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第4节　机械能守恒定律
学习目标　1.了解人们追寻守恒量和建立“能量”概念的漫长过程。2.会用能量的观念分析具体实例中动能与势能之间的相互转化。3.理解机械能守恒定律的推导过程。4.会从做功和能量转化的角度判断机械能是否守恒，能应用机械能守恒定律解决有关问题。
知识点一　追寻守恒量　机械能守恒定律
(1)如图甲是滚摆及其运动的示意图，滚摆在上升过程中，重力做功情况如何？其动能与势能怎样变化？在下降过程中呢？
(2)如图乙所示，在光滑水平面上，弹簧左端固定，右端连接物体，弹簧被压缩到一定程度释放物体，在弹簧恢复到原长的过程中，弹力做功情况如何？弹性势能、物体的动能如何变化？
(3)如图丙所示用细绳把铁锁吊在高处，并把铁锁拉到鼻子尖前释放，保持头的位置不动，铁锁摆回来时，会打到鼻子吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.追寻守恒量
伽利略实验表明：小球在运动过程中，如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地终止于它开始运动时的高度，不会更高一点，也不会更低一点。这说明某种“东西”在小球运动的过程中是________的。
2.动能和势能的相互转化
(1)重力势能与动能：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能________，动能________，____________转化成了动能；若重力做负功，则________转化为____________。
(2)弹性势能与动能：只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧的弹性势能________，物体的动能________，____________转化为动能。
(3)机械能
①定义：____________、弹性势能与__________都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。
②机械能的转化：通过________或弹力做功，机械能可以从一种形式________成另一种形式。
3.机械能守恒定律
(1)推导
如图所示，物体沿光滑曲面滑下。物体在某一时刻处在高度为h1的位置A，这时它的速度是v1。经过一段时间后，物体下落到高度为h2的另一位置B，这时它的速度是v2。用W表示这一过程中重力做的功。由动能定理可得
W＝mv－mv
又W＝________________
从以上两式可得
mgh1－mgh2＝mv－mv
移项后得mv＋mgh2＝mv＋mgh1
即物体末状态动能与势能之和________物体初状态动能与势能之和。
(2)内容：在只有________或________做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能____________。
(3)表达式：Ek2＋Ep2＝________。
(4)守恒条件：只有________或________做功。
【思考判断】
(1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转化。(　　)
(2)物体自由下落时，重力做正功，物体的动能和重力势能都增加。(　　)
(3)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用。(　　)
(4)合力做功为零，物体的机械能一定保持不变。(　　)
(5)合力为零，物体的机械能一定守恒。(　　)
(6)只有重力做功时，物体的机械能一定守恒。(　　)
例1 如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)
A.甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B.乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B在下滑过程中机械能守恒
C.丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D.丁图中，系在橡皮条一端的小球向下摆动时，小球的机械能守恒
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
判断机械能是否守恒的方法
(1)对单个物体
(2)对多个物体组成的系统
①做功分析法
除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零。
②能量分析法
　　　　
训练1 光滑水平面上有A、B两木块，A、B之间用一轻弹簧拴接，A靠在墙壁上，用力F向左推B使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状态，若突然撤去力F，则下列说法中正确的是(　　)
A.木块A离开墙壁前，A、B组成的系统机械能守恒
B.木块A离开墙壁后，A、B组成的系统机械能守恒
C.木块A离开墙壁前，A、B及弹簧组成的系统机械能守恒
D.木块A离开墙壁后，A、B及弹簧组成的系统机械能不守恒
知识点二　机械能守恒定律的应用
1.机械能守恒定律的不同表达式
项目 表达式 物理意义 说明
从守恒的角度看 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能 必先选零势能面
从转化角度看 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量 不必选零势能面
从转移角度看 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 组成系统的只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
2.应用机械能守恒定律解题的基本思路
角度1　单个物体的机械能守恒
例2 如图所示，质量m＝70 kg的运动员以10 m/s的速度从高h＝10 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下。以最低点B所在的水平面为零势能面，一切阻力可忽略不计。求运动员(g取10 m/s2)：
(1)在A点时的机械能；
(2)到达最低点B时的速度大小；
(3)相对于B点能到达的最大高度。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练2 如图是为了检验某种防护罩承受冲击能力的装置的一部分，M是半径为R＝1.0 m、固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，M的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量m＝0.01 kg的小钢珠(可视为质点)。假设某次发射的小钢珠沿轨道内侧恰好能经过M的上端点水平飞出，g取10 m/s2，弹簧枪的长度不计，则发射该钢珠前，弹簧的弹性势能为(　　)
A.0.10 J B.0.15 J
C.0.20 J D.0.25 J
角度2　多个物体组成的系统机械能守恒
例3 (人教版教材P94 T4改编)如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好竖直拉直，且A物体离滑轮足够远，与地面接触，B物体距地面0.8 m，g取10 m/s2，求：
(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小；
(2)B物体着地后A物体还能上升的高度。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练3 如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L，重力加速度为g。开始时，杆静止在水平位置，则无初速度释放后杆转到竖直位置时，求A、B两小球的速度大小。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
随堂对点自测
1.(机械能定恒条件的理解)(多选)神舟载人飞船在发射至返回的过程中，以下哪些阶段中飞船(与地球组成的系统)的机械能是守恒的(　　)
A.飞船升空的阶段
B.飞船绕地球在椭圆轨道上的运行阶段
C.返回舱在大气层以外向着地球做无动力飞行的阶段
D.降落伞张开后，返回舱下降的阶段
2.(单个物体的机械能守恒)(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　)
A.重力对物体做的功为mgh
B.物体在海平面上的重力势能为mgh
C.物体在海平面上的动能为mv－mgh
D.物体在海平面上的机械能为mv
3.(多个物体组成的系统机械能守恒)如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高，此时细线恰好伸直。将A由静止释放(A落地时，立即烧断细线)，B上升的最大高度是(　　)
A. B.
C. D.2R
第4节　机械能守恒定律
知识点一
导学
提示　(1)滚摆在上升过程中，重力做负功，动能减少，重力势能增加；在下降过程中，重力做正功，动能增加，重力势能减少。
(2)在弹簧恢复到原长的过程中，弹力做正功，弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加。
(3)不会。
知识梳理
1.不变　2.(1)减少　增加　重力势能　动能　重力势能　(2)减少　增加　弹性势能　(3)①重力势能　动能　②重力　转化
3.(1)mgh1－mgh2　等于　(2)重力　弹力　保持不变　(3)Ek1＋Ep1　(4)重力　弹力
[思考判断]
(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
例1 C　[题图甲中，在物体A压缩弹簧的过程中，弹簧和物体A组成的系统，只有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，对于A，由于弹簧的弹性势能在增加，则A的机械能减小，故A错误；题图乙中，物体B沿斜面A下滑的过程中，A要向后退，A、B组成的系统，只有重力做功，机械能守恒，由于A的机械能增大，所以B的机械能减小，即物体B在下滑过程中机械能不守恒，故B错误；题图丙中绳子的拉力对A做负功、对B做正功，二者的代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，故C正确；题图丁中小球的重力势能转化为小球的动能和橡皮条的弹性势能，小球的机械能不守恒，故D错误。]
训练1 C　[木块A离开墙壁前，弹簧的弹力对B做功，则A、B组成的系统机械能不守恒，但是A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，选项A错误，C正确；木块A离开墙壁后，弹簧的弹力对A、B都做功，则A、B组成的系统机械能不守恒，但是A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，选项B、D错误。]
知识点二
例2 (1)10 500 J　(2)10 m/s　(3)15 m
解析　(1)运动员在A点时的机械能
E＝Ek＋Ep＝mv2＋mgh＝×70×102 J＋70×10×10 J＝10 500 J。
(2)运动员从A点运动到B点的过程，根据机械能守恒定律得
E＝mv
解得vB＝＝ m/s＝10 m/s。
(3)运动员从A点运动到斜坡上最高点的过程中，由机械能守恒定律得E＝mgh′
解得h′＝＝ m＝15 m。
训练2 B　[设小钢珠在M轨道最高点的速度为v，在最高点，有mg＝m，小钢珠从发射到最高点，由机械能守恒定律有Ep＝mgR＋mv2＝0.15 J，选项B正确。]
例3 (1)2 m/s　(2)0.2 m
解析　(1)方法一　由E1＝E2解
对于A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为重力势能参考平面，则有
mBgh＝mAgh＋(mA＋mB)v2，解得
v＝2 m/s。
方法二　由ΔEk＝－ΔEp解
对于A、B组成的系统，有
(mA＋mB)v2＝－(mAgh－mBgh)
解得v＝2 m/s。
方法三　由ΔEA＝－ΔEB解
对于A、B组成的系统，有
mAgh＋mAv2＝－
解得v＝2 m/s。
方法四　对于A、B组成的系统，由动能定理得
mBgh－mAgh＝(mA＋mB)v2－0
解得v＝2 m/s。
方法五　对A、B分别由动能定理得
(F－mAg)h＝mAv2－0
(mBg－F)h＝mBv2－0
联立解得v＝2 m/s。
(2)当B着地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，设A物体上升的高度为h′，由机械能守恒定律可得mAgh′＝mAv2，解得h′＝＝ m＝0.2 m。
训练3 　
解析　把A、B两小球和杆看成一个系统，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。
以A球在最低点的位置为零势能位置，则
初状态：系统的动能为Ek1＝0
重力势能为Ep1＝2mgL
末状态(即杆转到竖直位置)：
系统的动能为Ek2＝mv＋mv
重力势能为Ep2＝mg
由机械能守恒定律得
2mgL＝mgL＋mv＋mv
又因为在杆自由转动过程中A、B两球的角速度相同，
则vA＝2vB
联立解得vA＝，vB＝。
随堂对点自测
1.BC　[飞船升空的阶段，推力做正功，飞船的机械能增加，A错误；飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只受万有引力作用，重力势能和动能之和保持不变，飞船的机械能守恒，B正确；返回舱在大气层外向着地球做无动力飞行阶段，只有万有引力做功，飞船的机械能守恒，C正确；降落伞张开后，返回舱下降的阶段，飞船克服空气阻力做功，机械能减小，D错误。]
2.AD　[重力对物体做的功只与初末位置的高度差有关，为mgh，A正确；以地面为零势能面，物体在海平面时的势能为－mgh，B错误；由动能定理有mgh＝Ek－mv，解得到达海平面时物体的动能为Ek＝mv＋mgh，C错误；物体只有重力做功，机械能守恒，故物体在海平面上的机械能等于在地面上的机械能mv，D正确。]
3.B　[设B的质量为m，则A的质量为3m，A球落地前，A、B组成的系统机械能守恒，有3mgR－mgR＝×(3m＋m)v2，解得v＝。A落地后，对B运用动能定理有－mgh＝0－mv2，解得h＝，则B上升的最大高度为H＝h＋R＝，故B正确。]第4节　机械能守恒定律
(分值：100分)
选择题1～8题，每小题8分，共64分。
对点题组练
题组一　追寻守恒量机械能守恒定律
1.下列所述的情景中，机械能守恒的是(　　)
汽车在平直路面上加速行驶
小球在空中做自由落体运动
降落伞在空中匀速下落
木块沿斜面匀速下滑
2.(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)
甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空火箭机械能守恒，若加速升空机械能不守恒
乙图中物体匀速运动，机械能守恒
丙图中小球做匀速圆周运动，机械能守恒
丁图中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒
3.如图所示，小球从直立轻质弹簧的正上方a点处由静止自由下落，到b点与弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短，然后又被弹回。若不计空气阻力，下列判断正确的是(　　)
能量在动能和弹性势能两种形式之间转化
小球在b点速度最大
在c点时小球、地球与弹簧组成系统的势能最大
小球在由b运动到c点的过程中，小球、地球与弹簧组成系统的机械能减小
题组二　机械能守恒定律的应用
4.足球的质量为m，以速度v0由地面踢起，当它到达离地面高度为h的B点处(取B点所在水平面为参考平面)时，下列说法正确的是(重力加速度为g，不计空气阻力)(　　)
足球在B点处的重力势能为mgh
足球在B点处的动能为mgh
足球在B点处的机械能为mv－mgh
足球在B点处的机械能为mv
5.如图所示，质量为1 kg的小物块从倾角为30°、长为2 m的光滑固定斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置所在水平面为参考平面，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则它滑到斜面中点时具有的机械能和动能分别是(　　)
5 J，5 J 10 J，15 J
0，5 J 0，10 J
6.以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力，则(　　)
h1＝h2>h3 h1＝h2h1＝h3

h2
7.如图所示，轻绳一端跨过无摩擦的定滑轮O与小球B连接，另一端与套在光滑竖直杆上的小物块A连接，小球B与物块A质量相等，杆两端固定且足够长。现将物块A从与O等高位置由静止释放，物块A下落到轻绳与杆的夹角为θ时的速度大小为vA，小球B的速度大小为vB，则下列说法中正确的是(　　)
vA＝vB
vB＝vAsin θ
小球B增加的重力势能等于物块A减少的重力势能
小球B增加的机械能等于物块A减少的机械能
8.(多选)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1 m。两球从静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2。则下列说法中正确的是(　　)
下滑的整个过程中A球机械能守恒
下滑的整个过程中两球组成的系统机械能守恒
两球在光滑水平面上运动时的速度大小为2 m/s
下滑的整个过程中B球机械能的增加量为 J
综合提升练
9.(12分)如图所示，水平轻弹簧一端与墙相连处于自由伸长状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度开始运动并挤压弹簧，求：
(1)(6分)弹簧的最大弹性势能；
(2)(6分)木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能。
10.(12分)如图所示，质量m＝60 kg的运动员以6 m/s的速度从高h＝8 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下。以最低点B所在水平面为参考平面，g＝10 m/s2，一切阻力可忽略不计。求：
(1)(4分)运动员在A点时的机械能；
(2)(4分)运动员到达最低点B时的速度大小；
(3)(4分)运动员继续沿斜坡向上运动能到达的最大高度。
培优加强练
11.(12分)如图所示，在足够长的光滑水平桌面上固定一个四分之一光滑圆弧形槽，半径R＝0.45 m，末端与桌面相切。将质量m＝0.1 kg的小球(可视为质点)由槽的顶端无初速度释放，经桌面上A点水平飞出，小球恰好无碰撞地沿圆弧切线从地面上的B点进入固定的竖直光滑圆弧轨道，B、C为圆弧的两端点，其连线水平，O为圆弧最低点。已知圆弧对应圆心角θ＝106°，半径r＝1 m。g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。求：
(1)(4分)小球沿圆弧形槽下滑到槽底端时，小球的速度大小；
(2)(4分)桌面离水平地面的高度h；
(3)(4分)小球运动至O点时对圆弧轨道的压力大小。
第4节　机械能守恒定律
1.B　[汽车在平直路面上加速行驶时，汽车的重力势能不变，动能增大，所以汽车的机械能增加，故A错误；做自由落体运动的小球只受重力作用，所以小球的机械能守恒，故B正确；降落伞在空中匀速下落时，动能不变，重力势能减少，所以降落伞机械能减少，故C错误；木块沿斜面匀速下滑时，动能不变，重力势能减少，所以其机械能减少，故D错误。]
2.CD　[题图甲中，无论火箭匀速上升还是加速上升，都有推力对火箭做正功，火箭的机械能增加，故A错误；题图乙中，物体匀速上升，动能不变，重力势能增加，则机械能增加，故B错误；题图丙中，小球做匀速圆周运动，细线的拉力不做功，机械能守恒，故C正确；题图丁中，弹簧的弹力对两小车做功，弹簧的弹性势能转化为两小车的动能，则两小车组成的系统机械能增加，而两小车和弹簧组成的系统机械能守恒，故D正确。]
3.C　[小球下落过程中，能量在动能、重力势能和弹性势能三种形式之间转化，故A错误；从a点到b点，小球做自由落体运动，小球在b点接触弹簧，弹力逐渐增大，开始时弹力小于重力，加速度方向向下，小球做加速度逐渐减小的加速运动，直到b、c间某个位置弹力等于重力时，加速度为零，此时速度最大，然后弹力大于重力，加速度方向向上，小球做加速度逐渐增大的减速运动，直到c点，弹簧被压缩到最短，小球的速度为零，故B错误；以小球、地球与弹簧组成的系统为研究对象，整个过程中仅重力、弹簧弹力做功，则该系统机械能守恒，故小球在由b点运动到c点的过程中，小球、地球与弹簧组成系统的机械能不变，在c点时小球的动能为零，因此势能最大，故C正确，D错误。]
4.C　[取B点处所在水平面为参考平面，则足球在B点处的重力势能为零，A错误；由于只有重力做功，则足球的机械能守恒，故足球在B点处的机械能EB＝EA＝mv－mgh，则足球在B点处的动能为EkB＝mv－mgh，B、D错误，C正确。]
5.C　[物块的机械能等于物块动能和重力势能的和，由题意可知物块在初始位置的机械能E＝0。在运动的过程中只有重力做功，机械能守恒，所以物块滑到斜面中点时的机械能为0，故有－mg·Lsin 30°＋mv2＝0，所以动能Ek＝mv2＝5 J，C正确。]
6.D　[竖直上抛的物体和沿光滑斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为0，由机械能守恒定律得mgh＝mv，所以h＝eq \f(v,2g)；斜上抛的物体在最高点速度不为零，设为v1，则mgh2＝mv－mv，所以h27.D　[由于A、B沿绳方向的速度大小相等，故vAcos θ＝vB，选项A、B错误；A、B两者速度不相等，物块A下降的高度不等于小球B上升的高度，故小球B增加的重力势能不等于物块A减少的重力势能，选项C错误；对A、B组成的系统，绳子拉力对系统所做的总功为0，系统中只有物块和小球的重力做功，系统的机械能守恒，小球B增加的机械能等于物块A减少的机械能，选项D正确。]
8.BD　[当B球到达水平地面上时，杆对A球的弹力开始做负功，A球机械能不守恒，A错误；下滑的整个过程中，A、B组成的系统只有重力做功(杆的弹力对A、B做功的代数和为0)，系统机械能守恒，B正确；由机械能守恒定律知mBgh＋mAg(Lsin 30°＋h)＝(mA＋mB)v2，解得v＝ m/s，C错误；ΔEB＝mBv2－mBgh＝ J，D正确。]
9.(1)50 J　(2)32 J
解析　(1)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有
Epm＝mv＝×4×52 J＝50 J。
(2)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有
mv＝mv＋Ep1
则Ep1＝mv－mv＝32 J。
10.(1)5 880 J　(2)14 m/s　(3)9.8 m
解析　(1)运动员在A点时的机械能
EA＝Ek＋Ep＝mv2＋mgh＝5 880 J。
(2)运动员从A运动到B的过程，根据机械能守恒定律得
EA＝mv
解得vB＝14 m/s。
(3)运动员从A运动到斜坡上最高点的过程，由机械能守恒定律得EA＝mghm
解得hm＝9.8 m。
11.(1)3 m/s　(2)0.8 m　(3)4.3 N
解析　(1)小球沿圆弧形槽下滑到槽底端的过程中机械能守恒，则有
mgR＝mv
解得小球滑至槽底端时的速度v1＝3 m/s。
(2)小球离开桌面后以3 m/s的初速度做平抛运动，竖直方向有h＝gt2，小球恰好无碰撞地沿圆弧切线从B点进入固定的竖直光滑圆弧轨道，则小球沿与水平方向的夹角为53°的方向进入竖直圆弧轨道，则tan 53°＝，解得t＝0.4 s，h＝0.8 m。
(3)小球由A点到O点机械能守恒，由机械能守恒定律得
mg(h＋r－rcos 53°)＝mv－mv
在圆弧最低点O，由牛顿第二定律得
F－mg＝meq \f(v,r)
代入数据解得F＝4.3 N
根据牛顿第三定律，小球对圆弧轨道的压力大小为4.3 N。(共56张PPT)
第4节　机械能守恒定律
第八章　机械能守恒定律
1.了解人们追寻守恒量和建立“能量”概念的漫长过程。
2.会用能量的观念分析具体实例中动能与势能之间的相互转化。
3.理解机械能守恒定律的推导过程。
4.会从做功和能量转化的角度判断机械能是否守恒，能应用机械能守恒定律解决有关问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　机械能守恒定律的应用
知识点一　追寻守恒量　机械能守恒定律
知识点一　追寻守恒量　机械能守恒定律
　　　(1)如图甲是滚摆及其运动的示意图，滚摆在上升过程中，重力做功情况如何？其动能与势能怎样变化？在下降过程中呢？
(2)如图乙所示，在光滑水平面上，弹簧左端固定，右端连接物体，弹簧被压缩到一定程度释放物体，在弹簧恢复到原长的过程中，弹力做功情况如何？弹性势能、物体的动能如何变化？
(3)如图丙所示用细绳把铁锁吊在高处，并把铁锁拉到鼻子尖前释放，保持头的位置不动，铁锁摆回来时，会打到鼻子吗？
提示　(1)滚摆在上升过程中，重力做负功，动能减少，重力势能增加；在下降过程中，重力做正功，动能增加，重力势能减少。
(2)在弹簧恢复到原长的过程中，弹力做正功，弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加。
(3)不会。
1.追寻守恒量
伽利略实验表明：小球在运动过程中，如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地终止于它开始运动时的高度，不会更高一点，也不会更低一点。这说明某种“东西”在小球运动的过程中是______的。
不变
2.动能和势能的相互转化
(1)重力势能与动能：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能______，动能______，__________转化成了动能；若重力做负功，则______转化为__________。
(2)弹性势能与动能：只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧的弹性势能______，物体的动能______，__________转化为动能。
(3)机械能
①定义：__________、弹性势能与______都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。
②机械能的转化：通过______或弹力做功，机械能可以从一种形式______成另一种形式。
减少
增加
重力势能
动能
重力势能
减少
增加
弹性势能
重力势能
动能
重力
转化
3.机械能守恒定律
(1)推导
如图所示，物体沿光滑曲面滑下。物体在某一时刻处在高度为h1的位置A，这时它的速度是v1。经过一段时间后，物体下落到高度为h2的另一位置B，这时它的速度是v2。用W表示这一过程中重力做的功。由动能定理可得
mgh1－mgh2
又W＝__________________
从以上两式可得
即物体末状态动能与势能之和______物体初状态动能与势能之和。
(2)内容：在只有______或______做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能__________。
(3)表达式：Ek2＋Ep2＝________________。
(4)守恒条件：只有______或______做功。
等于
重力
弹力
保持不变
Ek1＋Ep1
重力
弹力
【思考判断】
(1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转化。( )
(2)物体自由下落时，重力做正功，物体的动能和重力势能都增加。( )
(3)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用。( )
(4)合力做功为零，物体的机械能一定保持不变。( )
(5)合力为零，物体的机械能一定守恒。( )
(6)只有重力做功时，物体的机械能一定守恒。( )
√
×
×
×
×
√
C
例1 如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)
A.甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B.乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B在下滑过程中机械能守恒
C.丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D.丁图中，系在橡皮条一端的小球向下摆动时，小球的机械能守恒
解析　题图甲中，在物体A压缩弹簧的过程中，弹簧和物体A组成的系统，只有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，对于A，由于弹簧的弹性势能在增加，则A的机械能减小，故A错误；题图乙中，物体B沿斜面A下滑的过程中，A要向后退，A、B组成的系统，只有重力做功，机械能守恒，由于A的机械能增大，
所以B的机械能减小，即物体B在下滑过程中机械能不守恒，故B错误；题图丙中绳子的拉力对A做负功、对B做正功，二者的代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，故C正确；题图丁中小球的重力势能转化为小球的动能和橡皮条的弹性势能，小球的机械能不守恒，故D错误。
判断机械能是否守恒的方法
(1)对单个物体
(2)对多个物体组成的系统
①做功分析法
除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零。
②能量分析法
训练1 光滑水平面上有A、B两木块，A、B之间用一轻弹簧拴接，A靠在墙壁上，用力F向左推B使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状态，若突然撤去力F，则下列说法中正确的是(　　)
A.木块A离开墙壁前，A、B组成的系统机械能守恒
B.木块A离开墙壁后，A、B组成的系统机械能守恒
C.木块A离开墙壁前，A、B及弹簧组成的系统机械能守恒
D.木块A离开墙壁后，A、B及弹簧组成的系统机械能不守恒
C
解析　木块A离开墙壁前，弹簧的弹力对B做功，则A、B组成的系统机械能不守恒，但是A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，选项A错误，C正确；木块A离开墙壁后，弹簧的弹力对A、B都做功，则A、B组成的系统机械能不守恒，但是A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，选项B、D错误。
知识点二　机械能守恒定律的应用
1.机械能守恒定律的不同表达式
项目 表达式 物理意义 说明
从守恒的角度看 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能 必先选零势能面
从转化角度看 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量 不必选零势能面
从转移角度看 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 组成系统的只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
2.应用机械能守恒定律解题的基本思路
角度1　单个物体的机械能守恒
例2 如图所示，质量m＝70 kg的运动员以10 m/s的速度从高h＝10 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下。以最低点B所在的水平面为零势能面，一切阻力可忽略不计。求运动员(g取10 m/s2)：
(1)在A点时的机械能；
(2)到达最低点B时的速度大小；
(3)相对于B点能到达的最大高度。
解析　(1)运动员在A点时的机械能
(3)运动员从A点运动到斜坡上最高点的过程中，由机械能守恒定律得E＝mgh′
B
训练2 如图是为了检验某种防护罩承受冲击能力的装置的一部分，M是半径为R＝1.0 m、固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，M的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量m＝0.01 kg的小钢珠(可视为质点)。假设某次发射的小钢珠沿轨道内侧恰好能经过M的上端点水平飞出，g取10 m/s2，弹簧枪的长度不计，则发射该钢珠前，弹簧的弹性势能为(　　)
A.0.10 J B.0.15 J
C.0.20 J D.0.25 J
角度2　多个物体组成的系统机械能守恒
例3 (人教版教材P94 T4改编)如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好竖直拉直，且A物体离滑轮足够远，与地面接触，B物体距地面0.8 m，g取10 m/s2，求：
(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小；
(2)B物体着地后A物体还能上升的高度。
解析　(1)方法一　由E1＝E2解
对于A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为重力势能参考平面，则有
v＝2 m/s。
方法二　由ΔEk＝－ΔEp解
对于A、B组成的系统，有
解得v＝2 m/s。
方法三　由ΔEA＝－ΔEB解
对于A、B组成的系统，有
解得v＝2 m/s。
方法四　对于A、B组成的系统，由动能定理得
解得v＝2 m/s。
方法五　对A、B分别由动能定理得
联立解得v＝2 m/s。
答案　(1)2 m/s　(2)0.2 m
训练3 如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L，重力加速度为g。开始时，杆静止在水平位置，则无初速度释放后杆转到竖直位置时，求A、B两小球的速度大小。
解析　把A、B两小球和杆看成一个系统，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。
以A球在最低点的位置为零势能位置，则初状态：系统的动能为Ek1＝0
重力势能为Ep1＝2mgL
末状态(即杆转到竖直位置)：
又因为在杆自由转动过程中A、B两球的角速度相同，则vA＝2vB
随堂对点自测
2
BC
1.(机械能定恒条件的理解)(多选)神舟载人飞船在发射至返回的过程中，以下哪些阶段中飞船(与地球组成的系统)的机械能是守恒的(　　)
A.飞船升空的阶段
B.飞船绕地球在椭圆轨道上的运行阶段
C.返回舱在大气层以外向着地球做无动力飞行的阶段
D.降落伞张开后，返回舱下降的阶段
解析　飞船升空的阶段，推力做正功，飞船的机械能增加，A错误；飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只受万有引力作用，重力势能和动能之和保持不变，飞船的机械能守恒，B正确；返回舱在大气层外向着地球做无动力飞行阶段，只有万有引力做功，飞船的机械能守恒，C正确；降落伞张开后，返回舱下降的阶段，飞船克服空气阻力做功，机械能减小，D错误。
AD
B
3.(多个物体组成的系统机械能守恒)如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高，此时细线恰好伸直。将A由静止释放(A落地时，立即烧断细线)，B上升的最大高度是(　　)
课后巩固训练
3
B
题组一　追寻守恒量　机械能守恒定律
1.下列所述的情景中，机械能守恒的是(　　)
A.汽车在平直路面上加速行驶 B.小球在空中做自由落体运动
C.降落伞在空中匀速下落 D.木块沿斜面匀速下滑
对点题组练
解析　汽车在平直路面上加速行驶时，汽车的重力势能不变，动能增大，所以汽车的机械能增加，故A错误；做自由落体运动的小球只受重力作用，所以小球的机械能守恒，故B正确；降落伞在空中匀速下落时，动能不变，重力势能减少，所以降落伞机械能减少，故C错误；木块沿斜面匀速下滑时，动能不变，重力势能减少，所以其机械能减少，故D错误。
CD
2.(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)
A.甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空火箭机械能守恒，若加速升空机械能不守恒
B.乙图中物体匀速运动，机械能守恒
C.丙图中小球做匀速圆周运动，机械能守恒
D.丁图中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒
解析　题图甲中，无论火箭匀速上升还是加速上升，都有推力对火箭做正功，火箭的机械能增加，故A错误；题图乙中，物体匀速上升，动能不变，重力势能增加，则机械能增加，故B错误；题图丙中，小球做匀速圆周运动，细线的拉力不做功，机械能守恒，故C正确；题图丁中，弹簧的弹力对两小车做功，弹簧的弹性势能转化为两小车的动能，则两小车组成的系统机械能增加，而两小车和弹簧组成的系统机械能守恒，故D正确。
C
3.如图所示，小球从直立轻质弹簧的正上方a点处由静止自由下落，到b点与弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短，然后又被弹回。若不计空气阻力，下列判断正确的是(　　)
A.能量在动能和弹性势能两种形式之间转化
B.小球在b点速度最大
C.在c点时小球、地球与弹簧组成系统的势能最大
D.小球在由b运动到c点的过程中，小球、地球与弹簧组成系统的机械能减小
解析　小球下落过程中，能量在动能、重力势能和弹性势能三种形
式之间转化，故A错误；从a点到b点，小球做自由落体运动，小球在
b点接触弹簧，弹力逐渐增大，开始时弹力小于重力，加速度方向向
下，小球做加速度逐渐减小的加速运动，直到b、c间某个位置弹力等
于重力时，加速度为零，此时速度最大，然后弹力大于重力，加速度方向向上，小球做加速度逐渐增大的减速运动，直到c点，弹簧被压缩到最短，小球的速度为零，故B错误；以小球、地球与弹簧组成的系统为研究对象，整个过程中仅重力、弹簧弹力做功，则该系统机械能守恒，故小球在由b点运动到c点的过程中，小球、地球与弹簧组成系统的机械能不变，在c点时小球的动能为零，因此势能最大，故C正确，D错误。
C
题组二　机械能守恒定律的应用
4.足球的质量为m，以速度v0由地面踢起，当它到达离地面高度为h的B点处(取B点所在水平面为参考平面)时，下列说法正确的是(重力加速度为g，不计空气阻力)(　　)
C
5.如图所示，质量为1 kg的小物块从倾角为30°、长为2 m的光滑固定斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置所在水平面为参考平面，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则它滑到斜面中点时具有的机械能和动能分别是(　　)
A.5 J，5 J B.10 J，15 J C.0，5 J D.0，10 J
D
6.以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力，则(　　)
A.h1＝h2>h3 B.h1＝h2C.h1＝h3

h2
D
7.如图所示，轻绳一端跨过无摩擦的定滑轮O与小球B连接，另一端与套在光滑竖直杆上的小物块A连接，小球B与物块A质量相等，杆两端固定且足够长。现将物块A从与O等高位置由静止释放，物块A下落到轻绳与杆的夹角为θ时的速度大小为vA，小球B的速度大小为vB，则下列说法中正确的是(　　)
A.vA＝vB
B.vB＝vAsin θ
C.小球B增加的重力势能等于物块A减少的重力势能
D.小球B增加的机械能等于物块A减少的机械能
解析　由于A、B沿绳方向的速度大小相等，故vAcos θ＝vB，选项A、B错误；A、B两者速度不相等，物块A下降的高度不等于小球B上升的高度，故小球B增加的重力势能不等于物块A减少的重力势能，选项C错误；对A、B组成的系统，绳子拉力对系统所做的总功为0，系统中只有物块和小球的重力做功，系统的机械能守恒，小球B增加的机械能等于物块A减少的机械能，选项D正确。
BD
8.(多选)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1 m。两球从静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2。则下列说法中正确的是(　　)
A.下滑的整个过程中A球机械能守恒
B.下滑的整个过程中两球组成的系统机械能守恒
C.两球在光滑水平面上运动时的速度大小为2 m/s
9.如图所示，水平轻弹簧一端与墙相连处于自由伸长状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度开始运动并挤压弹簧，求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能。
答案　(1)50 J　(2)32 J
综合提升练
(2)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有
10.如图所示，质量m＝60 kg的运动员以6 m/s的速度从高h＝8 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下。以最低点B所在水平面为参考平面，g＝10 m/s2，一切阻力可忽略不计。求：
(1)运动员在A点时的机械能；
(2)运动员到达最低点B时的速度大小；
(3)运动员继续沿斜坡向上运动能到达的最大高度。
答案　(1)5 880 J　(2)14 m/s　(3)9.8 m
解析　(1)运动员在A点时的机械能
解得vB＝14 m/s。
(3)运动员从A运动到斜坡上最高点的过程，由机械能守恒定律得EA＝mghm
解得hm＝9.8 m。
11.如图所示，在足够长的光滑水平桌面上固定一个四分之一光滑圆弧形槽，半径R＝0.45 m，末端与桌面相切。将质量m＝0.1 kg的小球(可视为质点)由槽的顶端无初速度释放，经桌面上A点水平飞出，小球恰好无碰撞地沿圆弧切线从地面上的B点进入固定的竖直光滑圆弧轨道，B、C为圆弧的两端点，其连线水平，O为圆弧最低点。已知圆弧对应圆心角θ＝106°，半径r＝1 m。g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。求：
培优加强练
(1)小球沿圆弧形槽下滑到槽底端时，小球的速度大小；
(2)桌面离水平地面的高度h；
(3)小球运动至O点时对圆弧轨道的压力大小。
答案　(1)3 m/s　(2)0.8 m　(3)4.3 N
解析　(1)小球沿圆弧形槽下滑到槽底端的过程中机械
能守恒，则有
解得小球滑至槽底端时的速度v1＝3 m/s。
(3)小球由A点到O点机械能守恒，由机械能守恒定律得
在圆弧最低点O，由牛顿第二定律得
代入数据解得F＝4.3 N
根据牛顿第三定律，小球对圆弧轨道的压力大小为4.3 N。

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