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培优提升九　机械能守恒定律的综合应用
学习目标　1.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达形式。2.会分析处理非质点类物体的机械能守恒问题。3.掌握系统机械能守恒定律的综合应用，会正确应用机械能守恒定律和动能定理解题。
提升1　非质点类物体的机械能守恒问题
1.在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
2.物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀形状规则的物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
角度1　“液柱”类物体机械能守恒
例1 如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，液体静止，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动(不计一切摩擦)，当U形管两侧液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(重力加速度大小为g)(　　 )
A. B.
C. D.
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度2　“链条”类物体机械能守恒
例2 如图甲所示，长为L的匀质链条静置于光滑水平桌面上，现使链条右端从静止开始竖直向下运动，刚运动到竖直长度为时，链条速度大小为v，如图乙所示，重力加速度为g，则(　　)
A.v＝ B.v＝
C.v＝ D.v＝
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提升2　动能定理和机械能守恒定律的综合应用
1.动能定理和机械能守恒定律的比较
　　规律比较　　 机械能守恒定律 动能定理
表达式 E1＝E2ΔEk＝－ΔEpΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk
使用范围 只有重力或弹力做功 无条件限制
研究对象 物体与地球组成的系统 质点
物理意义 重力或弹力做功的过程是动能与势能相互转化的过程 合外力对物体做的功是物体动能变化的量度
应用角度 守恒条件及初、末状态机械能的形式和大小 物体动能的变化及合外力做功情况
选用原则 (1)无论直线运动还是曲线运动，条件满足时，两规律都可以应用，都要考虑初、末状态，都不需要考虑所经历过程的细节(2)能用机械能守恒定律解决的问题，都能用动能定理解决；能用动能定理解决的问题，不一定能用机械能守恒定律解决(3)动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍
2.动能定理和机械能守恒定律都可以用来求能量或速度，但侧重不同，动能定理解决物体运动问题，尤其计算对该物体做的功时较简单，机械能守恒定律解决系统问题往往较简单，两者的灵活选择可以简化运算过程。
例3 如图所示，曲面AB与半径为r、内壁光滑的四分之一细圆管BC平滑连接于B点，管口B端切线水平，管口C端正下方立一根轻弹簧，轻弹簧一端固定，另一端恰好与管口C端齐平。质量为m的小球(可视为质点)在曲面上某点由静止释放，进入管口B端时，上管壁对小球的作用力为mg(g为重力加速度)。
(1)求小球到达B点时的速度大小vB；
(2)若释放点距B点的高度为2r，求小球在曲面AB上运动的过程中克服阻力所做的功W；
(3)小球通过BC后压缩弹簧，压缩弹簧过程中弹簧弹性势能的最大值为Ep，求弹簧被压缩的最大形变量x。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例4 如图所示，足够长的光滑斜面倾角为30°，质量相等的甲、乙两物块通过轻绳连接放置在光滑轻质定滑轮两侧，并用手托住甲物块，使两物块都静止，移开手后，甲物块竖直下落，当甲物块下降0.8 m时，求乙物块的速度大小(此时甲未落地，g＝10 m/s2)。请用机械能守恒定律和动能定理分别求解，并比较解题的简易程度。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
随堂对点自测
1.(非质点类物体的机械能守恒问题)如图所示，有一条长为1 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中。当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2)(　　)
A.2.5 m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
2.(动能定理和机械能守恒定律的综合应用)如图所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动。已知OA＝2OB＝2l，将杆从水平位置由静止释放(重力加速度为g)。
(1)在杆转动到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？
(2)在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A球做了多少功？
培优提升九　机械能守恒定律的综合应用
提升1
例1 A　[当U形管两侧液面高度相等时，液体减少的重力势能转化为全部液体的动能，根据机械能守恒定律得mg·h＝mv2，解得v＝，选项A正确。]
例2 A　[链条释放之后，到离开桌面的过程，整个链条的机械能守恒。取桌面为零势能面，设整个链条的质量为m。根据机械能守恒定律得－mg·L＋mv2＝0，解得v＝，故A正确，B、C、D错误。]
提升2
例3 (1)　(2)mgr　(3)－2r
解析　(1)小球在B点时，由牛顿第二定律可得
mg＋mg＝meq \f(v,r)
解得vB＝。
(2)小球从被释放至滑到B点的过程，由动能定理得
mg·2r－W＝mv－0
解得W＝mgr。
(3)当弹簧弹性势能最大时，小球的速度为0，对小球从B点到弹簧被压缩的形变量最大的过程中，由小球与弹簧组成的系统机械能守恒可得
mg(r＋x)＋mv＝Ep
解得x＝－2r。
例4 见解析
解析　方法一　利用机械能守恒定律
设甲、乙两物块质量均为m，物块甲下降h＝0.8 m
由于甲、乙两物块组成的系统机械能守恒，则
mgh－mghsin 30°＝×2mv2
解得v＝2 m/s
故此时乙物块的速度大小为2 m/s。
方法二　利用动能定理
设甲、乙两物块的质量都为m，甲下落0.8 m时两物块速度大小都为v
对甲，由动能定理有mgh－FTh＝mv2①
对乙，由动能定理有FTh－mghsin 30°＝mv2②
由①②式联立解得v＝2 m/s
故此时乙物块的速度大小为2 m/s。
可见用机械能守恒定律解题更简单一些。
随堂对点自测
1.A　[设链条的质量为2m，长度为L，以开始时链条的最高点所在的水平面为参考平面，链条的机械能为E＝Ep＋Ek＝－mg·sin 30°－mg·＋0＝－mgL，链条全部滑出斜面后，动能为Ek′＝×2mv2，重力势能为Ep′＝－2mg·，由机械能守恒定律可得E＝Ek′＋Ep′，即－mgL＝mv2－mgL，解得v＝＝2.5 m/s，故A正确，B、C、D错误。]
2.(1)　　(2)－mgl
解析　(1)小球A和B及杆组成的系统机械能守恒。设转到竖直位置的瞬间，A、B的速率分别为vA、vB，杆旋转的角速度为ω，由机械能守恒定律有mg·2l－mgl＝mv＋mv
又vA＝2lω，vB＝lω，则vA＝2vB
联立解得vB＝，vA＝。
(2)对A球，由动能定理得mg·2l＋W＝mv
解得W＝－mgl。培优提升九　机械能守恒定律的综合应用
(分值：70分)
选择题1～2题，每小题7分，共14分。
对点题组练
题组一　非质点类物体的机械能守恒问题
1.一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图甲所示。若将一个质量为m的小球分别拴在链条右端和左端，如图乙、图丙所示。约束链条的挡板光滑，三种情况均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，关于它们的速度关系，下列判断正确的是(　　)
v甲＝v乙＝v丙 v甲v丙>v甲>v乙 v乙>v甲>v丙
题组二　动能定理和机械能守恒定律的综合应用
2.(多选)如图，长度为L的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球；B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动。在无任何阻力的情况下，下列说法中正确的是(　　)
A处小球到达最低点时速度为
A处小球到达最低点时，B处小球速度为
A处小球到达最低点时，杆对A做的功为－
摆动过程中A处小球机械能守恒
3.(12分)如图所示，有一光滑轨道PABC，PA部分竖直，AB部分为轨道半径为R的圆弧，BC部分水平。质量均为m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，不计小球大小。开始时a球处于圆弧上端A点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑。重力加速度为g，求：
(1)(6分)小球a、b滑到水平轨道上的速度大小；
(2)(6分)从释放小球a、b到滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对小球a做的功。
综合提升练
4.(12分)(2024·福建师范大学附属中学期中)如图甲，辘轳是古代民间提水设施，由卷筒、支架、井绳、水斗等部分构成。图乙为提水设施工作原理简化图。某次需从井中汲取m＝2 kg的水(恰好装满水斗)，高度为d＝0.5 m的薄壁水斗的质量为m0＝0.5 kg，井中水面与井口的高度差为H＝10.5 m。t＝0时刻，厚度不计，质量为M＝0.5 kg卷筒由静止开始绕中心轴转动，装满水的水斗到达井口前已做匀速运动，绳子拉装满水的水斗的最大功率P＝90 W。不计辐条、井绳的质量和转动轴处的摩擦，重力加速度g＝10 m/s2。
(1)(4分)若装满水的水斗先以加速度a＝2 m/s2匀加速上升，求匀加速运动过程的最大速度v1的大小；
(2)(4分)空水斗从水斗口位于井口处由静止释放并带动卷筒自由转动，求水斗落到水面时的速度v的大小；
(3)(4分)水斗从图示位置缓慢上升高度H＝10.5 m，忽略提水过程中水面高度的变化，考虑水斗在水中所受浮力，求此过程中人做的功W。
5.(16分)如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形轨道在B点平滑连接，轨道半径为R，一个质量为m的小球将弹簧压缩至A处。小球从A处由静止释放被弹开后，经过B点进入轨道的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能沿轨道运动到C点，重力加速度为g，求：
(1)(4分)小球在最高点C的速度大小vC；
(2)(4分)小球在最低点B的速度大小vB；
(3)(4分)释放小球前弹簧的弹性势能；
(4)(4分)小球由B到C克服阻力做的功。
培优加强练
6.(16分)如图所示，是检验某种防护罩承受冲击能力的装置，M为半径R＝1.6 m、固定于竖直平面内的光滑半圆弧轨道，A、B分别是轨道的最低点和最高点；N为防护罩，它是一个竖直固定的圆弧，其半径r＝ m，圆心位于B点。在A点放置水平向左的弹簧枪，可向M轨道发射速度不同的质量均为m＝0.01 kg的小钢珠，弹簧枪可将弹性势能完全转化为小钢珠的动能。假设某次发射的小钢珠沿轨道恰好能经过B点，水平飞出后落到圆弧N的某一点上，g＝10 m/s2。求：
(1)(5分)小钢珠在B点的速度大小；
(2)(5分)发射该小钢珠前，弹簧的弹性势能Ep；
(3)(6分)小钢珠从M圆弧轨道B点飞出至落到圆弧N上所用的时间。
培优提升九　机械能守恒定律的综合应用
1.D　[三种情况下所研究的系统机械能均守恒，根据－ΔEp＝ΔEk，对甲有mg×＋mg×＝mv，解得v甲＝，对乙有mg×＋mg×＋mg×＝×2mv，解得v乙＝，对丙有mg×＋mg×＝×2mv，解得v丙＝，则v乙>v甲>v丙，故D正确。]
2.BC　[当A处小球到达最低点时，对A、B两处小球组成的系统由机械能守恒定律有(2mg－mg)·＝(2m＋m)v2，解得v＝，即此时两球的速度均为，故A错误，B正确；对A处小球，由动能定理得2mg·＋W＝×2mv2，解得W＝－，故C正确；摆动过程中，两球组成的系统的机械能守恒，但A处小球机械能不守恒，故D错误。]
3.(1)　(2)
解析　a、b球和轻杆组成的系统机械能守恒。a、b球均到达水平轨道上时，a、b球的速度关系为va＝vb，由系统机械能守恒定律得
mgR＋mg·2R＝mv＋mv
联立解得va＝vb＝。
(2)设杆对小球a做的功为W
对小球a由动能定理得
W＋mgR＝mv，解得W＝。
4.(1)3 m/s　(2)10 m/s　(3)257.5 J
解析　(1)对装满水的水斗，由牛顿第二定律得
FT－(m＋m0)g＝(m＋m0)a
又P＝FTv1
解得v1＝＝3 m/s。
(2)空水斗由静止下落的过程中，空水斗和卷筒组成的系统机械能守恒，则有
m0g(H－d)＝(m0＋M)v2
解得v＝＝10 m/s。
(3)设水桶在水中受到的浮力为F浮，水斗口运动到井口的过程中，由动能定理得
W－(m＋m0)gH＋d＝0
又F浮＝mg
解得W＝(m＋m0)gH－d＝257.5 J。
5.(1)　(2)　(3)mgR　(4)mgR
解析　(1)在最高点C时，根据牛顿第二定律有
meq \f(v,R)＝mg，解得vC＝。
(2)根据牛顿第三定律可知，小球在最低点B时所受支持力大小为FN＝8mg
根据牛顿第二定律有FN－mg＝meq \f(v,R)
解得vB＝。
(3)根据机械能守恒定律可得释放小球前弹簧的弹性势能为
Ep＝mv＝mgR。
(4)设小球由B到C克服阻力做的功为W，根据动能定理有
－2mgR－W＝mv－mv
解得W＝mgR。
6.(1)4 m/s　(2)0.4 J　(3)0.4 s
解析　(1)小钢珠恰好能经过B点，由牛顿第二定律，得
mg＝meq \f(v,R)，解得vB＝＝4 m/s。
(2)从发射小钢珠到上升至B点的过程中，由机械能守恒定律，得
Ep＝ΔEp＋ΔEk＝mg·2R＋mv
解得Ep＝0.4 J。
(3)从B点飞出后，小钢珠做平抛运动，有
h＝gt2，x＝vBt
又x2＋h2＝r2，联立解得t＝0.4 s。(共37张PPT)
培优提升九　机械能守恒定律的综合应用
第八章　机械能守恒定律
1.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达形式。
2.会分析处理非质点类物体的机械能守恒问题。
3.掌握系统机械能守恒定律的综合应用，会正确应用机械能守恒定律和动能定理解题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　动能定理和机械能守恒定律的综合应用
提升1　非质点类物体的机械能守恒问题
提升1　非质点类物体的机械能守恒问题
1.在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
2.物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀形状规则的物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
A
A
提升2　动能定理和机械能守恒定律的综合应用
1.动能定理和机械能守恒定律的比较
　　规律 比较　　 机械能守恒定律 动能定理
表达式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk
使用范围 只有重力或弹力做功 无条件限制
研究对象 物体与地球组成的系统 质点
　　规律 比较　　 机械能守恒定律 动能定理
物理意义 重力或弹力做功的过程是动能与势能相互转化的过程 合外力对物体做的功是物体动能变化的量度
应用角度 守恒条件及初、末状态机械能的形式和大小 物体动能的变化及合外力做功情况
选用原则 (1)无论直线运动还是曲线运动，条件满足时，两规律都可以应用，都要考虑初、末状态，都不需要考虑所经历过程的细节 (2)能用机械能守恒定律解决的问题，都能用动能定理解决；能用动能定理解决的问题，不一定能用机械能守恒定律解决 (3)动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍
2.动能定理和机械能守恒定律都可以用来求能量或速度，但侧重不同，动能定理解决物体运动问题，尤其计算对该物体做的功时较简单，机械能守恒定律解决系统问题往往较简单，两者的灵活选择可以简化运算过程。
例3 如图所示，曲面AB与半径为r、内壁光滑的四分之一细圆管BC平滑连接于B点，管口B端切线水平，管口C端正下方立一根轻弹簧，轻弹簧一端固定，另一端恰好与管口C端齐平。质量为m的小球(可视为质点)在曲面上某点由静止释放，进入管口B端时，上管壁对小球的作用力为mg(g为重力加速度)。
(1)求小球到达B点时的速度大小vB；
(2)若释放点距B点的高度为2r，求小球在曲面AB上运动的过程中克服阻力所做的功W；
(3)小球通过BC后压缩弹簧，压缩弹簧过程中弹簧弹性势能的最大值为Ep，求弹簧被压缩的最大形变量x。
解析　(1)小球在B点时，由牛顿第二定律可得
(2)小球从被释放至滑到B点的过程，由动能定理得
解得W＝mgr。
(3)当弹簧弹性势能最大时，小球的速度为0，对小球从B点到弹簧被压缩的形变量最大的过程中，由小球与弹簧组成的系统机械能守恒可得
例4 如图所示，足够长的光滑斜面倾角为30°，质量相等的甲、乙两物块通过轻绳连接放置在光滑轻质定滑轮两侧，并用手托住甲物块，使两物块都静止，移开手后，甲物块竖直下落，当甲物块下降0.8 m时，求乙物块的速度大小(此时甲未落地，g＝10 m/s2)。请用机械能守恒定律和动能定理分别求解，并比较解题的简易程度。
解析　方法一　利用机械能守恒定律
设甲、乙两物块质量均为m，物块甲下降h＝0.8 m
由于甲、乙两物块组成的系统机械能守恒，则
解得v＝2 m/s
故此时乙物块的速度大小为2 m/s。
方法二　利用动能定理
设甲、乙两物块的质量都为m，甲下落0.8 m时两物块速度大小都为v，
由①②式联立解得v＝2 m/s
故此时乙物块的速度大小为2 m/s。
可见用机械能守恒定律解题更简单一些。
答案　见解析
随堂对点自测
2
A
1.(非质点类物体的机械能守恒问题)如图所示，有一条长为1 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中。当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2)(　　)
2.(动能定理和机械能守恒定律的综合应用)如图所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动。已知OA＝2OB＝2l，将杆从水平位置由静止释放(重力加速度为g)。
(1)在杆转动到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？
(2)在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A球做了多少功？
又vA＝2lω，vB＝lω，则vA＝2vB
课后巩固训练
3
D
题组一　非质点类物体的机械能守恒问题
1.一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图甲所示。若将一个质量为m的小球分别拴在链条右端和左端，如图乙、图丙所示。约束链条的挡板光滑，三种情况均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，关于它们的速度关系，下列判断正确的是(　　)
对点题组练
A.v甲＝v乙＝v丙 B.v甲C.v丙>v甲>v乙 D.v乙>v甲>v丙
BC
题组二　动能定理和机械能守恒定律的综合应用
2.(多选)如图，长度为L的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球；B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动。在无任何阻力的情况下，下列说法中正确的是(　　)
(1)小球a、b滑到水平轨道上的速度大小；
(2)从释放小球a、b到滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对小球a做的功。
解析　a、b球和轻杆组成的系统机械能守恒。a、b球均到达水平轨道上时，a、b球的速度关系为va＝vb，由系统机械能守恒定律得
(2)设杆对小球a做的功为W
对小球a由动能定理得
4.(2024·福建师范大学附属中学期中)如图甲，辘轳是古代民间提水设施，由卷筒、支架、井绳、水斗等部分构成。图乙为提水设施工作原理简化图。某次需从井中汲取m＝2 kg的水(恰好装满水斗)，高度为d＝0.5 m的薄壁水斗的质量为m0＝0.5 kg，井中水面与井口的高度差为H＝10.5 m。t＝0时刻，厚度不计，质量为M＝0.5 kg卷筒由静止开始绕中心轴转动，装满水的水斗到达井口前已做匀速运动，绳子拉装满水的水斗的最大功率P＝90 W。不计辐条、井绳的质量和转动轴处的摩擦，重力加速度g＝10 m/s2。
综合提升练
(1)若装满水的水斗先以加速度a＝2 m/s2匀加速上升，求匀加速运动过程的最大速度v1的大小；
(2)空水斗从水斗口位于井口处由静止释放并带动卷筒自由转动，求水斗落到水面时的速度v的大小；
(3)水斗从图示位置缓慢上升高度H＝10.5 m，忽略提水过程中水面高度的变化，考虑水斗在水中所受浮力，求此过程中人做的功W。
答案　(1)3 m/s　(2)10 m/s　(3)257.5 J
解析　(1)对装满水的水斗，由牛顿第二定律得
FT－(m＋m0)g＝(m＋m0)a
又P＝FTv1
(2)空水斗由静止下落的过程中，空水斗和卷筒组成的系统机械能守恒，则有
(3)设水桶在水中受到的浮力为F浮，水斗口运动到井口的过程中，由动能定理得
5.如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形轨道在B点平滑连接，轨道半径为R，一个质量为m的小球将弹簧压缩至A处。小球从A处由静止释放被弹开后，经过B点进入轨道的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能沿轨道运动到C点，重力加速度为g，求：
(1)小球在最高点C的速度大小vC；
(2)小球在最低点B的速度大小vB；
(3)释放小球前弹簧的弹性势能；
(4)小球由B到C克服阻力做的功。
解析　(1)在最高点C时，根据牛顿第二定律有
(2)根据牛顿第三定律可知，小球在最低点B时所受支持力大小为FN＝8mg
综合提升练
(1)小钢珠在B点的速度大小；
(2)发射该小钢珠前，弹簧的弹性势能Ep；
(3)小钢珠从M圆弧轨道B点飞出至落到圆弧N上所用的时间。
答案　(1)4 m/s　(2)0.4 J　(3)0.4 s
(2)从发射小钢珠到上升至B点的过程中，由机械能守恒定律，得
解得Ep＝0.4 J。
(3)从B点飞出后，小钢珠做平抛运动，有
又x2＋h2＝r2，联立解得t＝0.4 s。

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