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培优提升三　竖直平面内圆周运动的两种模型及水平面内的临界问题
(分值：100分)
选择题1～10题，每小题7分，共70分。
对点题组练
题组一　竖直平面内圆周运动的两种模型
1.(多选)在如图所示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R，则(　　)
在最高点A，小球受重力和向心力
在最高点A，小球受重力和圆弧向下的弹力
在最高点A，小球的速度为
在最高点A，小球的向心加速度为2g
2.如图所示，长为L的轻质细绳一端与质量为m的小球(可视为质点)相连，另一端可绕O点使小球在竖直平面内运动。设小球在最高点的速度为v，重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
v最小值可以为0
若v＝，细绳必然对小球有拉力的作用
若v增大，此时小球所需的向心力将减小
若v＝，当小球运动到最低点的速度为v时，绳子的拉力是6mg
3.如图所示，杂技演员表演“水流星”节目。一根长为L的细绳两端系着盛水的杯子，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯子洒出，重力加速度为g，则杯子运动到最高点的角速度ω至少为(　　)
4.(2024·四川雅安高一期末)如图所示，质量为m的小球刚好静止在竖直放置的光滑圆管道内的最低点，管道的半径为R(不计内外径之差)，水平线ab过轨道圆心，现给小球一水平向右的初速度，下列说法正确的是(　　)
若小球刚好能做完整的圆周运动，则它通过最高点时的速度为
若小球刚好能做完整的圆周运动，则它通过最高点时的速度为零
小球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定无作用力
小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
5.如图所示，某轻杆一端固定一质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，重力加速度为g，以下说法中正确的是(　　)
小球过最高点时，杆所受的弹力不可以为零
小球过最高点时，最小速度为
小球过最低点时，杆对球的作用力不一定与小球所受重力方向相反
小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于或等于杆对球的作用力
6.(多选)如图所示，一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度ω＝的匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
小球运动到最高点C时与杆作用力为零
小球运动到最高点C时球对杆的作用力大小为mg
小球运动到水平位置A时杆对球的作用力大小为2mg
小球运动到水平位置A时杆对球的作用力大小为 mg
题组二　水平面内圆周运动的临界问题
7.(多选)如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平面成θ角，b绳平行于水平面且长为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
a绳一定受拉力作用
a绳所受拉力随角速度的增大而增大
当角速度ω>时，b绳将出现弹力
若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
8.如图所示，在匀速转动的圆盘圆心处通过一个光滑小孔把质量相等(均为m)的两物块用轻绳连接，物块A到转轴的距离为R＝20 cm，与圆盘间的动摩擦因数为μ＝0.2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力(已知π2＝g)，则(　　)
物块A一定会受圆盘的摩擦力
当转速n＝0.5 r/s时，物块A不受摩擦力
物块A所受摩擦力方向一定与线速度方向在一条直线上
当圆盘转速n＝1 r/s时，物块A所受摩擦力方向沿半径背离圆心
综合提升练
9.(多选)(2024·甘肃靖远二中高一期中)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图像如图乙所示。则(　　)
小球的质量为
当地的重力加速度大小为
v2＝c时，杆对小球的弹力方向向上
v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
10.如图所示，水平转盘上的A、B、C三处有三块可视为质点的由同一种材料做成的正方体物块，B、C处物块的质量均为m，A处物块的质量为2m；A、B到轴O的距离均为r，C到轴O的距离为2r，转盘以某一角速度匀速转动时，A、B、C三处的物块都没有发生滑动现象，下列说法中正确的是(　　)
A处物块的向心加速度最大
B处物块受到的静摩擦力最小
当转速增大时，最先滑动起来的是A处的物块
当转速继续增大时，最后滑动起来的是C处的物块
11.(15分)(2024·山东淄博高一统考期末)如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合，转台以一定角速度匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块在A点随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ＝60°。已知重力加速度为g，小物块与陶罐之间的最大静摩擦力大小为Ff＝mg。
(1)(7分)若小物块受到的摩擦力恰好为零，求此时陶罐转动的角速度的大小；
(2)(8分)小物块在A点随陶罐一起匀速转动，求陶罐转动的角速度的最大值。
培优加强练
12.(15分)如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连。物体B的质量也为m。若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则转盘转动的角速度ω在什么范围内才能使物体A随转盘转动而不滑动？
培优提升三　竖直平面内圆周运动的两种模型及水平面内的临界问题
1.BD　[小球在最高点A，受重力和轨道向下的弹力，由牛顿第二定律得FN＋mg＝ma＝m，又FN＝mg，所以a＝2g，v＝，故B、D正确，A、C错误。]
2.D　[小球到达最高点速度最小时，有mg＝m，则v最小值为v＝，即当v＝时，细绳对小球无拉力的作用，选项A、B错误；若v增大，根据Fn＝m，可知此时小球所需的向心力将变大，选项C错误；若v＝，当小球运动到最低点的速度为v时，绳子的拉力是FT＝mg＋m＝6mg，选项D正确。]
3.B　[杯子在竖直平面内做半径为的圆周运动，使水不流出的临界条件是在最高点水的重力提供向心力，则有mg＝mω2·，可得ω＝，故B正确，A、C、D错误。]
4.B　[在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，内管对小球产生弹力，大小为mg，故最小速度为0，A错误，B正确；小球在水平线ab以下管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，C错误；小球在水平线ab以上管道中运动时，当速度非常大时，内侧管壁没有作用力，此时外侧管壁有作用力。当速度比较小时，内侧管壁有作用力，外侧管壁没有作用力，D错误。]
5.D　[小球在最高点时，如果速度恰好为，则此时恰好只有重力提供向心力，杆和球之间没有作用力，杆所受弹力为零，如果速度小于此值，重力大于所需要的向心力，杆就要对球有支持力，方向与重力的方向相反，杆的作用力F＝mg－m，此时重力一定大于或等于杆对球的作用力，故A、B错误，D正确；小球过最低点时，杆对球的作用力方向竖直向上，与重力方向一定相反，故C错误。]
6.AD　[小球运动到最高点C时，有FT＋mg＝mω2l，解得FT＝0，A正确，B错误；小球运动到水平位置A时，有FT′＝mω2l＝mg，杆对球的作用力大小为F＝＝mg，C错误，D正确。]
7.AC　[对小球受力分析如图所示，可得a绳的弹力在竖直方向的分力与小球的重力平衡，解得Ta＝，为定值，A正确，B错误；当Tacos θ＝mω2l，即ω＝时，b绳的弹力为零，若角速度大于该值，则b绳将出现弹力，C正确；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，D错误。]
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8.D　[若mg＝mω2R，则物块A不受摩擦力，A错误；当摩擦力为零时，mg＝mω2R＝m(2πn)2R，代入数据解得n＝ r/s，B错误；物块A所受摩擦力方向与半径在一条直线上，指向圆心或背离圆心，C错误；当圆盘转速n＝1 r/s< r/s时，物块A有沿半径向内运动的趋势，所受摩擦力方向沿半径背离圆心，D正确。]
9.AD　[在最高点，若v＝0，则FN＝mg＝a；若FN＝0，由题图知v2＝b，则有mg＝m＝m，解得g＝，m＝，故A正确，B错误；当v2＜b时，杆对小球弹力方向向上，当v2＞b时，杆对小球弹力方向向下，所以当v2＝c时，杆对小球弹力方向向下，故C错误；若v2＝2b，则FN＋mg＝m＝m，解得FN＝mg，即小球受到的弹力与重力大小相等，故D正确。]
10.B　[三物块的角速度相等，C处物块的半径最大，根据an＝ω2r知，向心加速度最大，故A错误；因为B处物块的质量最小，半径最小，根据Ff＝mω2r，可知B处物块受到的静摩擦力最小，故B正确；根据μmg＝mω2r，可得ω＝，C处物块的半径最大，临界角速度最小，所以C处物块最先滑动起来，故C、D错误。]
11.(1)　(2)
解析　(1)小物块受到的摩擦力恰好为零时，受力如图甲所示
INCLUDEPICTURE"t136.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\课件\\2024课件\\同步\\2025（春）物理 必修 第二册 人教版（L）（鲁琼浙）\\学生word文档\\t136.tif" \* MERGEFORMATINET
由牛顿第二定律得mgtan 60°＝mωRsin 60°
解得ω0＝。
(2)当小物块达到最大角速度时，受力如图乙所示，竖直方向受力平衡，有
FNcos 60°＝mg＋Ffsin 60°
水平方向根据牛顿第二定律得
FNsin 60°＋Ffcos 60°＝mωRsin 60°
联立解得ωm＝。
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12.≤ω≤
解析　当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A做圆周运动所需的向心力由绳的拉力与最大静摩擦力的合力提供，即F＋Ffm＝mωr①
由于B静止，故有F＝mg②
又Ffm＝μFN＝μmg③
由①②③式可得ω1＝
当A将要沿转盘向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为
F－Ffm＝mωr④
由②③④式可得ω2＝
故要使A随转盘一起转动而不滑动，其角速度ω的范围为
ω2≤ω≤ω1
即≤ω≤。培优提升三　竖直平面内圆周运动的两种模型及水平面内的临界问题
学习目标　1.建立竖直平面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型，会应用动力学知识分析轻绳和轻杆模型问题。2.会分析水平面内圆周运动的临界问题，找到临界条件，列方程解决。
提升1　竖直平面内圆周运动的两种模型
1.轻绳模型：竖直(光滑)圆弧内侧的圆周运动、水流星的运动等，类似轻绳一端的物体以轻绳另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点无支撑。
2.轻杆模型：竖直(光滑)圆管内的圆周运动、小球套在竖直圆环上的运动等，类似轻杆一端的物体以轻杆另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点有支撑。
3.两种基本模型的比较
项目 轻绳模型 轻杆模型
情景图示
最高点 受力特征 除重力外，物体可能受到向下的弹力 除重力，物体可能受到向下或向上的弹力
受力示意图
力学方程 mg＋FN＝m mg±FN＝m
临界特征 FN＝0，即mg＝meq \f(v,R)，即vmin＝ v＝0时F向＝0，即FN＝mg
v＝的意义 物体能否过最高点的临界速度 FN表现为拉力(压力)还是支持力的临界速度
过最高点的条件 最高点的速度v≥ 最高点的速度v≥0
过最低点受力分析 FN－mg＝m轻绳或圆轨道受拉力或压力最大，存在绳断的临界条件 FN－mg＝m存在对杆拉力或对管压力的最大值
角度1　轻绳模型
例1 如图所示，长度为L＝1.6 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求：
(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；
(2)小球通过最高点时的速度大小为8 m/s时，轻绳的拉力大小；
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球速度的最大值。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
流程法分析绳模型的临界问题
　　　　
角度2　轻杆模型
例2 (多选)如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A.若v0＝，则小球对管内壁无压力
B.若v0>，则小球对管内上壁有压力
C.若0D.不论v0多大，小球对管内下壁都有压力
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3 有一轻质杆长L为0.5 m，一端固定一质量m为0.5 kg的小球，杆绕另一端在竖直面内做圆周运动(g＝10 m/s2)。
(1)当小球在最高点时刚好对杆无作用力，求此时的速度大小；
(2)当小球运动到最高点速率分别为1 m/s和4 m/s时，求小球对杆的作用力；
(3)当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41 N，求小球的速度大小。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
有关小球通过杆的最高点，要抓住两点
(1)刚好能过最高点的条件，速度为0
(2)通过最高点，小球刚好不受弹力的临界速度为v0＝，若速度v>v0，弹力向下，若速度v提升2　水平面内圆周运动的临界问题
1.常见的临界问题
(1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。
(2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。
(3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。
(4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。
2.解题关键
(1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。
(2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。
例4 如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是(　　)
A.A的向心加速度最大
B.B和C所受摩擦力大小相等
C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动
D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
物体恰好滑动的临界条件是静摩擦力刚好达到最大值，根据牛顿第二定律列方程，求解出相应的临界角速度和线速度。　　　　
例5 (多选)(2024·济南市高一期末)如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块(可视为质点)，当物块到转轴OO′的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为0)。物块和转盘间的最大静摩擦力是物块对转盘压力的μ倍。已知重力加速度为g，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。下列说法正确的是(　　)
A.当转盘以角速度匀速转动时，物块所受的摩擦力大小为μmg
B.当转盘以角速度匀速转动时，细绳的拉力大小为μmg
C.当转盘以角速度匀速转动时，物块所受的摩擦力大小为μmg
D.当转盘以角速度匀速转动时，细绳的拉力大小为μmg
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例6 如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r。一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方r处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。
(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值；
(2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
随堂对点自测
1.(轻绳模型)如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为(　　)
A.200 N B.400 N
C.600 N D.800 N
2.(轻杆模型) (2024·湖南十校联考)如图所示，轻质细杆OA长为1 m，A端固定一个质量为5 kg的小球，小球在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率为3 m/s，g取10 m/s2，细杆受到(　　)
A.5 N的压力 B.5 N的拉力
C.95 N的压力 D.95 N的拉力
3.(水平面内圆周运动的临界问题)(2024·福建福州高一期末)如图所示，甲、乙两个物体放在旋转圆台上，它们的质量均为m，它们与圆台之间的动摩擦因数均为μ，甲物体离轴心距离为2R，乙物体离轴心距离为R。若滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度为g，当圆台旋转时，甲、乙两个物体都没有滑动，则下列说法中正确的是(　　)
A.乙物体的向心加速度大
B.乙物体受到的静摩擦力大
C.ω＝是甲物体开始滑动的临界角速度
D.当圆台转速增加时，甲物体先滑动
培优提升三　竖直平面内圆周运动的两种模型及水平面内的临界问题
提升1
例1 (1)4 m/s　(2)15 N　(3)8 m/s
解析　(1)小球刚好通过最高点时，重力恰好提供向心力，有
mg＝meq \f(v,L)
得v1＝＝4 m/s。
(2)小球通过最高点时的速度大小为8 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，有FT＋mg＝meq \f(v,L)
得FT＝15 N。
(3)分析可知小球通过最低点时轻绳的张力最大，在最低点，由牛顿第二定律得FT′－mg＝meq \f(v,L)
将FT′＝45 N，代入解得v3＝8 m/s
即小球的速度不能超过8 m/s。
例2 ABC　[当小球在最高点，只有重力提供向心力时，由mg＝meq \f(v,R)解得v0＝，此时小球对管内壁无压力，选项A正确；若v0>，则有mg＋FN＝meq \f(v,R)，表明小球对管内上壁有压力，选项B正确；若0例3 (1) m/s　(2)4 N，方向向下　11 N，方向向上　(3)6 m/s
解析　(1)小球在最高点时刚好对杆无作用力，此时重力提供向心力，有mg＝meq \f(v,L)，代入数据解得v1＝＝ m/s。
(2)当小球运动到最高点速率v2＝1 m/s时，此时小球受到杆向上的支持力。根据牛顿第二定律可得mg－F1＝meq \f(v,L)
代入数据得F1＝4 N
根据牛顿第三定律可得小球对杆的作用力大小为4 N，方向向下
当小球运动到最高点速率v3＝4 m/s时，此时小球受到杆向下的拉力，根据牛顿第二定律得F2＋mg＝meq \f(v,L)，代入数据解得F2＝11 N，根据牛顿三定律可得小球对杆的作用力大小为11 N，方向向上。
(3)当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41 N，由牛顿第二定律有F－mg＝meq \f(v,L)
代入数据解得v4＝6 m/s。
提升2
例4 C　[A、B、C三物体角速度相同，由an＝ω2r知，物体C的向心加速度最大，选项A错误；摩擦力提供向心力，FfB＝mω2R，FfC＝mω2·(2R)，物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，选项B错误；物体恰好滑动时，有kmg＝mω2r，ω＝，可知滑动的临界角速度与质量无关，r越大，临界角速度越小，则物体C先滑动，选项C正确，D错误。]
例5 ACD　[物块和转盘间的最大静摩擦力是Ffm＝μmg，当转盘以角速度匀速转动时，所需向心力为F1＝mω2r＝μmgFfm，摩擦力不足以提供向心力，绳子也要提供部分向心力，则F2＝FT＋Ffm，解得FT＝μmg，则物块所受的摩擦力大小为μmg，细绳的拉力大小为μmg，故C、D正确。]
例6 (1)　(2)
解析　(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，静摩擦力达到最大值，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则
μmg＝mωr，解得ω1＝。
(2)物块恰好离开转盘，则FN＝0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示，
mgtan θ＝mωr，tan θ＝，
联立解得ω2＝。
随堂对点自测
1.B　[取该同学与踏板为研究对象，到达最低点时，受力如图所示，设每根绳子中的平均拉力为F。由牛顿第二定律知2F－mg＝m，代入数据得F＝405 N，故每根绳子平均承受的拉力约为405 N，选项B正确。]
2.A　[小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，当在最高点小球与细杆无弹力作用时，设小球的速度为v1，则有mg＝meq \f(v,L)，得v1＝＝ m/s，因为 m/s>3 m/s，所以小球受到细杆的支持力，有mg－FN＝meq \f(v,L)，则FN＝mg－meq \f(v,L)＝ N＝5 N，所以由牛顿第三定律知细杆受到压力，大小为5 N，A正确。]
3.D　[甲、乙两个物体随旋转圆台转动时，角速度相同，根据an＝ω2r得＝＝，A错误；根据牛顿第二定律有Ff甲＝mω2·2R，Ff乙＝mω2R可知，甲受到的静摩擦力大，B错误；对甲物体，最大静摩擦力提供向心力时，角速度达到临界值，有μmg＝mω·2R，得ω甲＝，C错误；对乙物体，最大静摩擦力提供向心力时，角速度达到临界值，有μmg＝mωR，得ω乙＝，可见ω甲<ω乙，当圆台转速增加时，甲物体先滑动，D正确。](共54张PPT)
培优提升三　竖直平面内圆周运动的两种模型及
水平面内的临界问题
第六章　圆周运动
1.建立竖直平面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型，会应用动力学知识分析轻绳和轻杆模型问题。
2.会分析水平面内圆周运动的临界问题，找到临界条件，列方程解决。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　水平面内圆周运动的临界问题
提升1　竖直平面内圆周运动的两种模型
提升1　竖直平面内圆周运动的两种模型
1.轻绳模型：竖直(光滑)圆弧内侧的圆周运动、水流星的运动等，类似轻绳一端的物体以轻绳另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点无支撑。
2.轻杆模型：竖直(光滑)圆管内的圆周运动、小球套在竖直圆环上的运动等，类似轻杆一端的物体以轻杆另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点有支撑。
3.两种基本模型的比较
项目 轻绳模型 轻杆模型
情景图示
最高点 受力特征 除重力外，物体可能受到向下的弹力 除重力，物体可能受到向下或向上的弹力
受力示意图
角度1　轻绳模型
例1 如图所示，长度为L＝1.6 m的轻绳，系一小球在竖直平面内
做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取
10 m/s2，求：
(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；
(2)小球通过最高点时的速度大小为8 m/s时，轻绳的拉力大小；
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球速度的最大值。
得FT＝15 N。
(3)分析可知小球通过最低点时轻绳的张力最大，在最低点，由牛顿第二定律得
流程法分析绳模型的临界问题
ABC
例3 有一轻质杆长L为0.5 m，一端固定一质量m为0.5 kg的小球，
杆绕另一端在竖直面内做圆周运动(g＝10 m/s2)。
(1)当小球在最高点时刚好对杆无作用力，求此时的速度大小；
(2)当小球运动到最高点速率分别为1 m/s和4 m/s时，求小球对杆的作用力；
(3)当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41 N，求小球的速度大小。
代入数据得F1＝4 N
根据牛顿第三定律可得小球对杆的作用力大小为4 N，方向向下
当小球运动到最高点速率v3＝4 m/s时，此时小球受到杆向下的拉力，根据牛顿第二定律得
提升2　水平面内圆周运动的临界问题
1.常见的临界问题
(1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。
(2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。
(3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。
(4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。
2.解题关键
(1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。
(2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。
例4 如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是(　　)
A.A的向心加速度最大
B.B和C所受摩擦力大小相等
C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动
D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
C
物体恰好滑动的临界条件是静摩擦力刚好达到最大值，根据牛顿第二定律列方程，求解出相应的临界角速度和线速度。　　　　
ACD
解析　(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，静摩擦力达到最大值，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则
(2)物块恰好离开转盘，则FN＝0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示，
随堂对点自测
2
B
1.(轻绳模型)如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为(　　)
A.200 N B.400 N
C.600 N D.800 N
A
2.(轻杆模型) (2024·湖南十校联考)如图所示，轻质细杆OA长为1 m，A端固定一个质量为5 kg的小球，小球在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率为3 m/s，g取10 m/s2，细杆受到(　　)
A.5 N的压力 B.5 N的拉力
C.95 N的压力 D.95 N的拉力
D
3.(水平面内圆周运动的临界问题)(2024·福建福州高一期末)如图所示，甲、乙两个物体放在旋转圆台上，它们的质量均为m，它们与圆台之间的动摩擦因数均为μ，甲物体离轴心距离为2R，乙物体离轴心距离为R。若滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度为g，当圆台旋转时，甲、乙两个物体都没有滑动，则下列说法中正确的是(　　)
课后巩固训练
3
BD
对点题组练
D
B
3.如图所示，杂技演员表演“水流星”节目。一根长为L的细绳两端系着盛水的杯子，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯子洒出，重力加速度为g，则杯子运动到最高点的角速度ω至少为(　　)
B
解析　在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，内管对小球产生弹力，大小为mg，故最小速度为0，A错误，B正确；小球在水平线ab以下管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，C错误；小球在水平线ab以上管道中运动时，当速度非常大时，内侧管壁没有作用力，此时外侧管壁有作用力。当速度比较小时，内侧管壁有作用力，外侧管壁没有作用力，D错误。
D
AD
AC
题组二　水平面内圆周运动的临界问题
7.(多选)如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平面成θ角，b绳平行于水平面且长为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
D
8.如图所示，在匀速转动的圆盘圆心处通过一个光滑小孔把质量相等(均为m)的两物块用轻绳连接，物块A到转轴的距离为R＝20 cm，与圆盘间的动摩擦因数为μ＝0.2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力(已知π2＝g)，则(　　)
A.物块A一定会受圆盘的摩擦力
B.当转速n＝0.5 r/s时，物块A不受摩擦力
C.物块A所受摩擦力方向一定与线速度方向在一条直线上
D.当圆盘转速n＝1 r/s时，物块A所受摩擦力方向沿半径背离圆心
AD
9.(多选)(2024·甘肃靖远二中高一期中)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图像如图乙所示。则(　　)
综合提升练
B
10.如图所示，水平转盘上的A、B、C三处有三块可视为质点的由同一种材料做成的正方体物块，B、C处物块的质量均为m，A处物块的质量为2m；A、B到轴O的距离均为r，C到轴O的距离为2r，转盘以某一角速度匀速转动时，A、B、C三处的物块都没有发生滑动现象，下列说法中正确的是(　　)
A.A处物块的向心加速度最大
B.B处物块受到的静摩擦力最小
C.当转速增大时，最先滑动起来的是A处的物块
D.当转速继续增大时，最后滑动起来的是C处的物块
(1)若小物块受到的摩擦力恰好为零，求此时陶罐转动的角速度的大小；
(2)小物块在A点随陶罐一起匀速转动，求陶罐转动的角速度的最大值。
解析　(1)小物块受到的摩擦力恰好为零时，受力如图甲所示
(2)当小物块达到最大角速度时，受力如图乙所示，竖直
方向受力平衡，有
FNcos 60°＝mg＋Ffsin 60°
水平方向根据牛顿第二定律得
12.如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连。物体B的质量也为m。若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则转盘转动的角速度ω在什么范围内才能使物体A随转盘转动而不滑动？
培优加强练
解析　当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A
由于B静止，故有F＝mg②
又Ffm＝μFN＝μmg③

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