转动快即角速度大的物体，线速度一定大，这个同学的说法对吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.匀速圆周运动是线速度不变的圆周运动吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.做匀速圆周运动的物体在相等的时间内位移相同吗？速度的变化量相同吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是(　　)
A.因为v＝ωr，所以线速度大小v与轨道半径r成正比
B.因为ω＝，所以角速度ω与轨道半径r成反比
C.因为ω＝2πn，所以角速度ω大小等于π的整数倍
D.因为ω＝，所以角速度ω与周期T成反比
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 (多选)甲、乙两个做圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法正确的是(　　)
A.它们的半径之比为2∶9
B.它们的半径之比为1∶2
C.它们的周期之比为2∶3
D.它们的周期之比为1∶3
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3 做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动了100 m，求该物体做圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度；
(3)周期。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)控制变量法是解决物理问题的一种重要研究方法，一定要注意哪些物理量是不变的。
(2)圆周运动的联系方程要熟练记忆，v＝＝ωr＝2πnr。
(3)各物理量之间的关系
①当半径r一定时，由v＝ωr知线速度v与角速度ω成正比。
②当角速度ω一定时，由v＝ωr知线速度v与半径r成正比。
③当线速度v一定时，由v＝ωr知角速度ω与半径r成反比。　　　　
知识点二　两类传动模型
科技馆的科普器材中常有如图所示的匀速率的传动装置，在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮。若齿轮的齿很小，大齿轮的半径(内径)是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮匀速转动时，小齿轮的角速度与大齿轮角速度的关系如何？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
同轴转动和皮带传动比较
项目 同轴转动模型 “皮带传动类”模型
皮带传动 齿轮传动 摩擦传动
装置 A、B两点在同轴的两个圆盘边缘上 两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 两轮靠摩擦传动，A、B两点分别是两轮边缘上的点，传动时两轮没有相对滑动
特点 相等时间内，A、B两点转过的角度相等，所以A、B两点的角速度、周期相等 相等的时间内，A、B两点转过的弧长相等，所以A、B两点的线速度大小相等
转动方向 相同 根据皮带连接方式判断 相反 相反
规律 ＝ ＝＝ ＝＝，＝＝。(N1、N2为大、小轮的齿数) ＝＝
例4 (2024·安徽宿州高一期中) “共享单车”是目前中国规模最大的近距离交通代步工具，为我们提供了方便快捷、低碳环保、经济实用的交通服务。如图所示是一辆共享单车，A、B、C三点分别为单车轮胎和大、小齿轮外沿上的点，其中RA＝2RB＝5RC，下列说法中正确的是(　　)
A.A点与B点的线速度满足vA＝2vB
B.A点与C点的线速度满足vC＝vA
C.B点与C点的角速度满足2ωB＝5ωC
D.A点与B点的角速度满足2ωA＝5ωB
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)在解决既有皮带传动又有同轴转动问题时，首先要明确各点的关系是同轴转动还是皮带传动，其次要明确各点的半径。
(2)利用线速度和角速度的关系写方程，联立求解。　　　　
例5 (多选)(人教版P26 T1改编)如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A.a、b两点的角速度相同
B.a、b两点的线速度相同
C.若θ＝45°，则a、b两点的线速度大小之比va∶vb＝∶2
D.若θ＝45°，则a、b两点的周期之比Ta∶Tb＝∶2
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点三　圆周运动的周期性和多解性
例6 (2024·浙江大学附属中学高一期中)如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过圆心O水平向右为x轴的正方向。在圆心O正上方距盘面高为h处有一个可以间断滴水的容器，从t＝0时刻开始随传送带沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。已知容器在t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时后一滴水开始下落。水滴下落过程空气阻力不计，重力加速度为g，求：
(1)第一滴水离开容器到落至圆盘所用时间t；
(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一条直线上，求圆盘转动的角速度ω。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例7 如图所示，在同一竖直平面内有A、B两物体，A物体从a点起以角速度ω沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动，同时B物体从圆心O自由下落，要使A、B两物体在d点相遇，重力加速度为g，求角速度ω必须满足的条件。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解决圆周运动的周期性和多解性问题时应注意
(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。
(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动，匀速直线运动等)。
(3)运动关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量。
(4)分析技巧
①抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点。
②先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。　　　　
随堂对点自测
1.(描述圆周运动的物理量及其关系)(多选)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°。在此10 s时间内，火车(　　)
A.运动路程为600 m B.加速度为零
C.角速度约为1 rad/s D.弯道半径约为3.4 km
2.(两类传动模型)(2024·山东潍坊高一期中)电脑硬盘内电机主轴的旋转速度以每分钟多少转表示，单位表示为rpm(转/每分钟)。若一硬盘转速为7 200 rpm，盘片半径为95 mm，在该硬盘正常工作时(　　)
A.盘片的周期为 s
B.盘片的角速度大小为7 200π rad/s
C.盘片上边缘某点的线速度大小为22.8π m/s
D.盘片上边缘某点的线速度大小为11.4π m/s
3.(圆周运动的周期性和多解性)(多选)(2024·江西省直属学校高一联考)为了测定子弹的飞行速
度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，A、B平行相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min(从左往右看是逆时针转动)，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角是30°，如图所示。则该子弹的速度大小可能是(　　)
A.360 m/s B.57.6 m/s
C.1 440 m/s D.108 m/s
第1节　圆周运动
知识点一
导学
提示　“闹钟”和“手表”是从不同角度看圆周运动的快慢，闹钟指的是秒针针尖的线速度，手表则指的是秒针转动的角速度。
知识梳理
1.(1)弧长Δs　时间Δt　(2)　(3)矢量　切线　(4)快慢　(5)①相等　②变速　2.(1)角Δθ　之比　ω　(2)　(3)rad/s　3.(1)一周　(2)圈数　n　转每秒(r/s)　转每分(r/min)　4.(1)ωr　(2)乘积
[思考]
1.提示　不对，角速度大的物体，线速度不一定大，因为半径不确定。
2.提示　匀速圆周运动线速度的大小不变、方向时刻变化，所以匀速圆周运动是一种变速运动。
3.提示　位移一般不同，速度的变化量一般也不同。
例1 D　[公式v＝ωr是三个物理量之间的关系式，只有当ω一定时，v与r才成正比，只有v一定时，ω与r才成反比，故A、B错误；公式ω＝2πn，n表示转速，而不是表示整数，不能说角速度ω大小等于π的整数倍，故C错误；ω＝是两个物理量之间的关系，ω与周期T成反比，故D正确。]
例2 AD　[由v＝ωr得r＝，所以r甲∶r乙＝∶＝2∶9，故A正确，B错误；由T＝，所以T甲∶T乙＝∶＝1∶3，故C错误，D正确。]
例3 (1)10 m/s　(2)0.5 rad/s　(3)4π s
解析　(1)依据线速度的定义式可得
v＝＝ m/s＝10 m/s。
(2)依据v＝ωr得ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s。
(3)依据ω＝得T＝＝ s＝4π s。
知识点二
导学
提示　大齿轮和小齿轮的线速度大小相等，根据v＝ωr可知，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的3倍时，小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍。
例4 D　[大齿轮与小齿轮靠链条传动，边缘点的线速度大小相等，即vB＝vC　①，根据v＝ωR及2RB＝5RC可得＝＝　②，即5ωB＝2ωC，故C错误；后轮和小齿轮同轴转动，角速度相同，即ωA＝ωC　③，根据v＝ωR及RA＝5RC可得＝＝　④，故B错误；由①④可得＝，A点和B点的线速度满足vA＝5vB，故A错误；由②③可得＝，即A点与B点的角速度满足2ωA＝5ωB，故D正确。]
例5 AC　[由于球上所有的点都属于同轴转动，则可知a、b两点角速度相等，由角速度与周期的关系ω＝可知，两点的周期也相等，即Ta∶Tb＝1∶1，A正确，D错误；由题图可知ra知识点三
例6 (1)　(2)kπ(k＝1，2，3，…)
解析　(1)第一滴水在竖直方向上做自由落体运动，有
h＝gt2
解得t＝。
(2)要使每滴水落到同一直线上，则圆盘在t时间内转过的弧度为kπ，k为正整数，则ωt＝kπ，即
ω＝kπ(k＝1，2，3，…)。
例7 ω＝ (n＝0，1，2，…)
解析　B物体从圆心O到d点的运动是自由落体运动，所用的时间t1满足
R＝gt，所以t1＝
A物体做匀速圆周运动，从a点沿顺时针方向运动到d点，转过的角度应满足
θ＝2πn＋π (n＝0，1，2，…)
所用时间t2＝＝ (n＝0，1，2，…)
由题意知t1＝t2
即＝ (n＝0，1，2，…)
解得ω＝ (n＝0，1，2，…)。
随堂对点自测
1.AD　[在此10 s时间内，火车运动路程s＝vt＝600 m，A正确；火车在弯道上运动，做曲线运动，一定有加速度，B错误；火车匀速转过10°，角速度ω＝＝ rad/s＝ rad/s，C错误；由v＝ωr，可得转弯半径r＝＝ m≈3.4 km，D正确。]
2.C　[转盘周期为T＝ s＝ s，故A错误；盘片的角速度大小为ω＝2πn＝×2π rad/s＝240π rad/s，故B错误；边缘线速度大小为v＝ωr＝240π×95×10－3 m/s＝22.8π m/s，故C正确，D错误。]
3.BC　[子弹从A盘到B盘，沿子弹的运动方向看，盘逆时针转动，转过的角度θ＝2πk＋(k＝0，1，2，…)，盘转动的角速度ω＝2πn＝120π rad/s，子弹在A、B间运动的时间等于圆盘转动时间，即＝，所以有v＝＝ m/s＝ m/s(k＝0，1，2，…)。当k＝0时，v＝1 440 m/s；k＝1时，v＝110.77 m/s；k＝2时，v＝57.6 m/s，故B、C正确。]第1节　圆周运动
(分值：100分)
选择题1～10题，第13题，每小题6分，共66分。
对点题组练
题组一　描述圆周运动的物理量及其关系
1.(多选)质点做匀速圆周运动，则(　　)
在任何相等的时间里，质点的位移都相同
在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
2.(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，下列说法正确的是(　　)
角速度为0.5 rad/s 　 转速为0.5 r/s
运动轨迹的半径为 m 　 频率为0.5 Hz
3.(多选)A、B两个质点分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比为sA∶sB＝2∶3，转过的角度之比ΔθA∶ΔθB＝3∶2，则下列说法正确的是(　　)
它们的运动半径之比rA∶rB＝2∶3
它们的运动半径之比rA∶rB＝4∶9
它们的周期之比TA∶TB＝2∶3
它们的转速之比nA∶nB＝2∶3
题组二　两类传动模型
4.风能是一种绿色能源，如图所示，叶片在风力推动下转动，带动发电机发电，M、N为同一个叶片上的两点，下列判断正确的是(　　)
M点的线速度小于N点的线速度
M点的角速度小于N点的角速度
M点的转速大于N点的转速
M点的周期大于N点的周期
5.(2024·福建三明高一下期中)如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺上的三个点，当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是(　　)
a、b和c三点的线速度大小相等
c的线速度比a、b的线速度大
a、b的角速度比c的角速度大
a、b和c三点的角速度相等
6.某机器的齿轮系统如图所示，中间的轮叫做太阳轮，它是主动轮，从动轮称为行星轮。太阳轮、行星轮与最外面的大轮彼此密切啮合在一起，如果太阳轮一周的齿数为n1，行星轮一周的齿数为n2，当太阳轮转动的角速度为ω时，最外面的大轮转动的角速度为(　　)
ω ω
ω ω
7.如图，带车牌自动识别系统的直杆道闸，离地面高为1 m的细直杆可绕O在竖直面内匀速转动。汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为2.3 s，自动识别系统的反应时间为0.3 s；汽车可看成高1.6 m的长方体，其左侧面底边在aa′直线上，且O到汽车左侧面的距离为0.6 m，要使汽车安全通过道闸，直杆转动的角速度至少为(　　)
rad/s rad/s
rad/s rad/s
题组三　圆周运动的周期性和多解性
8.(多选)如图所示，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪45次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角。当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是(　　)
600 r/min 900 r/min
1 200 r/min 1 800 r/min
综合提升练
9.(多选)在如图所示的皮带传动装置(传动皮带紧绷且运动中不打滑)中，主动轮O1的半径为r1，从动轮有大小不一的两个轮且固定在同一个轴心O2上，半径分别为r3、r2，已知r3＝2r1，r2＝1.5r1，A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则当整个传动装置正常工作时，下列选项正确的是(　　)
A、B、C三点的周期之比为1∶2∶2
A、B、C三点的线速度大小之比为4∶4∶5
A、B、C三点的角速度大小之比为2∶1∶2
A、B、C三点的角速度大小之比为2∶1∶1
10.如图所示，如果把钟表上的时针、分针、秒针的运动看成匀速圆周运动，那么，从分针与秒针第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为(　　)
min 1 min
min min
11.(16分)一汽车发动机的曲轴每分钟转2 400周，求：
(1)(8分)曲轴转动的周期与角速度；
(2)(8分)距转轴r＝0.2 m的点的线速度大小。
12.(18分)有一款手摇削笔器如图所示，手柄的BO段长为l，AB段长为d。一位同学转动手柄削铅笔，在时间t内匀速转动了n圈。
(1)(9分)写出手柄A处角速度和线速度大小的表达式；
(2)(9分)一款日常所用削笔器的手柄长BO约为5 cm，1 min大约转60圈，请计算手柄转动的角速度和线速度的大小。
培优加强练
13. (多选)如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，设子弹射穿圆筒时速度大小不变，空气阻力不计，重力加速度为g，则(　　)
子弹在圆筒中的水平速度为v0＝d
子弹在圆筒中的水平速度为v0＝2d
圆筒转动的角速度可能为ω＝2π
圆筒转动的角速度可能为ω＝3π
第1节　圆周运动
1.BD　[质点做匀速圆周运动，在任意相等的时间内，通过的弧长与连接质点和圆心的半径转过的角度都相等，但位移只是大小相等，方向并不相同，平均速度也只是大小相等，方向并不相同，故B、D正确。]
2.BCD　[由题意知v＝4 m/s，T＝2 s，根据角速度与周期的关系可知ω＝＝π rad/s，A错误；由T＝得转速n＝＝0.5 r/s，B正确；由v＝ωr得r＝＝ m，C正确；由频率与周期的关系得f＝＝0.5 Hz，D正确。]
3.BC　[A、B两个质点在相同的时间内通过的路程之比为2∶3，即通过的弧长之比为2∶3，由v＝知vA∶vB＝2∶3，在相同的时间内转过的角度之比ΔθA∶ΔθB＝3∶2，根据ω＝得ωA∶ωB＝3∶2，又v＝ωr，所以rA∶rB＝4∶9，选项A错误，B正确；根据T＝知，TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶3，选项C正确；转速n＝，所以nA∶nB＝TB∶TA＝3∶2，选项D错误。]
4.A　[M、N两点转动的角速度相等，转速相等，周期相等，M点转动的半径小，根据v＝ωr知，M点的线速度小于N点的线速度，故A正确，B、C、D错误。]
5.D　[a、b、c三点同轴转动，所以ωa＝ωb＝ωc，故C错误，D正确；根据v＝ωr知a、b两点的转动半径相同且比c点的大，则c的线速度比a、b的线速度小，故A、B错误。]
6.A　[太阳轮、行星轮与大轮分别用A、B、C表示，＝＝，解得RB＝RA，由题图可知，A与B为齿轮传动，所以线速度大小相等，B与C也是齿轮传动，线速度也相等，所以A与B、C的线速度是相等的，由题图可知RC＝2RB＋RA，由vA＝vC，得ωRA＝ωCRC，联立可得ωC＝ω，故A正确。]
7.C　[设汽车恰好安全通过道闸时直杆转过的角度为θ，由几何关系得tan θ＝＝1，解得θ＝，直杆转动的时间t＝t汽－t反＝2 s，直杆转动的角速度ω＝＝ rad/s＝ rad/s，故C正确。]
8.BD　[闪光灯的闪光周期T＝ s，在一个周期T内，扇叶转动的角度应为120°的整数倍，即圈的整数倍，所以最小转速nmin＝＝15 r/s＝900 r/min，可能满足题意的转速为n＝knmin＝900k r/min(k＝1，2，3…)，故选项B、D正确，A、C错误。]
9.AD　[A、B、C三点的半径之比为rA∶rB∶rC＝r1∶r3∶r2＝r1∶2r1∶1.5r1＝2∶4∶3，A、B点的线速度大小相等，即vA＝vB，B、C点的角速度相等，由v＝ωr得vB∶vC＝rB∶rC＝4∶3，所以vA∶vB∶vC＝4∶4∶3，由vA＝vB，rA∶rB＝1∶2，得ωA∶ωB＝2∶1，所以ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶1，根据T＝得TA∶TB∶TC＝1∶2∶2，故A、D正确，B、C错误。]
10.C　[分针与秒针的角速度分别为ω分＝ rad/s，ω秒＝ rad/s。设两次重合的时间间隔为Δt，由θ分＝ω分Δt，θ秒＝ω秒Δt，θ秒－θ分＝2π，得Δt＝＝ s＝ s＝ min，选项C正确。]
11.(1) s　80π rad/s　(2)16π m/s
解析　(1)由于曲轴每秒转＝40(周)
即n＝40 r/s，则周期T＝＝ s
由ω＝2πn可知，曲轴转动的角速度ω＝80π rad/s。
(2)由v＝ωr可知，距转轴r＝0.2 m的点的线速度大小v＝ωr＝80π×0.2 m/s＝16π m/s。
12.(1)ω＝　v＝　(2)6.28 rad/s　0.31 m/s
解析　(1)依题意有T＝，又ω＝
所以手柄A处角速度为ω＝
手柄A处线速度为v＝ωl＝。
(2)根据题意手柄的BO段长约为5 cm，1 min约转60圈，可得
ω＝＝6.28 rad/s
v＝ωl＝0.31 m/s。
13.AD　[由题意可知，子弹的运动过程为平抛运动，子弹穿过两个弹孔的时间为t＝，所以水平速度为v0＝＝d，故A正确，B错误；由于子弹射穿圆筒后两弹孔在同一竖直线上，所以子弹在圆筒中的运动时间是圆筒半个周期的奇数倍，即t＝＝n(n＝1，3，5，…)，则圆筒的角速度为ω＝nπ(n＝1，3，5，…)，故C错误，D正确。](共51张PPT)
第1节　圆周运动
第六章　圆周运动
1.了解圆周运动、匀速圆周运动的特点。
2.理解线速度、角速度的物理意义。了解转速、周期等概念。会对它们进行定量计算。
3.知道线速度、角速度、周期之间的关系。
4.会分析常见传动装置中各物理量间的关系。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　两类传动模型
知识点一　描述圆周运动的物理量及其关系
知识点三　圆周运动的周期性和多解性
知识点一　描述圆周运动的物理量及其关系
　　　
闹钟与手表为什么会有上述快慢之争？提出你的看法，和同学进行讨论。
提示　“闹钟”和“手表”是从不同角度看圆周运动的快慢，闹钟指的是秒针针尖的线速度，手表则指的是秒针转动的角速度。
1.线速度
(1)定义：物体做圆周运动通过的__________与所用__________之比。
弧长Δs
时间Δt
(2)定义式：v＝______。
(3)标矢性：线速度是______，其方向为物体做圆周运动时该点的______方向。
(4)物理意义：描述质点沿圆周运动______的物理量。
矢量
切线
快慢
(5)匀速圆周运动
①定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处______的圆周运动。
②性质：线速度的方向是时刻变化的，所以匀速圆周运动是一种______运动。
相等
变速
2.角速度
(1)定义：如图所示，物体在Δt时间内由A运动到B。半径OA在这段时间内转过的________与所用时间Δt______叫作角速度，用符号____表示。
角Δθ
之比
ω
(2)表达式：ω＝_______。
(3)国际单位：弧度每秒，符号 ____________。
(4)物理意义：角速度是描述物体绕圆心转动快慢的物理量。
rad/s
3.周期
(1)周期：做匀速圆周运动的物体，运动______所用的时间，用T表示，国际单位制单位为秒(s)。
(2)转速：物体转动的______与所用时间之比，叫作转速，常用符号 ____表示，单位为__________________或______________________。
4.线速度与角速度的关系
(1)关系式：v＝______。
(2)两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度的大小与半径的______。
(3)推导
一周
圈数
n
转每秒(r/s)
转每分(r/min)
ωr
乘积
【思考】
1.有同学说转动快即角速度大的物体，线速度一定大，这个同学的说法对吗？
提示　不对，角速度大的物体，线速度不一定大，因为半径不确定。
2.匀速圆周运动是线速度不变的圆周运动吗？
提示　匀速圆周运动线速度的大小不变、方向时刻变化，所以匀速圆周运动是一种变速运动。
3.做匀速圆周运动的物体在相等的时间内位移相同吗？速度的变化量相同吗？
提示　位移一般不同，速度的变化量一般也不同。
D
AD
例2 (多选)甲、乙两个做圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法正确的是(　　)
A.它们的半径之比为2∶9 B.它们的半径之比为1∶2
C.它们的周期之比为2∶3 D.它们的周期之比为1∶3
例3 做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动了100 m，求该物体做圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度；
(3)周期。
答案　(1)10 m/s　(2)0.5 rad/s　(3)4π s
知识点二　两类传动模型
　　　科技馆的科普器材中常有如图所示的匀速率的传动装置，在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮。若齿轮的齿很小，大齿轮的半径(内径)是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮匀速转动时，小齿轮的角速度与大齿轮角速度的关系如何？
提示　大齿轮和小齿轮的线速度大小相等，根据v＝ωr可知，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的3倍时，小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍。
同轴转动和皮带传动比较
项目 同轴转动模型 “皮带传动类”模型
皮带传动 齿轮传动 摩擦传动
装置 A、B两点在同轴的两个圆盘边缘上 两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 两轮靠摩擦传动，A、B两点分别是两轮边缘上的点，传动时两轮没有相对滑动
D
例4 (2024·安徽宿州高一期中) “共享单车”是目前中国规模最大的近距离交通代步工具，为我们提供了方便快捷、低碳环保、经济实用的交通服务。如图所示是一辆共享单车，A、B、C三点分别为单车轮胎和大、小齿轮外沿上的点，其中RA＝2RB＝5RC，下列说法中正确的是(　　)
A.A点与B点的线速度满足vA＝2vB
B.A点与C点的线速度满足vC＝vA
C.B点与C点的角速度满足2ωB＝5ωC
D.A点与B点的角速度满足2ωA＝5ωB
(1)在解决既有皮带传动又有同轴转动问题时，首先要明确各点的关系是同轴转动还是皮带传动，其次要明确各点的半径。
(2)利用线速度和角速度的关系写方程，联立求解。　　　　
AC
知识点三　圆周运动的周期性和多解性
例6 (2024·浙江大学附属中学高一期中)如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过圆心O水平向右为x轴的正方向。在圆心O正上方距盘面高为h处有一个可以间断滴水的容器，从t＝0时刻开始随传送带沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。已知容器在t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时后一滴水开始下落。水滴下落过程空气阻力不计，重力加速度为g，求：
(1)第一滴水离开容器到落至圆盘所用时间t；
(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一条直线上，求圆盘转动的角速度ω。
(2)要使每滴水落到同一直线上，则圆盘在t时间内转过的弧度为kπ，k为正整数，则ωt＝kπ，即
例7 如图所示，在同一竖直平面内有A、B两物体，A物体从a点起以角速度ω沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动，同时B物体从圆心O自由下落，要使A、B两物体在d点相遇，重力加速度为g，求角速度ω必须满足的条件。
由题意知t1＝t2
解决圆周运动的周期性和多解性问题时应注意
(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。
(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动，匀速直线运动等)。
(3)运动关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量。
(4)分析技巧
①抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点。
②先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。　　　　
随堂对点自测
2
AD
1.(描述圆周运动的物理量及其关系)(多选)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°。在此10 s时间内，火车(　　)
A.运动路程为600 m B.加速度为零
C.角速度约为1 rad/s D.弯道半径约为3.4 km
C
BC
3.(圆周运动的周期性和多解性)(多选)(2024·江西省直属学校高一联考)为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，A、B平行相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min(从左往右看是逆时针转动)，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角是30°，如图所示。则该子弹的速度大小可能是(　　)
A.360 m/s B.57.6 m/s
C.1 440 m/s D.108 m/s
课后巩固训练
3
BD
题组一　描述圆周运动的物理量及其关系
1.(多选)质点做匀速圆周运动，则(　　)
A.在任何相等的时间里，质点的位移都相同
B.在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C.在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
D.在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
解析　质点做匀速圆周运动，在任意相等的时间内，通过的弧长与连接质点和圆心的半径转过的角度都相等，但位移只是大小相等，方向并不相同，平均速度也只是大小相等，方向并不相同，故B、D正确。
对点题组练
BCD
BC
3.(多选)A、B两个质点分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比为sA∶sB＝2∶3，转过的角度之比ΔθA∶ΔθB＝3∶2，则下列说法正确的是(　　)
A.它们的运动半径之比rA∶rB＝2∶3
B.它们的运动半径之比rA∶rB＝4∶9
C.它们的周期之比TA∶TB＝2∶3
D.它们的转速之比nA∶nB＝2∶3
A
题组二　两类传动模型
4.风能是一种绿色能源，如图所示，叶片在风力推动下转动，带动发电机发电，M、N为同一个叶片上的两点，下列判断正确的是(　　)
A.M点的线速度小于N点的线速度
B.M点的角速度小于N点的角速度
C.M点的转速大于N点的转速
D.M点的周期大于N点的周期
解析　M、N两点转动的角速度相等，转速相等，周期相等，M点转动的半径小，根据v＝ωr知，M点的线速度小于N点的线速度，故A正确，B、C、D错误。
D
5.(2024·福建三明高一下期中)如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺上的三个点，当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是(　　)
A.a、b和c三点的线速度大小相等
B.c的线速度比a、b的线速度大
C.a、b的角速度比c的角速度大
D.a、b和c三点的角速度相等
解析　a、b、c三点同轴转动，所以ωa＝ωb＝ωc，故C错误，D正确；根据v＝ωr知a、b两点的转动半径相同且比c点的大，则c的线速度比a、b的线速度小，故A、B错误。
A
C
7.如图，带车牌自动识别系统的直杆道闸，离地面高为1 m的细直杆可绕O在竖直面内匀速转动。汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为2.3 s，自动识别系统的反应时间为0.3 s；汽车可看成高1.6 m的长方体，其左侧面底边在aa′直线上，且O到汽车左侧面的距离为0.6 m，要使汽车安全通过道闸，直杆转动的角速度至少为(　　)
BD
题组三　圆周运动的周期性和多解性
8.(多选)如图所示，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪45次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角。当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是(　　)
A.600 r/min B.900 r/min C.1 200 r/min D.1 800 r/min
AD
9.(多选)在如图所示的皮带传动装置(传动皮带紧绷且运动中不打滑)中，主动轮O1的半径为r1，从动轮有大小不一的两个轮且固定在同一个轴心O2上，半径分别为r3、r2，已知r3＝2r1，r2＝1.5r1，A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则当整个传动装置正常工作时，下列选项正确的是(　　)
综合提升练
A.A、B、C三点的周期之比为1∶2∶2
B.A、B、C三点的线速度大小之比为4∶4∶5
C.A、B、C三点的角速度大小之比为2∶1∶2
D.A、B、C三点的角速度大小之比为2∶1∶1
C
10.如图所示，如果把钟表上的时针、分针、秒针的运动看成匀速圆周运动，那么，从分针与秒针第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为(　　)
11.一汽车发动机的曲轴每分钟转2 400周，求：
(1)曲轴转动的周期与角速度；
(2)距转轴r＝0.2 m的点的线速度大小。
由ω＝2πn可知，曲轴转动的角速度ω＝80π rad/s。
(2)由v＝ωr可知，距转轴r＝0.2 m的点的线速度大小v＝ωr＝80π×0.2 m/s＝16π m/s。
12.有一款手摇削笔器如图所示，手柄的BO段长为l，AB段长为d。一位同学转动手柄削铅笔，在时间t内匀速转动了n圈。
(1)写出手柄A处角速度和线速度大小的表达式；
(2)一款日常所用削笔器的手柄长BO约为5 cm，1 min大约转60圈，请计算手柄转动的角速度和线速度的大小。
v＝ωl＝0.31 m/s。
AD
13.(多选)如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，设子弹射穿圆筒时速度大小不变，空气阻力不计，重力加速度为g，则(　　)
培优加强练

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