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培优提升七　动能定理的综合应用
学习目标　1.进一步理解动能定理，会利用动能定理分析变力做功问题。2.会利用动能定理分析相关图像问题。
提升1　利用动能定理求变力做功
1.利用动能定理求解变力做功时应注意
变力(力的大小或方向或大小、方向同时发生变化)做功，不能用功的定义式直接求得，可利用动能定理解决，即变力做的功和其他力做功的代数和(或合力做的功)等于物体动能的变化。
2.用动能定理求解变力做功的思路
(1)确定研究对象，分析物体的受力情况，确定运动过程中哪些力是恒力，哪些力是变力。如果是恒力，写出恒力做功的表达式；如果是变力，用相应功的符号表示出变力做的功。
(2)分析物体的运动过程，确定其初、末状态的动能。
(3)运用动能定理列式求解。
例1 如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面。设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，不计小球与弹簧碰撞过程中的能量损失。则弹簧被压缩至C点过程中，弹簧对小球做的功为(　　)
A.mgh－mv2 B.mv2－mgh
C.mgh＋mv2 D.mgh
训练1 如图所示，质量为m的物块与水平转台之间的动摩擦因数为μ，物块与转台转轴相距R，物块随转台由静止开始转动并计时，在t1时刻转速达到n，物块即将开始滑动。保持转速n不变，继续转动到t2时刻。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。则(　　)
A.在0～t1时间内，摩擦力做功为零
B.在t1～t2时间内，摩擦力做功为2μmgR
C.在0～t1时间内，摩擦力做功为2μmgR
D.在0～t1时间内，摩擦力做功为μmgR
提升2　动能定理与图像结合的问题
例2 (多选)在某次帆船运动比赛中，质量为500 kg的帆船，在风力和水的阻力共同作用下做直线运动的v－t图像如图所示。下列表述正确的是(　　)
A.在0～1 s内，风力对帆船做功1 000 J
B.在0～1 s内，合外力对帆船做功1 000 J
C.在1～2 s内，合外力对帆船做功750 J
D.在0～3 s内，合外力对帆船做的总功为0
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3 (2022·江苏卷)某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳。将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能Ek与水平位移x的关系图像正确的是(　　)
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
处理动能定理与图像结合问题的基本步骤
　　　　
训练2 (多选)某品牌电动汽车在平直公路上由静止开始启动，若启动过程中加速度传感器测量到汽车加速度随时间变化的规律如图所示。汽车后备箱中水平放置一质量m＝5 kg的物块，与汽车始终相对静止，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.第2 s末，汽车的速度为3.2 m/s
B.第8 s末，汽车的速度为9.6 m/s
C.前2 s内，汽车对物块的作用力做功大小为6.4 J
D.前8 s内，汽车对物块的最大摩擦力为8 N
随堂对点自测
1.(利用动能定理求变力做功)在离地面高为h处竖直上抛一质量为m的物块，抛出时的速度为v0，它落到地面时的速度为v，用g表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于(　　)
A.mgh－mv2－mv
B.－mv2－mv－mgh
C.mgh＋mv－mv2
D.mgh＋mv2－mv
2.(动能定理与图像结合)物体在恒定阻力作用下，以某初速度在水平面上沿直线滑行直到停止。以a、Ek、x和t分别表示物体运动的加速度大小、动能大小、位移大小和运动时间。则如图所示的图像中，能正确反映这一过程的是(　　)
培优提升七　动能定理的综合应用
提升1
例1 A　[小球从A点运动到C点的过程中，重力和弹簧弹力对小球做负功，由于斜面支持力与位移方向始终垂直，则支持力对小球不做功，由动能定理可得WG＋WF＝0－mv2，重力做功为WG＝－mgh，则弹簧弹力对小球做的功为WF＝mgh－mv2，故A正确。]
训练1 D　[在0～t1时间内，转台转速逐渐增加，物块相对转台静止，故物块的速度逐渐增加，当转速为n时，最大静摩擦力提供向心力，则μmg＝m，解得v＝，物块做加速圆周运动的过程，由动能定理可知Wf＝mv2，解得Wf＝μmgR，故A、C错误，D正确；在t1～t2时间内，物块的线速度大小不变，摩擦力提供向心力，根据动能定理可知摩擦力做功为零，故B错误。]
提升2
例2 BD　[在0～1 s内，根据动能定理得W合＝ΔEk＝mv2＝×500×22 J＝1 000 J，而合外力做的功W合＝W风－W克阻，故风力对帆船做的功大于1 000 J，故A错误，B正确；在1～2 s内，根据动能定理得W合′＝ΔEk′＝×500×12 J－×500×22 J＝－750 J，故C错误；在0～3 s内，根据动能定理得W合″＝ΔEk″＝0，故D正确。]
例3 A　[设斜面倾角为θ，不计摩擦力和空气阻力，运动员在沿斜面下滑过程中根据动能定理有Ek＝mgxtan θ，即＝mgtan θ，下滑过程中开始阶段倾角θ不变，Ek－x图像为一条直线；经过圆弧轨道过程中θ先减小后增大，即图像斜率先减小后增大，故A正确。]
训练2 BCD　[根据a－t图像与t轴围成的面积表示速度变化量可知，第2 s末，汽车的速度为v2＝×2×1.6 m/s＝1.6 m/s，第8 s末，汽车的速度为v8＝×(4＋8)×1.6 m/s＝9.6 m/s，故A错误，B正确；前2 s内，由动能定理得，汽车对物块做的功为W＝mv2－0＝6.4 J，故C正确；a最大为1.6 m/s2，由Ff＝ma代入数据可得最大摩擦力为8 N，故D正确。]
随堂对点自测
1.C　[对物块从h高处竖直上抛到落地的过程，根据动能定理可得mgh－Wf＝mv2－mv，解得Wf＝mgh＋mv－mv2，选项C正确。]
2.C　[物体在恒定阻力作用下运动，其加速度不变，故A、B错误；设阻力大小为f，由动能定理得－fx＝Ek－Ek0，解得Ek＝Ek0－fx，故C正确；x＝v0t－at2，则Ek＝Ek0－f，故D错误。]培优提升七　动能定理的综合应用
(分值：100分)
选择题1～11题，每小题8分，共88分。
对点题组练
题组一　利用动能定理求变力做功
1.质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一水平轻弹簧O端相距s，如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧接触后，弹簧的最大压缩量为x，重力加速度为g。则从物体开始接触弹簧到弹簧被压缩至最短(弹簧始终在弹性限度内)的过程中，物体克服弹簧弹力所做的功为(　　)
mv－μmg(s＋x) mv－μmgx
μmgs μmg(s＋x)
2.如图所示，运动员把质量为m的足球从水平地面踢出，足球在空中到达的最高点的高度为h，在最高点时的速度为v。不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法中正确的是(　　)
运动员踢球时对足球做功mv2
足球上升过程重力做功mgh
运动员踢球时对足球做功mv2＋mgh
足球上升过程克服重力做功mv2＋mgh
3.(2021·山东卷，3)如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为(　　)
eq \f(mv,2πL) eq \f(mv,4πL) eq \f(mv,8πL) eq \f(mv,16πL)
4.(多选)(2020·天津卷)复兴号动车在世界上首次实现速度350 km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车，初速度为v0，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程所受到的阻力F保持不变。动车在时间t内(　　)
做匀加速直线运动
加速度逐渐减小
牵引力的功率P＝Fvm
牵引力做功W＝mv－mv
5.(2024·江苏连云港市期中)如图所示，建筑工地常用打桩机将圆柱体打入地下一定深度，某打桩机第一次打击位于地面的圆柱体，使其进入泥土深度为h0。已知圆柱体的质量为m，所受泥土阻力f与进入泥土深度h成正比(即f＝kh，k为常量)，则打桩机第一次打击过程对圆柱体所做的功(　　)
mgh0 kh
kh－mgh0 eq \f(kh,2)－mgh0
题组二　动能定理与图像结合
6.物体沿直线运动的v－t图像如图所示，已知在第1 s内合力对物体做功为W，则(　　)
从第1 s末到第3 s末合力做功为4W
从第3 s末到第5 s末合力做功为－2W
从第5 s末到第7 s末合力做功为W
从第3 s末到第4 s末合力做功为－0.5W
7.(多选)(2024·辽宁东北育才高一期末)质量为1.0 kg的物体以某一水平初速度在水平面上滑行，由于摩擦力的作用，其动能随位移变化的情况如图所示。g取10 m/s2，则下列判断正确的是(　　)
物体与水平面间的动摩擦因数为0.2
物体与水平面间的动摩擦因数为0.3
物体滑行的总时间为2 s
物体滑行的总时间为4 s
8.一质量为m＝0.2 kg的物体，在合外力F作用下由静止开始做直线运动，F与位移x的关系图像如图所示。由图像可知(　　)
在x＝0到x＝1 m过程中，物体做匀加速直线运动，运动时间t＝0.2 s
在x＝0到x＝2 m过程中，物体做变加速直线运动，F做功5 J
物体运动到x＝2 m时，物体的瞬时速度为5 m/s
物体运动到x＝2 m时，物体的瞬时速度为2 m/s
综合提升练
9.质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨迹的最低点，此时绳子的张力为7mg，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点。已知重力加速度为g，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是(　　)
mgR mgR
mgR mgR
10.如图所示，运输机器人水平推着小车沿水平地面从静止开始运动。机器人对小车和货物做功的功率恒为40 W，已知小车和货物的总质量为20 kg，小车受到的阻力为小车和货物重力的0.1倍，小车向前运动了10 s达到最大速度，重力加速度取10 m/s2。则(　　)
小车运动的最大速度为2 m/s
该过程小车的加速度不变
小车向前运动的位移为20 m
机器人对小车和货物做的功为200 J
11.(2021·湖北卷)如图(a)所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小f恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图(b)所示。重力加速度大小取10 m/s2，物块质量m和所受摩擦力大小f分别为(　　)
m＝0.7 kg，f＝0.5 N m＝0.7 kg，f＝1.0 N
m＝0.8 kg，f＝0.5 N m＝0.8 kg，f＝1.0 N
培优加强练
12.(12分)(2024·广东广州四地七校期中联考)在一次抗洪抢险活动中，解放军某部利用直升机抢救一重要物体，静止在空中的直升机，其电动机通过吊绳(质量不计)将物体从地面竖直吊到机舱里。已知物体的质量为m＝100 kg，绳的拉力不能超过F＝1 500 N，电动机的最大输出功率为P＝30 kW。为尽快把物体安全救起，操作人员采取的办法是，先让吊绳以最大的拉力工作一段时间，达到最大功率后电动机就以最大功率工作，再经过t＝2 s物体到达机舱时恰好达到最大速度vm。重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)(4分)物体刚到达机舱时速度大小vm；
(2)(4分)匀加速阶段上升的高度h1；
(3)(4分)电动机以最大功率工作时物体上升的位移h2。
培优提升七　动能定理的综合应用
1.A　[对物体由动能定理得－W－μmg(s＋x)＝0－mv，则物体克服弹力所做的功为W＝mv－μmg(s＋x)，故A正确，B、C、D错误。]
2.C　[足球上升过程中重力做负功，WG＝－mgh，即克服重力做功mgh，B、D错误；从运动员踢球至足球上升至最高点的过程中，由动能定理得W－mgh＝mv2，故运动员踢球时对足球做功W＝mv2＋mgh，A错误，C正确。]
3.B　[木块在运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，根据动能定理得－Ff·2πL＝0－mv，解得Ff＝eq \f(mv,4πL)，故选项B正确。]
4.BC　[由于动车以恒定功率P在平直轨道上运动，则由P＝F牵v可知，动车的速度增大，牵引力减小，由牛顿第二定律F牵－F＝ma得动车的加速度逐渐减小，A错误，B正确；当动车的加速度为零，即牵引力等于阻力时，动车的速度最大，即P＝Fvm，C正确；设动车在时间t内的位移为x，由动能定理得W－Fx＝mv－mv，则牵引力所做的功为W＝Fx＋mv－mv，D错误。]
5.D　[阻力与深度成正比，则f－h图像与坐标轴h围成的面积等于圆柱体克服阻力所做的功，如图所示，则阻力做功为Wf＝－fh0＝－kh。打桩机第一次打击圆柱体进入泥土的过程中，根据动能定理有W＝mv2，mgh0－kh＝0－mv2，解得W＝eq \f(kh,2)－mgh0，故D正确。]
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6.C　[根据动能定理得第1 s内W＝mv，从第1 s末到第3 s末合力做的功W1＝mv－mv＝0，A错误；从第3 s末到第5 s末合力做功W2＝0－mv＝－W，B错误；从第5 s末到第7 s末合力做功W3＝m(－v0)2－0＝W，C正确；从第3 s末到第4 s末合力做功W4＝m－mv＝－0.75W，D错误。]
7.AC　[根据动能定理得－μmgx＝ΔEk，解得μ＝0.2，A正确，B错误；物体的初速度v0＝＝4 m/s，所以物体滑行的总时间为t＝＝2 s，C正确，D错误。]
8.C　[由题图可知在x＝0到x＝1 m过程中，F为恒力，所以物体做匀加速直线运动，其加速度大小为a＝＝5 m/s2，根据运动学公式可得运动时间为t＝＝ s，故A错误；在x＝0到x＝2 m过程中，物体先做匀加速直线运动，后做变加速直线运动，根据F－x图像的面积表示功可知，此过程中F做的功为W＝1×1 J＋×(1＋2)×1 J＝2.5 J，故B错误；设物体运动到x＝2 m时的瞬时速度为v，根据动能定理可得W＝mv2，解得v＝5 m/s，故C正确，D错误。]
9.C　[小球通过最低点时，设绳子的张力为FT，则
FT－mg＝meq \f(v,R)，即7mg－mg＝meq \f(v,R)①
小球恰好通过最高点，绳子张力为零，则有
mg＝meq \f(v,R)②
小球从最低点运动到最高点的过程中，由动能定理得
－mg·2R－W克f＝mv－mv③
联立①②③式解得W克f＝mgR，故C正确。]
10.A　[当牵引力与阻力大小相等时，小车的速度达到最大，故vm＝＝ m/s＝2 m/s，故A正确；由P＝Fv，功率不变，速度增大，可知力F减小，由牛顿第二定律得F－f＝ma，故小车运动的加速度逐渐减小，故B错误；机器人对小车和货物做功为W＝Pt＝400 J，故D错误；根据动能定理得W－fs＝mv，解得s＝18 m，故C错误。]
11.A　[0～10 m内物块上滑，由动能定理得－mgsin 30°·s－fs＝Ek－Ek0，整理得Ek＝Ek0－(mgsin 30°＋f)s，结合0～10 m内的图像得，斜率的绝对值|k|＝mgsin 30°＋f＝4 N；10～20 m内物块下滑，由动能定理得(mgsin 30°－f)(s－s1)＝Ek，整理得Ek＝(mgsin 30°－f)s－(mgsin 30°－f)s1，结合10～20 m内的图像得，斜率k′＝mgsin 30°－f＝3 N。联立解得f＝0.5 N，m＝0.7 kg，A正确，B、C、D错误。]
12.(1)30 m/s　(2)40 m　(3)35 m
解析　(1)由功率的公式有P＝Fvm，又F＝mg
解得vm＝30 m/s。
(2)匀加速运动过程中，根据牛顿第二定律有
Fm－mg＝ma
匀加速阶段的末速度v′＝
且v′2＝2ah1
解得h1＝40 m，v′＝20 m/s。
(3)电动机以最大功率工作时，根据动能定理有
Pt－mgh2＝mv－mv′2
解得h2＝35 m。(共43张PPT)
培优提升七　动能定理的综合应用
第八章　机械能守恒定律
1.进一步理解动能定理，会利用动能定理分析变力做功问题。
2.会利用动能定理分析相关图像问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　动能定理与图像结合的问题
提升1　利用动能定理求变力做功
提升1　利用动能定理求变力做功
1.利用动能定理求解变力做功时应注意
变力(力的大小或方向或大小、方向同时发生变化)做功，不能用功的定义式直接求得，可利用动能定理解决，即变力做的功和其他力做功的代数和(或合力做的功)等于物体动能的变化。
2.用动能定理求解变力做功的思路
(1)确定研究对象，分析物体的受力情况，确定运动过程中哪些力是恒力，哪些力是变力。如果是恒力，写出恒力做功的表达式；如果是变力，用相应功的符号表示出变力做的功。
(2)分析物体的运动过程，确定其初、末状态的动能。
(3)运用动能定理列式求解。
A
例1 如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面。设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，不计小球与弹簧碰撞过程中的能量损失。则弹簧被压缩至C点过程中，弹簧对小球做的功为(　　)
D
训练1 如图所示，质量为m的物块与水平转台之间的动摩擦因数为μ，物块与转台转轴相距R，物块随转台由静止开始转动并计时，在t1时刻转速达到n，物块即将开始滑动。保持转速n不变，继续转动到t2时刻。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。则(　　)
提升2　动能定理与图像结合的问题
例2 (多选)在某次帆船运动比赛中，质量为500 kg的帆船，在风力和水的阻力共同作用下做直线运动的v－t图像如图所示。下列表述正确的是(　　)
BD
A.在0～1 s内，风力对帆船做功1 000 J
B.在0～1 s内，合外力对帆船做功1 000 J
C.在1～2 s内，合外力对帆船做功750 J
D.在0～3 s内，合外力对帆船做的总功为0
A
例3 (2022·江苏卷)某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳。将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能Ek与水平位移x的关系图像正确的是(　　)
处理动能定理与图像结合问题的基本步骤
BCD
训练2 (多选)某品牌电动汽车在平直公路上由静止开始启动，若启动过程中加速度传感器测量到汽车加速度随时间变化的规律如图所示。汽车后备箱中水平放置一质量m＝5 kg的物块，与汽车始终相对静止，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　 )
A.第2 s末，汽车的速度为3.2 m/s
B.第8 s末，汽车的速度为9.6 m/s
C.前2 s内，汽车对物块的作用力做功大小为6.4 J
D.前8 s内，汽车对物块的最大摩擦力为8 N
随堂对点自测
2
C
C
2.(动能定理与图像结合)物体在恒定阻力作用下，以某初速度在水平面上沿直线滑行直到停止。以a、Ek、x和t分别表示物体运动的加速度大小、动能大小、位移大小和运动时间。则如图所示的图像中，能正确反映这一过程的是(　　)
课后巩固训练
3
A
题组一　利用动能定理求变力做功
1.质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一水平轻弹簧O端相距s，如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧接触后，弹簧的最大压缩量为x，重力加速度为g。则从物体开始接触弹簧到弹簧被压缩至最短(弹簧始终在弹性限度内)的过程中，物体克服弹簧弹力所做的功为(　　)
对点题组练
C
2.如图所示，运动员把质量为m的足球从水平地面踢出，足球在空中到达的最高点的高度为h，在最高点时的速度为v。不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法中正确的是(　　)
B
3.(2021·山东卷，3)如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为(　　)
BC
4.(多选) (2020·天津卷)复兴号动车在世界上首次实现速度350 km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车，初速度为v0，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程所受到的阻力F保持不变。动车在时间t内(　　)
A.做匀加速直线运动
B.加速度逐渐减小
C.牵引力的功率P＝Fvm
D
5.(2024·江苏连云港市期中)如图所示，建筑工地常用打桩机将圆柱体打入地下一定深度，某打桩机第一次打击位于地面的圆柱体，使其进入泥土深度为h0。已知圆柱体的质量为m，所受泥土阻力f与进入泥土深度h成正比(即f＝kh，k为常量)，则打桩机第一次打击过程对圆柱体所做的功(　　)
C
题组二　动能定理与图像结合
6.物体沿直线运动的v－t图像如图所示，已知在第1 s内合力对物体做功为W，则(　　)
A.从第1 s末到第3 s末合力做功为4W
B.从第3 s末到第5 s末合力做功为－2W
C.从第5 s末到第7 s末合力做功为W
D.从第3 s末到第4 s末合力做功为－0.5W
AC
7. (多选)(2024·辽宁东北育才高一期末)质量为1.0 kg的物体以某一水平初速度在水平面上滑行，由于摩擦力的作用，其动能随位移变化的情况如图所示。g取10 m/s2，则下列判断正确的是(　　)
A.物体与水平面间的动摩擦因数为0.2
B.物体与水平面间的动摩擦因数为0.3
C.物体滑行的总时间为2 s
D.物体滑行的总时间为4 s
C
8.一质量为m＝0.2 kg的物体，在合外力F作用下由静止开始做直线运动，F与位移x的关系图像如图所示。由图像可知(　　)
A.在x＝0到x＝1 m过程中，物体做匀加速直线运动，
运动时间t＝0.2 s
B.在x＝0到x＝2 m过程中，物体做变加速直线运动，F做功5 J
C.物体运动到x＝2 m时，物体的瞬时速度为5 m/s
D.物体运动到x＝2 m时，物体的瞬时速度为2 m/s
C
9.质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨迹的最低点，此时绳子的张力为7mg，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点。已知重力加速度为g，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是(　　)
综合提升练
解析　小球通过最低点时，设绳子的张力为FT，则
小球恰好通过最高点，绳子张力为零，则有
小球从最低点运动到最高点的过程中，由动能定理得
A
10.如图所示，运输机器人水平推着小车沿水平地面从静止开始运动。机器人对小车和货物做功的功率恒为40 W，已知小车和货物的总质量为20 kg，小车受到的阻力为小车和货物重力的0.1倍，小车向前运动了10 s达到最大速度，重力加速度取10 m/s2。则(　　)
A.小车运动的最大速度为2 m/s
B.该过程小车的加速度不变
C.小车向前运动的位移为20 m
D.机器人对小车和货物做的功为200 J
A
11.(2021·湖北卷)如图(a)所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小f恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图(b)所示。重力加速度大小取10 m/s2，物块质量m和所受摩擦力大小f分别为(　　)
A.m＝0.7 kg，f＝0.5 N
B.m＝0.7 kg，f＝1.0 N
C.m＝0.8 kg，f＝0.5 N
D.m＝0.8 kg，f＝1.0 N
解析　0～10 m内物块上滑，由动能定理得－mgsin 30°·s－fs＝Ek－Ek0，整理得Ek＝Ek0－(mgsin 30°＋f)s，结合0～10 m内的图像得，斜率的绝对值|k|＝mgsin 30°＋f＝4 N；10～20 m内物块下滑，由动能定理得(mgsin 30°－f)(s－s1)＝Ek，整理得Ek＝(mgsin 30°－f)s－(mgsin 30°－f)s1，结合10～20 m内的图像得，斜率k′＝mgsin 30°－f＝3 N。联立解得f＝0.5 N，m＝0.7 kg，A正确，B、C、D错误。
12.(2024·广东广州四地七校期中联考)在一次抗洪抢险活动中，
解放军某部利用直升机抢救一重要物体，静止在空中的直
升机，其电动机通过吊绳(质量不计)将物体从地面竖直吊
到机舱里。已知物体的质量为m＝100 kg，绳的拉力不能
超过F＝1 500 N，电动机的最大输出功率为P＝30 kW。为尽快把物体安全救起，操作人员采取的办法是，先让吊绳以最大的拉力工作一段时间，达到最大功率后电动机就以最大功率工作，再经过t＝2 s物体到达机舱时恰好达到最大速度vm。重力加速度g＝10 m/s2。求：
培优加强练
(1)物体刚到达机舱时速度大小vm；
(2)匀加速阶段上升的高度h1；
(3)电动机以最大功率工作时物体上升的位移h2。
答案　(1)30 m/s　(2)40 m　(3)35 m
解析　(1)由功率的公式有P＝Fvm，又F＝mg
解得vm＝30 m/s。
(2)匀加速运动过程中，根据牛顿第二定律有
Fm－mg＝ma
且v′2＝2ah1
解得h1＝40 m，v′＝20 m/s。
(3)电动机以最大功率工作时，根据动能定理有
解得h2＝35 m。

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