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培优提升四　应用万有引力定律解决“三个”热点问题
学习目标　1.理解卫星发射、变轨和对接过程，会分析变轨过程中各物理量的变化。2.理解天体运动中的追及与相遇问题。3.掌握双星和多星模型的特点，会分析相关问题。
提升1　卫星的发射、变轨和对接
1.变轨运行分析
如图是飞船从地球上发射到绕月球运动的飞行示意图。
(1)从绕地球运动的轨道上进入奔月轨道，飞船应采取什么措施？为什么？
(2)从奔月轨道进入月球轨道，又应采取什么措施？为什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.卫星的变轨发射问题
(1)卫星的发射过程
如图所示，首先，利用第一级火箭将卫星发射至近地圆轨道1，当到达赤道上空时，第二、三级火箭在Q点点火，卫星进入位于赤道平面内的椭圆转移轨道2，当到达远地点P时，卫星启动发动机，然后进入圆轨道3做圆周运动。
(2)变轨运行各量间的关系
卫星在轨道1上运动到Q点的速度vQ1与在轨道2上运动到Q点的速度vQ2相比vQ2>vQ1；而卫星在轨道2上运行到P点的速度vP2与轨道3上运动到P点的速度vP3相比vP3>vP2；在圆轨道1上与圆轨道3上有vQ1>vP3，所以有vQ2>vQ1>vP3>vP2；在Q、P点的加速度有aQ1＝aQ2，aP3＝aP2，因为卫星在不同轨道上的相切点处所受万有引力是相同的。
3.对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接：如图甲所示，低轨道飞船通过合理加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接。
(2)同一轨道飞船与空间站对接：如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站完成对接。
例1 (2024·北京市第十五中学南口学校期中)如图为飞船运动过程的示意图。飞船先进入圆轨道1做匀速圆周运动，再经椭圆轨道2，最终进入圆轨道3完成对接任务。椭圆轨道2分别与轨道1、轨道3相切于A点、B点。则飞船(　　)
A.在轨道1的运行周期大于在轨道3的运行周期
B.在轨道2运动过程中，经过A点时的速率比B点大
C.在轨道2运动过程中，经过A点时的加速度比B点小
D.从轨道2进入轨道3时需要在B点处减速
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。
(2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。
(3)判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。
(4)判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝
G判断。　　　　
训练1 (2024·湖北卷，4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则(　　)
A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
提升2　卫星的追及与相遇
对于卫星的追及、相遇问题一般存在下列两种情况
(1)卫星对接，最常见的是由低轨道向高轨道运行的卫星对接。
(2)绕行方向相同的两卫星和天体的连线在同一直线上，处于内轨道的卫星周期T1小，处于外轨道的卫星周期T2大。
①当两卫星在天体同侧时，那么当t满足下列关系时两卫星相距最近：t－t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。
②当两卫星在天体异侧时，那么当t满足下列关系时两卫星相距最近：t－t＝π＋2nπ(n＝0，1，2，3，…)。
例2 设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，某人造地球卫星在赤道上空做匀速圆周运动，轨道半径为r，且r<5R，飞行方向与地球的自转方向相同。在某时刻，该人造地球卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则到它下一次通过该建筑物正上方所需要的时间为(地球同步卫星轨道半径约为6.6R)(　　)
A.2π B.
C.2π D.
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天体追及问题的解题技巧
处理天体追及问题时，首先判断谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星运行的角度差等于2π的整数倍、相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍求解。　　　　
训练2 如图甲所示，A、B两颗卫星在同一平面内围绕中心天体做匀速圆周运动，且绕行方向相同，图乙是两颗卫星的间距Δr随时间t的变化图像，t＝0时刻A、B两颗卫星相距最近。已知卫星A的周期TA＝t0，则A、B两颗卫星运行轨道半径之比为(　　)
A.1∶2 B.1∶4
C.1∶7 D.1∶8
提升3　“双星”和“多星”模型
1.“双星”模型
(1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。
(2)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，
即G＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2可得m1r1＝m2r2。
(3)特点
①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。
②两星所需的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。
③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，轨道半径与两星质量成反比。
2.“多星”模型
三星模型 四星模型
(1)运动特点
转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同。
(2)受力特点
圆周运动半径都相等，各星所受万有引力的合力提供做圆周运动所需的向心力。
例3 (2024·天津南开高一期末) “双星系统”是由相距较近的两颗恒星组成，每个恒星的半径远小于两个恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在相互间的万有引力作用下，绕其连线上的某一点做匀速圆周运动。如图所示为某一双星系统，A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G。则下列说法正确的是(　　)
A.A、B两星球做圆周运动的半径之比为m1∶m2
B.A、B两星球做圆周运动的角速度之比为m1∶m2
C.A星球的轨道半径r1＝L
D.双星运行的周期T＝2πL
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分析双星问题时注意区分两星的轨道半径和两星之间的距离，万有引力提供向心力，万有引力中的距离为两星间距，向心力中的r为轨道半径。　　　　
训练3 (多选) (2024·重庆市杨家坪中学高一期末)中国科幻电影《流浪地球》讲述了地球逃离太阳系的故事，假设人们在逃离过程中发现一种三星组成的孤立系统，三星的质量相等、半径均为R，稳定分布在等边三角形的三个顶点上，三角形的边长为d，三星绕O点做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G，忽略星体的自转，下列说法正确的是(　　)
A.匀速圆周运动的半径为d
B.每个星球的质量为
C.每个星球表面的重力加速度大小为
D.每个星球的第一宇宙速度大小为
随堂对点自测
1.(卫星的发射与变轨)(多选)“嫦娥三号”卫星从地球发射到月球过程的路线示意图如图所示。关于“嫦娥三号”的说法正确的是(　　)
A.在P点由a轨道转变到b轨道时，速度必须变小
B.在Q点由d轨道转变到c轨道时，要加速才能实现(不计“嫦娥三号”的质量变化)
C.在b轨道上，卫星在P点的速度比在R点的速度大
D.“嫦娥三号”在a、b轨道上正常运行时，通过同一点P时，加速度相等
2.(卫星的对接)如图所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室于2016年10月19日自动交会对接成功。假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞
船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(　　)
A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
3.(双星模型)(多选)如图所示，两个黑洞A、B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，若A的轨道半径大于B的轨道半径，两个黑洞的总质量为m，距离为L，其运动周期为T。则(　　)
A.A的质量一定小于B的质量
B.A的线速度一定小于B的线速度
C.L一定，m越大，T越小
D.m一定，L越大，T越小
培优提升四　应用万有引力定律解决“三个”热点问题
提升1
1.提示　(1)飞船绕天体稳定运行时，万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力。
由G＝m得v＝。
从绕地球运动的轨道上加速，使飞船速度v增大，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供所需的向心力，飞船将做离心运动，脱离原来的圆轨道，向高轨道变轨，轨道半径变大，进入新的轨道运行。
(2)当飞船从奔月轨道进入月球轨道时应减速，速度突然减小时，所需向心力m 减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此飞船将做近心运动，会脱离原来的圆轨道，向低轨道变轨，轨道半径变小，进入新轨道运行。
例1 B　[根据G＝mr得T＝，轨道1的运动半径小于轨道3的运动半径，则在轨道1的运行周期小于在轨道3的运行周期，A错误；在轨道2运动过程中，A点为近地点，速度最大，B点为远地点，速度最小，B正确；根据G＝ma得a＝G，可知经过A点时的加速度比B点大，C错误；从轨道2进入轨道3时需要在B点加速，D错误。]
训练1 A　[变轨前、后，根据a＝可知，空间站在P点的加速度相同，A正确；由于变轨后的轨道半长轴大于变轨前的轨道半径，则根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，B错误；变轨时，空间站喷气加速，因此变轨后其在P点的速度比变轨前的大，C错误；变轨后，空间站在近地点的速度最大，大于变轨后在P点的速度，结合C项分析可知，变轨后空间站在近地点的速度大于变轨前的速度，D错误。]
提升2
例2 D　[设地球质量为M，根据G＝mω2r知ω＝，轨道半径越大，卫星运行角速度越小，而同步卫星运行的角速度与地球自转的角速度相同，且同步卫星的轨道半径约为6.6R，人造地球卫星的轨道半径r<5R，故该人造地球卫星运行的角速度比地球上建筑物随地球转动的角速度大，因此再次出现在该建筑物正上方时，说明卫星已经比建筑物多转动了一圈，故θ卫－θ地＝2π，θ卫＝ω1t，θ地＝ω0t，根据“黄金代换”GM＝gR2，联立得t＝＝，故D项正确。]
训练2 B　[0～t0时间内，A、B两卫星转过的角度关系为t0－t0＝2π，又TA＝t0，解得TB＝7t0。根据开普勒第三定律有eq \f(r,T)＝eq \f(r,T)，可得＝，故B正确。]
提升3
例3 D　[设A星球的轨道半径为r1，B星球的轨道半径为r2，根据万有引力提供向心力有G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，解得A、B两星球做圆周运动的半径之比为r1∶r2＝m2∶m1，又r1＋r2＝L，解得r1＝L，故A、C错误；A、B两星球做圆周运动的周期相同，角速度之比为1∶1，故B错误；T＝，解得T＝2πL，故D正确。]
训练3 AD　[三星均围绕边长为d的等边三角形的中心O做匀速圆周运动，由几何关系可得匀速圆周运动的半径为r＝＝d，A正确；设星球质量为M，则有2Gcos 30°＝Mr，可得M＝，B错误；星球表面的重力近似等于万有引力，有mg＝G，可得g＝，C错误；根据G＝m，可得v＝，D正确。]
随堂对点自测
1.CD　[卫星在a轨道上的P点进入b轨道，需加速，使万有引力小于需要的向心力而做离心运动，选项A错误；在Q点由d轨道转变到c轨道时，必须减速，使万有引力大于需要的向心力而做近心运动，选项B错误；根据开普勒第二定律知，在b轨道上，卫星在P点的速度比在R点的速度大，选项C正确；根据牛顿第二定律得G＝man可知，卫星在a、b轨道上正常运行时，通过同一点P时，加速度相等，选项D正确。]
2.C　[飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可在两者速度接近时实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误。]
3.AC　[黑洞绕同一圆心运动，则两者的角速度相等，设两个黑洞质量为mA和mB，轨道半径为RA和RB，角速度为ω，则由万有引力提供向心力可知G＝mAω2RA＝mBω2RB，且RA＋RB＝L，联立可得＝，由题意可知RA>RB，则mARB，根据v＝ωr可知vA>vB，B错误；根据万有引力提供向心力有G＝mAω2RA＝mBω2RB，且RA＋RB＝L，又T＝，整理可得T＝2π，由此可知，当L一定时，m越大，T越小；当m一定时，L越大，T越大，C正确，D错误。]培优提升四　应用万有引力定律解决“三个”热点问题
(分值：100分)
选择题1～9题，每小题9分，共81分。
对点题组练
题组一　卫星的发射、变轨和对接
1.嫦娥五号是中国首个实施月面无人取样返回的月球探测器，为中国探月工程的收官之战。2020年11月29日，嫦娥五号探测器从椭圆环月轨道1上的P点实施变轨进入近月圆形圆轨道2，开始进行动力下降后成功落月，如图所示。下列说法正确的是(　　)
嫦娥五号的发射速度大于11.2 km/s
沿轨道1运动至P时，需减速才能进入轨道2
沿轨道1运行的周期小于沿轨道2运行的周期
探测器在轨道2上经过P点的加速度小于在轨道1上经过P点的加速度
2.(2021·天津卷)2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器(　　)
在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态
在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短
从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速
沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大
3.(多选)“嫦娥四号”月球探测器首次在月球背面软着陆，如图所示，“嫦娥四号”从环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨，进入环月椭圆形轨道Ⅱ，由近月点Q落月，关于“嫦娥四号”，下列说法正确的是(　　)
沿轨道Ⅰ运行至P点时，需加速才能进入轨道Ⅱ
沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期
沿轨道Ⅱ运行经P点时的加速度等于沿轨道Ⅰ运行经P点时的加速度
若已知“嫦娥四号”绕轨道Ⅰ的半径、运动周期和引力常量，可算出月球的密度
题组二　卫星的追及与相遇
4.太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线时，天文学称这种现象为“行星冲日”。已知2020年7月21日土星冲日，土星绕太阳运动的轨道半径约为地球绕太阳运动的轨道半径的9.5倍，则下一次土星冲日的时间约为(　　)
2021年8月 2022年7月
2023年8月 2024年7月
5.如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0，某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远时所经历的最短时间为(　　)
题组三　“双星”和“多星”模型
6.双星是两颗相距较近的天体，在相互间的万有引力作用下，绕其连线上的某点做匀速圆周运动。对于两颗质量不等的天体构成的双星系统，下列说法中正确的是(　　)
质量大的天体做匀速圆周运动的向心力较大
质量大的天体做匀速圆周运动的向心加速度较大
质量大的天体做匀速圆周运动的角速度较大
质量大的天体做匀速圆周运动的线速度较小
7.中国科学家利用“慧眼”太空望远镜观测到了银河系的MAXI J1820＋070是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，距离地球约10 000光年。根据观测，此双星系统中的黑洞质量大约是恒星质量的16倍，不考虑其他天体的影响，可推断该黑洞与恒星的(　　)
向心力大小之比为16∶1
周期之比为16∶1
角速度大小之比为1∶1
加速度大小之比为1∶1
综合提升练
8.(多选)(2024·山师大附中高一月考)三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某时刻A、B相距最近，如图所示。已知地球自转周期为T1，B的运行周期为T2，则下列说法正确的是(　　)
C加速可追上同一轨道上的A
经过时间，A、B首次相距最远
A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度
在相同时间内，C与地心连线扫过的面积等于B与地心连线扫过的面积
9.太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则(　　)
直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
直线三星系统的运动周期为4πR
三角形三星系统中星体间的距离为L＝R
三角形三星系统的线速度大小为
培优加强练
10.(19分)如图所示，质量分别为mA和mB的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G。
(1)(6分)求A星球做圆周运动的半径rA和B星球做圆周运动的半径rB；
(2)(6分)求两星球做圆周运动的周期；
(3)(7分)如果把星球A质量的搬运到B星球上，并保持A和B两者中心之间距离仍为L，那么组成新的稳定双星后星球A做圆周运动的半径和周期如何变化？
培优提升四　应用万有引力定律解决“三个”热点问题
1.B　[发射速度大于11.2 km/s的卫星将脱离地球束缚，绕太阳运动，嫦娥五号的发射速度应大于7.9 km/s小于11.2 km/s，A错误；沿轨道1运动至P时，需减速才能进入轨道2，B正确；由开普勒第三定律可知，沿轨道1运行的周期大于沿轨道2运行的周期，C错误；探测器在轨道2上经过P点和在轨道1上经过P点的加速度都由万有引力产生，即探测器在轨道2上经过P点的加速度等于在轨道1上经过P点的加速度，D错误。]
2.D　[天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速运动，受力不平衡，故A错误；根据开普勒第三定律可知，轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半长轴，故在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误；天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，做近心运动，需要的向心力小于提供的向心力，故要在P处减速，故C错误；在轨道Ⅰ上向P飞近时，由开普勒第二定律可知速度增大，故D正确。]
3.BC　[“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的P点实施变轨，需做近心运动，在P点应该制动减速，故A错误；轨道Ⅱ的半长轴小于轨道Ⅰ的半径，根据开普勒第三定律可知，沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期，故B正确；“嫦娥四号”只受万有引力作用，沿轨道Ⅱ运行经P点时的万有引力等于沿轨道Ⅰ运行经P点时的万有引力，由牛顿第二定律可知，沿轨道Ⅱ运行经P点时的加速度等于沿轨道Ⅰ运行经P点时的加速度，故C正确；月球的半径未知，所以无法算出月球的密度，故D错误。]
4.A　[根据开普勒第三定律有eq \f(r,T)＝eq \f(r,T)，解得T土＝T地＝年≈29.28年，设两次土星冲日时间间隔为t年，则地球多转动一周，有t－t＝2π，解得t＝≈1.04年，故2020年7月21日土星冲日，下一次冲日大约为2021年8月，故A正确。]
5.C　[由开普勒第三定律得eq \f(r,T)＝eq \f(r,T)，设两卫星至少经过时间t距离最远，即B比A多转半圈，t＝π，又TA＝T0，＝k，联立解得t＝，故C正确。]
6.D　[两颗天体在两者之间的万有引力作用下做匀速圆周运动，根据牛顿第三定律可知，两天体受到的万有引力大小相等，则它们做匀速圆周运动的向心力大小相等，故A错误；两天体绕同一圆心转动，角速度相等，周期相等，根据万有引力提供向心力可得G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，则质量大的天体轨道半径较小，根据a1＝ω2r1和a2＝ω2r2可知，质量大的天体的向心加速度较小；根据v1＝ωr1和v2＝ωr2可知，质量大的天体的线速度较小，故D正确，B、C错误。]
7.C　[黑洞和恒星组成双星系统，根据双星系统的特点可知，黑洞与恒星的向心力都等于黑洞和恒星之间的万有引力，转动的角速度相等，周期相等，故A、B错误，C正确；根据a＝可知黑洞与恒星的加速度大小之比为＝，故D错误。]
8.BC　[卫星C加速后做离心运动，轨道变高，不可能追上卫星A，A错误；A、B卫星由相距最近至相距最远时，两卫星转的圈数差半圈，设经历时间为t，有－＝，解得t＝，B正确；由a＝及rA＝rC>rB，可知A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度，C正确；轨道半径为r的卫星，其周期T＝2π，则该卫星在单位时间内扫过的面积S0＝＝，由于rC>rB，所以在相同时间内，C与地心连线扫过的面积大于B与地心连线扫过的面积，D错误。]
9.B　[直线三星系统中甲星和丙星角速度相同，运动半径相同，由v＝ωR可知甲星和丙星的线速度大小相等，方向不同，故A错误；直线三星系统中万有引力提供向心力，由G＋G＝MR，得T＝4πR，故B正确；两种系统的运动周期相同，根据牛顿第二定律可得，对三角形三星系统中任意星体有2Gcos 30°＝Mr，轨道半径r与边长L的关系为L＝r，解得L＝R，故C错误；三角形三星系统的线速度大小为v＝，得v＝×，故D错误。]
10.(1)L　L　(2)2π　(3)半径变大　周期不变
解析　(1)两星做圆周运动的向心力由万有引力提供，有
G＝mArA，G＝mBrB
可得＝
又因为L＝rA＋rB
解得rA＝L，rB＝L。
(2)由G＝mArA和
rA＝L两式联立解得
T＝＝2π。
(3)根据rA＝L，且总质量(mA＋mB)不变，知mB变大，rA变大
根据T＝2π，知周期不变。(共57张PPT)
培优提升四　应用万有引力定律解决“三个”热点问题
第六章　万有引力与宇宙航行
1.理解卫星发射、变轨和对接过程，会分析变轨过程中各物理量的变化。
2.理解天体运动中的追及与相遇问题。
3.掌握双星和多星模型的特点，会分析相关问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　卫星的追及与相遇
提升1　卫星的发射、变轨和对接
提升3　“双星”和“多星”模型
提升1　卫星的发射、变轨和对接
1.变轨运行分析
如图是飞船从地球上发射到绕月球运动的飞行示意图。
(1)从绕地球运动的轨道上进入奔月轨道，飞船应采取什么措施？为什么？
(2)从奔月轨道进入月球轨道，又应采取什么措施？为什么？
提示　(1)飞船绕天体稳定运行时，万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力。
2.卫星的变轨发射问题
(1)卫星的发射过程
如图所示，首先，利用第一级火箭将卫星发射至近地圆轨道1，
当到达赤道上空时，第二、三级火箭在Q点点火，卫星进入位
于赤道平面内的椭圆转移轨道2，当到达远地点P时，卫星启
动发动机，然后进入圆轨道3做圆周运动。
(2)变轨运行各量间的关系
卫星在轨道1上运动到Q点的速度vQ1与在轨道2上运动到Q点的速度vQ2相比vQ2>vQ1；而卫星在轨道2上运行到P点的速度vP2与轨道3上运动到P点的速度vP3相比vP3>vP2；在圆轨道1上与圆轨道3上有vQ1>vP3，所以有vQ2>vQ1>vP3>vP2；在Q、P点的加速度有aQ1＝aQ2，aP3＝aP2，因为卫星在不同轨道上的相切点处所受万有引力是相同的。
3.对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接：如图甲所示，低轨道飞船通过合理加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接。
(2)同一轨道飞船与空间站对接：如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站完成对接。
B
例1 (2024·北京市第十五中学南口学校期中)如图为飞船运动过程的示意图。飞船先进入圆轨道1做匀速圆周运动，再经椭圆轨道2，最终进入圆轨道3完成对接任务。椭圆轨道2分别与轨道1、轨道3相切于A点、B点。则飞船(　　)
A.在轨道1的运行周期大于在轨道3的运行周期
B.在轨道2运动过程中，经过A点时的速率比B点大
C.在轨道2运动过程中，经过A点时的加速度比B点小
D.从轨道2进入轨道3时需要在B点处减速
A
训练1 (2024·湖北卷，4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则(　　)
A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
提升2　卫星的追及与相遇
D
天体追及问题的解题技巧
处理天体追及问题时，首先判断谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星运行的角度差等于2π的整数倍、相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍求解。　　　　
B
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶7 D.1∶8
提升3　“双星”和“多星”模型
1.“双星”模型
(1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。
(2)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，
(3)特点
①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。
②两星所需的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。
③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，轨道半径与两星质量成反比。
2.“多星”模型
三星模型 四星模型
(1)运动特点
转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同。
(2)受力特点
圆周运动半径都相等，各星所受万有引力的合力提供做圆周运动所需的向心力。
例3 (2024·天津南开高一期末) “双星系统”是由相距较近的两颗恒星组成，每个恒星的半径远小于两个恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在相互间的万有引力作用下，绕其连线上的某一点做匀速圆周运动。如图所示为某一双星系统，A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G。则下列说法正确的是(　　)
D
分析双星问题时注意区分两星的轨道半径和两星之间的距离，万有引力提供向心力，万有引力中的距离为两星间距，向心力中的r为轨道半径。　　　　
训练3 (多选) (2024·重庆市杨家坪中学高一期末)中国科幻电影《流浪地球》讲述了地球逃离太阳系的故事，假设人们在逃离过程中发现一种三星组成的孤立系统，三星的质量相等、半径均为R，稳定分布在等边三角形的三个顶点上，三角形的边长为d，三星绕O点做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G，忽略星体的自转，下列说法正确的是(　　)
AD
随堂对点自测
2
CD
1.(卫星的发射与变轨)(多选)“嫦娥三号”卫星从地球发射到月球过程的路线示意图如图所示。关于“嫦娥三号”的说法正确的是(　　)
A.在P点由a轨道转变到b轨道时，速度必须变小
B.在Q点由d轨道转变到c轨道时，要加速才能实现(不计“嫦娥三号”的质量变化)
C.在b轨道上，卫星在P点的速度比在R点的速度大
D.“嫦娥三号”在a、b轨道上正常运行时，通过同一点P时，加速度相等
C
2.(卫星的对接)如图所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室于2016年10月19日自动交会对接成功。假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(　　)
A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船
加速追上空间实验室实现对接
B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间
实验室减速等待飞船实现对接
C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
解析　飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可在两者速度接近时实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误。
AC
3.(双星模型)(多选)如图所示，两个黑洞A、B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，若A的轨道半径大于B的轨道半径，两个黑洞的总质量为m，距离为L，其运动周期为T。则(　　)
A.A的质量一定小于B的质量
B.A的线速度一定小于B的线速度
C.L一定，m越大，T越小
D.m一定，L越大，T越小
课后巩固训练
3
B
题组一　卫星的发射、变轨和对接
1.嫦娥五号是中国首个实施月面无人取样返回的月球探测器，为中国探月工程的收官之战。2020年11月29日，嫦娥五号探测器从椭圆环月轨道1上的P点实施变轨进入近月圆形圆轨道2，开始进行动力下降后成功落月，如图所示。下列说法正确的是(　　)
对点题组练
A.嫦娥五号的发射速度大于11.2 km/s
B.沿轨道1运动至P时，需减速才能进入轨道2
C.沿轨道1运行的周期小于沿轨道2运行的周期
D.探测器在轨道2上经过P点的加速度小于在轨道1上经过P点的加速度
解析　发射速度大于11.2 km/s的卫星将脱离地球束缚，绕太阳运动，嫦娥五号的发射速度应大于7.9 km/s小于11.2 km/s，A错误；沿轨道1运动至P时，需减速才能进入轨道2，B正确；由开普勒第三定律可知，沿轨道1运行的周期大于沿轨道2运行的周期，C错误；探测器在轨道2上经过P点和在轨道1上经过P点的加速度都由万有引力产生，即探测器在轨道2上经过P点的加速度等于在轨道1上经过P点的加速度，D错误。
D
2.(2021·天津卷)2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器(　　)
A.在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态
B.在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短
C.从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速
D.沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大
解析　天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速运动，受力不平衡，故A错误；根据开普勒第三定律可知，轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半长轴，故在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误；天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，做近心运动，需要的向心力小于提供的向心力，故要在P处减速，故C错误；在轨道Ⅰ上向P飞近时，由开普勒第二定律可知速度增大，故D正确。
BC
3.(多选)“嫦娥四号”月球探测器首次在月球背面软着陆，如图所示，“嫦娥四号”从环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨，进入环月椭圆形轨道Ⅱ，由近月点Q落月，关于“嫦娥四号”，下列说法正确的是(　　)
A.沿轨道Ⅰ运行至P点时，需加速才能进入轨道Ⅱ
B.沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期
C.沿轨道Ⅱ运行经P点时的加速度等于沿轨道Ⅰ运行
经P点时的加速度
D.若已知“嫦娥四号”绕轨道Ⅰ的半径、运动周期和
引力常量，可算出月球的密度
解析　“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的P点实施变轨，需做近心运动，在P点应该制动减速，故A错误；轨道Ⅱ的半长轴小于轨道Ⅰ的半径，根据开普勒第三定律可知，沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期，故B正确；“嫦娥四号”只受万有引力作用，沿轨道Ⅱ运行经P点时的万有引力等于沿轨道Ⅰ运行经P点时的万有引力，由牛顿第二定律可知，沿轨道Ⅱ运行经P点时的加速度等于沿轨道Ⅰ运行经P点时的加速度，故C正确；月球的半径未知，所以无法算出月球的密度，故D错误。
A
题组二　卫星的追及与相遇
4.太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线时，天文学称这种现象为“行星冲日”。已知2020年7月21日土星冲日，土星绕太阳运动的轨道半径约为地球绕太阳运动的轨道半径的9.5倍，则下一次土星冲日的时间约为(　　)
A.2021年8月 B.2022年7月
C.2023年8月 D.2024年7月
C
5.如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0，某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远时所经历的最短时间为(　　)
D
题组三　“双星”和“多星”模型
6.双星是两颗相距较近的天体，在相互间的万有引力作用下，绕其连线上的某点做匀速圆周运动。对于两颗质量不等的天体构成的双星系统，下列说法中正确的是(　　)
A.质量大的天体做匀速圆周运动的向心力较大
B.质量大的天体做匀速圆周运动的向心加速度较大
C.质量大的天体做匀速圆周运动的角速度较大
D.质量大的天体做匀速圆周运动的线速度较小
C
7.中国科学家利用“慧眼”太空望远镜观测到了银河系的MAXI J1820＋070是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，距离地球约10 000光年。根据观测，此双星系统中的黑洞质量大约是恒星质量的16倍，不考虑其他天体的影响，可推断该黑洞与恒星的(　　)
A.向心力大小之比为16∶1
B.周期之比为16∶1
C.角速度大小之比为1∶1
D.加速度大小之比为1∶1
BC
8.(多选)(2024·山师大附中高一月考)三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某时刻A、B相距最近，如图所示。已知地球自转周期为T1，B的运行周期为T2，则下列说法正确的是(　　)
综合提升练
B
9.太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则(　　)
10.如图所示，质量分别为mA和mB的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G。
培优加强练
又因为L＝rA＋rB

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