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第4节　生活中的圆周运动
(分值：100分)
选择题1～10题，每小题7分，共70分。
对点题组练
题组一　火车或汽车转弯问题
1.(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带，如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处(　　)
路面外侧低、内侧高
车速只要小于v0，车辆一定会向内侧滑动
车速虽然大于v0，但只要不超出某一最大限度，车辆便不会向外侧滑动
当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值不变
2.(2024·浙江台州高一月考)火车轨道的转弯处外轨高于内轨，如图所示。若已知某转弯处轨道平面与水平面夹角为θ，弯道处的圆弧半径为R。在该转弯处规定的安全行驶的速度为v，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
该转弯处规定的安全行驶的速度为v＝
该转弯处规定的安全行驶的速度为v＝
当实际行驶速度大于v时，轮缘挤压内轨
当实际行驶速度小于v时，轮缘挤压外轨
3.如图所示，火车轨道转弯处外高内低，当火车行驶速度等于规定速度时，所需向心力仅由重力和轨道支持力的合力提供，此时火车对内、外轨道无侧向挤压作用。已知火车内、外轨之间的距离为1 435 mm，高度差为143.5 mm，转弯半径为400 m，由于内、外轨轨道平面的倾角θ很小，可近似认为sin θ＝tan θ，重力加速度g取10 m/s2，则在这种情况下，火车转弯时的规定速度为(　　)
36 km/h 54 km/h 72 km/h 98 km/h
题组二　汽车过拱形桥及航天器中的失重现象
4.(2024·山东聊城高一期中)胎压监测器可以实时监测汽车轮胎内部的气压，在汽车上安装胎压监测报警器，可以预防因汽车轮胎胎压异常而引发的事故。一辆装有胎压报警器的载重汽车在高低不平的路面上匀速率行驶，其中一段路面的水平观察视图如图所示，图中虚线是水平线，下列说法正确的是(　　)
经过图中B处最容易超压报警
经过图中A处最容易超压报警
经过A处时汽车受到的支持力可能与重力大小相等
经过B处时汽车受到的支持力可能与重力大小相等
5.一汽车通过拱形桥顶点时速度为10 m/s，车对桥顶的压力大小为车重的，如果要使汽车在桥顶对桥面恰好没有压力，汽车的速度大小为(g取10 m/s2)(　　)
15 m/s 20 m/s
25 m/s 30 m/s
6.中国空间站绕地球的运行可视为匀速圆周运动，航天员在空间站实验室中展示了失重环境下的物理实验或现象，如图所示的四个实验可以在空间站实验室内完成的是(　　)
用台秤称量物体的质量
用水杯喝水
用沉淀法将水与沙子分离
给小球一个很小的初速度，小球可以在竖直平面内做圆周运动
题组三　离心运动
7.如图为公路自行车赛中运动员在水平路面上急转弯的情境，运动员在通过弯道时如果控制不当会发生侧滑而摔离正常比赛路线，将运动员与自行车看作一个整体，下列论述正确的是(　　)
运动员转弯所需向心力由地面对车轮的支持力与重力的合力提供
运动员转弯所需向心力由地面对车轮的摩擦力提供
发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心
发生侧滑是因为运动员受到的合力大于所需的向心力
8.如图所示，光滑水平面上，小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F突然发生变化，则下列关于小球运动情况的说法正确的是(　　)
若拉力F突然变小，小球可能沿Pa做离心运动
若拉力F突然变大，小球可能沿Pb做离心运动
若拉力F突然变小，小球可能沿Pc做向心运动
若拉力F突然消失，小球将沿Pa做匀速直线运动
9.(多选)离心沉淀器可以加速物质的沉淀，如图是它的示意图，试管中先装水，再加入粉笔粉末后搅拌均匀，当试管绕竖直轴高速旋转时，两个试管几乎成水平状态，然后可观察到粉笔粉末沉淀在试管的底端。则(　　)
旋转越快，试管的高度越低
粉笔粉末向试管底部运动是一种离心现象
旋转越快，粉笔粉末的沉淀现象越明显
旋转越快，粉笔粉末的沉淀现象越不明显
综合提升练
10.如图所示，一汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h。已知水面能对汽艇提供的径向阻力最大为重力的0.2倍，重力加速度g取10 m/s2，若要使汽艇安全转弯，则最小转弯半径为(　　)
50 m 100 m 150 m 200 m
11.(15分)如图所示为一辆厢式货车的后视图。该厢式货车在水平路面上做转弯测试，圆弧形弯道的半径R＝8 m，车轮与路面间的最大径向摩擦力为车对路面压力的0.8倍。货车内顶部用细线悬挂一个小球P，在悬点O处装有拉力传感器。车沿平直路面做匀速运动时，传感器的示数F＝4 N。重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)(7分)该货车在此圆弧形弯道上做匀速圆周运动时，为了防止侧滑，车的最大速度vmax是多大？
(2)(8分)该货车某次在此弯道上做匀速圆周运动，稳定后传感器的示数为F′＝5 N，此时细线与竖直方向的夹角θ是多大？货车的速度v′有多大？
第4节　生活中的圆周运动
1.CD　[路面应建成外高内低，此时重力和支持力的合力指向内侧，可以提供圆周运动向心力，A错误；车速小于v0，所需的向心力减小，此时摩擦力可以指向外侧，减小提供的力，车辆不会向内侧滑动，B错误；车速若大于v0，所需的向心力增大，此时摩擦力可以指向内侧，增大提供的力，车辆不会向外侧滑动，C正确；当路面结冰时与未结冰时相比，由于支持力和重力不变，则v0的值不变，故D正确。]
2.A　[火车以某一速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，其所受的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示，由三角形知识可得F合＝mgtan θ，由牛顿第二定律得F合＝m，解得v＝，故A正确，B错误；当转弯的实际速度大于规定速度时，F合不足以提供所需的向心力，火车有离心趋势，则其外侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，外轨受到侧压力作用，故C错误；当转弯的实际速度小于规定速度时，F合大于所需的向心力，火车有向心趋势，则其内侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，内轨受到侧压力作用，故D错误。]
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3.C　[由题知sin θ＝，在规定速度下，火车转弯时只受重力和支持力作用，由牛顿第二定律有mgtan θ＝，可得v＝＝＝20 m/s＝72 km/h，A、B、D错误，C正确。]
4.B　[汽车经过A处时，根据牛顿第二定律可得FA－mg＝m，可得FA＝mg＋m，汽车经过B处时，根据牛顿第二定律可得mg－FB＝m，可得FB＝mg－m，可知经过A处时汽车受到的支持力大于重力，经过B处时汽车受到的支持力小于重力，汽车在A处受到的支持力最大，汽车经过图中A处最容易超压报警，B正确，A、C、D错误。]
5.B　[车对桥顶的压力大小为车重的时，有mg－mg＝m；车在桥顶对桥面恰好没有压力时，有mg＝meq \f(v,R)，联立解得v1＝20 m/s，故B正确，A、C、D错误。]
6.D　[物体处于完全失重状态，对台秤的压力为零，无法通过台秤称量物体的质量，故A错误；水杯中的水处于完全失重状态，无法用图中水杯喝水，故B错误；沙子处于完全失重状态，不能通过沉淀法与水分离，故C错误；小球处于完全失重状态，给小球很小的初速度，小球可在拉力作用下在竖直平面内做匀速圆周运动，故D正确。]
7.B　[自行车转弯所需的向心力由地面对车轮的静摩擦力提供，A错误，B正确；发生侧滑是因为该摩擦力小于所需的向心力，C、D错误。]
8.D　[在光滑水平面上，拉力F提供小球做匀速圆周运动所需的向心力。当拉力突然变小时，拉力小于小球做匀速圆周运动所需的向心力，因此小球可能沿Pb做离心运动，故A、C错误；当拉力F突然变大时，拉力大于小球做匀速圆周运动所需的向心力，因此小球可能沿Pc做近心运动，故B错误；当拉力突然消失时，小球所受合力为零，小球将沿切线方向做匀速直线运动，即小球将沿Pa做匀速直线运动，D正确。]
9.BC　[对试管整体分析，整体受到的合力提供向心力，设试管中心线与竖直方向夹角为 α，则提供的向心力为mgtan α，当转速增大时，需要的向心力增大，故角度α增大，试管变高，选项A错误；离心沉淀器是一种离心设备，粉笔粉末和水混合后，当离心沉淀器工作时会发生离心现象，选项B正确；旋转越快，粉笔粉末需要的向心力越大，粉笔粉末分层越明显，选项C正确，D错误。]
10.A　[汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h，即10 m/s，径向阻力最大为重力的0.2倍，则Ff＝0.2mg，根据圆周运动公式，径向阻力提供向心力，即Ff＝，代入数据解得最小转弯半径为R＝＝ m＝50 m，故A正确。]
11.(1)8 m/s　(2)37°　2 m/s
解析　(1)设货车的总质量为M，转弯时不发生侧滑有
μMg≥Meq \f(v,R)，其中μ＝＝0.8
解得vmax≤＝8 m/s。
(2)车匀速运动时F＝mg＝4 N
得m＝0.4 kg
此次转弯时小球受细线的拉力F′＝5 N，分析有
cos θ＝＝0.8，则θ＝37°
小球受到的合力为F合，则F合＝mgtan θ
则有mgtan θ＝
解得v′＝＝2 m/s。
12.(1)150 m　(2)90 m　(3)37°
解析　(1)汽车在水平路面上转弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其最大向心力等于车与路面间的最大静摩擦力，有
Ffm＝0.6mg＝m，由于速度v＝30 m/s
解得弯道的最小半径r＝150 m。
(2)汽车过拱桥，可看成在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，有
mg－FN＝m
为了保证安全，路面对车的支持力FN必须大于等于零，有
mg≥m，代入数据解得R≥90 m。
(3)设弯道倾斜角度为θ，汽车通过此弯道时向心力由重力及支持力的合力提供，有
mgtan θ＝m
解得tan θ＝
故弯道路面的倾斜角度θ＝37°。
培优加强练
12.(15分)在用高级沥青铺设的高速公路上，对汽车的设计限速是30 m/s。汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面间的最大静摩擦力等于车重的0.6倍，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)(5分)如果汽车在这种高速公路的水平弯道上转弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
(2)(5分)如果高速公路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够安全通过(不起飞)圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？
(3)(5分)如果弯道的路面设计为倾斜(外高内低)，弯道半径为120 m，要使汽车以最大速度通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度是多少？第4节　生活中的圆周运动
学习目标　1.会分析圆周运动问题中向心力的来源，能解决生活中的圆周运动问题。2.了解航天器中的失重现象及原因。3.了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危害。
知识点一　火车转弯
图甲为摩托车在水平道路上转弯，图乙为火车轮缘与铁轨，摩托车和火车转弯向心力来源相同吗？图丙为火车转弯，铁路弯道处铁轨内外高度相同吗？为什么要这样设计？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.铁路弯道的特点
铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝meq \f(v,R)，如图所示，则v0＝____________，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角。
2.汽车转弯特点
(1)水平弯道：由____________提供向心力，汽车速度最大时，μmg＝meq \f(v,R)，可得vm＝________。
(2)增大汽车安全转弯速度的有效方法
①________转弯半径。
②把转弯处设计成____________路面(类似火车转弯)。
【思考】
火车转弯时速度过大或过小，会对哪侧轨道有侧压力？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m(g取10 m/s2)。
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练1 (多选)如图所示，在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时火车的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在平面的倾角为θ，则下列说法正确的是(　　)
A.该弯道的半径r＝
B.当火车质量改变时，规定的行驶速度大小变化
C.当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D.当火车以规定的行驶速度转弯时，向心加速度大小为an＝gtan θ
知识点二　汽车过拱形桥　航天器中的失重现象
在电影或电视中我们经常会看到汽车高速通过一个拱桥时会一跃而起，脱离地面。试分析：
(1)这种“飞车”现象产生的原因是什么？
(2)车速达到多少时才能达到这种效果呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.汽车过拱形桥
(1)汽车过拱形桥
汽车在拱形桥最高点时，如图甲所示，向心力F＝____________＝m，汽车对桥的压力FN′＝FN＝____________，故汽车在拱形桥上运动时，对桥的压力________汽车的重力。
(2)汽车过凹形路面
汽车在凹形路面最低点时，如图乙所示，向心力F＝FN－mg＝m，汽车对路面的压力FN′＝FN＝mg＋m，故汽车在凹形路面上运动时，对路面的压力________汽车的重力。
2.航天器中的失重现象
(1)向心力分析：宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力提供向心力，即mg－________＝m，所以FN＝________。
(2)完全失重状态：当v＝________时，座舱对宇航员的支持力FN＝________，宇航员处于____________状态。
【思考】
1.汽车以大小相同的速度经过凸形桥和凹形桥时，哪种桥面易被压垮？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.2024年4月26日，神舟十八号载人飞船成功将航天员送入“天和核心舱”，航天员随“天和核心舱”绕地球飞行，他们处于完全失重状态吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 (2024·安徽安庆市高一期中)在“天宫二号”中工作的航天员可以自由悬浮在空中，处于失重状态，下列分析正确的是(　　)
A.失重就是航天员不受力的作用
B.失重的原因是航天器离地球太近，从而摆脱了地球引力的束缚
C.失重是航天器独有的现象，在地球上不可能存在失重现象
D.正是由于引力的存在，才使航天员有可能做环绕地球的圆周运动
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3 (2024·浙江杭师大附中高一期末)浙江某旅游景点有座新建的凹凸形“如意桥”，刚柔并济的造型与自然风光完美融合。如图所示，该桥由两个凸弧和一个凹弧连接而成，两个凸弧的半径R1＝40 m，最高点分别为A、C；凹弧的半径R2＝60 m，最低点为B。现有一剧组进行拍摄取景，一位质量m＝60 kg的特技演员，驾驶质量M＝120 kg的越野摩托车穿越桥面，穿越过程中可将车和演员视为质点，g取10 m/s2，试求：
(1)当摩托车以v1＝10 m/s的速率到达凸弧最高点A时，桥面对车的支持力大小；
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)当摩托车以v2＝15 m/s的速率到达凹弧面最低点B时，驾驶员对座椅的压力；
(3)为使得越野摩托车始终不脱离桥面，过A点和C点的最大速度。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点三　离心运动
链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出(如图甲所示)；雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图乙所示)。
(1)链球飞出后受到什么力？
(2)你能说出水滴沿着伞的边缘切线飞出的原因吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.定义：做圆周运动的物体沿切线方向飞出或____________圆心的运动。
2.原因：向心力突然________或合力________以提供所需的向心力。
3.离心运动、近心运动的判断
物体做圆周运动时出现离心运动还是近心运动，由实际提供的合力F合和所需向心力(m或mω2r)的大小关系决定(如图所示)。
(1)当F合＝0时，物体沿切线方向做________________。
(2)当0(3)当F合＝mω2r时，“提供”等于“需要”，物体做________________。
(4)当F合>mω2r时，“提供”超过“需要”，物体做____________。
4.离心运动的应用和防止
(1)应用：离心干燥器；洗衣机的________；离心制管技术；离心机。
(2)防止：汽车在公路转弯处必须____________；转动的砂轮、飞轮等的转速不能太高。
例4 如图所示，滚筒洗衣机脱水时滚筒绕水平转动轴转动，滚筒上有很多漏水孔，滚筒转动时，附着在潮湿衣服上的水从漏水孔中被甩出，达到脱水的目的。下列说法正确的是(　　)
A.湿衣服上的水更容易在最高点被甩出
B.湿衣服上的水更容易在最低点被甩出
C.洗衣机的脱水原理是水滴受到了离心力的作用
D.洗衣机滚筒转动得越快，水滴越不容易被甩出
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练2 在水平公路上行驶的汽车，当汽车以一定速度运动时，车轮与路面间的最大静摩擦力恰好等于汽车转弯所需要的向心力，汽车沿如图所示的圆形路径(虚线)运动，当汽车行驶速度突然增大，则汽车的运动路径可能是(　　)
A.Ⅰ B.Ⅱ
C.Ⅲ D.Ⅳ
随堂对点自测
1.(弯道转弯问题)如图所示，某同学骑独轮车在水平运动场上转弯时，地面的摩擦力已达到最大，当独轮车速率增为原来的倍时，若要该同学骑独轮车在同样地面上转弯不发生险情，则(　　)
A.独轮车转弯的轨道半径增为原来的倍
B.独轮车转弯的轨道半径增为原来的2倍
C.独轮车转弯的轨道半径减为原来的
D.独轮车转弯的轨道半径减为原来的
2.(汽车过拱形桥)如图是用模拟实验来研究汽车通过拱形桥的最高点时对桥面的压力。在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层棉布以增加摩擦，这样玩具车就可以在桥面上跑起来了。把这套系统放在电子秤上做实验，关于实验中电子秤的示数下列说法正确的是(　　)
A.玩具车静止在拱桥顶端时的示数小一些
B.玩具车运动通过拱桥顶端时的示数大一些
C.玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态
D.玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小
3.(航天器中的失重现象)(多选)中国空间站绕地球做匀速圆周运动，下列说法中正确的是(　　)
A.在空间站中可以用天平测量物体的质量
B.在空间站中可以用水银气压计测舱内的气压
C.在空间站中可以用弹簧测力计测拉力
D.在空间站中将重物挂于弹簧测力计上，弹簧测力计示数为零，但重物仍受地球的引力
4.(离心运动)无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管。已知管状模型内壁半径为R，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A.铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上的
B.模型各个方向上受到的铁水的作用力大小相等
C.若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力
D.管状模型转动的角速度最大为
第4节　生活中的圆周运动
知识点一
导学
提示　来源不同。摩托车转弯时由摩擦力提供向心力。若内外轨高度相同，外轨对轮缘的弹力提供火车转弯的向心力，火车质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损，需要设计外轨高于内轨，使火车受到的重力、支持力的合力提供向心力。
知识梳理
1.　2.(1)静摩擦力　　(2)①增大　②外高内低
[思考]
提示　如果速度过大需要更大的向心力，需要由外轨的弹力来补充，所以火车要挤压外轨，同理，速度过小，火车要挤压内轨。
例1 (1)1×105 N　(2)0.1
解析　(1)v＝72 km/h＝20 m/s，火车的外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，有
FN＝m＝ N＝1×105 N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105 N。
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(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则
mgtan θ＝m
由此可得tan θ＝＝0.1。
训练1 AD　[依题意，当内、外轨均不会受到轮缘的挤压时，由重力和支持力的合力提供向心力，有
mgtan θ＝man＝m
解得火车的向心加速度大小an＝gtan θ，该弯道的半径为
r＝，火车的速度为v＝
可知规定的行驶速度与火车质量无关，故A、D正确，B错误；当火车速率大于v时，重力与支持力的合力不足以提供火车所需向心力，则外轨将受到轮缘的挤压，故C错误。]
知识点二
导学
提示　(1)在最高点时，由于速度太大，地面对汽车的支持力等于零，重力完全提供向心力，导致汽车脱离地面。
(2)v≥。
知识梳理
1.(1)mg－FN　mg－m　小于　(2)大于
2.(1)FN　m　(2)　0　完全失重
[思考]
1.提示　汽车通过凹形桥的最低点时，向心加速度向上，而且车速越大，压力越大，此时汽车处于超重状态。由于汽车对桥面的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中很少见到凹形桥。
2.提示　处于完全失重状态。
例2 D　[航天器和航天员在太空中受到的引力提供向心力，使航天器和航天员做环绕地球的圆周运动，故A错误，D正确；失重时航天员仍然受到地球引力作用，故B错误；失重是普遍现象，任何物体只要有方向向下的加速度，均处于失重状态，故C错误。]
例3 (1)1 350 N　(2)825 N，方向竖直向下　(3)20 m/s
解析　(1)当摩托车以v1＝10 m/s的速率到达凸弧最高点A时，根据牛顿第二定律有
(M＋m)g－FNA＝(M＋m)eq \f(v,R1)
解得桥面对车的支持力大小为
FNA＝(M＋m)g－(M＋m)eq \f(v,R1)＝1 350 N。
(2)当摩托车以v2＝15 m/s的速率到达凹弧面最低点B时，以驾驶员为对象，根据牛顿第二定律有
FNB－mg＝meq \f(v,R2)
解得驾驶员受到的支持力大小为
FNB＝mg＋meq \f(v,R2)＝825 N
根据牛顿第三定律可知，驾驶员对座椅的压力大小为825 N，方向竖直向下。
(3)设越野摩托车过A点和C点时刚好不脱离桥面，则有
(M＋m)g＝(M＋m)eq \f(v,R1)
解得过A点和C点的最大速度为
vm＝＝20 m/s。
知识点三
导学
提示　(1)受到重力和空气阻力。
(2)旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出。
知识梳理
1.逐渐远离　2.消失　不足　3.(1)匀速直线运动　(2)离心运动　(3)匀速圆周运动　(4)近心运动　4.(1)脱水桶　(2)限速行驶
例4 B　[对于一定质量的水，在最低点，根据牛顿第二定律有FN1－mg＝mω2r，解得FN1＝mg＋mω2r；在最高点，根据牛顿第二定律有FN2＋mg＝mω2r，解得FN2＝mω2r－mg，所以水所需要的附着力FN1>FN2，湿衣服上的水在最低点更容易被甩出，故A错误，B正确；离心力本身就不存在，不能说受到离心力作用，故C错误；根据以上分析可知，滚筒转动越快，水滴越容易被甩出，故D错误。]
训练2 B　[当汽车行驶速度突然增大时，最大静摩擦力不足以提供其需要的向心力，则汽车会发生离心运动，即汽车的运动路径可能沿着轨迹Ⅱ，故B正确。]
随堂对点自测
1.B　[独轮车转弯时的向心力由摩擦力提供，当独轮车与地面间的摩擦力达到最大值Ffm时，有Ffm＝m，解得v2＝∝R，当独轮车的速率v增为原来的倍时，若要该同学骑独轮车在同样地面上转弯不发生险情，独轮车转弯的轨道半径R应增为原来的2倍，故B正确。]
2.D　[玩具车通过拱桥顶端时处于失重状态，速度越大电子秤示数越小，故选项D正确。]
3.CD　[在空间站中物体处于完全失重状态，此时放在天平上的物体对天平的压力为零，因此不能用天平测物体的质量，故A错误；同理水银也不会产生压力，故水银气压计也不能使用，故B错误；弹簧测力计测拉力遵从胡克定律，拉力的大小与弹簧伸长量成正比，故C正确；重物处于完全失重状态时并不是不受重力，而是重力提供了重物做圆周运动的向心力，故D正确。]
4.C　[铁水做圆周运动，重力和弹力的合力提供向心力，没有离心力，故A错误；铁水做圆周运动的向心力由重力和弹力的径向分力提供，故模型各个方向上受到的铁水的作用力不一定相同，故B错误；若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，则重力恰好提供向心力，故C正确；为了使铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，管状模型转动的角速度应不小于临界角速度，在最上部只有重力提供向心力时，转动角速度最小， 有mg＝mωR，得ω0＝，所以ω≥ω0，故D错误。](共54张PPT)
第4节　生活中的圆周运动
第六章　圆周运动
1.会分析圆周运动问题中向心力的来源，能解决生活中的圆周运动问题。
2.了解航天器中的失重现象及原因。
3.了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危害。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　汽车过拱形桥　航天器中的失重现象
知识点一　火车转弯
知识点三　离心运动
知识点一　火车转弯
　　　图甲为摩托车在水平道路上转弯，图乙为火车轮缘与铁轨，摩托车和火车转弯向心力来源相同吗？图丙为火车转弯，铁路弯道处铁轨内外高度相同吗？为什么要这样设计？
提示　来源不同。摩托车转弯时由摩擦力提供向心力。若内外轨高度相同，外轨对轮缘的弹力提供火车转弯的向心力，火车质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损，需要设计外轨高于内轨，使火车受到的重力、支持力的合力提供向心力。
①______转弯半径。
②把转弯处设计成__________路面(类似火车转弯)。
增大
外高内低
【思考】
火车转弯时速度过大或过小，会对哪侧轨道有侧压力？
提示　如果速度过大需要更大的向心力，需要由外轨的弹力来补充，所以火车要挤压外轨，同理，速度过小，火车要挤压内轨。
例1 有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m(g取10 m/s2)。
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。
解析　(1)v＝72 km/h＝20 m/s，火车的外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，有
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105 N。
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则
答案　(1)1×105 N　(2)0.1
AD
训练1 (多选)如图所示，在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时火车的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在平面的倾角为θ，则下列说法正确的是(　　)
解析　依题意，当内、外轨均不会受到轮缘的挤压时，由重力和支持力的合力提供向心力，有
解得火车的向心加速度大小an＝gtan θ，该弯道的半径为
可知规定的行驶速度与火车质量无关，故A、D正确，B错误；当火车速率大于v时，重力与支持力的合力不足以提供火车所需向心力，则外轨将受到轮缘的挤压，故C错误。
知识点二　汽车过拱形桥　航天器中的失重现象
　　　在电影或电视中我们经常会看到汽车高速通过一个
拱桥时会一跃而起，脱离地面。试分析：
(1)这种“飞车”现象产生的原因是什么？
(2)车速达到多少时才能达到这种效果呢？
提示　(1)在最高点时，由于速度太大，地面对汽车的支持力等于零，重力完全提供向心力，导致汽车脱离地面。
(2)完全失重状态：当v＝_________时，座舱对宇航员的支持力FN＝____，宇航员处于__________状态。
0
完全失重
【思考】
1.汽车以大小相同的速度经过凸形桥和凹形桥时，哪种桥面易被压垮？
提示　汽车通过凹形桥的最低点时，向心加速度向上，而且车速越大，压力越大，此时汽车处于超重状态。由于汽车对桥面的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中很少见到凹形桥。
2.2024年4月26日，神舟十八号载人飞船成功将航天员送入“天和核心舱”，航天员随“天和核心舱”绕地球飞行，他们处于完全失重状态吗？
提示　处于完全失重状态。
D
例2 (2024·安徽安庆市高一期中)在“天宫二号”中工作的航天员可以自由悬浮在空中，处于失重状态，下列分析正确的是(　　)
A.失重就是航天员不受力的作用
B.失重的原因是航天器离地球太近，从而摆脱了地球引力的束缚
C.失重是航天器独有的现象，在地球上不可能存在失重现象
D.正是由于引力的存在，才使航天员有可能做环绕地球的圆周运动
解析　航天器和航天员在太空中受到的引力提供向心力，使航天器和航天员做环绕地球的圆周运动，故A错误，D正确；失重时航天员仍然受到地球引力作用，故B错误；失重是普遍现象，任何物体只要有方向向下的加速度，均处于失重状态，故C错误。
例3 (2024·浙江杭师大附中高一期末)浙江某旅游景点有座新建的凹凸形“如意桥”，刚柔并济的造型与自然风光完美融合。如图所示，该桥由两个凸弧和一个凹弧连接而成，两个凸弧的半径R1＝40 m，最高点分别为A、C；凹弧的半径R2＝60 m，最低点为B。现有一剧组进行拍摄取景，一位质量m＝60 kg的特技演员，驾驶质量M＝120 kg的越野摩托车穿越桥面，穿越过程中可将车和演员视为质点，g取10 m/s2，试求：
(1)当摩托车以v1＝10 m/s的速率到达凸弧最高点A时，
桥面对车的支持力大小；
(2)当摩托车以v2＝15 m/s的速率到达凹弧面最低点B时，驾驶员对座椅的压力；
(3)为使得越野摩托车始终不脱离桥面，过A点和C点的最大速度。
解析　(1)当摩托车以v1＝10 m/s的速率到达凸弧最高点A
时，根据牛顿第二定律有
(2)当摩托车以v2＝15 m/s的速率到达凹弧面最低点B时，以驾驶员为对象，根据牛顿第二定律有
根据牛顿第三定律可知，驾驶员对座椅的压力大小为825 N，方向竖直向下。
答案　(1)1 350 N　(2)825 N，方向竖直向下 (3)20 m/s
知识点三　离心运动
　　　链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出(如图甲所示)；雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图乙所示)。
(1)链球飞出后受到什么力？
(2)你能说出水滴沿着伞的边缘切线飞出的原因吗？
提示　(1)受到重力和空气阻力。
(2)旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出。
1.定义：做圆周运动的物体沿切线方向飞出或__________圆心的运动。
2.原因：向心力突然______或合力______以提供所需的向心力。
3.离心运动、近心运动的判断
逐渐远离
消失
不足
(1)当F合＝0时，物体沿切线方向做______________。
(2)当0(3)当F合＝mω2r时，“提供”等于“需要”，物体做
______________。
(4)当F合>mω2r时，“提供”超过“需要”，物体做__________。
4.离心运动的应用和防止
(1)应用：离心干燥器；洗衣机的________；离心制管技术；离心机。
(2)防止：汽车在公路转弯处必须__________；转动的砂轮、飞轮等的转速不能太高。
匀速直线运动
离心运动
匀速圆周运动
近心运动
脱水桶
限速行驶
例4 如图所示，滚筒洗衣机脱水时滚筒绕水平转动轴转动，滚筒上有很多漏水孔，滚筒转动时，附着在潮湿衣服上的水从漏水孔中被甩出，达到脱水的目的。下列说法正确的是(　　)
A.湿衣服上的水更容易在最高点被甩出
B.湿衣服上的水更容易在最低点被甩出
C.洗衣机的脱水原理是水滴受到了离心力的作用
D.洗衣机滚筒转动得越快，水滴越不容易被甩出
B
解析　对于一定质量的水，在最低点，根据牛顿第二定律有FN1－mg＝mω2r，解得FN1＝mg＋mω2r；在最高点，根据牛顿第二定律有FN2＋mg＝mω2r，解得FN2＝mω2r－mg，所以水所需要的附着力FN1>FN2，湿衣服上的水在最低点更容易被甩出，故A错误，B正确；离心力本身就不存在，不能说受到离心力作用，故C错误；根据以上分析可知，滚筒转动越快，水滴越容易被甩出，故D错误。
B
训练2 在水平公路上行驶的汽车，当汽车以一定速度运动时，车轮与路面间的最大静摩擦力恰好等于汽车转弯所需要的向心力，汽车沿如图所示的圆形路径(虚线)运动，当汽车行驶速度突然增大，则汽车的运动路径可能是(　　)
A.Ⅰ B.Ⅱ
C.Ⅲ D.Ⅳ
解析　当汽车行驶速度突然增大时，最大静摩擦力不足以提供其需要的向心力，则汽车会发生离心运动，即汽车的运动路径可能沿着轨迹Ⅱ，故B正确。
随堂对点自测
2
B
D
2.(汽车过拱形桥)如图是用模拟实验来研究汽车通过拱形桥的最高点时对桥面的压力。在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层棉布以增加摩擦，这样玩具车就可以在桥面上跑起来了。把这套系统放在电子秤上做实验，关于实验中电子秤的示数下列说法正确的是(　　)
A.玩具车静止在拱桥顶端时的示数小一些
B.玩具车运动通过拱桥顶端时的示数大一些
C.玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态
D.玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小
解析　玩具车通过拱桥顶端时处于失重状态，速度越大电子秤示数越小，故选项D正确。
CD
3.(航天器中的失重现象)(多选)中国空间站绕地球做匀速圆周运动，下列说法中正确的是(　　)
A.在空间站中可以用天平测量物体的质量
B.在空间站中可以用水银气压计测舱内的气压
C.在空间站中可以用弹簧测力计测拉力
D.在空间站中将重物挂于弹簧测力计上，弹簧测力计示数为零，但重物仍受地球的引力
解析　在空间站中物体处于完全失重状态，此时放在天平上的物体对天平的压力为零，因此不能用天平测物体的质量，故A错误；同理水银也不会产生压力，故水银气压计也不能使用，故B错误；弹簧测力计测拉力遵从胡克定律，拉力的大小与弹簧伸长量成正比，故C正确；重物处于完全失重状态时并不是不受重力，而是重力提供了重物做圆周运动的向心力，故D正确。
C
4.(离心运动)无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管。已知管状模型内壁半径为R，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A.铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上的
B.模型各个方向上受到的铁水的作用力大小相等
C.若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力
提供向心力
课后巩固训练
3
CD
题组一　火车或汽车转弯问题
1.(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带，如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处(　　)
A.路面外侧低、内侧高
B.车速只要小于v0，车辆一定会向内侧滑动
C.车速虽然大于v0，但只要不超出某一最大限度，车辆便不会向外侧滑动
D.当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值不变
对点题组练
解析　路面应建成外高内低，此时重力和支持力的合力指向内侧，可以提供圆周运动向心力，A错误；车速小于v0，所需的向心力减小，此时摩擦力可以指向外侧，减小提供的力，车辆不会向内侧滑动，B错误；车速若大于v0，所需的向心力增大，此时摩擦力可以指向内侧，增大提供的力，车辆不会向外侧滑动，C正确；当路面结冰时与未结冰时相比，由于支持力和重力不变，则v0的值不变，故D正确。
A
C
3.如图所示，火车轨道转弯处外高内低，当火车行驶速度等于
规定速度时，所需向心力仅由重力和轨道支持力的合力提供，
此时火车对内、外轨道无侧向挤压作用。已知火车内、外轨
之间的距离为1 435 mm，高度差为143.5 mm，转弯半径为400 m，由于内、外轨轨道平面的倾角θ很小，可近似认为sin θ＝tan θ，重力加速度g取10 m/s2，则在这种情况下，火车转弯时的规定速度为(　　)
A.36 km/h B.54 km/h C.72 km/h D.98 km/h
B
题组二　汽车过拱形桥及航天器中的失重现象
4.(2024·山东聊城高一期中)胎压监测器可以实时监测汽车轮胎内部的气压，在汽车上安装胎压监测报警器，可以预防因汽车轮胎胎压异常而引发的事故。一辆装有胎压报警器的载重汽车在高低不平的路面上匀速率行驶，其中一段路面的水平观察视图如图所示，图中虚线是水平线，下列说法正确的是(　　)
A.经过图中B处最容易超压报警
B.经过图中A处最容易超压报警
C.经过A处时汽车受到的支持力可能与重力大小相等
D.经过B处时汽车受到的支持力可能与重力大小相等
B
D
6.中国空间站绕地球的运行可视为匀速圆周运动，航天员在空间站实验室中展示了失重环境下的物理实验或现象，如图所示的四个实验可以在空间站实验室内完成的是(　　)
A.用台秤称量物体的质量
B.用水杯喝水
C.用沉淀法将水与沙子分离
D.给小球一个很小的初速度，小球可以在竖直平面内做圆周运动
解析　物体处于完全失重状态，对台秤的压力为零，无法通过台秤称量物体的质量，故A错误；水杯中的水处于完全失重状态，无法用图中水杯喝水，故B错误；沙子处于完全失重状态，不能通过沉淀法与水分离，故C错误；小球处于完全失重状态，给小球很小的初速度，小球可在拉力作用下在竖直平面内做匀速圆周运动，故D正确。
B
题组三　离心运动
7.如图为公路自行车赛中运动员在水平路面上急转弯的情境，运动员在通过弯道时如果控制不当会发生侧滑而摔离正常比赛路线，将运动员与自行车看作一个整体，下列论述正确的是(　　)
A.运动员转弯所需向心力由地面对车轮的支持力与重力的合力提供
B.运动员转弯所需向心力由地面对车轮的摩擦力提供
C.发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心
D.发生侧滑是因为运动员受到的合力大于所需的向心力
解析　自行车转弯所需的向心力由地面对车轮的静摩擦力提供，A错误，B正确；发生侧滑是因为该摩擦力小于所需的向心力，C、D错误。
D
8.如图所示，光滑水平面上，小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F突然发生变化，则下列关于小球运动情况的说法正确的是(　　)
A.若拉力F突然变小，小球可能沿Pa做离心运动
B.若拉力F突然变大，小球可能沿Pb做离心运动
C.若拉力F突然变小，小球可能沿Pc做向心运动
D.若拉力F突然消失，小球将沿Pa做匀速直线运动
解析　在光滑水平面上，拉力F提供小球做匀速圆周运动所需的向心力。当拉力突然变小时，拉力小于小球做匀速圆周运动所需的向心力，因此小球可能沿Pb做离心运动，故A、C错误；当拉力F突然变大时，拉力大于小球做匀速圆周运动所需的向心力，因此小球可能沿Pc做近心运动，故B错误；当拉力突然消失时，小球所受合力为零，小球将沿切线方向做匀速直线运动，即小球将沿Pa做匀速直线运动，D正确。
BC
9.(多选)离心沉淀器可以加速物质的沉淀，如图是它的示意图，试管中先装水，再加入粉笔粉末后搅拌均匀，当试管绕竖直轴高速旋转时，两个试管几乎成水平状态，然后可观察到粉笔粉末沉淀在试管的底端。则(　　)
A.旋转越快，试管的高度越低
B.粉笔粉末向试管底部运动是一种离心现象
C.旋转越快，粉笔粉末的沉淀现象越明显
D.旋转越快，粉笔粉末的沉淀现象越不明显
解析　对试管整体分析，整体受到的合力提供向心力，设试管中心线与竖直方向夹角为 α，则提供的向心力为mgtan α，当转速增大时，需要的向心力增大，故角度α增大，试管变高，选项A错误；离心沉淀器是一种离心设备，粉笔粉末和水混合后，当离心沉淀器工作时会发生离心现象，选项B正确；旋转越快，粉笔粉末需要的向心力越大，粉笔粉末分层越明显，选项C正确，D错误。
A
10.如图所示，一汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h。已知水面能对汽艇提供的径向阻力最大为重力的0.2倍，重力加速度g取10 m/s2，若要使汽艇安全转弯，则最小转弯半径为(　　)
A.50 m B.100 m C.150 m D.200 m
综合提升练
11.如图所示为一辆厢式货车的后视图。该厢式货车在水平路面上做转弯测试，圆弧形弯道的半径R＝8 m，车轮与路面间的最大径向摩擦力为车对路面压力的0.8倍。货车内顶部用细线悬挂一个小球P，在悬点O处装有拉力传感器。车沿平直路面做匀速运动时，传感器的示数F＝4 N。重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)该货车在此圆弧形弯道上做匀速圆周运动时，为了防止侧滑，车的最大速度vmax是多大？
(2)该货车某次在此弯道上做匀速圆周运动，稳定后传感器的示数为F′＝5 N，此时细线与竖直方向的夹角θ是多大？货车的速度v′有多大？
解析　(1)设货车的总质量为M，转弯时不发生侧滑有
(2)车匀速运动时F＝mg＝4 N
得m＝0.4 kg
小球受到的合力为F合，则F合＝mgtan θ
12.在用高级沥青铺设的高速公路上，对汽车的设计限速是30 m/s。汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面间的最大静摩擦力等于车重的0.6倍，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)如果汽车在这种高速公路的水平弯道上转弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
(2)如果高速公路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够安全通过(不起飞)圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？
(3)如果弯道的路面设计为倾斜(外高内低)，弯道半径为120 m，要使汽车以最大速度通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度是多少？
培优加强练
答案　(1)150 m　(2)90 m　(3)37°
解析　(1)汽车在水平路面上转弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其最大向心力等于车与路面间的最大静摩擦力，有
解得弯道的最小半径r＝150 m。
(2)汽车过拱桥，可看成在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，有
为了保证安全，路面对车的支持力FN必须大于等于零，有
(3)设弯道倾斜角度为θ，汽车通过此弯道时向心力由重力及支持力
的合力提供，有

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