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培优提升五　摩擦力做功和变力做功问题
学习目标　1.理解摩擦力做功的特点，会分析一对相互作用的摩擦力做功情况。2.掌握求解变力做功的常用方法。
提升1　摩擦力做功
1.静摩擦力做功
在图甲中，光滑水平面上放着一辆平板车B，车上放一物体A，用力F拉动车上的物体A，B与A一起以相同的速度前进，且A与B间无相对滑动，则静摩擦力Ff对A做负功，Ff′对B做正功(如图乙所示)。
在图丙中，放在匀速转动的圆盘上随同圆盘M一起转动的物体A，它随圆盘匀速转动所需的向心力由静摩擦力Ff提供，静摩擦力Ff的方向在任一时刻都与速度方向垂直，所以静摩擦力Ff不做功。
结论：(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
(2)一对相互作用的静摩擦力等大反向且两物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，由W＝Flcos α可判断两个相互作用的静摩擦力做功的总和为零。
2.滑动摩擦力做功
如图甲所示，光滑水平面上放一木板A，其上放一物体B，物体B用细绳固定在竖直墙上。现用力F将A从B下面拉出，则B、A间的滑动摩擦力对B不做功，对A做负功。
如图乙所示，子弹沿水平方向射入静止在光滑水平面上的木块，并留在其中。在此过程中木块发生了位移，子弹对木块的滑动摩擦力对木块做正功，滑动摩擦力对子弹做负功。
结论：(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
(2)一对相互作用的滑动摩擦力等大反向，但两物体间发生了相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，由W＝Flcos α可判断两个相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为零，且两力做功的总和一定为负值。
例1 (多选)如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块当中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为l，木块与子弹间的摩擦力大小为F，则(　　)
A.F对木块做功为Fl
B.F对木块做功为F(l＋d)
C.F对子弹做功为－Fd
D.F对子弹做功为－F(l＋d)
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 如图所示，滑草场由两段宽度相同但坡度不同的斜面AB和BC连接而成，一名滑草的游客与两段斜面间的动摩擦因数相同。从A滑到B然后到C，在沿两段斜面下滑过程中克服摩擦力做的功分别为WA和WB，则(　　)
A.WA>WB B.WA＝WB
C.WA听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
提升2　变力做功的分析和计算
　　　　　　　　　　　　　　　　
方法 常见情景 方法概述
微元法 将物体的位移分割成许多小段，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，将求变力做功转化为求在无数个无穷小的位移方向上的恒力所做功的代数和。此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题
平均力法 若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝的恒力作用，然后用公式W＝Flcos α求解
图像法 在F－x和P－t图像中，图线与x轴或t轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移或这段时间内所做的功，且位于横轴上方的“面积”为正，位于横轴下方的“面积”为负。图甲中，力F做功W＝x0，图乙中，在0～t0时间内力做功W＝t0
化变力为恒力 直接求解变力做功时，通常比较复杂，但若通过转换研究对象，可化为恒力做功，用W＝Flcos α求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中
用W＝Pt计算 用W＝Pt计算功时，必须满足“变力的功率是一定”的这一条件
角度1　微元法
例3 2024年新年小华去外婆家度假，在村里农家乐旅游地发现有驴拉磨磨玉米面，如图甲所示。假设驴拉磨的平均用力大小为800 N，运动的半径为1.25 m，如图乙所示。则驴拉磨转动一周所做的功为(π取3)(　　)
A.0 B.3 000 J
C.6 000 J D.12 000 J
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度2　图像法
例4 一物体在水平拉力F的作用下沿水平面运动。已知拉力F随物体运动位移x的变化情况如图所示。则在0～8 m的运动过程中，拉力F做的功为(　　)
A.6 J B.18 J
C.20 J D.22 J
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度3　平均力法
例5 静置于水平地面上质量为1 kg的物体，在水平拉力F＝4＋2x(式中F为力的大小、x为位移的大小，力F、位移x的单位分别是N、m)作用下，沿水平方向移动了5 m。已知物体与地面间的动摩擦因数为0.2，重力加速度g＝10 m/s2，则在物体移动5 m的过程中拉力所做的功为(　　)
A.35 J B.45 J
C.55 J D.65 J
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
随堂对点自测
1.(静摩擦力做功)如图所示，木块A、B叠放在光滑水平面上，A、B之间不光滑，用水平力F拉B，使A、B一起沿光滑水平面加速运动。设A对B的摩擦力为F1，B对A的摩擦力为F2，则以下说法正确的是(　　)
A.F1对B做负功，F2对A做正功
B.F1对B做正功，F2对A不做功
C.F2对A做正功，F1对B不做功
D.F2对A不做功，F1对A做正功
2.(变力做功)用大小不变、方向始终与物体运动方向一致的力F，将质量为m的小物体沿半径为R的固定圆弧轨道从A点推到B点，圆弧对应的圆心角为60°，如图所示。则在此过程(　　)
A.力F对物体做的功为FRsin 60°
B.力F对物体做的功为
C.力F对物体做的功为
D.力F是变力，无法计算做功大小
3.(变力做功)如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F的作用下，沿x轴正方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆。则小物块运动到x0处的过程中，拉力F做的功为(　　)
A.0　　 B.Fmx0　　
C.Fmx0　　 D.x
培优提升五　摩擦力做功和变力做功问题
提升1
例1 AD　[木块的位移为l，由W＝Flcos α得F对木块做功为Fl，子弹的位移为l＋d，木块对子弹的摩擦力方向与位移方向相反，故F对子弹做负功，为W′＝－F(l＋d)，故A、D正确。]
例2 B　[设AB与水平面的夹角为θ，则游客从A点到B点的过程中，游客克服摩擦力做功WA＝μmgcos θ·＝μmgd；同理，设BC与水平面的夹角为α，则游客从B点到C点的过程中，游客克服摩擦力做功WB＝μmgcos α·＝μmgd。则有WA＝WB，故B正确。]
提升2
例3 C　[由于F的方向保持与作用点的速度方向一致，因此可把圆周划分成很多小段研究，当各小段的弧长Δli足够小(Δli→0)时，在这Δli内F的方向几乎与该小段的位移方向重合，故WF＝F·Δl1＋F·Δl2＋F·Δl3＋…＝F·2πR＝6 000 J，故C正确。]
例4 B　[0～2 m力F做功W1＝F1x1＝2×2 J＝4 J，2～4 m力F做功W2＝F2x2＝－1×2 J＝－2 J，4～8 m力F做功W3＝F3x3＝4×4 J＝16 J，这个运动过程中F做的总功为W＝W1＋W2＋W3＝4 J＋(－2 J)＋16 J＝18 J，故B正确，A、C、D错误。]
例5 B　[水平拉力F＝4＋2x，则物体移动5 m的过程中拉力的平均值为F＝ N＝9 N，则拉力做的功W＝Fx＝9×5 J＝45 J，故B正确。]
随堂对点自测
1.A　[对A、B整体受力分析，有F＝(mA＋mB)a，可知A、B两物体的加速度方向水平向右。隔离物体A，通过受力分析可知，B对A的摩擦力F2方向水平向右，而A向右运动，由W＝Fl可知，F2对A做正功；A对B的摩擦力F1方向水平向左，故F1对B做负功，故A正确。]
2.B　[物体从A点推到B点过程中，把圆弧分割为无限小的n段，每段长度上力与位移近似看作直线运动，则整个过程的位移就是弧长，力对物体做的功为WF＝Fs＝F··2πR＝，故B正确。]
3.C　[由于水平面光滑，所以拉力F即为合外力，F随物块所在位置坐标x的变化图像中图线与横轴包围的面积即为F做的功，即W＝Fmx0，C正确。]培优提升五　摩擦力做功和变力做功问题
(分值：100分)
选择题1～10题，第12题，每小题8分，共88分。
对点题组练
题组一　摩擦力做功
1.下面关于摩擦力做功的叙述中，正确的是(　　)
静摩擦力对物体一定不做功
滑动摩擦力对物体一定做负功
一对静摩擦力，一个做正功，另一个一定做负功
一对滑动摩擦力，一个做负功，另一个一定做正功
2.滑板运动是青少年喜爱的一项运动，一块滑板由板面、滑板支架和四个轮子等组成。一位练习者踩着滑板在水平地面上向右减速滑行，如图所示。若练习者的脚受到的摩擦力为Ff1，脚对滑板的摩擦力为Ff2，下列说法正确的是(　　)
Ff1做正功，Ff2做负功
Ff1做负功，Ff2做正功
Ff1、Ff2均做正功
因为是静摩擦力，Ff1、Ff2都不做功
3.(多选)如图所示，站在车上的人用手推车的力为F，脚对车向后的静摩擦力为F′，下列说法正确的是(　　)
当车匀速运动时，F和F′做的总功为零
当车加速运动时，F和F′的总功为负功
当车加速运动时，F和F′的总功为正功
不管车做何种运动，F和F′的总功都为零
4.一张桌子始终静止在地面上，一根木棒沿着水平桌面从A运动到B，发生的位移为l，如图所示，若棒与桌面间的摩擦力大小为Ff，则棒对桌面的摩擦力和桌面对棒的摩擦力做的功各为(　　)
－Ffl，－Ffl Ffl，－Ffl
0，－Ffl －Ffl，0
题组二　变力做功的分析和计算
5.(多选)如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小f不变，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
重力做功为mgL
悬线的拉力做功为mgL
空气阻力f做功为－fπL
摆球克服空气阻力f做功为fL
6.轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连，如图甲所示。弹簧处于原长状态，物块静止，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2。以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示。物块运动至x＝0.4 m处时速度为零，则此过程物块受到的力F和摩擦力做功之和为(g取10 m/s2)(　　)
3.1 J 3.5 J 1.8 J 2.0 J
7.一物体所受的力F随位移x变化的图像如图所示，求在这一过程中，力F对物体做的功为(　　)
力F在0～3 m的过程中对物体做了3 J的功
力F在3～4 m的过程中对物体做了－2 J的功
物体在4～5 m的过程中克服力F做了1 J的功
力F在0～5 m的过程中对物体做了8 J的功
综合提升练
8.(多选)如图所示，三个固定的斜面底边长度都相等，斜面倾角分别为30°、45°、60°，斜面的表面情况都一样。完全相同的物体(可视为质点)A、B、C分别从三斜面的顶部滑到底部的过程中(　　)
三者所受摩擦力FfA>FfB>FfC
三者克服摩擦力所做的功WA>WB>WC
三者克服摩擦力所做的功WA三者克服摩擦力所做的功WA＝WB＝WC
9.放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间关系的图像和水平拉力的功率与时间关系的图像如图甲、乙所示。下列说法正确的是(　　)
0～6 s内物体的位移大小为20 m
0～6 s内拉力做功为100 J
滑动摩擦力的大小为5 N
0～6 s内滑动摩擦力做功为－50 J
10.(多选)如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是(　　)
甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的功为W＝F(OA－OC)
乙图中，全过程F做的总功为72 J
丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W＝πRf
丁图中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Flsin θ
11.(12分)某人利用如图所示的装置，用100 N的恒力F作用于不计质量的细绳的一端，将物体从水平面上的A点移到B点。已知α1＝30°，α2＝37°，h＝1.5 m，不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦。求绳的拉力对物体所做的功(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。
培优加强练
12.(多选)(2024·内蒙古阿拉善盟第一中学期末)如图所示，一质量为2 kg的木板静止放置在光滑水平面上，质量为1 kg的物块以6 m/s的速度滑上木板，最后相对静止在木板上。已知木板与物块间的动摩擦因数为0.4，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，下列关于该过程的说法正确的是(　　)
物块滑上木板瞬间，木板的加速度大小为4 m/s2
木板加速运动的时间为1 s
摩擦力对物块做的功为－16 J
摩擦力对木板做的功为16 J
培优提升五　摩擦力做功和变力做功问题
1.C　[静摩擦力可以做功，A错误；滑动摩擦力可以做正功，只要滑动摩擦力与物体运动方向相同即可，B错误；一对静摩擦力作用的物体间无相对滑动，故位移始终相等，而二力大小相等、方向相反，故一个做正功，则另一个一定做负功，C正确；一对滑动摩擦力做功可以有以下几种情况：a.一个不做功，另一个做负功：比如两个重叠的木块，上面的木块用弹簧系在墙面上，用力拉下端的木块(此木块足够长)，待其稳定后，摩擦力对上面的木块不做功，对下面的木块做负功；b.两个都做负功：两个重叠的长木板，一个力拉上面的木板，一个力拉下面的木板，力的方向相反，摩擦力对两木板都做负功，c.一个做正功，一个做负功：将物体无初速度地放到运动的传送带上，摩擦力对传送带做负功，对物体做正功，D错误。]
2.B　[由题意可知脚受到的摩擦力方向水平向左，滑板受到脚的摩擦力方向水平向右，人和滑板一起向右运动，根据力与位移的方向关系可知，练习者的脚受到的摩擦力做负功，脚对滑板的摩擦力做正功，B正确，A、C、D错误。]
3.AB　[F和F′做的总功W＝Fx－F′x＝(F－F′)x。由牛顿第三定律得，人受到车对脚向前的静摩擦力大小等于F′，车对手向后的推力大小等于F，当车匀速运动时，F′＝F，则W＝0，故A正确；当车加速运动时，对人由牛顿第二定律得F′－F＝ma，F′>F，则W<0，故B正确，C、D错误。]
4.C　[棒对桌面的摩擦力和桌面对棒的摩擦力为作用力和反作用力，大小相等方向相反，从A运动到B的过程中，棒受到的摩擦力大小为Ff，位移为l，摩擦力做的是负功，所以桌面对棒的摩擦力做的功为－Ffl，桌面受到的摩擦力的大小也为Ff，但桌面没动，位移是0，所以棒对桌面的摩擦力做的功为0，故C正确。]
5.AC　[重力做功与摆球初、末位置的高度差有关，所以重力做功为WG＝mgL，故A正确；因为悬线的拉力始终与摆球的运动方向垂直，故不做功，故B错误；空气阻力f所做的总功等于每个小弧段上空气阻力所做功的代数和，Wf＝－(fΔL1＋fΔL2＋…)＝－fπL，即摆球克服空气阻力f做功为fπL，故C正确，D错误。]
6.A　[物块与水平面间的摩擦力为Ff＝μmg＝1 N。现对物块施加水平向右的外力F，由F－x图线与x轴所围面积表示功可知F对物块做功W＝3.5 J，物块克服摩擦力做功Wf＝Ffx＝0.4 J。则物块受到的力F和摩擦力做功之和为W－Wf＝3.1 J，故A正确。]
7.C　[根据F－x图像与横轴围成的面积表示力做功的大小，则力F在0～3 m的过程中对物体做的功为W1＝Fx1＝2×3 J＝6 J，力F在3～4 m的过程中对物体做的功为W2＝×1×2 J＝1 J，物体在4～5 m的过程中克服力F做的功为W3＝×1×2 J＝1 J，故C正确，A、B错误；力F在0～5 m的过程中对物体做的功为W总＝W1＋W2－W3＝6 J＋1 J－1 J＝6 J，故D错误。]
8.AD　[斜面对物体的摩擦力Ff＝μmgcos θ，因θA<θB<θC，所以cos θA>cos θB>cos θC，则FfA>FfB>FfC，故A正确；设斜面底边长度为b，则摩擦力对物体做的功W＝－μmgcos θ·＝－μmgb，即物体克服摩擦力做功为定值W克＝μmgb，故D正确，B、C错误。]
9.D　[由题图甲可知，在0～6 s内物体的位移大小为x＝×(4＋6)×6 m＝30 m，故A错误；P－t图像中图线与时间轴围成的面积表示拉力对物体做的功，则由题图乙可知，0～6 s内拉力对物体做功WF＝×2×30 J＋10×4 J＝70 J，故B错误；在2～6 s内，v＝6 m/s，P＝10 W，物体做匀速运动，滑动摩擦力的大小Ff＝F＝＝ N，故C错误；在0～6 s内物体的位移大小为30 m，滑动摩擦力对物体做负功，即Wf＝－Ffx＝－×30 J＝－50 J，故D正确。]
10.AB　[甲图中，力F大小不变，方向始终沿绳方向，在力F方向上的位移为(OA－OC)，故力F做的功为W＝F(OA－OC)，故A正确；乙图中，力F做的总功为W＝F1x1＋F2x2＝15×6 J＋(－3)×(12－6) J＝72 J，故B正确；丙图中，空气阻力f与物体运动方向始终相反，故力f做的功为W＝－fs＝－f··2πR＝－πRf，故C错误；丁图中，力F的方向始终水平向右，水平方向的位移为x＝lsin θ，恒力F做的功为W＝Fx＝Flsin θ，而F缓慢将小球从P拉到Q，F为水平方向的变力，F做的功不能用力乘位移计算，故D错误。]
11.50 J
解析　由于不计绳的质量及绳与滑轮间的摩擦，故恒力F对绳做的功和绳对物体的拉力做的功相等。由于恒力F作用在绳的端点，故需先求出绳的端点的位移l，再求恒力F做的功。
由几何关系知，绳的端点的位移为
l＝－＝0.5 m
在物体从A移到B的过程中，恒力F做的功为
W＝Fl＝100×0.5 J＝50 J
故绳的拉力对物体所做的功为50 J。
12.BC　[设物块质量为m，木板质量为M，物块滑上木板瞬间，木板受到物块对它水平向右的滑动摩擦力作用，将做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律，有μmg＝Ma，代入数据可得木板的加速度大小为a＝＝ m/s2＝2 m/s2，故A错误；物块冲上木板，受到木板对它水平向左的滑动摩擦力作用，将做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有μmg＝ma′，代入数据可得物块的加速度大小为a′＝μg＝0.4×10 m/s2＝4 m/s2，当木板与物块速度相同时，二者将一起做匀速运动。设物块的初速度为v0，则有v0－a′t＝at，即6－4t＝2t，可求得木板加速运动的时间为t＝1 s，故B正确；物块在摩擦力作用下做减速直线运动时，发生的位移为x1＝v0t－a′t2＝ m＝4 m，木板在摩擦力作用下做加速直线运动时，发生的位移为x2＝at2＝×2×12m＝1 m，所以，摩擦力对物块做的功为W1＝－μmgx1＝－16 J，摩擦力对木板做的功为W2＝μmgx2＝4 J，故C正确，D错误。](共43张PPT)
培优提升五　摩擦力做功和变力做功问题
第八章　机械能守恒定律
1.理解摩擦力做功的特点，会分析一对相互作用的摩擦力做功情况。
2.掌握求解变力做功的常用方法。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　变力做功的分析和计算
提升1　摩擦力做功
提升1　摩擦力做功
1.静摩擦力做功
在图甲中，光滑水平面上放着一辆平板车B，车上放一物体A，用力F拉动车上的物体A，B与A一起以相同的速度前进，且A与B间无相对滑动，则静摩擦力Ff对A做负功，Ff′对B做正功(如图乙所示)。
在图丙中，放在匀速转动的圆盘上随同圆盘M一起转动的物体A，它随圆盘匀速转动所需的向心力由静摩擦力Ff提供，静摩擦力Ff的方向在任一时刻都与速度方向垂直，所以静摩擦力Ff不做功。
结论：(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
(2)一对相互作用的静摩擦力等大反向且两物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，由W＝Flcos α可判断两个相互作用的静摩擦力做功的总和为零。
2.滑动摩擦力做功
如图甲所示，光滑水平面上放一木板A，其上放一物体B，物体B用细绳固定在竖直墙上。现用力F将A从B下面拉出，则B、A间的滑动摩擦力对B不做功，对A做负功。
如图乙所示，子弹沿水平方向射入静止在光滑水平面上的木块，并留在其中。在此过程中木块发生了位移，子弹对木块的滑动摩擦力对木块做正功，滑动摩擦力对子弹做负功。
结论：(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
(2)一对相互作用的滑动摩擦力等大反向，但两物体间发生了相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，由W＝Flcos α可判断两个相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为零，且两力做功的总和一定为负值。
例1 (多选)如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块当中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为l，木块与子弹间的摩擦力大小为F，则(　　)
A.F对木块做功为Fl
B.F对木块做功为F(l＋d)
C.F对子弹做功为－Fd
D.F对子弹做功为－F(l＋d)
解析　木块的位移为l，由W＝Flcos α得F对木块做功为Fl，子弹的位移为l＋d，木块对子弹的摩擦力方向与位移方向相反，故F对子弹做负功，为W′＝－F(l＋d)，故A、D正确。
AD
B
例2 如图所示，滑草场由两段宽度相同但坡度不同的斜面AB和BC连接而成，一名滑草的游客与两段斜面间的动摩擦因数相同。从A滑到B然后到C，在沿两段斜面下滑过程中克服摩擦力做的功分别为WA和WB，则(　　)
A.WA>WB B.WA＝WB
C.WA提升2　变力做功的分析和计算
方法 常见情景 方法概述
微元法 将物体的位移分割成许多小段，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，将求变力做功转化为求在无数个无穷小的位移方向上的恒力所做功的代数和。此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题
方法 常见情景 方法概述
化变力为恒力 直接求解变力做功时，通常比较复杂，但若通过转换研究对象，可化为恒力做功，用W＝Flcos α求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中
用W＝Pt计算 用W＝Pt计算功时，必须满足“变力的功率是一定”的这一条件
C
角度1　微元法
例3 2024年新年小华去外婆家度假，在村里农家乐旅游地发现有驴拉磨磨玉米面，如图甲所示。假设驴拉磨的平均用力大小为800 N，运动的半径为1.25 m，如图乙所示。则驴拉磨转动一周所做的功为(π取3)(　　)
A.0 B.3 000 J C.6 000 J D.12 000 J
解析　由于F的方向保持与作用点的速度方向一致，因此可把圆周划分成很多小段研究，当各小段的弧长Δli足够小(Δli→0)时，在这Δli内F的方向几乎与该小段的位移方向重合，故WF＝F·Δl1＋F·Δl2＋F·Δl3＋…＝F·2πR＝6 000 J，故C正确。
B
角度2　图像法
例4 一物体在水平拉力F的作用下沿水平面运动。已知拉力F随
物体运动位移x的变化情况如图所示。则在0～8 m的运动过程
中，拉力F做的功为(　　)
A.6 J B.18 J C.20 J D.22 J
解析　0～2 m力F做功W1＝F1x1＝2×2 J＝4 J，2～4 m力F做功W2＝F2x2＝－1×2 J＝－2 J，4～8 m力F做功W3＝F3x3＝4×4 J＝16 J，这个运动过程中F做的总功为W＝W1＋W2＋W3＝4 J＋(－2 J)＋16 J＝18 J，故B正确，A、C、D错误。
B
角度3　平均力法
例5 静置于水平地面上质量为1 kg的物体，在水平拉力F＝4＋2x(式中F为力的大小、x为位移的大小，力F、位移x的单位分别是N、m)作用下，沿水平方向移动了5 m。已知物体与地面间的动摩擦因数为0.2，重力加速度g＝10 m/s2，则在物体移动5 m的过程中拉力所做的功为(　　)
A.35 J B.45 J C.55 J D.65 J
随堂对点自测
2
A
1.(静摩擦力做功)如图所示，木块A、B叠放在光滑水平面上，A、B之间不光滑，用水平力F拉B，使A、B一起沿光滑水平面加速运动。设A对B的摩擦力为F1，B对A的摩擦力为F2，则以下说法正确的是(　　)
A.F1对B做负功，F2对A做正功
B.F1对B做正功，F2对A不做功
C.F2对A做正功，F1对B不做功
D.F2对A不做功，F1对A做正功
解析　对A、B整体受力分析，有F＝(mA＋mB)a，可知A、B两物体的加速度方向水平向右。隔离物体A，通过受力分析可知，B对A的摩擦力F2方向水平向右，而A向右运动，由W＝Fl可知，F2对A做正功；A对B的摩擦力F1方向水平向左，故F1对B做负功，故A正确。
B
2.(变力做功)用大小不变、方向始终与物体运动方向一致的力F，将质量为m的小物体沿半径为R的固定圆弧轨道从A点推到B点，圆弧对应的圆心角为60°，如图所示。则在此过程(　　)
C
3.(变力做功)如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F的作用下，沿x轴正方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆。则小物块运动到x0处的过程中，拉力F做的功为(　　)
课后巩固训练
3
C
题组一　摩擦力做功
1.下面关于摩擦力做功的叙述中，正确的是(　　)
A.静摩擦力对物体一定不做功
B.滑动摩擦力对物体一定做负功
C.一对静摩擦力，一个做正功，另一个一定做负功
D.一对滑动摩擦力，一个做负功，另一个一定做正功
对点题组练
解析　静摩擦力可以做功，A错误；滑动摩擦力可以做正功，只要滑动摩擦力与物体运动方向相同即可，B错误；一对静摩擦力作用的物体间无相对滑动，故位移始终相等，而二力大小相等、方向相反，故一个做正功，则另一个一定做负功，C正确；一对滑动摩擦力做功可以有以下几种情况：a.一个不做功，另一个做负功：比如两个重叠的木块，上面的木块用弹簧系在墙面上，用力拉下端的木块(此木块足够长)，待其稳定后，摩擦力对上面的木块不做功，对下面的木块做负功；b.两个都做负功：两个重叠的长木板，一个力拉上面的木板，一个力拉下面的木板，力的方向相反，摩擦力对两木板都做负功，c.一个做正功，一个做负功：将物体无初速度地放到运动的传送带上，摩擦力对传送带做负功，对物体做正功，D错误。
B
2.滑板运动是青少年喜爱的一项运动，一块滑板由板面、滑板支架和四个轮子等组成。一位练习者踩着滑板在水平地面上向右减速滑行，如图所示。若练习者的脚受到的摩擦力为Ff1，脚对滑板的摩擦力为Ff2，下列说法正确的是(　　)
A.Ff1做正功，Ff2做负功
B.Ff1做负功，Ff2做正功
C.Ff1、Ff2均做正功
D.因为是静摩擦力，Ff1、Ff2都不做功
解析　由题意可知脚受到的摩擦力方向水平向左，滑板受到脚的摩擦力方向水平向右，人和滑板一起向右运动，根据力与位移的方向关系可知，练习者的脚受到的摩擦力做负功，脚对滑板的摩擦力做正功，B正确，A、C、D错误。
AB
3.(多选)如图所示，站在车上的人用手推车的力为F，脚对车向后的静摩擦力为F′，下列说法正确的是(　　)
A.当车匀速运动时，F和F′做的总功为零
B.当车加速运动时，F和F′的总功为负功
C.当车加速运动时，F和F′的总功为正功
D.不管车做何种运动，F和F′的总功都为零
解析　F和F′做的总功W＝Fx－F′x＝(F－F′)x。由牛顿第三定律得，人受到车对脚向前的静摩擦力大小等于F′，车对手向后的推力大小等于F，当车匀速运动时，F′＝F，则W＝0，故A正确；当车加速运动时，对人由牛顿第二定律得F′－F＝ma，F′>F，则W<0，故B正确，C、D错误。
C
4.一张桌子始终静止在地面上，一根木棒沿着水平桌面从A运动到B，发生的位移为l，如图所示，若棒与桌面间的摩擦力大小为Ff，则棒对桌面的摩擦力和桌面对棒的摩擦力做的功各为(　　)
A.－Ffl，－Ffl B.Ffl，－Ffl
C.0，－Ffl D.－Ffl，0
解析　棒对桌面的摩擦力和桌面对棒的摩擦力为作用力和反作用力，大小相等方向相反，从A运动到B的过程中，棒受到的摩擦力大小为Ff，位移为l，摩擦力做的是负功，所以桌面对棒的摩擦力做的功为－Ffl，桌面受到的摩擦力的大小也为Ff，但桌面没动，位移是0，所以棒对桌面的摩擦力做的功为0，故C正确。
AC
题组二　变力做功的分析和计算
5.(多选)如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小f不变，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A
6.轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连，如图甲所示。弹簧处于原长状态，物块静止，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2。以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示。物块运动至x＝0.4 m处时速度为零，则此过程物块受到的力F和摩擦力做功之和为(g取10 m/s2)(　　)
A.3.1 J B.3.5 J C.1.8 J D.2.0 J
解析　物块与水平面间的摩擦力为Ff＝μmg＝1 N。现对物块施加水平向右的外力F，由F－x图线与x轴所围面积表示功可知F对物块做功W＝3.5 J，物块克服摩擦力做功Wf＝Ffx＝0.4 J。则物块受到的力F和摩擦力做功之和为W－Wf＝3.1 J，故A正确。
C
7.一物体所受的力F随位移x变化的图像如图所示，求在这一过程中，力F对物体做的功为(　　)
A.力F在0～3 m的过程中对物体做了3 J的功
B.力F在3～4 m的过程中对物体做了－2 J的功
C.物体在4～5 m的过程中克服力F做了1 J的功
D.力F在0～5 m的过程中对物体做了8 J的功
AD
8.(多选)如图所示，三个固定的斜面底边长度都相等，斜面倾角分别为30°、45°、60°，斜面的表面情况都一样。完全相同的物体(可视为质点)A、B、C分别从三斜面的顶部滑到底部的过程中(　　)
综合提升练
A.三者所受摩擦力FfA>FfB>FfC
B.三者克服摩擦力所做的功WA>WB>WC
C.三者克服摩擦力所做的功WAD.三者克服摩擦力所做的功WA＝WB＝WC
D
9.放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间关系的图像和水平拉力的功率与时间关系的图像如图甲、乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.0～6 s内物体的位移大小为20 m
B.0～6 s内拉力做功为100 J
C.滑动摩擦力的大小为5 N
D.0～6 s内滑动摩擦力做功为－50 J
AB
10.(多选)如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是(　　)
11.某人利用如图所示的装置，用100 N的恒力F作用于不计质量的细绳的一端，将物体从水平面上的A点移到B点。已知α1＝30°，α2＝37°，h＝1.5 m，不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦。求绳的拉力对物体所做的功(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。
答案　50 J
解析　由于不计绳的质量及绳与滑轮间的摩擦，故恒力F对绳做的功和绳对物体的拉力做的功相等。由于恒力F作用在绳的端点，故需先求出绳的端点的位移l，再求恒力F做的功。
由几何关系知，绳的端点的位移为
在物体从A移到B的过程中，恒力F做的功为
W＝Fl＝100×0.5 J＝50 J
故绳的拉力对物体所做的功为50 J。
BC
12.(多选)(2024·内蒙古阿拉善盟第一中学期末)如图所示，一质量为2 kg的木板静止放置在光滑水平面上，质量为1 kg的物块以6 m/s的速度滑上木板，最后相对静止在木板上。已知木板与物块间的动摩擦因数为0.4，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，下列关于该过程的说法正确的是(　　)
培优加强练
A.物块滑上木板瞬间，木板的加速度大小为4 m/s2
B.木板加速运动的时间为1 s
C.摩擦力对物块做的功为－16 J
D.摩擦力对木板做的功为16 J

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