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章末核心素养提升
　　　　　　　　　　　　　　　　
一、描述圆周运动的物理量
例1 (多选) (2024·河南洛阳市联考)“飞车走壁”是一种传统的杂技艺术，杂技演员驾驶摩托车(视为质点)在倾角很大的“桶壁”内侧做圆周运动而不掉下来。如图所示，一杂技演员驾驶摩托车做匀速圆周运动，在t＝2 s内转过的圆心角θ＝4 rad，通过的弧长s＝40 m，则下列说法正确的是(　　)
A.摩托车的角速度大小为8 rad/s
B.摩托车的角速度大小为2 rad/s
C.摩托车做匀速圆周运动的半径为10 m
D.摩托车做匀速圆周运动的半径为5 m
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 (2024·安徽合肥一中高一期末)如图所示，自行车的大齿轮与小齿轮通过链条相连，而后轮与小齿轮是绕共同的轴转动的。设大齿轮、小齿轮和后轮的半径分别为r1、r2、r3，当C点的线速度大小为v时，A点的线速度大小为(　　)
A.v B.v
C.v D.v
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二、圆锥摆模型
1.受力特点
受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。
2.运动实例
运动模型 向心力的来源图示
圆锥摆
物体在光滑半圆形碗内做匀速圆周运动
3.规律总结
(1)圆锥摆的周期
如图摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ，受力分析，由牛顿第二定律得mgtan θ＝mr
r＝Lsin θ
解得T＝2π＝2π。
(2)结论
①摆高h＝Lcos θ，周期T越小，圆锥摆转得越快，θ越大。
②摆线拉力FT＝，圆锥摆转得越快，摆线拉力FT越大。
③摆球的向心加速度a＝gtan θ，圆锥摆转得越快，向心加速度越大。
4.圆锥摆的两种变形
变形1：具有相同锥度角(长度不同)的圆锥摆，如图甲所示。
由a＝gtan θ知A、B的向心加速度大小相等，由a＝ω2r知ωA<ωB；由a＝知vA>vB。
变形2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。
由T＝2π知摆高h相同，则TA＝TB，ωA＝ωB，由v＝ωr知vA>vB；由a＝ω2r知aA>aB。
例3 (多选) (2024·重庆第二外国语学校高一期末)如图，小球(可视作质点)和a、b两根细绳相连，两绳分别固定在细杆上两点，其中b绳长Lb＝2 m，小球随杆一起在水平面内匀速转动。当两绳都拉直时，a、b两绳和细杆的夹角θ1＝45°，θ2＝60°，g＝10 m/s2。若a、b两绳始终张紧，则小球运动的线速度大小可能是(　　)
A.3.5 m/s B.4 m/s
C.4.5 m/s D.5 m/s
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例4 如图所示，一根长为L＝1 m的细线一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示)。
(1)若要使小球刚好离开锥面，则小球的角速度ω为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、平抛运动与圆周运动结合模型
求解平抛运动与圆周运动的综合问题的思路是：首先根据运动的独立性和各自的运动规律列式，其次寻找两种运动的结合点，如它们的位移关系、速度关系、时间关系等，最后再联立方程求解。
例5 (2024·广东东莞高一期中)如图所示，竖直平面内有一圆弧管道，其半径为R＝0.5 m，质量m＝0.8 kg的小球从平台边缘的A处水平射出，恰能沿圆弧管道上P点的切线方向进入管道内侧，管道半径OP与竖直线的夹角为53°，已知管道最高点Q与A点等高，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2。试求：
(1)小球从平台上的A点射出时的速度大小v0；
(2)如果小球沿管道通过圆弧的最高点Q时的速度大小为3 m/s，则小球运动到Q点时对轨道的压力；
(3)由于不同小球与管道的摩擦不同，从最高点Q飞出速度范围为0～3 m/s的小球，小球落在地面上最近的点为M，最远的点为N，求MN的距离(计算结果可用根号表示)。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
章末核心素养提升
知识网络构建
不变　不变　　　ωr　m　mω2r　　ω2r　圆周　离心　近心　　
核心素养提升
例1 BC　[摩托车的角速度ω＝＝2 rad/s，A错误，B正确；摩托车做匀速圆周运动的半径r＝＝10 m，C正确，D错误。]
例2 B　[传动过程中，同一链条上的A、B两点的线速度大小相等，即vA＝vB；B、C两点同轴转动，角速度相同，C点的线速度大小为v，则由v＝ωr可知＝，解得vA＝vB＝v，故A、C、D错误，B正确。]
例3 CD　[当a绳恰好拉直，但Tb＝0时，设细杆的转动线速度为v1，有Tacos 45°＝mg，Tasin 45°＝meq \f(v,Lbsin 60°)，解得v1≈4.16 m/s；当b绳恰好拉直，但Ta＝0时，设细杆的转动线速度为v2，
有Tbcos 60°＝mg，Tbsin 60°＝meq \f(v,Lbsin 60°)，解得v2≈5.48 m/s，
要使两绳都拉紧4.16 m/s例4 (1) rad/s　(2)2 rad/s
解析　(1)当小球刚要离开锥面时，锥面给小球的支持力为零，受力分析如图甲所示。
甲
由牛顿第二定律得
mgtan θ＝mω2Lsin θ
ω＝＝ rad/s。
(2)当细线与竖直方向夹角α＝60°时，
小球已飞离锥面，受力分析如图乙所示。
乙
由牛顿第二定律得
mgtan α＝mω′2r
r＝Lsin α
联立得ω′＝＝2 rad/s。
例5 (1)3 m/s　(2)6.4 N，方向竖直向上　(3) m
解析　(1)小球从A到P的高度差为
h＝R(1＋cos 53°)＝0.8 m
小球做平抛运动，竖直方向有h＝gt2
解得t＝0.4 s
则小球在P点的竖直分速度为vy＝gt＝4 m/s
把小球在P点的速度分解可得tan 53°＝
解得小球平抛运动初速度为v0＝3 m/s。
(2)小球到达Q时，速度为vQ＝3 m/s
设小球受到的弹力向下，根据牛顿第二定律可得
FN＋mg＝meq \f(v,R)
解得FN＝6.4 N
由牛顿第三定律可知，小球通过管道的最高点Q时对管道的压力大小为6.4 N，方向竖直向上。
(3)小球从Q点到地面做平抛运动，设小球在Q点速度为v1时，刚好经过P点落到地面上，则竖直方向有
R(1＋cos 53°)＝gt
解得t1＝0.4 s
水平方向有v1＝＝1 m/s
小球从Q点到地面过程，竖直方向有2R＝gt
解得t2＝＝ s，水平方向有x＝vQt2
则小球落在地面上最近点M与最远点N的距离为
Δx＝(vmax－v1)t2＝(3－1)× m＝ m。(共21张PPT)
章末核心素养提升
第六章　圆周运动
目 录
CONTENTS
知识网络构建
01
核心素养提升
02
知识网络构建
1
不变
不变
圆周
离心
近心
核心素养提升
2
BC
一、描述圆周运动的物理量
例1 (多选)(2024·河南洛阳市联考)“飞车走壁”是一种传统的杂技艺术，杂技演员驾驶摩托车(视为质点)在倾角很大的“桶壁”内侧做圆周运动而不掉下来。如图所示，一杂技演员驾驶摩托车做匀速圆周运动，在t＝2 s内转过的圆心角θ＝4 rad，通过的弧长s＝40 m，则下列说法正确的是(　　)
A.摩托车的角速度大小为8 rad/s
B.摩托车的角速度大小为2 rad/s
C.摩托车做匀速圆周运动的半径为10 m
D.摩托车做匀速圆周运动的半径为5 m
B
例2 (2024·安徽合肥一中高一期末)如图所示，自行车的大齿轮与小齿轮通过链条相连，而后轮与小齿轮是绕共同的轴转动的。设大齿轮、小齿轮和后轮的半径分别为r1、r2、r3，当C点的线速度大小为v时，A点的线速度大小为(　　)
二、圆锥摆模型
1.受力特点
受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。
2.运动实例
运动模型 向心力的来源图示
圆锥摆
物体在光滑半圆形碗内做匀速圆周运动
CD
例3 (多选)(2024·重庆第二外国语学校高一期末)如图，小球(可视作质点)和a、b两根细绳相连，两绳分别固定在细杆上两点，其中b绳长Lb＝2 m，小球随杆一起在水平面内匀速转动。当两绳都拉直时，a、b两绳和细杆的夹角θ1＝45°，θ2＝60°，g＝10 m/s2。若a、b两绳始终张紧，则小球运动的线速度大小可能是(　　)
A.3.5 m/s B.4 m/s
C.4.5 m/s D.5 m/s
例4 如图所示，一根长为L＝1 m的细线一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示)。
(1)若要使小球刚好离开锥面，则小球的角速度ω为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
解析　(1)当小球刚要离开锥面时，锥面给小球的支持力为零，受力分析如图甲所示。
由牛顿第二定律得mgtan θ＝mω2Lsin θ
甲
(2)当细线与竖直方向夹角α＝60°时，小球已飞离锥面，受力分析如图乙所示。
由牛顿第二定律得
mgtan α＝mω′2r
r＝Lsin α
乙
三、平抛运动与圆周运动结合模型
求解平抛运动与圆周运动的综合问题的思路是：首先根据运动的独立性和各自的运动规律列式，其次寻找两种运动的结合点，如它们的位移关系、速度关系、时间关系等，最后再联立方程求解。
例5 (2024·广东东莞高一期中)如图所示，竖直平面内有一圆弧管道，其半径为R＝0.5 m，质量m＝0.8 kg的小球从平台边缘的A处水平射出，恰能沿圆弧管道上P点的切线方向进入管道内侧，管道半径OP与竖直线的夹角为53°，已知管道最高点Q与A点等高，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2。试求：
(1)小球从平台上的A点射出时的速度大小v0；
(2)如果小球沿管道通过圆弧的最高点Q时的速度大小为3 m/s，则小球运动到Q点时对轨道的压力；
(3)由于不同小球与管道的摩擦不同，从最高点Q飞出速度范围为0～3 m/s的小球，小球落在地面上最近的点为M，最远的点为N，求MN的距离(计算结果可用根号表示)。
解析　(1)小球从A到P的高度差为h＝R(1＋cos 53°)＝0.8 m
解得t＝0.4 s
则小球在P点的竖直分速度为vy＝gt＝4 m/s
解得小球平抛运动初速度为v0＝3 m/s。
(2)小球到达Q时，速度为vQ＝3 m/s
设小球受到的弹力向下，根据牛顿第二定律可得
解得FN＝6.4 N
由牛顿第三定律可知，小球通过管道的最高点Q时对管道的压力大小为6.4 N，方向竖直向上。
解得t1＝0.4 s
水平方向有x＝vQt2
则小球落在地面上最近点M与最远点N的距离为

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