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第3节　万有引力理论的成就
学习目标　1.理解“称量”地球质量的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。2.理解计算太阳质量的基本思路，能将天体运动转化成相关模型后进行求解。3.认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力，进一步认识运动与相互作用的观念。
知识点一　“称量”地球的质量
如图是我们测量物体质量的常用工具，地球这么大，我们如何“称量”地球的质量呢？卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他被称为“可以称量地球质量的人”。他“称量”的依据是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.思路：若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于___________________________________________________________________。
2.关系式：mg＝G。
3.地球的质量：m地＝________，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。
【思考】
1.若知道某星球表面的重力加速度和星球半径，能否用“称量”地球的方法“称量”该星球的质量。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.这种“称量”星体质量的方法忽略了哪种因素的影响？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 (2021·全国卷)卡文迪什用扭秤实验测定了引力常量，以实验验证了万有引力定律的正确性。应用引力常量还可以计算出地球的质量，卡文迪什也因此被称为“能称出地球质量的人”。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/ kg2，地面上的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则地球质量约为(　　)
A.6×1018 kg B.6×1020 kg
C.6×1022 kg D.6×1024 kg
只要知道某星球表面的重力加速度g和星球半径R，就可以估算出星球的质量。　　　　
知识点二　计算天体的质量和密度
太阳是一个火热的球体，如果不知道太阳表面的重力加速度，那么如何计算太阳的质量？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.太阳质量的计算
(1)依据：设m太是太阳的质量，m是某个行星的质量，r是行星与太阳之间的距离，行星做匀速圆周运动的向心力由他们之间的万有引力提供，即G＝________。
(2)结论：m太＝________，测出行星的公转周期T和它与太阳间的距离r，就可以算出太阳的质量。
2.行星质量的计算：如果已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算行星的质量。
【思考】 如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳间的距离r。
(1)写出太阳质量的表达式，并根据结果进一步理解开普勒第三定律。
(2)若要求太阳的密度，还需要哪些量？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度1　重力加速度法
例2 宇航员在距某一星球表面h高度处，以某一速度沿水平方向抛出一个小球，经过时间t后小球落到星球表面。已知该星球的半径为R，引力常量为G，不计一切阻力，则该星球的质量为(　　)
A. B.
C. D.
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度2　环绕法
例3 一月球探测器绕月球做周期为T的圆周运动，轨道距月球表面的高度为H。已知月球半径为R，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　)
A. B.
C. D.
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
天体质量和密度的计算方法(天体质量为M)
重力加速度法 环绕法
情景 已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动
思路 物体在天体表面的重力近似等于天体与物体间的万有引力：mg＝G 行星或卫星受到的万有引力提供向心力：G＝mr
天体质量 天体质量：M＝ 中心天体质量：M＝
天体密度 ρ＝＝ ρ＝＝
说明 未知星球表面重力加速度通常利用实验测出，例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动 这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量T为公转周期r为轨道半径R为中心天体半径
　　　　知识点三　发现未知天体　预言哈雷彗星回归
1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生__________和法国年轻的天文学家________根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星轨道外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的________在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——________。
2.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了________、阋神星等几个较大的天体。
3.哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷计算出在1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道如出一辙，并预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为________年，还预言它将于1758年底或1759年初再次回归。1759年3月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在________年左右。
4.海王星的发现和____________的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。
例4 十八世纪，人们已经知道太阳系有七颗行星，但是第七颗行星天王星的运动轨道有些“古怪”：它的轨道与根据万有引力定律计算出来的轨道存在一些偏差，这个偏差产生的原因是(　　)
A.天文观测数据不准确
B.万有引力定律的准确性有问题
C.离天王星较近的土星对天王星的影响
D.天王星轨道外面还有一颗未发现的行星
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.发现过程
(1)由最外侧天体轨道的“古怪”现象提出猜想。
(2)根据轨道的“古怪”情况和万有引力定律计算“新”天体的可能轨道。
(3)根据计算出的轨道预测可能出现的时刻和位置。
(4)进行实地观察验证。
2.海王星与冥王星发现的重要意义并不仅仅在于发现了新天体，更重要的是确立了万有引力定律的地位。　　　　
知识点四　天体运动的分析与计算
1.基本思路
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。
2.常用关系
(1)G＝ma＝m＝mω2r＝mr。
(2)忽略天体自转时，mg＝G(物体在天体表面受到的万有引力等于物体重力)，整理可得gR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”，R为天体半径，g为天体表面的重力加速度。
3.四个重要结论
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
项目 推导式 关系式 结论
v与r的关系 G＝m v＝∝ r越大，v越小
ω与r的关系 G＝mω2r ω＝∝ r越大，ω越小
T与r的关系 G＝mr T＝2π∝ r越大，T越大
a与r的关系 G＝ma a＝∝ r越大，a越小
规律：“一定四定”(即r定了，v、ω、T、a都定了)，“越远越慢”(即r越大，v、ω、a越小，T越大)。
例5 (2022·上海卷)木卫一和木卫二都绕木星做匀速圆周运动。它们的周期分别为42 h、46 min和85 h、22 min，它们的轨道半径分别为R1和R2，线速度分别为v1和v2，则(　　)
A.R1＜R2，v1＜v2 B.R1＞R2，v1＜v2
C.R1＞R2，v1＞v2 D.R1＜R2，v1＞v2
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例6 (多选)三颗人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动，如图所示，已知mA＝mBA.运行线速度大小关系为vA>vB＝vC
B.运行角速度关系为ωA>ωB＝ωC
C.向心力大小关系为FA＝FBD.轨道半径与运行周期关系为eq \f(R,T)＝eq \f(R,T)＝eq \f(R,T)
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
随堂对点自测
1(天体质量的计算)(2024·新课标卷，3)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的(　　)
A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1 000 倍
2.(天体质量的计算)(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为(　　)
A.4×104M B.4×106M
C.4×108M D.4×1010M
3.(天体密度的计算)假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的密度为(　　)
A.· B.·
C. D.·
4.(天体运动的分析与计算)(2022·广东卷)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是(　　)
A.火星公转的线速度比地球的大
B.火星公转的角速度比地球的大
C.火星公转的半径比地球的小
D.火星公转的加速度比地球的小
第3节　万有引力理论的成就
知识点一
导学
提示　若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，因为地球表面的重力加速度g及地球的半径R均已知，由mg＝G得m地＝。
知识梳理
1.地球对物体的引力　3.
[思考]
1.提示　能。
2.提示　星体自转的影响。
例1 D　[根据公式＝mg，可得m地＝＝ kg＝6×1024 kg，故D正确。]
知识点二
导学
提示　太阳对地球的万有引力提供了地球绕太阳做圆周运动的向心力，若知道地球的公转周期及轨道半径，根据G＝m地r，可以推导出太阳的质量。
知识梳理
1.(1)m　(2)
[思考]
提示　(1)由G＝m地r知m太＝，所以＝，可见为一常量，只与太阳的质量有关，与行星的质量无关。
(2)由密度公式ρ＝＝eq \f(\f(4π2r3,GT2),\f(4,3)πR)＝eq \f(3πr3,GT2R)，若要求太阳的密度，还需要知道太阳的半径R太。
例2 A　[设该星球表面的重力加速度为g，小球在星球表面做平抛运动，有h＝gt2。设该星球的质量为M，在星球表面有mg＝G，由以上两式得，该星球的质量为M＝，A正确。]
例3 A　[月球探测器绕月球做匀速圆周运动，月球对探测器的引力提供向心力，有G＝m(R＋H)，解得M＝，月球的体积为V＝πR3，则月球的平均密度ρ＝＝＝，故A正确，B、C、D错误。]
知识点三
1.亚当斯　勒维耶　伽勒　海王星　2.冥王星　3.76　2061
4.哈雷彗星
例4 D　[天王星轨道外面还有一颗未发现的行星。该行星对天王星产生吸引作用，使其轨道产生了偏差。故A、B、C错误，D正确。]
知识点四
例5 D　[根据万有引力提供向心力可得G＝mR＝m，解得T＝，v＝，根据题目可知，木卫一的周期小于木卫二的周期，则R1＜R2；根据线速度的表达式可知，v1＞v2，故D正确。]
例6 ABD　[由G＝m得v＝，所以vA>vB＝vC，选项A正确；由G＝mω2r得ω＝，所以ωA>ωB＝ωC，选项B正确；由G＝man得an＝G，所以aA>aB＝aC，又mA＝mBFB，FB随堂对点自测
1.B　[行星绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力，由G＝mr得， M＝，则＝eq \f(r·T,r·T)＝≈0.1，故B正确。]
2.B　[由万有引力提供向心力有G＝mR，整理得＝，可知只与中心天体的质量有关，则＝eq \f(\f(R,T),\f(R,T))，已知T地＝1年，由题图可知恒星S2绕银河系运动的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞＝4×106M，B正确。]
3.B　[设物体的质量为m，地球的质量为m地、半径为R，在地球两极的物体所受重力等于万有引力，即G＝mg0，在赤道上的物体做圆周运动的周期等于地球的自转周期，半径等于地球的半径，有G－mg＝mR，又地球的质量m地＝πR3ρ，联立三式可得ρ＝·，B正确。]
4.D　[由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据G＝mr，可得T＝2π，可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；根据G＝m，可得v＝，可知火星公转的线速度小于地球公转的线速度，故A错误；根据ω＝可知，火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；根据G＝ma，可得a＝，可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确。]第3节　万有引力理论的成就
(分值：100分)
选择题1～10题，每小题7分，共70分。
对点题组练
题组一　天体质量和密度的计算
1.(2024·山东泰安高一期末)已知卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，运动周期为T，地球半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
地球表面的重力加速度大小为
地球的质量大小为
卫星的向心加速度大小为
地球的平均密度大小为
2.(多选)(2024·西南大学附中期中)2023年3月17日，我国成功将“高分十三号02星”发射升空，卫星顺利进入预定轨道。假设入轨后，“高分十三号02星”以线速度为v绕地球做周期为T的匀速圆周运动。已知地球的半径为R，引力常量为G。由此可知(　　)
该卫星到地球表面的高度为－R
该卫星到地球表面的高度为－R
地球的质量
地球的质量
3.2022年8月10日，我国在太原卫星发射中心用长征六号运载火箭成功将“吉林一号”组网星中的16颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定的环绕地球运动轨道，发射任务取得圆满成功。这16颗卫星的轨道平面各异，高度不同，通过测量发现，它们的轨道半径的三次方与运动周期的二次方成正比，且比例系数为p。已知引力常量为G，由此可知地球的质量为(　　)
4.设在地球上和在某未知天体上，以相同的初速度竖直上抛一物体，物体上升的最大高度比为k(均不计阻力)，且已知地球和该天体的半径比也为k，则地球质量与该天体的质量比为(　　)
1 k
k2
题组二　天体运动的分析和计算
5.人造卫星以地心为圆心，做匀速圆周运动。关于其各物理量间的关系，下列说法正确的是(　　)
半径越大，速度越小，周期越小
半径越大，速度越小，周期越大
所有卫星的线速度均是相同的，与半径无关
所有卫星的角速度均是相同的，与半径无关
6.(2023·江苏卷)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是(　　)
质量
向心力大小
向心加速度大小
受到地球的万有引力大小
7.(2022·河北卷)2008年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16米望远镜，发现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b，2019年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别命名为“羲和”和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2倍，若将望舒与地球的公转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等。则望舒与地球公转速度大小的比值为(　　)
2 2
8. (多选)如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b的质量相等，且小于c的质量，则(　　)
b所需向心力最小
b、c的周期相同且大于a的周期
b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
综合提升练
9.已知M、N两星球的半径之比为1∶2，在星球表面竖直上抛物体时，其上升的最大高度h与初速度平方v2的关系如图所示(不计空气阻力)，M、N两星球的密度之比为(　　)
1∶1 1∶2
1∶4 1∶8
10.(2023·浙江卷)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍，月球绕地球公转周期为T0，则(　　)
木卫一轨道半径为r
木卫二轨道半径为r
周期T与T0之比为n
木星质量与地球质量之比为eq \f(T,T2)n3
11.(15分)若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地，若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求：
(1)(5分)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)(5分)月球的质量M；
(3)(5分)月球的平均密度ρ。
培优加强练
12.(15分)(2024·齐齐哈尔市第八中学高一期末)“天问一号”是中国首个火星探测器，其名称来源于我国著名爱国主义诗人屈原的长诗《天问》。2021年2月我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r，已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转。求：
(1)(5分)“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v；
(2)(5分)火星的质量M；
(3)(5分)火星表面的重力加速度g的大小。
第3节　万有引力理论的成就
1.C　[设地球质量为M，由G＝mr得M＝，根据万有引力和重力的关系有mg＝G，则有g＝，A、B错误；向心加速度为a＝，C正确；由质量和密度的关系得ρ＝＝，D错误。]
2.AC　[由v＝得r＝，所以该卫星到地球表面的高度为h＝－R，A正确，B错误；卫星绕地球做匀速圆周运动，由G＝m得M＝＝，C正确，D错误。]
3.C　[卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有G＝mr，又由题意可知r3＝pT2，联立解得M＝，C项正确。]
4.B　[在地球和天体的表面附近，物体的重力近似等于物体受到的万有引力，故mg＝G，竖直上抛时物体上升的最大高度H＝eq \f(v,2g)，联立解得中心天体的质量M＝eq \f(vR2,2HG)，则＝·＝k，B正确。]
5.B　[根据G＝m＝mr＝mω2r，可得v＝，T＝，ω＝，可知半径越大，速度越小，周期越大，角速度越小，故B正确。]
6.C　
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7.C　[地球绕太阳公转和行星望舒绕恒星羲和的匀速圆周运动都是由万有引力提供向心力，有G＝m，解得公转的线速度大小为v＝，其中中心天体的质量之比为2∶1，公转的轨道半径相等，则望舒与地球公转速度大小的比值为，故C正确。]
8.ABD　[因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供的，即Fn＝，则b所需向心力最小，A正确；由＝mr得T＝2π，即r越大，T越大，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B正确；由＝man，得an＝，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错误；由＝，得v＝，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D正确。]
9.A　[由竖直上抛运动和题图可知v＝2gM·2h0，v＝2gN·h0，可得gM∶gN＝1∶2。根据＝mg、M＝ρ·πR3可得ρ＝，则M、N两星球的密度之比为＝·＝×＝，A正确。]
10.D　[已知月球绕地球公转的轨道半径为r，木卫三绕木星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有＝m木卫三nr；月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有＝m月eq \f(4π2,T)r，联立解得木星质量与地球质量之比＝eq \f(T,T2)n3，D正确；如果地球、木星质量相等，则根据上式可知eq \f(T2,T)＝n3，但木星、地球质量并不相等，C错误；设木卫一、木卫二、木卫三的轨道半径分别为R1、R2、R3，根据开普勒第三定律＝k，可知R∶R∶R＝1∶4∶16，所以木卫一的轨道半径为，木卫二的轨道半径为，A、B错误。]
11.(1)　(2)　(3)
解析　(1)物体在月球表面附近做自由落体运动，则h＝g月t2
解得g月＝。
(2)因不考虑月球自转的影响，则有
G＝mg月
月球的质量M＝＝。
(3)月球的平均密度
ρ＝＝＝。
12.(1)　(2)　(3)
解析　(1)由题意可得v＝。
(2)设“天问一号”的质量为m，由万有引力提供向心力有
G＝mr
得M＝。
(3)忽略火星自转，火星表面质量为m′的物体所受引力等于重力，有G＝m′g
得g＝。(共56张PPT)
第3节　万有引力理论的成就
第七章　万有引力与宇宙航行
1.理解“称量”地球质量的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
2.理解计算太阳质量的基本思路，能将天体运动转化成相关模型后进行求解。
3.认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力，进一步认识运动与相互作用的观念。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　计算天体的质量和密度
知识点一　“称量”地球的质量
知识点三　发现未知天体　预言哈雷彗星回归
知识点四　天体运动的分析与计算
知识点一　“称量”地球的质量
　　　如图是我们测量物体质量的常用工具，地球这么大，我们如何“称量”地球的质量呢？卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他被称为“可以称量地球质量的人”。他“称量”的依据是什么？
1.思路：若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于__________________。
地球对物体的引力
3.地球的质量：m地＝______，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。
【思考】
1.若知道某星球表面的重力加速度和星球半径，能否用“称量”地球的方法“称量”该星球的质量。
提示　能。
2.这种“称量”星体质量的方法忽略了哪种因素的影响？
提示　星体自转的影响。
D
例1 (2021·全国卷)卡文迪什用扭秤实验测定了引力常量，以实验验证了万有引力定律的正确性。应用引力常量还可以计算出地球的质量，卡文迪什也因此被称为“能称出地球质量的人”。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/ kg2，地面上的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则地球质量约为(　　)
A.6×1018 kg B.6×1020 kg C.6×1022 kg D.6×1024 kg
只要知道某星球表面的重力加速度g和星球半径R，就可以估算出星球的质量。　　　　
知识点二　计算天体的质量和密度
　　　太阳是一个火热的球体，如果不知道太阳表面的重力加速度，那么如何计算太阳的质量？
2.行星质量的计算：如果已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算行星的质量。
【思考】 如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳间的距离r。
(1)写出太阳质量的表达式，并根据结果进一步理解开普勒第三定律。
(2)若要求太阳的密度，还需要哪些量？
A
A
天体质量和密度的计算方法(天体质量为M)
知识点三　发现未知天体　预言哈雷彗星回归
1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生________和法国年轻的天文学家________根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星轨道外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的______在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——________。
2.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了________、阋神星等几个较大的天体。
亚当斯
勒维耶
伽勒
海王星
冥王星
3.哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷计算出在1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道如出一辙，并预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为______年，还预言它将于1758年底或1759年初再次回归。1759年3月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在__________年左右。
4.海王星的发现和__________的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。
76
2061
哈雷彗星
D
例4 十八世纪，人们已经知道太阳系有七颗行星，但是第七颗行星天王星的运动轨道有些“古怪”：它的轨道与根据万有引力定律计算出来的轨道存在一些偏差，这个偏差产生的原因是(　　)
A.天文观测数据不准确
B.万有引力定律的准确性有问题
C.离天王星较近的土星对天王星的影响
D.天王星轨道外面还有一颗未发现的行星
解析　天王星轨道外面还有一颗未发现的行星。该行星对天王星产生吸引作用，使其轨道产生了偏差。故A、B、C错误，D正确。
1.发现过程
(1)由最外侧天体轨道的“古怪”现象提出猜想。
(2)根据轨道的“古怪”情况和万有引力定律计算“新”天体的可能轨道。
(3)根据计算出的轨道预测可能出现的时刻和位置。
(4)进行实地观察验证。
2.海王星与冥王星发现的重要意义并不仅仅在于发现了新天体，更重要的是确立了万有引力定律的地位。　　　　
知识点四　天体运动的分析与计算
1.基本思路
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。
2.常用关系
3.四个重要结论
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
规律：“一定四定”(即r定了，v、ω、T、a都定了)，“越远越慢”(即r越大，v、ω、a越小，T越大)。
D
例5 (2022·上海卷)木卫一和木卫二都绕木星做匀速圆周运动。它们的周期分别为42 h、46 min和85 h、22 min，它们的轨道半径分别为R1和R2，线速度分别为v1和v2，则(　　)
A.R1＜R2，v1＜v2 B.R1＞R2，v1＜v2
C.R1＞R2，v1＞v2 D.R1＜R2，v1＞v2
ABD
例6 (多选)三颗人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动，如图所示，已知mA＝mB随堂对点自测
2
B
1.(天体质量的计算)(2024·新课标卷，3)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的(　　)
A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 D.1 000 倍
B
2.(天体质量的计算)(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为(　　)
A.4×104M B.4×106M
C.4×108M D.4×1010M
B
D
4.(天体运动的分析与计算)(2022·广东卷)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是(　　)
A.火星公转的线速度比地球的大
B.火星公转的角速度比地球的大
C.火星公转的半径比地球的小
D.火星公转的加速度比地球的小
课后巩固训练
3
C
对点题组练
AC
C
B
B
题组二　天体运动的分析和计算
5.人造卫星以地心为圆心，做匀速圆周运动。关于其各物理量间的关系，下列说法正确的是(　　)
A.半径越大，速度越小，周期越小
B.半径越大，速度越小，周期越大
C.所有卫星的线速度均是相同的，与半径无关
D.所有卫星的角速度均是相同的，与半径无关
C
6.(2023·江苏卷)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是(　　)
A.质量
B.向心力大小
C.向心加速度大小
D.受到地球的万有引力大小
解析　
C
ABD
8.(多选)如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b的质量相等，且小于c的质量，则(　 　)
A.b所需向心力最小
B.b、c的周期相同且大于a的周期
C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D.b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
A
9.已知M、N两星球的半径之比为1∶2，在星球表面竖直上抛物体时，其上升的最大高度h与初速度平方v2的关系如图所示(不计空气阻力)，M、N两星球的密度之比为(　　)
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶4 D.1∶8
综合提升练
D
11.若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地，若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求：
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的平均密度ρ。
12.(2024·齐齐哈尔市第八中学高一期末)“天问一号”是中国首个火星探测器，其名称来源于我国著名爱国主义诗人屈原的长诗《天问》。2021年2月我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r，已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转。求：
(1)“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v；
(2)火星的质量M；
(3)火星表面的重力加速度g的大小。
培优加强练

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