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第2部分第1节《函数的概念及其表示》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．已知函数f(x)＝则函数f 等于(　　)
A．3 B．－3 C. D．－
2．下列各组函数表示同一个函数的是(　　)
A．y＝x－1与y＝
B．y＝x－1与y＝－
C．y＝2与y＝2x
D．y＝与v＝
3．(多选)下列所给图象是函数图象的是(　　)
【知识归纳】
1．函数的概念
一般地，设A，B是 ，如果对于集合A中的 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素： 、 、 ．
(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有 、图象法和 ．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论：
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
【题型展示】
题型一　函数的定义域
例1　(1)已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域为________．
(2)函数y＝的定义域为(　　)
A．(－4，－1) B．(－4,1)
C．(－1,1) D．(－1,1]
跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝lg ，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域是(　　)
A．{x|x>2或x<0} B.
C．{x|x>2} D.
(2)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．(1,3] B．(1,2)∪(2,3]
C．(1,3)∪(3，＋∞) D．(－∞，3)
题型二　函数的解析式
例2　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f ＝x2＋，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．
跟踪训练2　(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10
(2)已知函数f(x)满足f(x)＋2f ＝3x，则f(2)等于(　　)
A．－3 B．3 C．－1 D．1
(3)若f ＝，则f(x)＝________.
题型三　分段函数
例3　(1)已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝则f(2 024)的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝则f(x)(2)已知函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a等于(　　)
A．0或1 B．－1或1
C．0或－2 D．－2或－1
基础夯实
1．函数f(x)＝lg(x－2)＋的定义域是(　　)
A．(2，＋∞) B．(2,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)
2．已知集合A＝{x|－2A．f：x→y＝x＋1 B．f：x→y＝ex
C．f：x→y＝x2 D．f：x→y＝|x|
3.函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是(　　)
A.(2，3) B.(2，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞)
4.函数y＝1＋x－的值域为(　　)
A. B.
C. D.
5.已知函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则f(2x－1)的定义域为(　　)
A.(－1，0) B.(－2，0)
C.(0，1) D.
6．已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)，若函数f(x)的值域是(－∞，4]，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(1，] D．(1，)
7.下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A.f(x)＝eln x，g(x)＝x
B.f(x)＝，g(x)＝x－2
C.f(x)＝，g(x)＝sin x
D.f(x)＝|x|，g(x)＝
8．已知f(x3)＝lg x，则f(10)的值为(　　)
A．1 B. C. D.
9.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是(　　)
10．函数y＝1＋x－的值域为(　　)
A. B.
C. D.
11.设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－1，0)∪(0，1)
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－1，0)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－1)∪(0，1)
12.(多选)下列所给图象可以是函数图象的是(　　)
13．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是(　　)
A．y＝－x＋1 B．
C．y＝ln|x| D．y＝
14．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有(　　)
A．f(x2)＝|x| B．f(x2)＝x
C．f(cos x)＝x D．f(ex)＝x
15.已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝________.
16.函数y＝(x＞1)的值域是________.
17.已知函数f(x)满足f＋f(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝________.
18．已知f(x)＝若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是__________．
19．已知函数f(x)＝则f ＝________.
20．已知f()＝x－1，则f(x)＝________.
21．已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为__________．
22.已知函数f(x)的解析式为f(x)＝
(1)求f，f，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值.
23.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图.
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度.
优化提升
24．已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)等于(　　)
A．2 B. C．1 D．0
25． x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n的取值范围是(　　)
A．(－2,2) B．(－2,0)∪(0,2)
C．[－2,2] D．(－，)
26．已知定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)等于(　　)
A．－1 B．1 C．－ D.
27．(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数，下列说法正确的是(　　)
A．F(F(x))＝0
B．对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立
C．任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立
D．存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形
28.(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是(　　)
A.y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0)
B.y＝x＋
C.y＝－log3x
D.y＝
29.已知函数f(x)＝log2x，g(x)＝2x＋a，若存在x1，x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，则a的取值范围是________.
30.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，求函数y＝[f(x)]的值域.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．C　2.D　3.CD
【知识归纳】
1．非空的实数集　任意　唯一确定
2．(1)定义域　对应关系　值域
(2)定义域　对应关系
3．解析法　列表法
【题型展示】
例1 (1)[－2，－1)
(2)C　
跟踪训练1 (1)B　
(2)B
例2 解　(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，
则sin x＝1－t，
∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2
＝2t－t2，t∈[0,2]．
即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．
(2)(配凑法)∵f＝x2＋＝2－2，
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴解得
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①
∴将x用－x替换，
得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
跟踪训练2 (1)A
(2)A
(3)(x≠0且x≠1)　
例3 (1)－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞)
(2)C
跟踪训练3 (1)
(2)D
基础夯实
1．D　
2.B　
3.D
4.B
5.C
6．B　
7.D
8.C　
9.A　
10.B
11.C
12.CD
13．ABD
14．AD
15.x2＋2x＋1
16.[2＋1，＋∞)
17.
18．1或－3　[－，－1]
19.　
20.x2－1(x≥0)　
21.[－1,0]
22.解　(1)∵＞1，∴f＝－2×＋8＝5.
∵0＜＜1，∴f＝＋5＝.
∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)这个函数的图象如图.
在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，
在函数f(x)＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，
在函数f(x)＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分.
图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象.
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.
23.解　(1)由题意及函数图象，
得解得m＝，n＝0，
∴y＝＋(x≥0).
(2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70 km/h.
优化提升
24．B
25．B
26．B
27．BD
28.AD
29.[－5，0]
30.解　f(x)＝＝＝1＋，
∵2x＞0，∴1＋2x＞1，0＜＜1，
则0＜＜2，1＜1＋＜3，
即1＜f(x)＜3.
当1＜f(x)＜2时，[f(x)]＝1，
当2≤f(x)＜3时，[f(x)]＝2.
综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1，2}.第2部分第2节《函数的单调性与最值》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．y＝在[3,4]上的最大值为(　　)
A．2 B. C. D．4
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A．y＝x2－1 B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝－x＋2
3．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f()的x的取值范围是________．
【知识归纳】
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I
当x1图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈D，都有 ；(2) x0∈D，使得 (1) x∈D，都有 ；(2) x0∈D，使得
结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值
常用结论：
1． x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0) f(x)在区间I上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：同增异减．
【题型展示】
题型一　确定函数的单调性
命题点1　函数单调性的判断
例1　(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝2x＋2cos x D．y＝
命题点2　利用定义证明函数的单调性
例2　试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
跟踪训练1　(1)函数f(x)＝的单调递增区间是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
(2)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为(　　)
A.(-∞,] B.[,1]
C．[1，＋∞) D.(-∞,]∪[1，＋∞)
题型二　函数单调性的应用
命题点1　比较函数值的大小
例3　已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln )，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．cC．a命题点2　求函数的最值
例4　函数f(x)＝－ln(4－x)在x∈[1,3]上的最大值为________．
命题点3　求参数的取值范围
例5　已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,) B.(-∞,] C．(0,1) D．(0,1]
命题点4　解函数不等式
例6　已知函数f(x)＝－log2(x＋2)，若f(a－2)>3，则a的取值范围是________．
跟踪训练2　(1)若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
(2)设函数f(x)＝则满足不等式f(2x－1)<2的解集是(　　)
A.(-∞,) B.[2,)
C.(,2] D.(-∞,)
基础夯实
1．下列函数在R上为增函数的是(　　)
A．y＝x2 B．y＝x
C．y＝－ D．y＝
2.函数f(x)＝－x＋在[-2,-]上的最大值是(　　)
A. B.－ C.－2 D.2
3.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A.f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B.f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C.f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D.f(π)＜f(－2)＜f(－3)
4.已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a＞0且a≠1)，若f(0)＜0，则此函数的单调递增区间是(　　)
A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞)
C.[－1，1) D.(－3，－1]
5.如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么实数a的取值范围是(　　)
A.(0，2) B.(1，2)
C.(1，＋∞) D.[,2)
6．函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[0,2] D．[0，＋∞)
7．若函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　　)
A．(－∞，3] B．(2,3)
C．(2,3] D．[3，＋∞)
8．已知函数f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，则有(　　)
A．f(a)>f(b)>f(c)
B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(a)>f(c)>f(b)
D．f(c)>f(a)>f(b)
9．(多选)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)在R上为增函数
B．f(e)>f(2)
C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0
D．当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2]
10．(多选)已知函数f(x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是(　　)
A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增
B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)
C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．当a>0时，f(x)的值域为R
11.(多选)下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是(　　)
A.y＝|x| B.y＝x＋3
C.y＝ D.y＝－x2＋4
12.(多选)已知函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则(　　)
A.0＜a＜1
B.a＞1
C.f(a＋2 021)＞f(2 022)
D.f(a＋2 021)＜f(2 022)
13．函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是________．
14．已知命题p：“若f(x)15.函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________，单调递减区间为________.
16.若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0的解集为________.
17.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a＝－f，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为________________.
18.函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求方程f(x)＝0的解；
(2)若函数f(x)的最小值为－1，求a的值.
19．已知函数f(x)＝x|x－4|.
(1)把f(x)写成分段函数，并在直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象；
(2)写出函数f(x)的单调递减区间．
20．已知函数f(x)＝a－.
(1)求f(0)的值；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论．
21.已知函数f(x)＝a－.
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)优化提升
22.已知a＝4ln 3π，b＝3ln 4π，c＝4ln π3，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.c＜b＜a B.b＜c＜a
C.b＜a＜c D.a＜b＜c
23．已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是(　　)
A．y＝f(x)＋x是增函数
B．y＝f(x)＋x是减函数
C．y＝f(x)是增函数
D．y＝f(x)是减函数
24．若a＝ln 3，b＝lg 5，c＝log126，则(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．a>c>b
25．若函数f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(0,2] D．[2，＋∞)
26.已知函数f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log30.9，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为________.
27．设函数f(x)＝x2 022－＋5，则f(x)的单调递增区间为________，不等式f(x－1)<5的解集为________．
28.已知函数f(x)＝lg(a>0，且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．A　2.D　3.
【知识归纳】
1．(1)f(x1)f(x2)
(2)单调递增　单调递减
2．(1)f(x)≤M　(2)f(x0)＝M
(1)f(x)≥M　(2)f(x0)＝M
【题型展示】
例1 AC
例2 解　方法一　设－1f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－
a
＝，
由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，
x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
方法二　f′(x)＝
＝＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
跟踪训练1 (1)B　(2)B
例3 B
例4
例5 B
例6 (0,1)
跟踪训练2 ((1)[1,2)
2)D
基础夯实
1．B　
2.A
3.A
4.C
5.D
6.B　
7.C　
8.A　
9.BC　
10.BCD
11.AB
12.AC
13．(－∞，－3]，[0,3]
14．f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)(答案不唯一，如f(x)＝只要满足题意即可)
15.(－∞，－1]和[0，1]　(－1，0)和(1，＋∞)
16.
17.a＞b＞c
18.解　(1)由得－3∴f(x)的定义域为(－3，1)，
则f(x)＝loga(－x2－2x＋3)，x∈(－3，1).
令f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，
解得x＝－1－或x＝－1＋，
经检验，均满足原方程成立.
故f(x)＝0的解为x＝－1±.
(2)由(1)得f(x)＝loga[－(x＋1)2＋4]，x∈(－3，1)，
由于0<－(x＋1)2＋4≤4，且a∈(0，1)，
∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，
由题意可得loga4＝－1，解得a＝，满足条件.
所以a的值为.
19．解　(1)f(x)＝x|x－4|
＝
函数图象如图所示．
(2)由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2,4)．
20．解　(1)f(0)＝a－＝a－1.
(2)f(x)在R上单调递增．证明如下：
∵f(x)的定义域为R，
∴任取x1，x2∈R且x1则f(x1)－f(x2)＝，
∵y＝2x在R上单调递增且x1∴，
∴－<0,＋1>0,＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在R上单调递增．
21.解　(1)f(0)＝a－＝a－1.
(2)f(x)在R上单调递增.证明如下：
∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋
＝.
∵y＝2x在R上单调递增且x1∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在R上单调递增.
(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即a－＝－a＋，解得a＝1，
∴f(ax)又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.
∴x的取值范围是(－∞，2).
优化提升
22.B
23．A
24.D
25．D
26.f(c)＜f(b)＜f(a)
27．(0，＋∞)　(0,1)∪(1,2)
28.解　(1)由x＋－2＞0，得＞0，
当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，
当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－或x＞1＋}.
(2)设g(x)＝x＋－2，
当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，
g′(x)＝1－＝>0，
因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
则f(x)min＝f(2)＝lg.
(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立.
∴a>3x－x2.
令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞).
由于h(x)＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x)max＝h(2)＝2.
故a>2时，恒有f(x)>0.
故a的取值范围为(2，＋∞).第2部分第3节《函数的奇偶性、对称性与周期性》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1,2]上(　　)
A．单调递增，且有最小值f(1)
B．单调递增，且有最大值f(1)
C．单调递减，且有最小值f(2)
D．单调递减，且有最大值f(2)
2．函数f(x)＝图象的对称中心为(　　)
A．(0,0) B．(0,1)
C．(1,0) D．(1,1)
3．已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2 023)＝________.
4．已知函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，则f(－2)＝________.
5．已知定义在R上的函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，则f(－4)与f(1)的大小关系为________．
6．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________.
【知识归纳】
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于 对称
2.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个
就叫做f(x)的最小正周期．
3．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于 对称，偶函数关于 对称．
(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为 ；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为 ．
4．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点 对称．
5．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于 对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于 对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于 对称．
常用结论：
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
3.对称性的四个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称；特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
【题型展示】
题型一　函数奇偶性的判断
例1　(多选)下列命题中正确的是(　　)
A．奇函数的图象一定过坐标原点
B．函数y＝xsin x是偶函数
C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数
D．函数y＝是奇函数
跟踪训练1　已知函数f(x)＝sin x，g(x)＝ex＋e－x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
题型二　函数奇偶性的应用
命题点1　利用奇偶性求值(解析式)
例2　(1)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋x－1，则当x<0时，f(x)等于(　　)
A．2－x－x－1 B．2－x＋x＋1
C．－2－x－x－1 D．－2－x＋x＋1
(2)已知函数f(x)＝为偶函数，则2a＋b等于(　　)
A．3 B. C．－ D．－
命题点2　利用奇偶性解不等式
例3　函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0.则不等式>0的解集为(　　)
A．(－2,2)
B．(－∞，0)∪(0,2)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝log2(|x|＋1)，若f(log2x)A．(1,4) B.(0,)∪(4，＋∞)
C.(,1)∪(1,4) D.(,4)
(2)已知函数f(x)＝sin x＋x3＋＋3，若f(a)＝1，则f(－a)等于(　　)
A．1 B．3 C．4 D．5
(3)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
题型三　函数的周期性
例4　(1)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0,2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2,4]上的解析式为____________________．
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当1≤x≤2时，f(x)＝x－1，则f()的值等于(　　)
A. B. C. D．－
跟踪训练3　(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2，则(　　)
A．f(2 023)＝0
B．f(x)的值域为[－1,2]
C．f(x)在[4,6]上单调递减
D．f(x)在[－6,6]上有8个零点
题型四　轴对称问题
例5　(1)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(x－1)>f(1)的解集为________．
(2)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2 023)等于(　　)
A．－2 B．2 C．0 D．－4
跟踪训练4　(1)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．－1
(2)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　)
A．f(－1)B．f(1)C．f(2)D．f(－1)题型五　中心对称问题
例6　(1)已知函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝＋1，y＝f(x)与y＝g(x)有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为________．
(2)(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)＝f(－x)
B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0
C．f(－x)＝－f(x＋4)
D．f(x＋2)＝f(x－2)
跟踪训练5　(1)若函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
(2)函数f(x)＝ex－2－e2－x的图象关于(　　)
A．点(－2,0)对称 B．直线x＝－2对称
C．点(2,0)对称 D．直线x＝2对称
题型六　两个函数图象的对称
例7　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　)
A．关于直线x＝1对称
B．关于直线x＝3对称
C．关于直线y＝3对称
D．关于点(3,0)对称
跟踪训练6　设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)的图象与y＝f(1－x)的图象(　　)
A．关于y轴对称
B．关于x轴对称
C．关于直线x＝1对称
D．关于直线y＝1对称
基础夯实
1.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A.y＝x－1 B.y＝ln x2
C.y＝ D.y＝－x2
2.已知函数f(x)＝为奇函数，则a等于(　　)
A.－1 B.1 C.0 D.±1
3.已知偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x2＋1，则f(2 021)＝(　　)
A.2 B.0 C.－1 D.1
4.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f(-)＋f(1)＝(　　)
A.－2 B.0 C.2 D.1
5．已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为(　　)
A．(－∞，e)∪(e3，＋∞) B．(1，e2)
C．(e，e3) D．(e，＋∞)
6．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于(　　)
A．1 B．2 C．0 D．－2
7．已知奇函数f(x)满足f(5)＝1，且f(x－2)的图象关于x＝3对称，则f(2 025)等于(　　)
A．－1 B．1 C．0 D．3
8．若函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝2，则下列函数是奇函数的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x＋1)＋1
C．f(x)－1 D．f(x)＋1
9．设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
10．已知函数f(x)＝x2＋log2|x|，a＝f(2－0.2)，b＝f(lg π)，c＝f(log0.26)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．aC．b11．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(　　)
A．(－1,2) B．(1,2)
C．(－1，－2) D．(－2,1)
12．已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
13．若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0A．0 B．2 C．4 D．－2
14．(多选)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是(　　)
A．y＝2x3＋4x B．y＝x＋sin(－x)
C．y＝log2|x| D．y＝2x－2－x
15．(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对 x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的一个周期为4
B．f(2 022)＝1
C．当x∈[2,3]时，f(x)＝－log2(4－x)
D．函数f(x)在[0,2 021]内有1 010个零点
16．(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上单调递增，则下列关于f(x)的结论中正确的有(　　)
A．f(x)的图象关于直线x＝1对称
B．f(x)在[0,1]上单调递增
C．f(x)在[1,2]上单调递减
D．f(2)＝f(0)
17.(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，则下列结论错误的是(　　)
A.f(2 021)＝0
B.2是f(x)的一个周期
C.当x∈(1，3)时，f(x)＝(1－x)3
D.f(x)＞0的解集为(4k，4k＋2)(k∈Z)
18.(多选)已知奇函数f(x)的定义域为R，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，以下关于函数f(x)的说法正确的为(　　)
A.f(x)满足f(8－x)＝f(x)
B.8为f(x)的一个周期
C.f(x)＝sin 是满足条件的一个函数
D.f(x)有无数个零点
19．与f(x)＝ex关于直线x＝1对称的函数是________．
20．写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝________.
①f(x)是定义域为R的奇函数；
②f(1＋x)＝f(1－x)；
③f(1)＝2.
21．写出一个定义域为R，周期为π的偶函数f(x)＝________.
22．若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(ln x)＋f(ln x－1)>0的解集是________．
23.已知函数f(x)＝asin x＋btan x＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝________.
24.已知函数f(x)，对 x∈R满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝1，则f(26)＝________.
25.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2，4)时，f(x)＝|x－3|，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 022)＝________.
26.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式.
27.设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
28．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>；
(2)求函数g(x)＝图象的对称中心．
29．函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1)若f(x)＝x3－3x2.求此函数图象的对称中心；
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论．
30．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
31．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)．
优化提升
32.已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且满足f(－1)＝0，则关于x的不等式f(x)＜sin πx的解集为(　　)
A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B.(－1，0)∪(1，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(0，1)
D.(－1，0)∪(0，1)
33.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在区间[1，2]上单调递减，令a＝ln 2，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是(　　)
A.f(b)B.f(a)C.f(c)D.f(c)34．已知函数f(x)＝则此函数图象上关于原点对称的点有(　　)
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
35．已知函数f(x)＝,则满足f(2＋log4x)>f(1－log4x)的x的取值范围是(　　)
A.(0,) B.(,2)
C．(0,2) D．(2，＋∞)
36．已知定义域为R的函数f(x)满足： x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列结论错误的是(　　)
A．f(0)＝2 B．f(x)为偶函数
C．f(x)为奇函数 D．f(2)＝－1
37．(多选)已知函数y＝f(x)，x∈R，下列4个命题中是真命题的是(　　)
A．若y＝f(x＋1)为偶函数，则f(x)的图象自身关于直线x＝1对称
B．函数f(x－1)与f(1－x)的图象关于直线x＝1对称
C．若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则f(x)的图象自身关于点(1,0)对称
D．若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象自身关于直线x＝1对称
38．已知函数f(x)满足f(x＋2)是偶函数，若函数y＝|x2－4x－5|与函数y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则横坐标之和x1＋x2＋…＋xn＝________.
39．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足：①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝；②函数y＝f(x)是偶函数；③当x∈(0,1]时，f(x)＝x＋ex，则f()，f()，f()从小到大的排列是________．
40．若f(x)＝ln＋b是奇函数，则a＝______，b＝______.
41．已知函数f(x)＝在区间[－3,3]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为________．
42.已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立.
(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．A　2．B　
3.－1
4.－6　
5.f(－4)>f(1)　
6.5
【知识归纳】
1．f(－x)＝f(x)　y轴
f(－x)＝－f(x)　原点
2．(1)f(x＋T)＝f(x)　(2)最小
最小正数
3．(1)原点　y轴　(2)x＝－2
(－2,0)
4．(a,0)
5．(1)y轴　(2)x轴　(3)原点
【题型展示】
例1 BC
跟踪训练1 C
例2 (1)D　(2)B
例3 D
跟踪训练2 (1)D　(2)D
(3)1
例4 (1)f(x)＝log2(5－x)，x∈[2,4]
(2)D
跟踪训练3 AB
例5 (1)(2,4)
(2)B
跟踪训练4 (1)C　(2)D
例6 (1)4
(2)ABC
跟踪训练5 (1)D　(2)C
例7 A
跟踪训练6 C
基础夯实
1.D
2.A
3.B
4.A
5．C
6.B　
7.B　
8.C
9.B　
10.C　
11．A　
12.A　
13.D　
14．ABD　
15.AC
16．AD
17.ABC
18.BCD
19．y＝e2－x
20．2sin x(答案不唯一)
21．cos 2x(答案不唯一)　
22.(，＋∞)
23.4
24.1
25.0
26.(1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)解　∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0，2]，
∴f(4－x)＝2×(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即当x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
27.解　(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]
＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x).
故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示.
当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
28．解　(1)对任意的x∈R,2x＋2－x>0，故函数f(x)的定义域为R，
又因为函数f(x)＝为奇函数，则f(0)＝＝0，解得a＝1，
所以f(x)＝，下面验证函数f(x)＝为奇函数，
f(－x)＝＝－f(x)，故函数f(x)＝为奇函数，
由f(x)＝＝＝>，得2·4x>4，
即22x＋1>22，
所以2x＋1>2，解得x>，
因此不等式f(x)>的解集为.
(2)g(x)＝＝，
则g(－x)＝，
所以g(x)＋g(－x)＝＝2，
因此函数g(x)＝图象的对称中心为(0,1)．
29．解　(1)设函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为P(a，b)，
g(x)＝f(x＋a)－b，
则g(x)为奇函数，
故g(－x)＝－g(x)，
故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，
即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，
即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.
整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故解得
所以函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为(1，－2)．
(2)推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数．
30．解　(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)
＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x
＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知
所以1故实数a的取值范围是(1,3]．
31．(1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解　当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，
由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.
又f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.
∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
(3)解　f(0)＝0, f(1)＝1，
f(2)＝0，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)
＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)
＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝0.
优化提升
32.C
33.C
34．B
35．A
36．C
37．ABD
38．2n
39．f 40．－　ln 2
41．2
42.解　(1)f(x)在区间[－1，1]上单调递增.证明如下：
任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，
则－x2∈[－1，1].
∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝·(x1－x2).
由已知条件得＞0.
又x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
∴f(x)在区间[－1，1]上单调递增.
(2)∵f(1)＝1，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，
∴在区间[－1，1]上，f(x)≤1.
∵f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，
∴m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0对所有的a∈[－1，1]恒成立.
设g(a)＝－2ma＋m2.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立.
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，
若g(a)≥0，
对a∈[－1，1]恒成立，必须有g(－1)≥0，且g(1)≥0，
∴m≤－2或m≥2.
综上所述，实数m的取值范围是{m|m＝0，或m≥2，或m≤－2}.第2部分第4节《二次函数与幂函数》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1,2]的值域为(　　)
A．[－6,2] B．[－6,1]
C．[0,2] D．[0,1]
2．已知函数f(x)＝－x2－4x＋5，则函数y＝f(x)的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，2]
C．[－2，＋∞) D．[2，＋∞)
3．已知幂函数f(x)的图象经过点(5,)，则f(8)的值等于(　　)
A. B．4 C．8 D.
【知识归纳】
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ ．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 ．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的 ．
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域
值域
对称轴 x＝
顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在(]上单调递 ；在[)上单调递 在(]上单调递 ；在上单调递
2．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点 ，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为 ；当α为偶数时，y＝xα为 ．
【题型展示】
题型一　幂函数的图象与性质
例1　(1)幂函数f(x)＝(m2＋m－5)在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(3)等于(　　)
A．27 B．9 C. D.
(2)若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则(　　)
A．－1C．－11 D．n<－1，m>1
跟踪训练1　(1)(多选)已知函数y＝(m∈Z)为偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值可以为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知幂函数(p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　)
A．p为奇数，且p>0
B．p为奇数，且p<0
C．p为偶数，且p>0
D．p为偶数，且p<0
题型二　二次函数的解析式
例2　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．
跟踪训练2　已知二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为________．
题型三　二次函数的图象与性质
命题点1　二次函数的单调性与最值
例3　已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.
(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；
(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
命题点2　二次函数的图象
例4　设abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
跟踪训练3　(1)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范围是____．
(2)(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0
C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0
基础夯实
1.若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　)
A.1或3 B.1
C.3 D.2
2.若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A.d＞c＞b＞a B.a＞b＞c＞d
C.d＞c＞a＞b D.a＞b＞d＞c
3.已知函数f(x)＝x－3，若a＝f(0.60.6)，b＝f(0.60.4)，c＝f(0.40.6)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.aC.b4．已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．[0,3]
C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．[3，＋∞)
5.不等式≤的解集是(　　)
A.[0,] B.[,＋∞)
C.[0,] D.[,＋∞)
6.已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是(　　)
A.[－，] B.[1，]
C.[2，3] D.[1，2]
7．已知p：f(x)是幂函数，q：f(x)的图象过点(0,0)，则p是q的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．bC．b9．函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是(　　)
10.已知关于x的方程＝a|x|有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，0) B.(0，1)
C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)
11．(多选)幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是(　　)
A．m＝3
B．函数f(x)在(－∞，0)上单调递增
C．函数f(x)是偶函数
D．函数f(x)的图象关于原点对称
12．(多选)若二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a等于(　　)
A．－ B. C．－5 D．5
13.(多选)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有(　　)
A.函数f(x)为增函数
B.函数f(x)为偶函数
C.若x＞1，则f(x)＞1
D.若0＜x1＜x2，则＜f()
14．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________．
15．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则＋的最小值为________．
16.已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，则当f(a)＝4f(a＋3)时，则实数a＝________.
17.若＜，则实数a的取值范围是________.
18.若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________.
19.已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值.
20.已知函数f(x)＝，其中a∈R.
(1)当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值；
(2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.
21．已知幂函数f(x)＝(2m2－m－2)(m∈R)为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)－2(a－1)x＋1在区间[0,4]上的最大值为9，求实数a的值．
22．设二次函数f(x)满足：①当x∈R时，总有f(－1＋x)＝f(－1－x)；②函数f(x)的图象与x轴的两个交点为A，B，且|AB|＝4；③f(0)＝－.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若存在t∈R，只要x∈[1，m](m>1)，就有f(x＋t)≤x－1成立，求满足条件的实数m的最大值．
优化提升
23．已知函数f(x)＝2ax2－2 022x－2 023，对任意t∈R，在区间[t－1，t＋1]上存在两个实数x1，x2，使|f(x1)－f(x2)|≥1成立，则a的取值范围是(　　)
A.[,]
B．[－1,1]
C．(－∞，－1]∪{0}∪[1，＋∞)
D.(－∞，]∪{0}∪[，＋∞)
24．已知函数f(x)＝x2－4x＋1，设1≤x1A．3 B．4 C．5 D．6
25.已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m(0A. B．1
C. D．2
26．设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．
27.如图，正方形OABC的边长为a(a＞1)，函数y＝3x2的图象交AB于点Q，函数y＝x－的图象交BC于点P，则当|AQ|＋|CP|最小时，a的值为________.
28.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R且a≠0)，x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．A　2.A　3.D
【知识归纳】
1．(1)ax2＋bx＋c(a≠0)　(m，n) 零点　
(2)R　　　－
　减　增　增　减
2．(1)y＝xα　(3)②(1,1)　(0,0)
③(1,1)　④奇函数　偶函数
【题型展示】
例1 (1)A
(2)B
跟踪训练1 (1)BC　(2)D
例2 解　方法一　(利用“一般式”解题)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得
解得
所以所求二次函数的解析式为
f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二　(利用“顶点式”解题)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝，
所以m＝.
又根据题意，函数有最大值8，
所以n＝8，
所以f(x)＝a2＋8.
因为f(2)＝－1，
所以a2＋8＝－1，
解得a＝－4，
所以f(x)＝－42＋8
＝－4x2＋4x＋7.
方法三　(利用“零点式”解题)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，
即＝8.
解得a＝－4.
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
跟踪训练2 y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋
例3 解　(1)当a>0时，
f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝，
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足≥2，a>0，
解得0当a<0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为
x＝<0，
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足a<0，
综上，a的取值范围是(－∞，0)∪.
(2)①当0<<1，即a>时，
f(x)在区间[1,2]上单调递增，
此时g(a)＝f(1)＝3a－2.
②当1≤≤2，即≤a≤时，
f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
此时g(a)＝f ＝2a－－1.
③当>2，即0f(x)在区间[1,2]上单调递减，
此时g(a)＝f(2)＝6a－3，
综上所述，g(a)＝
例4 D
跟踪训练3 (1)[2,4]　(2)ACD
基础夯实
1.B
2.B
3.B
4.C　
5.B
6.B
7．D　
8.A　
9.C　
10.C
11.ABD　
12.BC
13.ACD
14．f(x)＝x2－4x＋3
15．3
16.
17.(－∞，－1)∪
18.　[－2，0]
19.解　(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上递减，
∴f(x)min＝f(1)＝－2.
(2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x图象开口方向向上，且对称轴为x＝.
①当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]内，∴f(x)在上递减，在上递增.
∴f(x)min＝f＝－＝－.
②当>1，即0∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
(3)当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，
∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上递减.
∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
综上所述，f(x)min＝
20.解　(1)f(x)＝
＝＝a＋，
所以f(x)的对称中心为(－1，a)，
与P(－1，3)比较得a＝3.
(2)由f(x)＝＝a＋，
当2－2a＞0，即a＜1时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，故a的取值范围是{a|a＜1}.
21．解　(1)由幂函数可知2m2－m－2＝1，解得m＝－1或m＝，
当m＝－1时，f(x)＝x2，函数为偶函数，符合题意；
当m＝时，f(x)＝x7，函数为奇函数，不符合题意，
故f(x)的解析式为f(x)＝x2.
(2)由(1)得，g(x)＝f(x)－2(a－1)·x＋1＝x2－2(a－1)x＋1.
函数的对称轴为x＝a－1，开口向上，f(0)＝1，f(4)＝17－8(a－1)，
由题意得，在区间[0,4]上，f(x)max＝f(4)＝17－8(a－1)＝9，解得a＝2，经检验a＝2符合题意，
所以实数a的值为2.
22．解　(1)由题意知，函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且方程f(x)＝0的两根为－3和1，
设f(x)＝a(x＋3)(x－1)，
又f(0)＝－，
则f(0)＝－3a＝－，解得a＝.
故f(x)＝x2＋x－.
(2)只要x∈[1，m](m>1)，就有f(x＋t)≤x－1，即x2＋2(t－1)x＋(t＋1)2≤0，
取x＝1，t2＋4t≤0，－4≤t≤0；
取x＝m，[m＋(t－1)]2≤－4t，
即1－t－2≤m≤1－t＋2，
由－4≤t≤0得0≤－t≤4,1－t＋2≤1＋4＋2×＝9，
故当t＝－4时，m≤9；
当m＝9时，存在t＝－4，
只要x∈[1,9]，
就有f(x－4)－(x－1)
＝(x－1)(x－9)≤0成立，满足题意．
故满足条件的实数m的最大值为9.
优化提升
23．D
24．C
25．B
26．7
27.
28.解　(1)由题意知解得
所以f(x)＝x2＋2x＋1，
由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].
(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
由g(x)＝＋知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k<1，
故k的取值范围是(－∞，1).第2部分第5节《指数与指数函数》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于(　　)
A．不确定 B．0 C．1 D．2
2．若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.
3．计算：＝________.
【知识归纳】
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做 ，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝ .
当n为奇数时，＝ ，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂：＝ (a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂：＝ ＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ ；(ar)s＝ ；(ab)r＝ (a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是 .
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域
值域
性质 过定点 ，即x＝0时，y＝1
当x>0时， ；当x<0时， 当x<0时， ；当x>0时，
在(－∞，＋∞)上是_______ 在(－∞，＋∞)上是_______
常用结论：
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
【题型展示】
题型一　指数幂的运算
例1　计算：
(1)(－1.8)0＋－2·－＋；
(2)(a>0，b>0)．
跟踪训练1　计算：
(1) ；
(2).
题型二　指数函数的图象及应用
例2　(1)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
(2)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是(　　)
A．aB．若a<0，则bC．|a|<|b|
D．若0跟踪训练2　(多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1
B．0C．b>0
D．b<0
题型三　指数函数的性质及应用
命题点1　解简单的指数方程或不等式
例3　已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是(　　)
A．[2,4] B．(－∞，0)
C．(0,1)∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
命题点2　比较指数式大小
例4　设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则(　　)
A．bC．a命题点3　指数函数性质的综合应用
例5 已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数．
(1)求a的值；
(2)若 x∈[1,2], 都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．
跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝，若f(x)有最大值3，则a的值为________．
(2)(多选)已知函数f(x)＝，下列说法正确的有(　　)
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的值域为(－1,1)
D． x1，x2∈R，且x1≠x2，<0
基础夯实
1．若m＝，n＝，则m＋n的值为(　　)
A．－7 B．－1 C．1 D．7
2．已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为(　　)
A. B．1 C. D．2
3.不论a为何值，函数y＝(a－1)2x－恒过定点，则这个定点的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
4.若0A.ab B.ba C.aa D.bb
5．对任意实数a>1，函数y＝(a－1)x－1＋1的图象必过定点A(m，n)，f(x)＝
x的定义域为[0,2]，g(x)＝f(2x)＋f(x)，则g(x)的值域为(　　)
A．(0,6] B．(0,20]
C．[2,6] D．[2,20]
6．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)
7．已知＝5，则的值为(　　)
A．5 B．23 C．25 D．27
8.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为P＝P0e－kt，其中P0，k为正常数.如果一定量的废气在前10 h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：ln 2≈0.693，ln 5≈1.609)(　　)
A.11 h B.21 h C.31 h D.41 h
9．(多选)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(aA．2a＋2b>2
B． a，b∈R，使得0C．2a＋2b＝2
D．a＋b<0
10.(多选)函数y＝ax－a(a＞0，a≠1)的图象可能是(　　)
11.(多选)下列函数中在区间(0，1)内单调递减的是(　　)
A.y＝x B.y＝21－x
C.y＝ln(x＋1) D.y＝|1－x|
12.(多选)已知函数f(x)＝2－x－2x，有下列四个结论，其中正确的结论是(　　)
A.f(0)＝0
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增
D.对任意的实数a，方程f(x)－a＝0都有解
13．计算化简：
(1)＝________；
(2)＝________.
14．已知函数f(x)＝3x＋1－4x－5，则不等式f(x)<0的解集是________．
15.设函数f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x－1，则不等式f(x)＞1的解集为________.
16.化简：(a＞0，b＞0)＝________.
17.已知0≤x≤2，则函数y＝4x－－3×2x＋5的最大值为________.
18.化简下列各式：
(1)8－＋＋[(－2)6]；
(2)a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3).
19.已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围.
20．已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围．
21．函数f(x)＝a2x＋ax＋1(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为13，求实数a的值．
优化提升
22．已知函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系为(　　)
A．f(cx)≥f(bx) B．f(cx)≤f(bx)
C．f(cx)>f(bx) D．f(cx)＝f(bx)
23．(多选)已知函数f(x)＝a·|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是(　　)
A．a＋b＝0
B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0
C．若xD．f(x)的值域为[0,2)
24.(多选)已知a＞b＞0，且ab＝4，则(　　)
A.2a－b＞1 B.log2a－log2b＞1
C.2a＋2b＞8 D.log2a·log2b＜1
25．若ex－ey＝e，x，y∈R，则2x－y的最小值为________．
26．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是________．
27.已知常数a>0，函数f(x)＝的图象经过点P，Q.若2p＋q＝36pq，则a＝________.
28.已知函数f(x)＝－＋4(－1≤x≤2).
(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；
(2)若方程f(x)＝0有解，求实数λ的取值范围.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．C　2.2或　3.1
【知识归纳】
1．(1)x　(2)根式　(3)a　a
2.　　0
3．ar＋s　ars　arbr
4．(1)R　(2)R　(0，＋∞)　(0,1)
y>1　01　0【题型展示】
例1 解　(1)(－1.8)0＋－2·－＋
＝1＋
＝1＋2·2－10＋33
＝1＋1－10＋27＝19.
(2)
＝
＝2××8＝.
跟踪训练1 解　(1)因为有意义，所以a>0，
所以原式＝＝÷＝a÷a＝1.
(2)原式＝＝10－1＋8＋23·32＝89.
例2 (1)(0,2)
(2)BCD
跟踪训练2 BD
例3 D　　
例4 D
例5 解　(1)f(x)＝×2x＋，
因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以×＋2x
＝－，
所以＝0，
即＋1＝0，解得a＝－1.
(2)因为f(x)＝－2x，x∈[1,2]，
所以－22x≥m，
所以m≥＋2x，x∈[1,2]，
令t＝2x，t∈[2,4]，
由于y＝t＋在[2,4]上单调递增，
所以m≥4＋＝.
跟踪训练3 (1)1　(2)AC
基础夯实
1．C　
2.D　
3.C
4.A
5.C
6.D　
7.B　
8.B
9.BC
10.BD
11.ABD
12.CD　
13．(1)0.09　(2)
14．(－1,1)
15.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
16.
17.
18.解　(1)原式＝(23)－1＋|3－π|＋(26)＝4－1＋π－3＋23＝π＋8.
(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－＝－·＝－.
19.解　(1)因为f(x)的图象过A(1，6)，B(3，24)，
所以
所以a2＝4，又a>0，所以a＝2，b＝3.
所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，＋－m≥0恒成立，即m≤＋在x∈(－∞，1]上恒成立.
又因为y＝与y＝均为减函数，所以y＝＋也是减函数，所以当x＝1时，y＝＋有最小值.
则m≤，故m的取值范围是.
20．解　(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝a0－(k－1)a0
＝1－(k－1)＝0，
∴k＝2，
经检验k＝2符合题意，∴k＝2.
(2)f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)，
∵f(1)<0，
∴a－<0，又a>0，且a≠1，
∴0从而y＝ax在R上单调递减，
y＝a－x在R上单调递增，
故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减，
不等式f(m2－2)＋f(m)>0
可化为f(m2－2)>f(－m)，
∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，
解得－2∴实数m的取值范围是(－2,1)．
21．解　由f(x)＝a2x＋ax＋1，
令ax＝t，则t>0，
则y＝t2＋t＋1＝2＋，其对称轴为t＝－.
该二次函数在上单调递增．
①若a>1，由x∈[－1,1]，得t＝ax∈，
故当t＝a，即x＝1时，
ymax＝a2＋a＋1＝13，解得a＝3或a＝－4(舍去)．
②若0可得t＝ax∈，
故当t＝，即x＝－1时，
ymax＝2＋＋1＝13.
解得a＝或a＝－(舍去)．
综上可得，a＝3或.
优化提升
22．A
23．ABD
24.ACD
25．1＋2ln 2
26.
27.6
28.解　(1)f(x)＝－＋4
＝－2λ·＋4(－1≤x≤2).
设t＝，得g(t)＝t2－2λt＋4.
当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋4
＝＋.
所以g(t)max＝g＝，
g(t)min＝g＝.
所以f(x)max＝，f(x)min＝，
故函数f(x)的值域为.
(2)方程f(x)＝0有解可转化为
λ＝2·2x＋·(－1≤x≤2).
设φ(x)＝2·2x＋，
当2x＝，即x＝－1时，φ(x)min＝2；
当2x＝4，即x＝2时，φ(x)max＝.
∴函数φ(x)的值域为.
故实数λ的取值范围是.第2部分第6节《对数与对数函数》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为(　　)
A．[0,1] B．(0,1)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
2．eln 2＋＝________.
3．函数y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
【知识归纳】
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作 .
以e为底的对数叫做自然对数，记作 .
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝ ，logaa＝ ，＝ (a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝ ；
②loga＝ ；
③logaMn＝ (n∈R)．
(3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域
值域
性质 过定点 ，即x＝1时，y＝0
当x>1时， ；当01时， ；当0在(0，＋∞)上是 在(0，＋∞)上是
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数 (a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称．
常用结论：
1．logab·logba＝1，＝logab.
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
【题型展示】
题型一　对数式的运算
例1　(1)若2a＝5b＝10，则＋的值是(　　)
A．－1 B. C. D．1
(2)计算：log535＋－log5－log514＝________.
跟踪训练1　(1)已知2a＝3，b＝log85，则4a－3b＝________.
(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 4－log34×log23＝________.
题型二　对数函数的图象及应用
例2　(1)已知函数f(x)＝|ln x|，若0(2)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)
A．0B．0C．0D．0跟踪训练2　(1)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝loga(－x＋1)的部分图象大致为(　　)
(2)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝的图象可能是(　　)
题型三　对数函数的性质及应用
命题点1　比较对数式的大小
例3　已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．a命题点2　解对数方程、不等式
例4　若loga(a＋1)0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
命题点3　对数函数的性质及应用
例5　设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)(　　)
A．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减
B．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减
C．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增
D．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增
跟踪训练3　(1)若函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,3] B．(1,3)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
基础夯实
1．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A. B.
C. D．[1，＋∞)
2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A.1010.1 B.10.1
C.lg 10.1 D.10－10.1
3.已知函数f(x)＝lg 的值域是全体实数，则实数m的取值范围是(　　)
A.(－4，＋∞) B.[－4，＋∞)
C.(－∞，－4) D.(－∞，－4]
4.已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－1] B.(－∞，2]
C.[2，＋∞) D.[5，＋∞)
5．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0) D．
6.已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)
A.aC.c7．若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(log28)等于(　　)
A．－1 B．1 C．2 D．3
8．函数f(x)＝log2(|x|－1)的图象为(　　)
9．按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝20 A时，放电时间t＝20 h；当放电电流I＝30 A时，放电时间t＝10 h．则该蓄电池的Peukert常数n大约为(　　)
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
A. B. C. D．2
10.已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的图象可能是(　　)
11．(多选)已知函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象恒过定点(0,0)
B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减
C．函数f(x)在区间上的最小值为0
D．若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2]
12.(多选)若10a＝4，10b＝25，则(　　)
A.a＋b＝2 B.b－a＝1
C.ab＞8lg22 D.b－a＞lg 6
13．计算：－2＋＝______.
14．函数f(x)＝的最小值为________．
15.若log43＝mlog23，则log m＝________.
16.已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.
17.设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a18.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求实数a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值.
19.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)＞－2.
20．已知f(x)＝
(1)若a＝2，求f(x)的值域；
(2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
21．已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函数．
(1)求k；
(2)解不等式f(x)≥log3(7·3x－1)．
优化提升
22．若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则(　　)
A.＋＝ B.＋＝
C.＋＝ D.＋＝
23．已知函数f(x)的定义域为R，图象恒过点(0,1)，对任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有>1，则不等式f(ln(ex－1))<1＋ln(ex－1)的解集为(　　)
A．(ln 2，＋∞) B．(－∞，ln 2)
C．(ln 2,1) D．(0，ln 2)
24.设函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调增函数；②存在[m，n] D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，那么就称y＝f(x)是定义域为D的“成功函数”.若函数g(x)＝loga(a2x＋t)(a>0且a≠1)是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
25．(多选)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最大值为1
B．f(x)在区间(0,2)上为增函数
C．f(x)的图象关于直线x＝2对称
D．f(x)的图象关于点(2,0)对称
26．(多选)已知函数f(x)＝若f(x)＝a有四个解x1，x2，x3，x4且满足x1A．0B．x1＋2x2∈(3，＋∞)
C．x1＋x2＋x3＋x4∈
D．x4∈[4，＋∞)
27.已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论：
(1)若k＝0，则f(x)有两个零点；
(2) k<0，使得f(x)有一个零点；
(3) k<0，使得f(x)有三个零点；
(4) k>0，使得f(x)有三个零点.
以上正确结论的序号是________.
28.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．A　2.4　3.(3,2)
【知识归纳】
1．x＝logaN　a　N　lg N　ln N
2．(1)0　1　N　(2)①logaM＋logaN　②logaM－logaN　③nlogaM
3．(0，＋∞)　R　(1,0)　y>0　y<0
y<0　y>0　增函数　减函数
4．y＝logax　y＝x
【题型展示】
例1 (1)D　(2)2
跟踪训练1 (1)　(2)－1
例2 (1)(3，＋∞)
(2)A
跟踪训练2 (1)D　(2)B
例3 C
例4
例5 A
跟踪训练3 (1)(1，)　(2)A
基础夯实
1．A　
2.A
3.D
4.D
5.B
6.B
7.B　
8.A　
9.B　
10.C
11．ACD　
12.ACD
13．10　
14.－
15.－2
16.
17.(0，1)
18.解　(1)∵f(1)＝2，
∴loga4＝2(a＞0，且a≠1)，
∴a＝2.由得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1，3).
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]
＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈[0，1]时，f(x)单调递增；
当x∈时，f(x)单调递减，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
19.解　(1)当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝log(－x).
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x).
所以x＜0时，f(x)＝log(－x)，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)＞－2可化为
f(|x2－1|)＞f(4).
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以0＜|x2－1|＜4，解得－＜x＜且x≠±1，
而x2－1＝0时，f(0)＝0＞－2，所以x＝1或x＝－1.
所以－＜x＜.
所以不等式的解集为{x|－＜x＜}.
20．解　(1)当a＝2时，f(x)＝，
令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9，
∴t≥9，f(x)≤＝－2，
∴f(x)的值域为(－∞，－2]．
(2)令u(x)＝x2－ax＋5a，
∵y＝(x)为减函数，
∴u(x)＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增，
∴
解得－∴a的取值范围是.
21．解　(1)∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即log3(9－x＋1)－kx＝log3(9x＋1)＋kx对任意x∈R恒成立，
∴2kx＝log3(9－x＋1)－log3(9x＋1)＝log3＝log33－2x＝－2x，
∴k＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3(9x＋1)－log33x＝log3＝log3(3x＋3－x)，
则不等式f(x)≥log3(7·3x－1)等价于3x＋3－x≥7·3x－1>0，
由7·3x－1>0，解得x>－log37；
由3x＋3－x≥7·3x－1，
得6·(3x)2－3x－1≤0，
得0<3x≤，
即x≤－log32，
综上，不等式的解集为(－log37，－log32]．
优化提升
22．A
23．D
24.A
25．BC
26．AC
27.(1)(2)(4)
28.解　(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x
＝2－2(log2x－1)2.
因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，
故函数h(x)的值域为[0，2].
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，
得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈[1，4]，
所以t＝log2x∈[0，2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0，2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
所以4t＋－15的最小值为－3.
所以k<－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3).第2部分第7节《函数的图像》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．函数f(x)＝ln(x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
2．函数y＝1－的图象是(　　)
3．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.
【知识归纳】
1．利用描点法作函数图象的方法步骤： 、 、 ．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝ ．
②y＝f(x)y＝ ．
③y＝f(x)y＝ ．
④y＝ax (a>0，且a≠1)y＝ ．
(3)翻折变换
①y＝f(x)y＝ .
②y＝f(x)y＝ ．
常用结论：
1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
2. 函数图象自身的对称关系
(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称 f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－f(2a－x)．
3．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
【题型展示】
题型一　作函数图象
例1　作出下列各函数的图象：
(1)y＝|log2(x＋1)|；
(2)y＝；
(3)y＝x2－2|x|－1.
跟踪训练1　作出下列各函数的图象：
(1)y＝x－|x－1|；(2)y＝|x|；(3)y＝|log2x－1|.
题型二　函数图象的识别
例2　(1)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函数是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
(2))函数f(x)＝y＝的图象大致为(　　)
跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的图象大致为(　　)
(2)函数f(x)＝的大致图象为(　　)
题型三　函数图象的应用
命题点1　利用图象研究函数的性质
例3　(多选)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称
B．函数f(x)在(－∞，1)上单调递减
C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴
D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
命题点2　利用图象求参数的取值范围
例4　已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．[0,1)
C．(1,3)∪{0} D．[1,3)∪{0}
命题点3　利用图象解不等式
例5　已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　)
A．(－，0)∪(，2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)
D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞)
跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．
(2)把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
基础夯实
1．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象(　　)
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
2.已知函数f(x)＝logax(0＜a＜1)，则函数y＝f(|x|＋1)的图象大致为(　　)
3.函数y＝的部分图象大致为(　　)
4.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝(　　)
A.－ B.－
C.－1 D.－2
5.已知f(x)是定义在[－5,5]上的偶函数，当－5≤x≤0时，f(x)的图象如图所示，则不等式<0的解集为(　　)
A．(－π，－2)∪(0,2)∪(π，5]
B．(－π，－2)∪(π，5]
C．[－5，－2)∪(0，π)∪(π，5]
D．[－5，－2)∪(π，5]
6.如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是(　　)
7.函数y＝1＋x＋的部分图象大致为(　　)
8.已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，0] B.(－∞，1]
C.[－2，1] D.[－2，0]
9．已知某个函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
10．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　)
11.下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)
A.y＝ln(1－x) B.y＝ln(2－x)
C.y＝ln(1＋x) D.y＝ln(2＋x)
12．函数y＝(3x－3－x)·cos x在区间上的图象大致为(　　)
13．(多选)已知函数f(x)＝方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)，则下列判断正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增
C．当m∈(1,2)时，方程有3个不同的实数根
D．当m∈(－1,0)时，方程有4个不同的实数根
14.(多选)已知函数f(x)＝(a∈R)，则y＝f(x)的大致图象可能为(　　)
15.已知函数y＝f(－x)的图象过点(4，2)，则函数y＝f(x)的图象一定过点________.
16.若函数f(x)＝的图象关于点(1，1)对称，则实数a＝________.
17.已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集为________.
18.设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________.
19．将函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)为奇函数，则f(0)＋f(2)＝________.
20．函数f(x)＝的图象与直线y＝kx＋1交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝________.
21．已知函数f(x)＝
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)当f(x)≥2时，求实数x的取值范围．
22．已知f(x)＝是定义在R上的奇函数．
(1)请画出f(x)的大致图象并在图象上标注零点；
(2)已知a>1，若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)若函数φ(x)＝f(x)－ex，求φ(x)的零点个数．
优化提升
23.若函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　)
A.f(x)＝ B.f(x)＝
C.f(x)＝ D.f(x)＝
24．若平面直角坐标系内A，B两点满足：(1)点A，B都在f(x)的图象上；(2)点A，B关于原点对称，则对称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
25．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
26.(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝ex(x＋1)，则下列命题正确的是(　　)
A.当x＞0时，f(x)＝－e－x(x－1)
B.函数f(x)有3个零点
C.f(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)
D. x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|＜2
27．(多选)函数f(x)＝的图象如图所示，则(　　)
A．a>0 B．b<0
C．c>0 D．abc<0
28．(多选)在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)是奇函数
B．对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)
C．函数y＝f(x)的值域为[0,2]
D．函数y＝f(x)在区间[6,8]上单调递增
29.函数y＝ln|x－1|的图象与函数y＝－2cos πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________.
30.已知函数f(x)＝若在该函数的定义域[0，6]上存在互异的3个数x1，x2，x3，使得＝＝＝k，则实数k的取值范围是________.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．C　　2.B　　3.e－x＋1
【知识归纳】
1．列表　描点　连线
2．(1)f(x)＋k　f(x＋h)　f(x－h)
f(x)－k　(2)①－f(x)　②f(－x)
③－f(－x)　④logax(a>0，且a≠1)　(3)①|f(x)|　②f(|x|)
【题型展示】
例1 解　(1)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图①所示．
(2)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图②所示．
(3)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，最后得函数图象如图③所示．
跟踪训练1 解　(1)根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y＝可见其图象是由两条射线组成，如图①所示．
(2)作出y＝x的图象，保留y＝x的图象中x≥0的部分，加上y＝x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图②实线部分所示．
(3)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图③所示．
例2 (1)A
(2)B
跟踪训练2 (1)B　(2)A
例3 AB
例4 D　
例5 C　
跟踪训练3 (1)
(2)B
基础夯实
1．A　
2.A
3.C
4.C
5．A
6.C
7.D
8.D
9.A　
10.C
11.B
12.A　
13．BD
14.ABD
15.(－4，2)
16.1
17.(－2，－1)∪(1，2)
18.[－1，＋∞)
19．－2　
20.2
21．解　(1)由题得f(x)＝其图象如图所示，
(2)由题可得或
解得x≤－或0所以实数x的取值范围为(－∞，－]∪.
22．解　(1)根据题意，列表如下，
x －2 －1 0 1 2
f(x) 0 －1 0 1 0
f(x)的大致图象如图所示，其中有A，O，B三个零点，
(2)由(1)的函数图象可知，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，则－1(3)φ(x)＝f(x)－ex的零点即为f(x)与y＝ex图象交点的横坐标，
又y＝ex在R上单调递增，值域为(0，＋∞)，
结合(1)的图象，易知f(x)与y＝ex的图象在(－∞，0)有一个交点，即φ(x)只有一个零点．
优化提升
23.C
24．B
25．B
26.BCD
27．AB
28．BCD
29.6
30.第2部分第8节《函数的零点与方程的解》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
2．函数y＝－ln x的零点所在区间是(　　)
A．(3,4) B．(2,3) C．(1,2) D．(0,1)
3．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　)
【知识归纳】
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有 函数y＝f(x)的图象与 有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
常用结论：
1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
【题型展示】
题型一　函数零点所在区间的判定
例1　(1)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
延伸探究　用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)已知x1＋＝0，x2＋log2x2＝0,－log2x3＝0，则(　　)
A．x1C．x1跟踪训练1　(1)若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
(2)(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
题型二　函数零点个数的判定
例2　(1)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0,2 023]上根的个数为(　　)
A．404 B．405 C．406 D．203
(2)若函数f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)－|x|的零点个数是(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
跟踪训练2　(1)函数f(x)＝·cos x的零点个数为______．
(2)设定义域为R的函数f(x)＝则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为(　　)
A．3 B．7 C．5 D．6
题型三　函数零点的应用
命题点1　根据零点个数求参数
例3　函数f(x)＝g(x)＝kx－3k，若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数k的取值范围为(　　)
A．(2－6,0) B．(2－6,0)
C．(－2,0) D．(2－6,0)
命题点2　根据函数零点的范围求参数
例4　已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(－∞，0) D.
跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－a有3个零点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－1,0) B.
C. D.∪{－1}
(2)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．0C．1基础夯实
1．设函数f(x)＝2x＋的零点为x0，则x0所在的区间是(　　)
A．(－4，－2) B．(－2，－1)
C．(1,2) D．(2,4)
2.函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是(　　)
A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)
3.已知x＝a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足(　　)
A.f(x0)＝0
B.f(x0)＞0
C.f(x0)＜0
D.f(x0)的符号不确定
4.设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则(　　)
A.g(a)<0C.05．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(1,2] B．(1,2)
C．(0,1) D．[1，＋∞)
6．已知函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则(　　)
A．x1C．x27.若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋4)＝f(x)，且x∈(－2，2]时，f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg|x|的图象交点个数为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
8.已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A.[－1，0) B.[0，＋∞)
C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)
9．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1,3]上有零点，则实数m的取值范围为(　　)
A.
B.∪(0，＋∞)
C.∪(0，＋∞)
D.
10.已知函数f(x)＝若f(x)有两个零点x1，x2(x1＞x2)，则x1－x2的最小值是(　　)
A.1 B.2 C. D.
11.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A.，0 B.－2，0 C. D.0
12．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为(　　)
A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0,0.5)，f(0.375)
C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25)
13．函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
14．(多选)函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k的交点个数可能是(　　)
A．1 B．2 C．4 D．6
15．(多选)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是(　　)
A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3
C．f(x)＝＋1 D．f(x)＝|log2x|－1
16.(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)，则以下结论成立的是(　　)
A.函数f(x)的周期T＝2
B.f(2 021)＝f(2 022)＝0
C.点(1，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心
D.f(x)在[－2，2]上有4个零点
17.在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________.
18.函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________.
19.已知函数f(x)＝2lg x＋x－4的零点在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k＝________.
20.若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2＝________.
21．已知指数函数为f(x)＝4x，则函数y＝f(x)－2x＋1的零点为________．
22．函数f(x)满足以下条件：①f(x)的定义域为R，其图象是一条连续不断的曲线；② x∈R，f(x)＝f(－x)；③当x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2时，>0；④f(x)恰有两个零点，请写出函数f(x)的一个解析式________．
23．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
24．已知函数f(x)＝函数y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1优化提升
25．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，若关于x的方程f(x)＝m(x＋1)(m>0)恰有5个实数解，则实数m的取值范围为(　　)
A. B.
C. D．(0，e－1)
26．已知函数f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)]2＋(a－2)f(x)－2a有三个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
27.(多选)已知函数f(x)＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是(　　)
A.x1＋x2＝－1 B.x3x4＝1
C.1＜x4＜2 D.0＜x1x2x3x4＜1
28.(多选)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝m恰有两个不同解x1，x2(x1＜x2)，则(x2－x1)f(x2)的取值可能是(　　)
A.－3 B.－1 C.0 D.2
29已知λ∈R，函数f(x)＝
(1)当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________.
(2)若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________.
30.已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是________.
31．已知函数f(x)＝－sin x－1，x∈[－4π，0)∪(0,4π]，则函数f(x)的所有零点之和为________．
32．已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．B　2.B　3.A
【知识归纳】
1．(1)f(x)＝0　(2)零点　x轴
(3)f(a)f(b)<0　(a，b)　f(c)＝0
2．f(a)f(b)<0　一分为二　零点
【题型展示】
例1 (1)B
延伸探究 C
(2)A
跟踪训练1 (1)A　(2)AD
例2 (1)C
(2)D
跟踪训练2 (1)6　(2)B
例3 D
例4 B
跟踪训练3 (1)B　(2)A
基础夯实
1．B　
2.B
3.C
4.A
5．A
6．C
7.C
8.C
9.D
10.D
11.D
12.D　
13.C　
14．ABC
15．BCD
16.ABC
17－
18.2
19.3
20.1
21．1　
22.f(x)＝x2－1 (答案不唯一)
23．(1，＋∞)
24.
优化提升
25．B
26．A
27.BCD
28.BC
29.(1)(1，4)　(2)(1，3]∪(4，＋∞)
30.
31．0
32.第2部分第9节《函数模型的应用》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．在某个物理实验中，测量得到变量x和变量y的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 －0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的函数模型是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
2．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是(　　)
A．y＝5x B．y＝log5x
C．y＝x5 D．y＝5x
3．某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元．
【知识归纳】
1．三种函数模型的性质
函数性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与 平行 随x的增大逐渐表现为与 平行 随n值的变化而各有不同
、2．常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
【题型展示】
题型一　用函数图象刻画变化过程
例1　(1)根据一组试验数据画出的散点图如图所示．
现有如下5个函数模型：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝2x－5.4x＋6；④y＝log2x；⑤y＝x＋1.84.请从中选择一个函数模型，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．(填序号)
(2)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是(　　)
A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
跟踪训练1　如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是下图中的(　　)
题型二　已知函数模型的实际问题
例2　(1)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常数．如果2 h后还剩下90%的污染物，5 h后还剩下30%的污染物，那么8 h后还剩下________%的污染物．
(2)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
跟踪训练2　(1)牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(t为时间，单位：分钟，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度)，假设一杯开水温度θ1＝100 ℃，环境温度θ0＝20 ℃，常数k＝0.2，大约经过_______分钟水温降为40 ℃(参考数据：ln 2≈0.7)(　　)
A．10 B．9 C．8 D．7
(2)(多选)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗，那么1个感染者传染人数为(N－V)．已知某种传染病在某地的基本传染数R0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率不可能为(　　)
A．45% B．55% C．65% D．75%
题型三　构造函数模型的实际问题
例3　智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离，并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0与人的反应时间t1，系统反应时间t2，制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，如图所示．当车速为v(米/秒)，且0阶段 准备 人的反应 系统反应 制动
时间 t0 t1＝0.8秒 t2＝0.2秒 t3
距离 d0＝10米 d1 d2 d3＝米
(1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式，并求当k＝2时，当汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；
(2)若要求汽车在k＝1的路面上行驶时报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少以下(单位：米/秒)
跟踪训练3　(1)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x(单位：万件)与投入实体店体验安装的费用t(单位：万元)之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件的进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司的最大月利润是________万元．
(2)嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105) (　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
基础夯实
1.溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH＝
－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，人体血液的氢离子的浓度通常在1×10－7.45～1×10－7.35之间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的pH值的范围是(　　)
A.[7.25，7.55] B.[7.25，7.45]
C.[7.25，7.35] D.[7.35，7.45]
2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　)
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01
A.y＝2x－2 B.y＝(x2－1)
C.y＝log2x D.y＝logx
3．农业农村部发布2022年农区蝗虫防控技术方案．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则能达到最初的1 200倍大约经过(参考数据：ln 1.06≈0.058 3，ln 1 200≈7.090 1)(　　)
A．122天 B．124天 C．130天 D．136天
4．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m与标准声调m0之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg ，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y＝2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为70米，若A同学大喝一声的声强大约相当于100个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为(　　)
A．0.7米 B．7米 C．50米 D．60米
5．大气压强p＝，它的单位是“帕斯卡”(Pa,1Pa＝1N/m2)，大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的变化规律是p＝p0e－kh(k＝0.000 126m－1)，p0是海平面大气压强．已知在某高山A1，A2两处测得的大气压强分别为p1，p2，＝，那么A1，A2两处的海拔高度的差约为(　　)
(参考数据：ln 3≈1.099)
A．660 m B．2 340 m
C．6 600 m D．8 722 m
6.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王族预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似.现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为11.2 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的93%，若要使石片的速率低于7.84 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.7＝－0.357，ln 0.93＝－0.073)(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
7．某校实行凭证入校，凡是不带出入证者一律不准进校园，某学生早上上学骑自行车从家里出发，离开家不久，发现出入证忘在家里了，于是回家取出入证，然后乘坐出租车以更快的速度赶往学校，令x(单位：分钟)表示离开家的时间，y(单位：千米)表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取出入证的时间忽略不计，下列图象中与上述事件吻合最好的是(　　)
8.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0＜a＜12)，不考虑树的粗细.现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是(　　)
9．(多选)目前部分城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2018年到2021年产生的包装垃圾量如下表：
年份x 2018 2019 2020 2021
包装垃圾生产量y(万吨) 4 6 9 13.5
有下列函数模型：①y＝a·bx－2 018；②y＝sin ＋b.
(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
则以下说法正确的是(　　)
A．选择模型①，函数模型解析式为y＝4×x－2 018，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系
B．选择模型②，函数模型解析式为y＝sin ＋4，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系
C．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2023年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨
D．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨
10.(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(　　)
A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B.甲从家到公园的时间是30 min
C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D.当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
11.(多选)某工厂一年中各月的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B.结余最高的月份是7月
C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D.前6个月的平均收入为40万元
12．“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为________．(保留到个位)(lg 61≈1.79)
13．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
14.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则这种商品的日销售金额的最大值是________.
15.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示).
16.据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害.在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大.沙漠蝗虫的繁殖速度很快，迁徙能力很强.已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍.该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过________天，蝗虫数量会达到4 000亿只.(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
17.尽管目前人类还无法准确地预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.
(1)已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的为“破坏性地震”，若某次地震释放能量约1012焦耳，试确定该次地震的类型；
(2)零八年汶川地震为里氏8级，一一年日本地震为里氏9级，问：一一年日本地震所释放的能量是零八年汶川地震所释放的能量的多少倍？(取＝3.2)
18.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.
(1)当0＜x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；
(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.
19．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4(1)当0(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．
20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k)，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24 m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36 m2，凤眼莲的覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝＋k(p>0，k>0)可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
优化提升
21．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为P＝(其中a为常数)，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的75%，则可推断该文物属于(　　)
参考数据：log20.75≈－0.4
参考时间轴：
A．宋 B．唐 C．汉 D．战国
22．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述．在该模型中，人体内药物含量x(单位：mg)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关系式ln kx＝ln k0＋ln(1－e－kt)，其中k0，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：mg/h)．经测试发现，对于某种药物，给药时间12 h后，人体内的药物含量为，则该药物的消除速度k的值约为(　　)
(参考数据：ln 2≈0.693)
A．0.105 5 B．0.106 5
C．0.116 5 D．0.115 5
23.嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
＋＝(R＋r).
设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为(　　)
A.R B.R
C.R D.R
24．已知某电子产品电池充满时的电量为3 000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在m小时后切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m的取值范围是(　　)
A．(5,6) B．(6,7) C．(7,8) D．(8,9)
25．(多选)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是(　　)
A．当x>1时，甲走在最前面
B．当x>1时，乙走在最前面
C．当01时，丁走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
26.中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2(N0表示碳14原有的质量)，则经过5 730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到________年之间.(参考数据：lg 2≈0.3，lg 7≈0.84，lg 3≈0.48)
27.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝4－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).
(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；
(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．D　2.D　3.150
【知识归纳】
1．y轴　x轴
【题型展示】
例1 (1)④
(2)ABC
跟踪训练1 A
例2 (1)10
(2)C
跟踪训练2 (1)D　(2)ABC
例3 解　(1)由题意知，d(v)＝d0＋d1＋d2＋d3＝10＋0.8v＋0.2v＋，即d(v)＝10＋v＋，
当k＝2时，d(v)＝10＋v＋，
t(v)＝＝＋＋1
≥2×＋1＝2，
当且仅当v＝20时等号成立，
0即以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间为2秒．
(2)当k＝1时，d(v)<50，
即10＋v＋<50，
即v2＋20v－800<0，－40故0所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下．
跟踪训练3 (1)37.5
(2)C
基础夯实
1.D
2.B
3.A　
4.D　
5.D
6.C
7.C　
8.B
9．AD
10.BD
11.ABC
12．462　
13.6　10 000
14.506
15.a2
16.54
17.解　(1)某次地震释放能量约1012焦耳，即E＝1012代入lg E＝4.8＋1.5M，化简得M＝＝＝4.8.
因为4.8>4.7，所以该次地震为“破坏性地震”.
(2)设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为E1，E2.
由题意知，lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，lg E2＝4.8＋1.5×9＝18.3，
即E1＝1016.8，E2＝1018.3，
所以＝101.5＝10，取＝3.2，得＝32.
故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的32倍.
18.解　(1)由题意得当0＜x≤4时，v＝2；
当4＜x≤20时，设v＝ax＋b，
显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数，
由已知得解得
所以v＝－x＋，
故函数v＝
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得，
f(x)＝
当0＜x≤4时，f(x)为增函数，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；
当4＜x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x)max＝f(10)＝12.5.
所以当x＝10时，f(x)的最大值为12.5.
即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.
19．解　(1)由题意得当，0当4显然v＝ax＋b在(4,20]内单调递减，
由已知得解得
所以v＝－x＋.
故函数v＝
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x)＝
当0故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；
当4所以当0即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．
20．解　(1)由题设可知，两个函数y＝kax(k>0，a>1)，y＝＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上均为增函数，
随着x的增大，函数y＝kax(k>0，a>1)的值增加得越来越快，而函数y＝＋k(p>0，k>0)的值增加得越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型y＝kax(k>0，a>1)满足要求．
由题意可得
解得k＝，a＝，故该函数模型的解析式为
y＝·x(x∈N)．
(2)当x＝0时，y＝·0＝，
故元旦放入凤眼莲的面积为 m2，
由·x>10×，即x>10，
故x>10＝＝，
由于≈≈5.7，又x∈N，故x≥6.
因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．
优化提升
21．D
22．D
23．D
24．D
25.CD
26.　6 876
27.解　(1)当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元，
所以f(128)＝4×－6＋×112＋2＝88(万元).
因此，此时公司的总收益为88万元.
(2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元，
依题意得解之得80≤x≤160，
当80≤x<120，即120<240－x≤160时，
f(x)＝4－6＋32＝4＋26<26＋16.
当120≤x≤160，即80≤240－x≤120时，
f(x)＝4－6＋(240－x)＋2
＝－x＋4＋56.
令t＝，则t∈[2，4]，
所以y＝－t2＋4t＋56＝－(t－8)2＋88.
当t＝8，即x＝128时，y取最大值88.
因为88－(26＋16)＝2×(31－8)>0，
故f(x)的最大值为88.
因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元.

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