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四川省高三年级第一次联合诊断性考试
数学参考答案及评分标准
评分说明：
1. 本解答给出了 一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容
比照评分参考制定相应的评分细则。
2. 对计算题，当考生的解答在某 一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可
视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有
较严重的错误，就不再给分。
3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4. 只给整数分。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
I I I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 I 7 I 8 I
I D I A I B I B I D I c I B I c I
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对
的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分。
I 9 I io I 11 I
I AC I ABD I BCD I
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15分。
12. 丘1 13. 20 0 14. 3.3
四、解答题：本大题共5小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 【命题意图】本小题在数学文化背景下，设置数学课程学习情境、探索创新情境，设计数列问题，体现基
础性和创新性，主要考查数列通项、前n项和的求法、等差数列与等比数列的综合应用等基础知识：考查
特殊与一般、化归与转化等思想方法，以及探索性、创新性的思维品质：考查数学抽象、数学运算和逻辑
推理等核心素养。
【解析】
CI）由题意可知，
a 1 =I, a2 = 3 =I+ 2 ＝α 1 + 2, a3 = 6 = 1+ 2+ 3 = a2+ 3,
an=a ＋ n, .............................................................…........….................................. 川 2 分
数列｛a，，｝的一个递推关系为α ＝川 a.+ (n + 1), n εN",
当n注 2 时，利用累加法可得，
G卢 a 1 + (a2 - a 1) …+ (a3 - a2) ＋ ＋ (an -an-1)
=1+2+3 ＋ … ＋n ＝ 一一一一n(n+1 ) ， ….......………………………………………………………·2 5 分
I (n+ 1) 将 n = l 代入得 a =1 ，满足 a. ＝ ，一丁一－
n(n+ 1)
所以数列｛a.｝的通项公式为 ＝ ，nεN ；…......................................... 7a，， 分一2一
注z学生若根据示意图，得到o1 =
(n+ 1)
1, a2 =3 , o3 =6 … …进而得到O ＝ （n 只给 5分）
一2一
(2）由（I)知，bn＝ 一一一一2 ＝2（一1 － 一一－I ）， .......….......…........................…........ 9 分
n(n+l) n n+l
则 s. =bi+ b2＋…＋bn
=2[(1 －一1 ）＋（一I － 一1 ）＋ ＋（一I － 一一I … ）］
2 2 3 n n+ I
=2(1-_!_) n+l
2n ...... 13 分
n+l
16. 【命题意图】本小题设置生活实践情境，设计统计与概率等问题，主要考查条件概率与全概率公式、列联
表与独立性检验等基本知识：考查统计基本思想以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识：考查数学
运算、数学建模、数据分析等数学核心素养。
【解析】
(1)提出零假设 Ho ：该校学生对课外活动的满意情况与性别因素无关联，········ l 分
根据表中数据，得到
x2= 350 ×（150 ×50-50 × 10oy 一一35 ＝ 勾2.917< 3.841 =xo.os ………·················200 × 150 ×250 ×100 I 12 5 分
所以根据小概率值 α ＝ 0.05 的独立性检验，没有充分证据推断均不成立，即认为该校学生对课外活动
的满意情况与性别因素无关联：.......................................... …......... …......... …… …....... …7分
(2）方法l 依题意得，
I ） 一一一n(AB) P(B A 一_ 一_ 一一150 _ 一3 …··……… ………… ………… ……… …… ……… ……… 9’ 分
n(A) 250 - 5
n(
P(Bll 一一一.A
B)
）一_ 一_ 一一50 一_ 一1 ..........…......................................................... … 11
n(l) 100 2
分
;
方法2依题意得，
(A 250 5 P(A-）＝ ＝ ’ ) = 1 - P(A) = 72 ’ …………………… …………… …………·9 分
五百 1
P(AB) 150 ＝ ＝ 3 ’
-
P(AB) 50 ＝ 1 ＝ ’ …… ……… ………… ………………………·11 1 0 分
言百 言百
I ） 一一一P(AB)所以 P(B A ＿一丰＿ 3 - P( B) 一 一手 一 一P， (BIA）－
_ 一一一A －_ 一+ 号 ＝ 一·， ·········5 2 11 分P(A） P(A）
则 P(BIA) > P(Bll)' ........…...................... …............................... …························ 13 分
意义：男生对课外活动满意的概率比女生对课外活动满意的概率大；或者男生对课外活动满意的人数
比女生对课外活动满意的人数多等等． ................. ………................ …·························· 15 分
17. 【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计立体几何问题，主要考查空间线面平行、线面垂直、空间角
等基础知识：考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力：考查数学抽象素养、逻
辑推理素养、直观想象素养和数学运算素养。
【解析】
(1)方法1：依题意可知，直线础，AD,AF 两两垂直，以点A为坐标原点，
直线 AB,AD,AF 分别为 x,y,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ． 依
题意得C(I. I. 0), E(O,2 , 2), F(O,0 , 1), P(O，号，1)' 2 分
因为 ADI/ BC,
所以一一AN AD ＝一一 ＝NC BC 2
一
所以 AN=-23 AC
2 2
＝（一3 ’－3 ’ 0）又
， AP=(O 一， ，1)'
2
又应＝ (0,2, 1), fie= (1, 1,-1),
从而得 NP=-1 F→E 2 → 一 －
3 3 FC,
又 EFc 平面 EFC,FCc 平面 EFC,NPct 平面 EFC,
所以 NP 矿平面 EFC; ········ ….................. …......... …................................. ………········8 分
2
方法 2 ：如图，在FE ，。上取点 M ,Q，且满足 FM ＝÷FE,CQ ＝÷CF ，连接 MP,QM,QN,
因为E z 土3瓦 H1
＝－－
2 D E
＝
有 FP－＝－阳 ＝ l－FH n ’3
所以 PM 矿 HE，且 PM -1 HE 一1 = ＝ ， …………………………………………………………·· 分3 3 3
又因为AD 矿 BC,AD= 2, BC= 1,
所以一－AN ＝一一AD ＝NC BC
2
,
有旦旦＝豆豆＝土
CA CF 3 ’
所以 NQII ，且 NQ τ1 AF ＝ AF ＝ τ1 ’……...........................…................................. 5分
又 DEii AF,
所以 NQII PM ，且 NQ = PM ＝ ÷
所以四边形MPNQ 为平行四边形，
所以 QMII NP,
又 QMC 平面 EFC, NP(f.平面 EFC,
所以 NPII 平面 EFC; ·········…·················…·············································….........…·· 8分
(2）由（1)方法 l 可知G(l,O,1),F(O,O, 1), C(l. 1,0),E(0,2,2), ................ 9 分
设平面 GFC 的法向量为m= (x1 Y1 ,z1),
｜’”·FG= O, 即」lx,
= O,
则｛ → ’ I lm·FC = O, Lx，十y1-z1 =0,
取Z1 =1 得平面 GFC 的一个法向量为m=(0,1,1),
·······1 1分
设平面 EFC 的法向量为n ＝ （元，片，z2),
ln→·FE
= O ’即 I 2〓则｛ ·.n
＋z =且, O,
ln·FC=O, Lx2+Y =2-Zi O.
取Y2 = 1 得平面 EFC 的一个法向量为n =(-3,1.-2),
..... , .. , 13 分
则cos(m,n) =...!E:.!!.._ = (O, 1,
l)·(-3, 1,-2) ＝一二」＝－豆
’
lml · 1111 Ji亏F×v'(-3)2+ I2+ (-2)2 ../2×.JI4 14
由图知二面角E-FC-G 为钝角，
故二面角E-FC-G 的余弦值为－一一.J7 .........................................................…15分14
18.【考查意图】本小题设置数学学习情境、探索创新情境，设计直线与抛物线相关的开放性问题，主要考查
直线的方程、抛物线的方程及基本性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识：考查函数与方程、化归
与转化及数形结合等思想方法，考查直观想象、数学运算及逻辑推理等数学核心素养。
【解析】
(1）由己知，点F的坐标为（1，。），且可设直线AB 的方程为x=my+ 1,
I = mv+l.
联立方程组｛，、了 消去x，得y2 - 4my-4 = 0 （町，........................…....... , 分
l γ＝
2
4x,
因为Ii= (-4m)2 - 4 × 1 ×（ -4) = 2 16m + 16 > 0,
所以Y1 ’h为方程（町的两个实根，且 Y1Y2 =-4,
因为点 A,B 在抛物线E上，
2
所以x山＝ 21..，.必一＝一（y一山一
) ＝ l ，为,\!!.吊数 ：.......................................................... 5 分』内， 4 4 16
3

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