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第1节　功与功率
学习目标　1.理解功和功率的概念，掌握功和功率的计算式。2.明确正、负功的含义，并会求各个力的功的总和。3.能够应用W＝Flcos α、P＝、P＝Fvcos α进行有关计算。
知识点一　功
仔细观察下面两种情景，人是否对物体做功？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.定义：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、________________________这三者的乘积。
2.公式：W＝________。
(1)α是力与________之间的夹角，l为物体对地的位移。
(2)该公式只适用于________做功。
(3)功是________量，没有方向，但有正负。
3.单位：在国际单位制中，功的单位是__________，简称焦，符号是 __________。1 J＝1 N×1 m＝1 N·m。
4.做功的两个条件：________和物体在力的方向上发生________。
【思考】
1.只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功，对吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.若力不对物体做功，则该力一定不会改变物体的运动状态，对吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.观察下图，分析图中的哪个人对物体做了功？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 (人教版教材P75 例题1改编)如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，雪橇受到的(　　)
A.支持力做功为mgl
B.重力做功为mgl
C.拉力做功为Flcos θ
D.滑动摩擦力做功为－μmgl
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
功是过程量，描述了力的作用效果在空间上的累积，它总是与一个具体过程相联系。所以提到功应该明确“哪个力”在“哪个过程”中对“哪个物体”做功。　　　　
训练1 如图所示，质量分别为M和m的两物块A、B(均可视为质点，且M>m)分别在同样大小的恒力作用下，沿水平面由静止开始做直线运动，两力与水平面的夹角相同，两物块经过的位移相同。设此过程中F1对A做的功为W1，F2对B做的功为W2，则(　　)
A.无论水平面光滑与否，都有W1＝W2
B.若水平面光滑，则W1>W2
C.若水平面粗糙，则W1>W2
D.若水平面粗糙，则W1知识点二　正功和负功
如下图所示，甲同学做的正功一定比乙同学做的负功大吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
由W＝Flcos α可知
(1)当α＝时，cos α＝0，W＝________，力对物体________。
(2)当0≤α<时，cos α>0，W________0，力对物体做________。
(3)当<α≤π时，cos α<0，W________0，力对物体做__________，或称物体________这个力做功。
说明：功的正、负不表示功的大小，只表示力的性质，即正功表示该力是________，负功表示该力是________。
【思考】
如图所示，推出的铅球在空中运动，在铅球上升和下降过程中，重力对铅球的做功情况如何？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度1　正、负功的判断
例2 图甲为一女士站立在台阶式(台阶水平)自动扶梯上正在匀速上楼，图乙为一男士站立在履带式自动人行道上正在匀速上楼。下列关于两人受到的力做功判断正确的是(　　)
A.甲图中支持力对人不做功
B.甲图中摩擦力对人做负功
C.乙图中支持力对人不做功
D.乙图中摩擦力对人做负功
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度2　总功的计算
例3 如图所示，一位质量m＝50 kg的滑雪运动员(含滑雪板)从高度h＝30 m的斜坡顶端自由滑下(初速度为零)。斜坡的倾角θ＝37°，滑雪板与雪面间的动摩擦因数μ＝0.1。则运动员由坡顶滑至坡底的过程中(不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)：
(1)各个力所做的功分别是多少？
(2)这些力做的总功是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
总功的计算方法
(1)先由W＝Flcos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3、…，然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋…。
(2)先由力的合成方法或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合lcos α计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的夹角。
　　　　
知识点三　功　率
建筑工地上有两台起重机将重物吊起，下表是它们的工作情况记录：
起重机编号 被吊物体重力 匀速上升速度 上升的高度 所用时间 做功
A 2.0×103 N 4 m/s 16 m 4 s
B 4.0×103 N 3 m/s 6 m 2 s
(1)两台起重机哪台做功多？
(2)哪台做功快？怎样比较它们做功的快慢呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.定义：功W与完成这些功所用________之比。
2.公式：P＝________。单位：________，简称________，符号是________。
3.意义：功率是表示力____________的物理量。
4.功率是________。
5.功率与速度
(1)功率与速度关系式：P＝________(F与v方向相同)。
(2)若v是平均速度，则P＝Fv表示平均功率；若v是瞬时速度，则P＝Fv表示瞬时功率。
6.公式P＝Fv中三个量的制约关系
定值 各量间的关系 应用
P一定 F与v成反比 汽车上坡时，需增大牵引力，应换低速挡减小速度
v一定 F与P成正比 汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定 v与P成正比 汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度
7.平均功率与瞬时功率
项目 平均功率 瞬时功率
公式 P＝或P＝Fcos α P＝Fvcos α，式中v表示某一时刻的瞬时速度
物理意义 只能粗略地描述物体做功的快慢 能精确地描述物体做功的快慢
注意 ①求解功率时，一定要分析清楚所求功率是瞬时功率还是平均功率②应用P＝Fcos α计算平均功率时，力F是恒力，为对应时间t内的平均速度③求平均功率时一定要说明是哪个力在哪段时间内的平均功率
【思考】
1.做功多，功率一定大吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.在越野比赛中，汽车爬坡时，常常换用低速挡，这是为什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　
例4 如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的足够长的固定斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)前2 s内重力做的功；
(2)前2 s内重力的平均功率；
(3)2 s末重力的瞬时功率。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练2 质量为1.5×103 kg的汽车在水平路面上匀速行驶，速度为20 m/s，受到的阻力大小为1.8×103 N。此时，汽车发动机输出的实际功率是(　　)
A.90 W B.30 kW
C.36 kW D.300 kW
随堂对点自测
1.(正、负功的理解)(人教版教材P78T2改编)用起重机将质量为m的物体在竖直方向上匀速地吊起一段距离，下列关于作用在物体上的各力做功情况的说法中正确的是(　　)
A.重力做负功，拉力做正功，合力不做功
B.重力做负功，拉力做正功，合力做正功
C.重力做正功，拉力做负功，合力不做功
D.重力不做功，拉力做正功，合力做正功
2.(总功的计算)一物体在相互垂直的两个共点力F1、F2作用下运动，运动过程中F1对物体做功3 J，F2对物体做功4 J，则F1与F2的合力对物体做功(　　)
A.1 J B.5 J
C.7 J D.无法计算
3.(功和功率的计算)一只花盆从10楼(距地面高度约为h＝30 m)的窗台上不慎掉落，忽略空气阻力(将花盆的运动简化为自由落体运动)。已知花盆的质量m＝2 kg，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)在花盆下落到地面的过程中，重力对花盆做的功W；
(2)花盆下落2 s末时重力的瞬时功率；
(3)花盆下落第2 s内重力的平均功率。
第1节　功与功率
知识点一
导学
提示　甲：不做功。乙：做功。
知识梳理
1.力与位移夹角的余弦　2.Flcos α　(1)位移　(2)恒力　(3)标　3.焦耳　J　4.力　位移
[思考]
1.提示　不对。力对物体做功的必要条件是受力物体必须在力的方向上发生位移。
2.提示　不对。做匀速圆周运动的物体，力对物体不做功，但物体的运动状态时刻改变。
3.提示　小川拉着重物上升的过程对重物做了功，其他三人都没有对物体做功。
例1 C　[对雪橇
INCLUDEPICTURE"t178.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\课件\\2024课件\\同步\\2025（春）物理 必修 第二册 人教版（L）（鲁琼浙）\\学生word文档\\t178.TIF" \* MERGEFORMATINET
及坐在其上的人受力分析，如图，支持力做功WN＝FNlcos 90°＝0，故A错误；重力做功WG＝mglcos 90°＝0，故B错误；拉力做功为WF＝Flcos θ，故C正确；雪橇竖直方向受力平衡有FN＋Fsin θ＝mg，则FN＝mg－Fsin θ，则摩擦力大小为Ff＝μFN＝μ(mg－Fsin θ)，则摩擦力做功Wf＝－Ffl＝－μ(mg－Fsin θ)l，故D错误。]
训练1 A　[设两物块的位移均为l，则F1做功为W1＝F1lcos α，F2做功为W2＝F2lcos α，因F1＝F2，则W1＝W2，故B、C、D错误，A正确。]
知识点二
导学
提示　功是标量，功的正负既不表示方向也不表示大小，比较功的大小，只需比较数值的大小，与正负号无关，所以正功不一定比负功大。
知识梳理
(1)0　不做功　(2)>　正功　(3)<　负功　克服　动力　阻力
[思考]
提示　推出的铅球在上升过程中，重力方向与速度方向夹角大于90°，重力对铅球做负功；铅球在下降过程中，重力方向与速度方向的夹角小于90°，重力对铅球做正功。
例2 C　[甲图中，人匀速上楼，支持力向上，与速度方向为锐角，则支持力做正功，人不受静摩擦力，摩擦力不做功，故A、B错误；乙图中，支持力与速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力方向与速度方向相同，摩擦力做正功，故C正确，D错误。]
例3 (1)重力做功1.5×104 J，支持力做功为零，摩擦力做功－2×103 J　(2)1.3×104 J
解析　(1)重力做的功为
WG＝mgh＝50×10×30 J＝1.5×104 J
因支持力方向与速度方向始终垂直，所以支持力做功为WN＝0
摩擦力做功为
Wf＝－Ffl＝－μmgcos 37°×＝－2×103 J。
(2)法一　这些力做的总功为W合＝WG＋Wf＋WN
＝1.5×104 J－2×103 J＝1.3×104 J。
法二　运动员在下滑过程中受重力、斜面的支持力和滑动摩擦力的作用，其合力为F合＝mgsin 37°－μmgcos 37°，则运动员所受力的合力做的总功为W总＝F合L＝(mgsin 37°－μmgcos 37°)·＝1.3×104 J。
知识点三
导学
提示　(1)两台起重机分别做功3.2×104 J、2.4×104 J，所以A做功多。
(2)B做功快。可以用功与完成这些功所用时间之比表示做功的快慢。
知识梳理
1.时间t　2.　瓦特　瓦　W　3.做功快慢　4.标量
5.(1)Fv
[思考]
1.提示　不一定。功率表示的是力做功的快慢，不是做功的多少。
2.提示　汽车在爬坡时需要更大的牵引力，而发动机的额定功率是一定的，由P＝Fv可知，换用低速挡的目的是减小速度，进而增大牵引力。
例4 (1)48 J　(2)24 W　(3)48 W
解析　(1)木块下滑过程中，由牛顿第二定律得
mgsin θ－μmgcos θ＝ma
前2 s内木块的位移大小为x＝at2
联立解得x＝4 m，a＝2 m/s2
所以重力在前2 s内做的功为
W＝mgsin θ·x＝2×10×0.6×4 J＝48 J。
(2)重力在前2 s内的平均功率为
P＝＝ W＝24 W。
(3)木块在2 s末的速度大小为
v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率为
P＝mgsin θ·v＝2×10×0.6×4 W＝48 W。
训练2 C　[根据汽车做匀速直线运动可得此时汽车的牵引力大小等于阻力大小，即F＝f＝1.8×103 N，根据P＝Fv，得此时汽车发动机的实际输出功率P＝36 kW，A、B、D错误，C正确。]
随堂对点自测
1.A　[起重机将质量为m的物体匀速吊起，重力方向与位移方向相反，重力做负功；拉力竖直向上，拉力与位移方向相同，拉力做正功；物体匀速上升，拉力等于重力，合力为零，合力不做功，故A正确。]
2.C　[用W＝W1＋W2来计算总功，所以W＝3 J＋4 J＝7 J，故C正确。]
3.(1)600 J　(2)400 W　(3)300 W
解析　(1)WG＝mgh＝2×10×30 J＝600 J。
(2)P＝mgv＝mg2t＝2×102×2 W＝400 W。
(3)第2 s内花盆下落的高度
Δh＝h2－h1＝gt－gt＝15 m
P＝＝＝ W＝300 W。第1节　功与功率
(分值：100分)
选择题1～11题，每小题7分，共77分。
对点题组练
题组一　功的理解与计算
1.如图所示，电梯与水平地面成θ角，一人站在电梯上，电梯从静止开始匀加速上升，达到一定速度后再匀速上升，若以FN表示水平梯板对人的支持力，G为人受到的重力，Ff为电梯对人的静摩擦力，下列结论正确的是(　　)
加速运动过程中Ff≠0，Ff、FN、G都做功
加速运动过程中Ff≠0，FN不做功
匀速运动过程中Ff≠0，FN、G都做功
匀速运动过程中Ff≠0，FN、G都不做功
2.如图所示，A、B、C、D四种情况，力F大小相等，物体运动的位移l也相同，以下情况力F做功最多的是(　　)
A B
C D
3.以一定速度竖直上抛一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为Ff，则从抛出至落回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为(　　)
0 －Ffh
－2Ffh －4Ffh
题组二　正功和负功
4.如图所示，拖着旧橡胶轮胎跑步是耐力训练的一种有效方法。如果某受训者拖着轮胎在水平直道上跑了100 m，下列说法正确的是(　　)
轮胎受到地面的摩擦力对轮胎做负功
轮胎受到的重力对轮胎做正功
轮胎受到的拉力对轮胎不做功
轮胎受到的地面的支持力对轮胎做正功
5.(多选)如图所示，质量为m的滑块放在光滑斜面上，斜面与水平面间的摩擦力不计，在滑块从斜面顶端滑到斜面底端的过程中(　　)
重力对滑块做正功
滑块受到斜面的支持力与斜面垂直，所以支持力对滑块不做功
斜面对滑块的支持力对滑块做负功
滑块对斜面的压力对斜面做正功
6.如图所示，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环。小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力(　　)
一直不做功 一直做正功
一直做负功 先做正功后做负功
7.如图所示，将一个大小为50 N与水平方向成60°角的力F作用在一个质量为6 kg的物体上，物体沿水平地面匀速前进了8 m，g取10 m/s2，下面关于物体所受各力做功的说法正确的是(　　)
力F对物体做功为400 J
摩擦力对物体做功为200 J
重力做功为480 J
合力做功为0
题组三　功率
8.(2024·河北邯郸二中高一月考)质量为2 kg的小球从某一高度由静止释放，经3 s到达地面，不计空气阻力，g取10 m/s2。则(　　)
落地时重力的瞬时功率为900 W
落地时重力的瞬时功率为450 W
3 s内重力的平均功率为600 W
3 s内重力的平均功率为300 W
9.如图所示，质量为m的小球以初速度v0水平抛出，恰好垂直打在倾角为θ的斜面上，不计空气阻力，重力加速度为g，则小球落在斜面上时重力的瞬时功率为(　　)
mgv0
mgv0cos θ
10.飞行员进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，如图所示，在到达竖直位置的过程中，飞行员重力的瞬时功率的变化情况是(　　)
一直增大 一直减小
先增大后减小 先减小后增大
综合提升练
11.如图甲所示，滑轮质量、轴摩擦均不计，质量为2 kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，g取10 m/s2，由此可知(　　)
物体加速度大小为2 m/s2
4 s末F的功率大小为42 W
F的大小为21 N
4 s内F做功的平均功率为42 W
12.(10分)如图所示，用沿斜面向上、大小为800 N的力F，将质量为100 kg的物体沿倾角为θ＝37°的固定斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L＝5 m，物体与斜面间的动摩擦因数为0.25。求这一过程中(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)：
(1)(3分)物体的重力所做的功；
(2)(3分)摩擦力所做的功；
(3)(4分)物体所受各力的合力所做的功。
培优加强练
13.(13分)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力F的作用。力F的大小与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变。则：
(1)(6分)3t0时刻的瞬时功率为多大？
(2)(7分)在0～3t0时间内，平均功率为多大？
第1节　功与功率
1.A　[加速运动过程中，人的加速度方向斜向上，将加速度分解到水平和竖直方向得ax＝acos θ，方向水平向右，ay＝asin θ，方向竖直向上，水平方向受静摩擦力作用，Ff＝max＝macos θ，方向水平向右，竖直方向上有位移，所以重力和支持力都做功，水平方向上有位移，则摩擦力也做功，故A正确，B错误；匀速运动过程中，人受力平衡，水平方向人与电梯无相对运动趋势，则人不受摩擦力，但在竖直方向上有位移，所以重力和支持力都做功，故C、D错误。]
2.A　[A选项中，力F做功为W＝Fl；B选项中，力F做功为W＝Flcos 30°＝Fl；C选项中，力F做功为W＝Flcos 30°＝Fl；D选项中，力F做功为W＝Flcos 60°＝Fl，故力F做功最多的是选项A，即A正确。]
3.C　[小球上升阶段，空气阻力做功W1＝－Ffh，下落阶段空气阻力做功W2＝－Ffh，整个过程中空气阻力做功W＝W1＋W2＝－2Ffh，故C正确。]
4.A　[轮胎受到的重力和地面的支持力，方向都与位移方向垂直，这两个力均不做功，选项B、D错误；轮胎受到地面的摩擦力方向与位移方向相反，做负功，选项A正确；轮胎受到的拉力方向与位移方向夹角小于90°，做正功，选项C错误。]
5.ACD　[在滑块从斜面顶端滑至底端的过程中，由于斜面与水平面间接触面光滑，斜面将向右移动一段距离，如图所示。滑块下滑过程中，重力对滑块做正功。斜面对滑块的支持力垂直于斜面，但滑块的位移方向与斜面不平行，即支持力FN与位移方向的夹角大于，所以斜面对滑块的支持力对滑块做负功，滑块对斜面的压力对斜面做正功。故A、C、D正确。]
INCLUDEPICTURE"X431.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\课件\\2024课件\\同步\\2025（春）物理 必修 第二册 人教版（L）（鲁琼浙）\\学生word文档\\X431.TIF" \* MERGEFORMATINET
6.A　[对小环进行受力分析，大圆环是光滑的，则小环和大圆环之间没有摩擦力，大圆环对小环的弹力总是垂直于小环的速度方向，弹力与速度的夹角为90°，所以大圆环对小环不做功，故A正确。]
7.D　[WF＝Flcos 60°＝200 J，Wf＝－Ffl＝－Fcos 60°·l＝－200 J，WG＝0，WN＝0，W合＝WF＋Wf＋WG＋WN＝0，故选项D正确。]
8.D　[小球只受重力，做自由落体运动，则3 s末速度为v＝gt＝10×3 m/s＝30 m/s，所以落地时重力的瞬时功率P＝mgv＝2×10×30 W＝600 W，故A、B错误；3 s内小球下落的高度为h＝gt2，所以3 s内重力的平均功率P＝＝＝＝×2×102×3 W＝300 W，故C错误，D正确。]
9.B　[如图所示，由于v的方向垂直于斜面，可求出小球落在斜面上时速度的竖直分量为vy＝，小球落在斜面上时重力的瞬时功率P＝mgvy，联立可得P＝，故选项B正确。]
INCLUDEPICTURE"X426.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\课件\\2024课件\\同步\\2025（春）物理 必修 第二册 人教版（L）（鲁琼浙）\\学生word文档\\X426.TIF" \* MERGEFORMATINET
10.C　[飞行员刚开始下摆时，因为其速度为零，故起始时刻重力的瞬时功率为0，当飞行员下摆到最低点时，因重力与速度的方向垂直，此时重力的瞬时功率也为0，摆动中的其他位置瞬时功率不为0，则重力的瞬时功率先增大后减小，故C正确。]
11.B　[由速度—时间图像可得物体加速度a＝0.5 m/s2，由牛顿第二定律得2F－mg＝ma，则F＝＝10.5 N，4 s末F的功率P＝F·2v＝10.5×2×2 W＝42 W，4 s内F做功的平均功率P＝＝＝ W＝21 W，故选项B正确，A、C、D错误。]
12.(1)－3 000 J　(2)－1 000 J　(3)0
解析　对物体受力分析如图所示。
INCLUDEPICTURE"X433A.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\课件\\2024课件\\同步\\2025（春）物理 必修 第二册 人教版（L）（鲁琼浙）\\学生word文档\\X433A.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)WG＝－mgLsin θ
＝－3 000 J。
(2)Ff＝μFN＝μmgcos θ
Wf＝－FfL＝－μmgcos θ·
L＝－1 000 J。
(3)法一　WF＝FL＝4 000 J，WN＝FNLcos 90°＝0
W＝WF＋WG＋Wf＋WN＝0。
法二　物体做匀速运动，F合＝0，故W＝0。
13.(1)eq \f(15Ft0,m)　(2)eq \f(25Ft0,6m)
解析　(1)0～2t0时间内，物体的加速度a1＝
2t0时刻，物体的速度v1＝a1·2t0＝
2t0～3t0时间内，物体的加速度a2＝
3t0时刻，物体的速度v2＝v1＋a2t0＝
所以3t0时刻F的瞬时功率P＝3F0v2＝eq \f(15Ft0,m)。
(2)0～2t0时间内，物体的位移x1＝·2t0＝eq \f(2F0t,m)
2t0～3t0时间内，物体的位移x2＝t0＝eq \f(7F0t,2m)
0～3t0时间内F的平均功率
P＝＝＝eq \f(25Ft0,6m)。(共55张PPT)
第1节　功与功率
第八章　机械能守恒定律
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　正功和负功
知识点一　功
知识点三　功　率
知识点一　功
　　　仔细观察下面两种情景，人是否对物体做功？
提示　甲：不做功。乙：做功。
1.定义：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、____________________这三者的乘积。
2.公式：W＝_______。
(1)α是力与______之间的夹角，l为物体对地的位移。
(2)该公式只适用于______做功。
(3)功是____量，没有方向，但有正负。
3.单位：在国际单位制中，功的单位是______，简称焦，符号是 ____。1 J＝
1 N×1 m＝1 N·m。
4.做功的两个条件：____和物体在力的方向上发生______。
力与位移夹角的余弦
Flcos α
位移
恒力
标
焦耳
J
力
位移
【思考】
1.只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功，对吗？
提示　不对。力对物体做功的必要条件是受力物体必须在力的方向上发生位移。
2.若力不对物体做功，则该力一定不会改变物体的运动状态，对吗？
提示　不对。做匀速圆周运动的物体，力对物体不做功，但物体的运动状态时刻改变。
3.观察下图，分析图中的哪个人对物体做了功？
提示　小川拉着重物上升的过程对重物做了功，其他三人都没有对物体做功。
C
例1 (人教版教材P75 例题1改编)如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，雪橇受到的(　　)
A.支持力做功为mgl
B.重力做功为mgl
C.拉力做功为Flcos θ
D.滑动摩擦力做功为－μmgl
解析　对雪橇及坐在其上的人受力分析，如图，支持力做功WN＝FNlcos 90°＝0，故A错误；重力做功WG＝mglcos 90°＝0，故B错误；拉力做功为WF＝Flcos θ，故C正确；雪橇竖直方向受力平衡有FN＋Fsin θ＝mg，则FN＝mg－Fsin θ，则摩擦力大小为Ff＝μFN＝μ(mg－Fsin θ)，则摩擦力做功Wf＝－Ffl＝－μ(mg－Fsin θ)l，故D错误。
功是过程量，描述了力的作用效果在空间上的累积，它总是与一个具体过程相联系。所以提到功应该明确“哪个力”在“哪个过程”中对“哪个物体”做功。　　　　
A
训练1 如图所示，质量分别为M和m的两物块A、B(均可视为质点，且M>m)分别在同样大小的恒力作用下，沿水平面由静止开始做直线运动，两力与水平面的夹角相同，两物块经过的位移相同。设此过程中F1对A做的功为W1，F2对B做的功为W2，则(　　)
A.无论水平面光滑与否，都有W1＝W2
B.若水平面光滑，则W1>W2
C.若水平面粗糙，则W1>W2
D.若水平面粗糙，则W1解析　设两物块的位移均为l，则F1做功为W1＝F1lcos α，F2做功为W2＝F2lcos α，因F1＝F2，则W1＝W2，故B、C、D错误，A正确。
知识点二　正功和负功
　　　如下图所示，甲同学做的正功一定比乙同学做的负功大吗？
提示　功是标量，功的正负既不表示方向也不表示大小，比较功的大小，只需比较数值的大小，与正负号无关，所以正功不一定比负功大。
由W＝Flcos α可知
(1)当α＝ 时，cos α＝0，W＝____，力对物体________。
(2)当0≤α< 时，cos α>0，W____0，力对物体做______。
(3)当 <α≤π时，cos α<0，W____0，力对物体做______，或称物体______这个力做功。
说明：功的正、负不表示功的大小，只表示力的性质，即正功表示该力是______，负功表示该力是______。
0
不做功
>
正功
<
负功
克服
动力
阻力
【思考】
如图所示，推出的铅球在空中运动，在铅球上升和下降过程中，重力对铅球的做功情况如何？
提示　推出的铅球在上升过程中，重力方向与速度方向夹角大于90°，重力对铅球做负功；铅球在下降过程中，重力方向与速度方向的夹角小于90°，重力对铅球做正功。
C
角度1　正、负功的判断
例2 图甲为一女士站立在台阶式(台阶水平)自动扶梯上正在匀速上楼，图乙为一男士站立在履带式自动人行道上正在匀速上楼。下列关于两人受到的力做功判断正确的是(　　)
A.甲图中支持力对人不做功
B.甲图中摩擦力对人做负功
C.乙图中支持力对人不做功
D.乙图中摩擦力对人做负功
解析　甲图中，人匀速上楼，支持力向上，与速度方向为锐角，则支持力做正功，人不受静摩擦力，摩擦力不做功，故A、B错误；乙图中，支持力与速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力方向与速度方向相同，摩擦力做正功，故C正确，D错误。
角度2　总功的计算
例3 如图所示，一位质量m＝50 kg的滑雪运动员(含滑雪板)从高度h＝30 m的斜坡顶端自由滑下(初速度为零)。斜坡的倾角θ＝37°，滑雪板与雪面间的动摩擦因数μ＝0.1。则运动员由坡顶滑至坡底的过程中(不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)：
(1)各个力所做的功分别是多少？
(2)这些力做的总功是多少？
解析　(1)重力做的功为WG＝mgh＝50×10×30 J＝1.5×104 J
因支持力方向与速度方向始终垂直，所以支持力做功为WN＝0
摩擦力做功为
(2)法一　这些力做的总功为W合＝WG＋Wf＋WN
＝1.5×104 J－2×103 J＝1.3×104 J。
答案　(1)重力做功1.5×104 J，支持力做功为零，摩擦力做功－2×103 J　(2)1.3×104 J
总功的计算方法
(1)先由W＝Flcos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3、…，然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋…。
(2)先由力的合成方法或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合lcos α计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的夹角。
知识点三　功　率
　　　建筑工地上有两台起重机将重物吊起，下表是它们的工作情况记录：
起重机编号 被吊物体重力 匀速上升速度 上升的高度 所用时间 做功
A 2.0×103 N 4 m/s 16 m 4 s
B 4.0×103 N 3 m/s 6 m 2 s
(1)两台起重机哪台做功多？
(2)哪台做功快？怎样比较它们做功的快慢呢？
提示　(1)两台起重机分别做功3.2×104 J、2.4×104 J，所以A做功多。
(2)B做功快。可以用功与完成这些功所用时间之比表示做功的快慢。
1.定义：功W与完成这些功所用________之比。
时间t
2.公式：P＝_______。单位：______，简称____，符号是____。
3.意义：功率是表示力__________的物理量。
4.功率是______。
5.功率与速度
(1)功率与速度关系式：P＝______ (F与v方向相同)。
(2)若v是平均速度，则P＝Fv表示平均功率；若v是瞬时速度，则P＝Fv表示瞬时功率。
瓦特
瓦
W
做功快慢
标量
Fv
6.公式P＝Fv中三个量的制约关系
定值 各量间的关系 应用
P一定 F与v成反比 汽车上坡时，需增大牵引力，应换低速挡减小速度
v一定 F与P成正比 汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定 v与P成正比 汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度
7.平均功率与瞬时功率
【思考】
1.做功多，功率一定大吗？
提示　不一定。功率表示的是力做功的快慢，不是做功的多少。
2.在越野比赛中，汽车爬坡时，常常换用低速挡，这是为什么？
提示　汽车在爬坡时需要更大的牵引力，而发动机的额定功率是一定的，由P＝Fv可知，换用低速挡的目的是减小速度，进而增大牵引力。
例4 如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的足够长的固定斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)前2 s内重力做的功；
(2)前2 s内重力的平均功率；
(3)2 s末重力的瞬时功率。
解析　(1)木块下滑过程中，由牛顿第二定律得
mgsin θ－μmgcos θ＝ma
联立解得x＝4 m，a＝2 m/s2
所以重力在前2 s内做的功为
W＝mgsin θ·x＝2×10×0.6×4 J＝48 J。
(2)重力在前2 s内的平均功率为
(3)木块在2 s末的速度大小为v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率为
P＝mgsin θ·v＝2×10×0.6×4 W＝48 W。
答案　(1)48 J　(2)24 W　(3)48 W
训练2 质量为1.5×103 kg的汽车在水平路面上匀速行驶，速度为20 m/s，受到的阻力大小为1.8×103 N。此时，汽车发动机输出的实际功率是(　　)
A.90 W B.30 kW C.36 kW D.300 kW
解析　根据汽车做匀速直线运动可得此时汽车的牵引力大小等于阻力大小，即F＝f＝1.8×103 N，根据P＝Fv，得此时汽车发动机的实际输出功率P＝36 kW，A、B、D错误，C正确。
C
随堂对点自测
2
A
1.(正、负功的理解)(人教版教材P78T2改编)用起重机将质量为m的物体在竖直方向上匀速地吊起一段距离，下列关于作用在物体上的各力做功情况的说法中正确的是(　　)
A.重力做负功，拉力做正功，合力不做功
B.重力做负功，拉力做正功，合力做正功
C.重力做正功，拉力做负功，合力不做功
D.重力不做功，拉力做正功，合力做正功
解析　起重机将质量为m的物体匀速吊起，重力方向与位移方向相反，重力做负功；拉力竖直向上，拉力与位移方向相同，拉力做正功；物体匀速上升，拉力等于重力，合力为零，合力不做功，故A正确。
C
2.(总功的计算)一物体在相互垂直的两个共点力F1、F2作用下运动，运动过程中F1对物体做功3 J，F2对物体做功4 J，则F1与F2的合力对物体做功(　　)
A.1 J B.5 J
C.7 J D.无法计算
解析　用W＝W1＋W2来计算总功，所以W＝3 J＋4 J＝7 J，故C正确。
3.(功和功率的计算)一只花盆从10楼(距地面高度约为h＝30 m)的窗台上不慎掉落，忽略空气阻力(将花盆的运动简化为自由落体运动)。已知花盆的质量m＝2 kg，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)在花盆下落到地面的过程中，重力对花盆做的功W；
(2)花盆下落2 s末时重力的瞬时功率；
(3)花盆下落第2 s内重力的平均功率。
答案　(1)600 J　(2)400 W　(3)300 W
解析　(1)WG＝mgh＝2×10×30 J＝600 J。
(2)P＝mgv＝mg2t＝2×102×2 W＝400 W。
(3)第2 s内花盆下落的高度
课后巩固训练
3
A
题组一　功的理解与计算
1.如图所示，电梯与水平地面成θ角，一人站在电梯上，电梯从静止开始匀加速上升，达到一定速度后再匀速上升，若以FN表示水平梯板对人的支持力，G为人受到的重力，Ff为电梯对人的静摩擦力，下列结论正确的是(　　)
对点题组练
A.加速运动过程中Ff≠0，Ff、FN、G都做功
B.加速运动过程中Ff≠0，FN不做功
C.匀速运动过程中Ff≠0，FN、G都做功
D.匀速运动过程中Ff≠0，FN、G都不做功
解析　加速运动过程中，人的加速度方向斜向上，将加速度分解到水平和竖直方向得ax＝acos θ，方向水平向右，ay＝asin θ，方向竖直向上，水平方向受静摩擦力作用，Ff＝max＝macos θ，方向水平向右，竖直方向上有位移，所以重力和支持力都做功，水平方向上有位移，则摩擦力也做功，故A正确，B错误；匀速运动过程中，人受力平衡，水平方向人与电梯无相对运动趋势，则人不受摩擦力，但在竖直方向上有位移，所以重力和支持力都做功，故C、D错误。
A
2.如图所示，A、B、C、D四种情况，力F大小相等，物体运动的位移l也相同，以下情况力F做功最多的是(　　)
C
3.以一定速度竖直上抛一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为Ff，则从抛出至落回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为(　　)
A.0 B.－Ffh
C.－2Ffh D.－4Ffh
解析　小球上升阶段，空气阻力做功W1＝－Ffh，下落阶段空气阻力做功W2＝－Ffh，整个过程中空气阻力做功W＝W1＋W2＝－2Ffh，故C正确。
A
题组二　正功和负功
4.如图所示，拖着旧橡胶轮胎跑步是耐力训练的一种有效方法。如果某受训者拖着轮胎在水平直道上跑了100 m，下列说法正确的是(　　)
A.轮胎受到地面的摩擦力对轮胎做负功
B.轮胎受到的重力对轮胎做正功
C.轮胎受到的拉力对轮胎不做功
D.轮胎受到的地面的支持力对轮胎做正功
解析　轮胎受到的重力和地面的支持力，方向都与位移方向垂直，这两个力均不做功，选项B、D错误；轮胎受到地面的摩擦力方向与位移方向相反，做负功，选项A正确；轮胎受到的拉力方向与位移方向夹角小于90°，做正功，选项C错误。
ACD
5.(多选)如图所示，质量为m的滑块放在光滑斜面上，
斜面与水平面间的摩擦力不计，在滑块从斜面
顶端滑到斜面底端的过程中(　 　)
A.重力对滑块做正功
B.滑块受到斜面的支持力与斜面垂直，所以支持力对滑块不做功
C.斜面对滑块的支持力对滑块做负功
D.滑块对斜面的压力对斜面做正功
A
6.如图所示，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环。小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力(　　)
A.一直不做功 B.一直做正功
C.一直做负功 D.先做正功后做负功
解析　对小环进行受力分析，大圆环是光滑的，则小环和大圆环之间没有摩擦力，大圆环对小环的弹力总是垂直于小环的速度方向，弹力与速度的夹角为90°，所以大圆环对小环不做功，故A正确。
D
7.如图所示，将一个大小为50 N与水平方向成60°角的力F作用在一个质量为6 kg的物体上，物体沿水平地面匀速前进了8 m，g取10 m/s2，下面关于物体所受各力做功的说法正确的是(　　)
A.力F对物体做功为400 J
B.摩擦力对物体做功为200 J
C.重力做功为480 J
D.合力做功为0
解析　WF＝Flcos 60°＝200 J，Wf＝－Ffl＝－Fcos 60°·l＝－200 J，WG＝0，WN＝0，W合＝WF＋Wf＋WG＋WN＝0，故选项D正确。
D
题组三　功率
8.(2024·河北邯郸二中高一月考)质量为2 kg的小球从某一高度由静止释放，经3 s到达地面，不计空气阻力，g取10 m/s2。则(　　)
A.落地时重力的瞬时功率为900 W
B.落地时重力的瞬时功率为450 W
C.3 s内重力的平均功率为600 W
D.3 s内重力的平均功率为300 W
B
9.如图所示，质量为m的小球以初速度v0水平抛出，恰好垂直打在倾角为θ的斜面上，不计空气阻力，重力加速度为g，则小球落在斜面上时重力的瞬时功率为(　　)
C
10.飞行员进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，如图所示，在到达竖直位置的过程中，飞行员重力的瞬时功率的变化情况是(　　)
A.一直增大 B.一直减小
C.先增大后减小 D.先减小后增大
解析　飞行员刚开始下摆时，因为其速度为零，故起始时刻重力的瞬时功率为0，当飞行员下摆到最低点时，因重力与速度的方向垂直，此时重力的瞬时功率也为0，摆动中的其他位置瞬时功率不为0，则重力的瞬时功率先增大后减小，故C正确。
B
11.如图甲所示，滑轮质量、轴摩擦均不计，质量为2 kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，g取10 m/s2，由此可知(　　)
综合提升练
A.物体加速度大小为2 m/s2
B.4 s末F的功率大小为42 W
C.F的大小为21 N
D.4 s内F做功的平均功率为42 W
12.如图所示，用沿斜面向上、大小为800 N的力F，将质量为100 kg的物体沿倾角为θ＝37°的固定斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L＝5 m，物体与斜面间的动摩擦因数为0.25。求这一过程中(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)：
(1)物体的重力所做的功；
(2)摩擦力所做的功；
(3)物体所受各力的合力所做的功。
答案　(1)－3 000 J　(2)－1 000 J　(3)0
解析　对物体受力分析如图所示。
(1)WG＝－mgLsin θ
＝－3 000 J。
(2)Ff＝μFN＝μmgcos θ
Wf＝－FfL＝－μmgcos θ·L＝－1 000 J。
(3)法一　WF＝FL＝4 000 J，WN＝FNLcos 90°＝0
W＝WF＋WG＋Wf＋WN＝0。
法二　物体做匀速运动，F合＝0，故W＝0。
13.质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力F的作用。力F的大小与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变。则：
培优加强练
(1)3t0时刻的瞬时功率为多大？
(2)在0～3t0时间内，平均功率为多大？

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