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第3节　向心加速度
(分值：100分)
选择题1～9题，每小题8分，共72分。
对点题组练
题组一　匀速圆周运动的加速度的方向
1.(多选)关于向心加速度，下列说法中正确的是(　　)
向心加速度越大，物体速度方向改变得就越快
做曲线运动的物体，一定存在向心加速度
由an＝可知，向心加速度一定与轨道半径成反比
物体做变速圆周运动时，向心加速度的大小不能用an＝来计算
2.(2024·北京石景山高一统考)一个地球仪绕与其“赤道面”垂直的“地轴”匀速转动，如图所示。P点和Q点位于同一条“经线”上，Q点和M点位于“赤道”上，O为球心。下列说法正确的是(　　)
P、Q的线速度大小相等
P、M的角速度大小相等
P、Q的向心加速度大小相等
P、M的向心加速度方向均指向O
题组二　向心加速度大小的计算
3.(2024·湖南岳阳市高一期末)如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑，A、B、C三点分别位于两轮上且满足关系rA>rB＝rC，则这三点的向心加速度aA、aB、aC的关系是(　　)
aA＝aB＝aC aC>aA>aB
aCaB
4.某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮匀速转动的角速度大小为ω，三个轮相互不打滑，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小为(　　)
eq \f(rω2,r) 　　　　eq \f(rω2,r3)
　　　　eq \f(rω2,r)
题组三　匀速圆周运动的动力学问题
5.(2024·山东聊城市高一期中)质量为m的飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，如图所示，重力加速度为g，则空气对飞机的作用力大小为(　　)
m
mg
6.(多选)(2024·山东聊城市高一期中)智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱。如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图乙所示。可视为质点的配重质量为0.8 kg，绳长为0.5 m，悬挂点P到腰带中心点O的距离为0.2 m。水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重随短杆沿水平面做匀速圆周运动，若绳子与竖直方向夹角为37°，运动过程中腰带可看作不动，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，下列说法正确的是(　　)
绳的拉力大小为10 N
配重的向心加速度大小为7.5 m/s2
配重的角速度大小为 rad/s
配重的角速度大小为5 rad/s
综合提升练
7.(多选)(2024·山东烟台市高一期中)如图所示，甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，甲、乙两物体随地球自转的线速度大小分别为v1和v2，向心加速度大小分别为a1和a2，下列关系式正确的是(　　)
v1∶v2＝1∶1 v1∶v2＝∶1
a1∶a2＝2∶1 a1∶a2＝∶1
8.如图为一压路机的示意图，其大轮半径是小轮半径的1.5倍。A、B分别为大轮和小轮边缘上的点。在压路机前进时(　　)
A、B两点的转速之比为nA：nB＝1∶1
A、B两点的线速度之比为vA：vB＝3∶2
A、B两点的角速度之比为ωA：ωB＝3∶2
A、B两点的向心加速度之比为aA：aB＝2∶3
9.(2024·山西太原高一下月考)如图所示，用一根细绳一端系一个小球，另一端固定，给小球不同的初速度，使小球在水平面内做角速度不同的圆周运动，则下列细绳拉力F、悬点到轨迹圆心高度h、向心加速度a、线速度v与角速度的平方ω2的关系图像正确的是(　　)
A B C D
10.(12分)(2024·江苏江阴高级中学高一期末)如图甲，一半径为r＝0.2 m的滚筒洗衣机内有一件质量为m＝0.5 kg的衣服(示意图如图乙)，衣服贴着内壁跟着圆筒以角速度ω＝20 rad/s绕中心轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，若此时衣服恰好不下滑，求：
(1)(6分)衣服对桶壁的压力大小；
(2)(6分)衣服与桶壁之间的动摩擦因数。
培优加强练
11.(16分)如图所示，水平光滑桌面上A、B两球质量分别为m1、m2，用一劲度系数为k的轻弹簧相连，一长为L1的水平细线一端与A相连，另一端拴在竖直轴OO′上。当A与B均以角速度ω绕OO′做匀速圆周运动时，弹簧长度为L2，求：
(1)(5分)弹簧伸长量；
(2)(5分)细线上的弹力大小；
(3)(6分)将细线突然烧断瞬间，A、B两球的加速度大小。
第3节　向心加速度
1.AB　[向心加速度是表示速度方向变化快慢的物理量，向心加速度越大，物体速度方向改变得就越快，故A正确；做曲线运动的物体，其运动轨迹可看作由若干个曲率半径不同的小圆弧组成，物体运动到每个小圆弧时都存在向心加速度，可知做曲线运动的物体一定有向心加速度，故B正确；公式an＝表示在线速度大小一定的条件下，向心加速度与轨道半径成反比，如果线速度大小不一定，则不能说向心加速度与轨道半径成反比，故C错误；物体做变速圆周运动时，向心加速度的大小仍然能用an＝来计算，故D错误。]
2.B　[由于同轴转动的物体的角速度相等，可知P、Q、M的角速度均相等，B正确；图中球面上各点圆周运动的半径为各点到地轴的垂直距离，因此有rP3.C　[A、B两点线速度大小相等，rA>rB，根据an＝知aArC，根据an＝ω2r知aA>aC，故aB>aA>aC，故选项C正确。]
4.B　[设乙轮、丙轮的角速度分别为ω2、ω3，由于甲、乙、丙三个齿轮边缘的线速度相等，则有ωr1＝ω2r2＝ω3r3，则有ω3＝ω，丙轮边缘上各点的向心加速度大小为a＝ωr3＝eq \f(rω2,r3)，故A、C、D错误，B正确。]
5.B　[飞机受到竖直向下的重力和空气的作用力，两力的合力提供向心力，如图所示，故有F＝＝m，故B正确。]
INCLUDEPICTURE"t107.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\课件\\2024课件\\同步\\2025（春）物理 必修 第二册 人教版（L）（鲁琼浙）\\学生word文档\\t107.TIF" \* MERGEFORMATINET
6.ABC　[绳的拉力大小为F＝＝10 N，故A正确；由牛顿第二定律有mgtan 37°＝man，可得an＝7.5 m/s2，故B正确；由an＝ω2(Lsin 37°＋rPO)可得ω＝ rad/s，故C正确，D错误。]
7.BD　[设地球的半径为R，甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，轨道半径关系为＝＝，甲、乙两物体随地球一起自转，角速度相同，由线速度与角速度的关系知＝＝，故A错误，B正确；由向心加速度an＝ω2r知＝＝，故C错误，D正确。]
8.D　[压路机前进时，其轮子边缘上的点参与两个分运动，即绕轴心的转动和随着车的运动，与地面接触点速度为零，故两个分运动的速度大小相等、方向相反，故A、B两点圆周运动的线速度都等于汽车前进的速度，故A、B两点的线速度之比vA∶vB＝1∶1，根据v＝2πrn可知转速之比nA∶nB＝rB∶rA＝2∶3，故A、B错误；根据公式v＝ωr，知A、B两点的角速度之比ωA∶ωB＝rB∶rA＝2∶3，故C错误；根据an＝ωv可知A、B两点的向心加速度之比aA∶aB＝2∶3，故D正确。]
9.A　[设细绳长度为l，小球做匀速圆周运动时细绳与竖直方向的夹角为θ，对小球受力分析有Fsin θ＝mω2lsin θ，得F＝mω2l，故A正确；根据mgtan θ＝mω2htan θ，得h＝，故B错误；小球的向心加速度a＝ω2lsin θ，故C错误；小球的线速度v＝ωlsin θ，故D错误。]
10.(1)40 N　(2)
解析　(1)衣服所受弹力提供衣服做圆周运动的向心力，有
FN＝mω2r＝40 N
由牛顿第三定律知，衣服对桶壁压力大小为
FN′＝FN＝40 N。
(2)衣服竖直方向受力平衡，有Ff＝mg＝5 N
而Ff＝μFN′
代入数据解得μ＝。
11.(1)　
(2)(m1L1＋m2L1＋m2L2)ω2　
(3)　ω2(L1＋L2)
解析　(1)由题意可知，B球受到的弹簧弹力提供B球做圆周运动的向心力。设弹簧伸长ΔL，满足kΔL＝m2ω2(L1＋L2)
解得弹簧伸长量为ΔL＝。
(2)对A球分析，细线的弹力和弹簧弹力的合力提供A球做匀速圆周运动的向心力，满足
F－kΔL＝m1ω2L1
所以细线的弹力为
F＝m2ω2(L1＋L2)＋m1ω2L1
＝(m1L1＋m2L1＋m2L2)ω2。
(3)细线烧断的瞬间，A、B两球都由弹簧的弹力提供加速度，对A球，有kΔL＝m1a1
解得a1＝
对B球，有kΔL＝m2a2
解得a2＝ω2(L1＋L2)。第3节　向心加速度
学习目标　1.知道匀速圆周运动中向心加速度大小的表达式。2.理解向心加速度与半径的关系，并会用来进行计算。3.能根据问题情境选择合适的向心加速度的表达式。
知识点一　匀速圆周运动的加速度方向
1.如图甲所示，游客乘坐摩天轮做匀速圆周运动时，有加速度吗？方向向哪？
2.如图乙所示，小球在拉力作用下做匀速圆周运动，小球受几个力、合力方向如何？产生的加速度指向哪个方向？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.匀速圆周运动的速度方向不断改变，一定是________运动，必定有________。
2.向心加速度定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向________，我们把它叫作向心加速度。
3.向心加速度方向：沿半径指向圆心，与线速度方向________，且时刻在变化，因此匀速圆周运动是________曲线运动。
【思考】 有关圆周运动，请思考下列问题：
(1)向心加速度的作用是什么？
(2)向心加速度方向变化吗？汽车匀速拐弯时的运动性质是什么？
(3)圆周运动的加速度一定指向圆心吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 (多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是(　　)
A.向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D.物体做匀速圆周运动时，在相等时间内速度变化量是相同的
(1)圆周运动分为匀速圆周运动和变速圆周运动，只有匀速圆周运动加速度的方向始终指向圆心。
(2)无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心力都是指向圆心，是变力，向心加速度指向圆心，是变加速曲线运动。　　　　
训练1 如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么(　　)
A.加速度为零
B.加速度恒定
C.加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D.加速度大小不变，方向时刻指向圆心
知识点二　匀速圆周运动的加速度大小
1.向心加速度几种表达式
(1)对应线速度：an＝________。
(2)对应角速度：an＝________。
(3)对应周期：an＝________。
(4)对应转速：an＝________。
(5)推导公式an＝ωv。
2.向心加速度an与半径r的关系图像如图所示
【思考】 如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，A、B、C是它们边缘上的三个点，请思考：
(1)A和B两个点的向心加速度与半径有什么关系？
(2)B和C两个点的向心加速度与半径有什么关系？
(3)向心加速度有时与半径r成正比，有时与半径r成反比，是否相矛盾？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的。当大轮边缘上的P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解决不同质点的圆周运动问题，需要关注以下几点：
(1)看清是皮带传动还是同轴转动。
(2)明确轨道半径，找线速度、角速度之间的联系。
(3)根据问题，恰当的选取向心加速度公式an＝＝ω2r＝r＝ωv解决问题。　　　　
训练2 “旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点的向心加速度大小约为(　　)
A.10 m/s2 B.100 m/s2
C.1 000 m/s2 D.10 000 m/s2
知识点三　圆周运动的动力学问题分析
例3 游乐场里的“飞天秋千”游戏开始前，座椅由钢丝绳竖直悬吊在半空，绳到转轴的距离为r。秋千匀速转动时，钢丝绳与竖直方向成某一角度θ，其简化模型如图所示。已知钢丝绳的长度为l，座椅质量为m，大小忽略不计。重力加速度为g，不计空气阻力，求：
(1)钢丝绳所受拉力F的大小；
(2)秋千匀速转动的角速度ω；
(3)若要使钢丝绳与竖直方向的夹角θ增大，可采取哪些方法？(只要答对一种即可)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解决圆周运动的动力学问题的解题步骤如下：
(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
(2)确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。
(3)找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。
(4)利用牛顿第二定律列方程F合＝Fn＝mω2r＝m＝mr。
(5)解方程求出待求物理量。　　　　
训练3 如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度匀速转动，一个质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度为g。则转台转动的角速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
随堂对点自测
1.(向心加速度的方向)(多选)小球做圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能正确的是(　　)
2.(向心加速度的大小)甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动周期之比为3∶4，则它们的向心加速度大小之比为(　　)
A.1∶4 B.4∶1
C.4∶9 D.9∶4
3.(圆周运动的动力学问题)有一种杂技表演叫“飞车走壁”。由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁，做匀速圆周运动。图中圆弧表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h。下列说法中正确的是(　　)
A.h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B.h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
C.h越高，摩托车做圆周运动的周期将越小
D.h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
第3节　向心加速度
知识点一
导学
提示　1.有加速度　指向圆心
2.两个力　合力指向圆心　加速度指向圆心
知识梳理
1.变速　加速度　2.圆心　3.垂直　变加速
[思考]
提示　(1)向心加速度的方向始终指向圆心，其作用是只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(2)向心加速度的方向总是沿半径指向圆心，加速度方向是变化的，故汽车拐弯时所做的匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。
(3)匀速圆周运动加速度指向圆心，变速圆周运动加速度有时指向圆心，有时不指向圆心。
例1 AB　[向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，且只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，故A、B正确；变速圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心，故C错误；物体做匀速圆周运动时，相等时间内速度变化量大小相等，方向不同，故D正确。]
训练1 D　[由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误。]
知识点二
1.(1)　(2)ω2r　(3)r　(4)4π2n2r
[思考]
提示　(1)A、B两个点的线速度大小相等，由an＝知向心加速度与半径成反比。
(2)B、C两个点的角速度相同，由an＝ω2r知向心加速度与半径成正比。
(3)不矛盾。an与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。
例2 4 m/s2　24 m/s2
解析　同一轮子上的S点和P点的角速度相同，即ωS＝ωP
由向心加速度公式an＝ω2r，得＝
故aS＝aP＝×12 m/s2＝4 m/s2
又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ
由向心加速度公式an＝得＝
故aQ＝aP＝2×12 m/s2＝24 m/s2。
训练2 C　[向心加速度的公式an＝ω2r，结合角速度与转速的关系ω＝2πn，代入数据可得an≈1 000 m/s2，C正确。]
知识点三
例3 (1)　(2)　(3)增大转速(角速度)或增加钢丝绳的长度
解析　(1)座椅做匀速圆周运动时，由重力和钢丝绳的拉力的合力提供向心力，如图所示，钢丝绳的拉力大小为F＝。
INCLUDEPICTURE"Q493.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\课件\\2024课件\\同步\\2025（春）物理 必修 第二册 人教版（L）（鲁琼浙）\\学生word文档\\Q493.TIF" \* MERGEFORMATINET
(2)座椅做匀速圆周运动的半径为
R＝r＋lsin θ
由mgtan θ＝mRω2得ω＝。
(3)增大转速(角速度)或增加钢丝绳的长度，可以增加钢丝绳与竖直方向的夹角。
训练3 D　[对物块受力分析如图所示，由牛顿第二定律有mgtan 60°＝mω2r，由几何关系有r＝Rsin 60°，解得ω＝，A、B、C错误，D正确。]
INCLUDEPICTURE"+22.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\课件\\2024课件\\同步\\2025（春）物理 必修 第二册 人教版（L）（鲁琼浙）\\学生word文档\\+22.TIF" \* MERGEFORMATINET
随堂对点自测
1.AD　[小球做圆周运动，运动到题图所示的P点时，加速度可分解为沿PO指向圆心的向心加速度和垂直于PO的切向加速度，当小球做匀速圆周运动时，切向加速度为零，故A、D正确，B、C错误。]
2.B　[设甲、乙两物体的转动半径分别为r1、r2，周期分别为T1、T2，根据题意＝，＝，由an＝r得＝·＝×＝，选项B正确。]
3.D　[杂技演员以及摩托车所受的重力和支持力的合力提供向心力，向心力Fn＝mgtan θ，对侧壁的压力FN′＝FN＝，其中θ是表演台的侧壁与地面的夹角，可以看出，向心力和对侧壁的压力均与h无关，故A、B错误；向心力Fn＝mr，由于Fn为定值，则T2与r成正比，当h越大时，r越大，所以周期T也越大，故C错误；向心力Fn＝m，由于Fn为定值，则v2与r成正比，当h越大时，r越大，所以线速度v也越大，故D正确。](共45张PPT)
第3节　向心加速度
第六章　圆周运动
1.知道匀速圆周运动中向心加速度大小的表达式。
2.理解向心加速度与半径的关系，并会用来进行计算。
3.能根据问题情境选择合适的向心加速度的表达式。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　匀速圆周运动的加速度大小
知识点一　匀速圆周运动的加速度方向
知识点三　圆周运动的动力学问题分析
知识点一　匀速圆周运动的加速度方向
　　　1.如图甲所示，游客乘坐摩天轮做匀速圆周运动时，有加速度吗？方向向哪？
2.如图乙所示，小球在拉力作用下做匀速圆周运动，小球受几个力、合力方向如何？产生的加速度指向哪个方向？
提示　1.有加速度　指向圆心
2.两个力　合力指向圆心　加速度指向圆心
1.匀速圆周运动的速度方向不断改变，一定是______运动，必定有________。
2.向心加速度定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向______，我们把它叫作向心加速度。
3.向心加速度方向：沿半径指向圆心，与线速度方向______，且时刻在变化，因此匀速圆周运动是________曲线运动。
变速
加速度
圆心
垂直
变加速
【思考】 有关圆周运动，请思考下列问题：
(1)向心加速度的作用是什么？
(2)向心加速度方向变化吗？汽车匀速拐弯时的运动性质是什么？
(3)圆周运动的加速度一定指向圆心吗？
提示　(1)向心加速度的方向始终指向圆心，其作用是只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(2)向心加速度的方向总是沿半径指向圆心，加速度方向是变化的，故汽车拐弯时所做的匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。
(3)匀速圆周运动加速度指向圆心，变速圆周运动加速度有时指向圆心，有时不指向圆心。
AB
例1 (多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是(　　)
A.向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D.物体做匀速圆周运动时，在相等时间内速度变化量是相同的
解析　向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，且只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，故A、B正确；变速圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心，故C错误；物体做匀速圆周运动时，相等时间内速度变化量大小相等，方向不同，故D正确。
(1)圆周运动分为匀速圆周运动和变速圆周运动，只有匀速圆周运动加速度的方向始终指向圆心。
(2)无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心力都是指向圆心，是变力，向心加速度指向圆心，是变加速曲线运动。　　　　
D
训练1 如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么(　　)
A.加速度为零
B.加速度恒定
C.加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D.加速度大小不变，方向时刻指向圆心
解析　由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误。
知识点二　匀速圆周运动的加速度大小
1.向心加速度几种表达式
(1)对应线速度：an＝_______。
(2)对应角速度：an＝_______。
(3)对应周期：an＝_________。
(4)对应转速：an＝_________。
(5)推导公式an＝ωv。
2.向心加速度an与半径r的关系图像如图所示
【思考】 如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，A、B、C是它们边缘上的三个点，请思考：
(1)A和B两个点的向心加速度与半径有什么关系？
(2)B和C两个点的向心加速度与半径有什么关系？
(3)向心加速度有时与半径r成正比，有时与半径r成反比，是否相矛盾？
解析　同一轮子上的S点和P点的角速度相同，即ωS＝ωP
又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ
C
训练2 “旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点的向心加速度大小约为(　　)
A.10 m/s2 B.100 m/s2
C.1 000 m/s2 D.10 000 m/s2
解析　向心加速度的公式an＝ω2r，结合角速度与转速的关系ω＝2πn，代入数据可得an≈1 000 m/s2，C正确。
知识点三　圆周运动的动力学问题分析
例3 游乐场里的“飞天秋千”游戏开始前，座椅由钢丝绳竖直悬吊在半空，绳到转轴的距离为r。秋千匀速转动时，钢丝绳与竖直方向成某一角度θ，其简化模型如图所示。已知钢丝绳的长度为l，座椅质量为m，大小忽略不计。重力加速度为g，不计空气阻力，求：
(1)钢丝绳所受拉力F的大小；
(2)秋千匀速转动的角速度ω；
(3)若要使钢丝绳与竖直方向的夹角θ增大，可采取哪些方法？(只要答对一种即可)
(2)座椅做匀速圆周运动的半径为R＝r＋lsin θ
(3)增大转速(角速度)或增加钢丝绳的长度，可以增加钢丝绳与竖直方向的夹角。
D
训练3 如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度匀速转动，一个质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度为g。则转台转动的角速度大小为(　　)
随堂对点自测
2
AD
1.(向心加速度的方向)(多选)小球做圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能正确的是(　　)
解析　小球做圆周运动，运动到题图所示的P点时，加速度可分解为沿PO指向圆心的向心加速度和垂直于PO的切向加速度，当小球做匀速圆周运动时，切向加速度为零，故A、D正确，B、C错误。
B
2.(向心加速度的大小)甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动周期之比为3∶4，则它们的向心加速度大小之比为(　　)
A.1∶4 B.4∶1 C.4∶9 D.9∶4
D
3.(圆周运动的动力学问题)有一种杂技表演叫“飞车走壁”。由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁，做匀速圆周运动。图中圆弧表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h。下列说法中正确的是(　　)
A.h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B.h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
C.h越高，摩托车做圆周运动的周期将越小
D.h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
课后巩固训练
3
AB
对点题组练
B
2.(2024·北京石景山高一统考)一个地球仪绕与其“赤道面”垂直的“地轴”匀速转动，如图所示。P点和Q点位于同一条“经线”上，Q点和M点位于“赤道”上，O为球心。下列说法正确的是(　　)
A.P、Q的线速度大小相等
B.P、M的角速度大小相等
C.P、Q的向心加速度大小相等
D.P、M的向心加速度方向均指向O
解析　由于同轴转动的物体的角速度相等，可知P、Q、M的角速度均相等，B正确；图中球面上各点圆周运动的半径为各点到地轴的垂直距离，因此有rPC
题组二　向心加速度大小的计算
3.(2024·湖南岳阳市高一期末)如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑，A、B、C三点分别位于两轮上且满足关系rA>rB＝rC，则这三点的向心加速度aA、aB、aC的关系是(　　)
A.aA＝aB＝aC B.aC>aA>aB
C.aCaB
B
B
ABC
6.(多选)(2024·山东聊城市高一期中)智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱。如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图乙所示。可视为质点的配重质量为0.8 kg，绳长为0.5 m，悬挂点P到腰带中心点O的距离为0.2 m。水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重随短杆沿水平面做匀速圆周运动，若绳子与竖直方向夹角为37°，运动过程中腰带可看作不动，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，下列说法正确的是(　 　)
BD
综合提升练
D
8.如图为一压路机的示意图，其大轮半径是小轮半径的1.5倍。A、B分别为大轮和小轮边缘上的点。在压路机前进时(　　)
A.A、B两点的转速之比为nA：nB＝1∶1
B.A、B两点的线速度之比为vA：vB＝3∶2
C.A、B两点的角速度之比为ωA：ωB＝3∶2
D.A、B两点的向心加速度之比为aA：aB＝2∶3
解析　压路机前进时，其轮子边缘上的点参与两个分运动，即绕轴心的转动和随着车的运动，与地面接触点速度为零，故两个分运动的速度大小相等、方向相反，故A、B两点圆周运动的线速度都等于汽车前进的速度，故A、B两点的线速度之比vA∶vB＝1∶1，根据v＝2πrn可知转速之比nA∶nB＝rB∶rA＝2∶3，故A、B错误；根据公式v＝ωr，知A、B两点的角速度之比ωA∶ωB＝rB∶rA＝2∶3，故C错误；根据an＝ωv可知A、B两点的向心加速度之比aA∶aB＝2∶3，故D正确。
A
9.(2024·山西太原高一下月考)如图所示，用一根细绳一端系一个小球，另一端固定，给小球不同的初速度，使小球在水平面内做角速度不同的圆周运动，则下列细绳拉力F、悬点到轨迹圆心高度h、向心加速度a、线速度v与角速度的平方ω2的关系图像正确的是(　　)
10.(2024·江苏江阴高级中学高一期末)如图甲，一半径为r＝0.2 m的滚筒洗衣机内有一件质量为m＝0.5 kg的衣服(示意图如图乙)，衣服贴着内壁跟着圆筒以角速度ω＝20 rad/s绕中心轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，若此时衣服恰好不下滑，求：
(1)衣服对桶壁的压力大小；
(2)衣服与桶壁之间的动摩擦因数。
解析　(1)衣服所受弹力提供衣服做圆周运动的向心力，有
FN＝mω2r＝40 N
由牛顿第三定律知，衣服对桶壁压力大小为
FN′＝FN＝40 N。
(2)衣服竖直方向受力平衡，有
Ff＝mg＝5 N
而Ff＝μFN′
11.如图所示，水平光滑桌面上A、B两球质量分别为m1、m2，用一劲度系数为k的轻弹簧相连，一长为L1的水平细线一端与A相连，另一端拴在竖直轴OO′上。当A与B均以角速度ω绕OO′做匀速圆周运动时，弹簧长度为L2，求：
培优加强练
(1)弹簧伸长量；
(2)细线上的弹力大小；
(3)将细线突然烧断瞬间，A、B两球的加速度大小。
解析　(1)由题意可知，B球受到的弹簧弹力提供B球做圆周运动的向心力。设弹簧伸长ΔL，满足kΔL＝m2ω2(L1＋L2)
(2)对A球分析，细线的弹力和弹簧弹力的合力提供A球做
匀速圆周运动的向心力，满足F－kΔL＝m1ω2L1
所以细线的弹力为F＝m2ω2(L1＋L2)＋m1ω2L1＝(m1L1＋m2L1＋m2L2)ω2。
(3)细线烧断的瞬间，A、B两球都由弹簧的弹力提供加速度，对A球，有kΔL＝m1a1

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